Решение уравнений на множестве N

 4.2. Рассмотрите рисунок и заполните пропуски. Так как весы находятся в равновесии, то получим: 3 ■ + 1 = 10 ----- уравнение с одним неизвестным I___________I I__I Левая часть Правая часть уравнения уравнения Натуральные числа. Повторение и дополнения 27 Решаем и поясняем ^1 Решите на множестве N уравнение 3х +1 = 10. Решение: 3 х +1 = 10 Левая часть П равая часть уравнения уравнения 3* = 10 -1 -*■ 3* = 9 * = 9:3 * = 3 е N 3 • 3 +1 = 10 (И) 10 = 10 Ответ: 8 = {3}. Левая часть уравнения - сумма 3* +1, с одним неизвестным. Чтобы найти неизвестное число, вычтем из суммы известное слагаемое. Левая часть - произведение 3х, а неизвестное число х является одним из множителей. Чтобы найти неизвестный множитель х, разделим произведение 9 на известный множитель 3. Получим число 3 и проверим, принадлежит ли оно множеству N (так как уравнение решается на множестве натуральных чисел). Проверим, превращается ли уравнение в истинное равенство при подстановке полученного числа. Записываем ответ. -Л/ я А Возьмите на заметк Уравнение Уравнение имеет не имеет решение решений называет- на N. на N. ся равенство, содержащее одно неизвестное. ♦ Значение неизвестного, при котором уравнение превращается в истинное равенство, называется решением уравнения. ♦ Решить уравнение - значит найти все его решения или доказать, что решений нет. ♦ Множество решений уравнения обозначается через 5. ♦ Если уравнение не имеет решений, то $ = 0 . Решите на множестве N уравнение 4а - 3 = 18 . Решение: 4а - 3 = 1 8 ^ — Левая часть уравнения - разность. 4а = 18 + 3 — Чтобы найти уменьшаемое, складываем 28 Глава 1 4а = 21 Левая часть уравнения - , а неизвестное число а является одним из множителей. а = 21:4 а = 5,25 й N Вывод Ответ: 8 = 0 . Чтобы найти неизвестный множитель а, разделим произведение на известный множитель. Получим число 5,25, которое не принадлежит множеству N. Уравнение не имеет решений на множестве N. Записываем ответ. ^ Решите на множестве N уравнение 16: (2г) = 8. Решение: Левая часть уравнения - частное. — Чтобы найти , разделим на — Чтобы найти , разделим на Получим значение неизвестного и проверим, принадлежит ли оно множеству N. — Проверим, превращается ли уравнение в истинное равенство при подстановке полученного значения. Ответ: 8 = . -----Записываем ответ. 16: (2г) = 8 22=16:8 2 г = 2 г = 1 е N 16 : (2 1) = 8 (И) 8 = 8 Решите на множестве N уравнение 6х -1 8 = 0 . Решение: 6х - 1 8 = 0 6 х = 18 + 0 или 6х = 18 х = 18:6 х = 3 е N 6 • 3 -1 8 = 0 (И) 0 = 0 Ответ: 8 = {3}. Левая часть уравнения - это разность. Чтобы найти уменьшаемое, складываем с . Чтобы найти неизвестный множитель , разделим на . Получим число 3 и проверим, принадлежит ли оно множеству N. Проверим, превращается ли уравнение при подстановке полученного значения в истинное равенство. Записываем ответ. Натуральные числа. Повторение и дополнения 29 Упражнения и задачи 1. Даны математические выражения: 2х; 35 - 2; 0; 5а- Ъ; 73 • 2 + 3; 53 + у; 3(5 + 2• 4); 8аЪ; 5(12 + 32); х22; 1 8 -3 • 5. Выпишите: а) числовые выражения; 2. Найдите значение выражения: а) 2( х - 4) при х = 5; в) 3х +1 при х = 0,5; д) 5(а + Ъ) при а = 2, Ъ = 1,2; б) буквенные выражения. б) 3 : 2 при 2 = 6; г) 4х при х = 2 ; е) 7а + Ъ при а = 4 , Ъ = 3 . 3. Выполните подстановку и установите, решением каких уравнений является число: 1) 4; 2) 10: а) 3 + х = 28:4; б) 5(х + 2) = 32; в) 2а - 3 = 17; г) 120: 2 = 12; д) 8у + 6 = 4 2 -4 ; е) 20 + 31 = 100:2. 4. Поставьте в соответствие каждому уравнению его решение: х + 5 = 8 12х = 60 3 у -1 2 = 0] а - 10 = 2] 120:2 = 40 4 5 3 12 10 5. Решите на множестве N уравнения и выполните проверку: а) х +18 = 24; б) а + 35 = 20; в) 82 = 160; г) 5у = 18; д) х : 12 = 96; е) 1:6 = 100; ж) 9х -1 = 0; з) 4х - 20 = 0. ■ ----------------------------------------------- 6. Перечертите и заполните таблицу: 7. На кондитерской фабрике было х коробок и у конфет. В каждую коробку помещается не более 20 конфет. Объясните, что могут означать в этом случае выражения: а) 20х; б) у : х. 30 Глава 1 8. Используя данные таблицы, составьте уравнения, затем решите их на множестве М: а) Слагаемое 215 ? 24,06 Слагаемое ? 2011 6,84 Сумма 729 3405 ? Уменьшаемое 688 ? 144,28 Вычитаемое ? 2012 68,28 Разность 12 20 ? в) Множитель 14 ? 42,5 Множитель ? 41 14 Произведение 350 451 ? Делимое 688 ? 68,4 Делитель ? 15 10 Частное 43 420 ? 9. Составьте уравнение по каждой цепочке действий, затем решите его на множестве М : а) в) 10. Сереже 7 лет, а его брату Максиму 1 год. Сколько лет будет Сереже, когда его возраст будет в два раза больше возраста Максима? 11. Решите на множестве М уравнение: а) 3(1 - 2х) + 8 = 32; б) 60:(3у + 2) = 12; в) 1 - 3(8 х - 4) = 1; г) 1605 + 4(3 - х) = 2011. Натуральные числа. Повторение и дополнения 31 12. Решите задачу сначала арифметическим методом, затем уравнением: а) Автосалон за год продал 68 автомобилей марки В М ^ и марки Рогй. Автомобилей марки В М ^ продали на 12 больше, чем автомобилей марки Рогй. Сколько автомобилей марки В М ^ было продано? б) В домашней библиотеке Миши всего 124 книги, на русском и английском языках. Книг на русском языке в 3 раза больше, чем на английском. Сколько книг на русском языке в домашней библиотеке Миши? в) Сколько пассажиров было в поезде, если на станции вышла половина пассажиров, зашло 28 человек и в поезде стало 124 пассажира? 13. Впишите такое число, при котором решением полученного уравнения: а) 6 - 3х = 210 будет число 5; б) 4 • (1 + х) = х будет число 8. 14. Составьте задачу по данному уравнению: а) 2( х - 3) = 216; б) 5 - 3х = х +1; в) 280: х = 155 - 85. 15. Решите на множестве М* уравнение: а) (2х - 4): (3х) = 10; б) 2х2 = х(2х +1) -2 5 . Задания для осмысления 1. Что называется математическим высказыванием? Приведите примеры предложений, которые не являются высказываниями. 2. Приведите по три примера истинного и ложного высказывания из разных областей знания. 3. Сформулируйте истинное высказывание, а затем его отрицание. 4. Для каждого из слов и; или; не; если..., то... приведите по одному примеру истинного и ложного высказывания. 5. Приведите примеры из повседневной жизни для каждого из выражений: „Не больше“, „Хотя бы “, „Любое“, „Существует". 6. Сформулируйте одно общее и три частных высказываний, следующих из общего. 32 Глава 1 7. Приведите три частных высказывания из: а) биологии; б) физики; в) русской литературы. Сформулируйте общее высказывание, которое следует из частных. 8. Приведите примеры множеств из разных областей знания. 9. Истинно или Ложно? Кардинал множества учеников вашего класса равен 30. 10. Какие соотношения между множествами вы знаете? 11. Какие действия над множествами вы изучили? 12. Прочтите: В с А; В = А; А I В; В ^ А; А \ В; В \ А; А ^ В = 0 ; А П В = 0 . 13. Приведите примеры множеств А и В из повседневной жизни таких, что: а) А ^ В = 0 ; б) А П В = 0 . 14. Существует ли такое число, которое и кратно некоторому числу и является его делителем? 15. При каком условии число делится на 2? А на 3? На 5? На 9? На 10? ! 16. Какие числа называются простыми? А какие составными? 17. Существуют ли простые четные числа? 18. Какое число называют общим делителем двух чисел? А какое число называют общим кратным этих чисел? 19. Как найти наибольший общий делитель двух чисел? А наименьшее общее кратное? 20. Составьте по одной задаче, которую можно решить: а) графическим методом; б) методом сведения к единице; в) методом обратного хода; г) методом фальшивой гипотезы. 21. Что такое уравнение? 22. Что значит решить уравнение на множестве N ? 23. Приведите пример уравнения, которое не имеет решений на множестве N. 24. Составьте по одному уравнению каждого из изученных видов и решите их. Натуральные числа. Повторение и дополнения 33 Итоговый тест Время выполнения работы: 45 минут I вариант 1. Дано множество: А = {хе N | 60 < х < 70 и х : 3}. а) Истинно или Ложно? 1 „Натуральное число кратно 3 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3“. б) Задайте множество А перечисле- 3 нием его элементов. | в) Выберите одно четное число и 7 одно нечетное число среди элементов множества А и найдите их НОД. II вариант 1. Дано множество: В = {хе N | 80 < х < 100 и х : 9}. а) Истинно или Ложно? „Натуральное число кратно 9 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 9“. б) Задайте множество В перечислением его элементов. в) Выберите одно четное число и одно нечетное число среди элементов множества В и найдите их НОК. 2. Макс и его дедушка вместе собрали 100 кг слив. Сливы были распределены по 12 кг в каждый из ящиков, имеющихся у дедушки, и осталось еще 16 кг. а) Впишите натуральное число: 4 = 16. б) Определите, сколько ящиков было у дедушки. в) Найдите сумму денег, которую получит дедушка после продажи всех ящиков со сливами по цене 8 леев/кг. 3. Решите задачу арифметическим методом. Фермер выращивает поросят и голубей, всего 51 голова и 132 ноги. Найдите, сколько поросят и сколько голубей у фермера. 1 2. 3. Дана и ее бабушка вместе собрали 106 кг огурцов. Огурцы были распределены по 14 кг в каждый из ящиков, имеющихся у бабушки, и осталось еще 8 кг. а) Впишите натуральное число: 3 = 8. б) Определите, сколько ящиков было у бабушки. в) Найдите сумму денег, которую получит бабушка после продажи всех ящиков с огурцами по цене 7 леев/кг. Решите задачу арифметическим методом. В жилом доме есть двухкомнатные и четырехкомнатные квартиры. Найдите, сколько двухкомнатных и сколько четырехкомнатных квартир, если всего в доме 45 квартир и 140 комнат. Схема оценивания теста О ц ен ка 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 С ум м а баллов 27-26 25-24 23-21 20-17 16-12 11-8 7-6 5-4 3-2 1-0