Множество целых чисел

 1.1. Целые числа 10 10 °С тепла или 10 °С холода ♦ ♦ 0 -0 Так как вода в пруду замер­ --Ю ° С зает при температуре ниже 0 °С, значит, хвост у медведя не примерз. О температуре 10 °С тепла говорят: 10 °С выше нуля (или плюс 10 °С) и записывают: +10 °С. Эта температура положительная. О температуре 10 °С холода говорят: 10 °С ниже нуля (или минус 10 °С) и записывают: -10 °С. Эта температура отрицательная. Рассмотрите рисунки и определите, каким словом необходимо дополнить предложение, чтобы получить истинное высказывание: Зимой, как правило, температура воздуха в Молдове Летом, как правило, температура воздуха в Молдове 36 Глава 2 Замечаем Положительные и отрицательные числа используются в географии при обозначении расположения объектов относительно уровня моря. В банковских операциях, как правило, доходы обозначают положительными числами, а расходы - отрицательными числами. Если перед целым числом стоит знак „ -“, то говорим, что целое число - отрицательное. Если перед целым числом стоит знак „+“, то говорим, что целое число - положительное. 7 Отрицательные целые числа: ..., -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1 Нуль Положительные целые числа: + 1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, ... ни положительное, ни отрицательное число Знак „+“ перед положительным числом можно опустить. Л возьмите на заметк Целые отрицательные числа, 0 и целые положительные числа образуют множество целых чисел. Множество целых чисел обозначается через 2. 2 = {..., -3, -2 , -1, 0, 1, 2, ...}. Множество 2* = 2 \ {0} называется множеством целых ненулевых чисел. ^ Долгое время отрицательные числа не использовались в вычислениях. Их считали „ложными” числами и к * говорили, что они „ меньше, чем ничего (ноль)”. Первыми, кто стал ассоциировать положительные числа с имуществом, а отрицательные - с долгами, были индусы. Китайцы для написания чисел использовали цвета: красный - для положительных чисел, черный - для отрицательных. В Европе отрицательные числа получили признание как действительно существующие лишь в первой половине XVIII века. В наше время отрицательные числа являются частью повседневной жизни. Целые числа 37 1.2. Числовая ось. Противоположные числа ИссдеЭуемиузиэем ^ Диана, прочитав в одной из книг об античных математиках, узнала, что Птоломей жил во II веке, Пифагор - в VI веке до н.э., а Эвклид - в III веке до н.э. Она захотела узнать, кто жил раньше. Для этого Диана расположила указанные века на хронологической оси (лента времени). VI век ' V век 1 IV век 1 III век 1 II век 1 I век I век II век . ! ^ ! III век до н. э. рождение Христа н. э. Ответ: Замечаем На хронологической оси отмечено начало отсчета (рождение Христа), направление и единичный отрезок (век). О единичный отрезок о ^ в 1 2 3 4 5 6 7 > 4 начало отсчета направление координата точки в В V классе я построил такую числовую ось. Дополним числовую ось, построенную в V классе, отметив слева от точки О числа -1, -2, -3, .... Числовая ось С О А -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 отрицательные значения положительные значения Возьмите иа заметк Прямую с выбранными на ней началом отсчета, направлением и единичным отрезком называю т числовой осью (или координатной прямой). 38 Глава 2 21 Яр |<Тич скАя 1*Аб ф Постройте числовую ось. ф Отметьте на ней точки: А (-2), В(-4), С(1), Я(3), О Д , Ш(-5), 0(-1), Н(5), /(-3), /(2). ф Назовите пары точек, равноудаленных от начала отсчета. В чем отличие координат точек каждой пары? Решение: ■ в / ■ о о Ш / я Ш Ш -5 -2 -1 0 1 2 | 4 5 Пары точек, равноудаленных от начала отсчета: Ш(-5) и , В(-4) и , и .0(3), и /(2), и . Координаты каждой пары отличаются знаком. Числа 1 и -1 называются противоположными. Противоположными числами являются: -5 и 5; и Ц ; и Ц ; и ; и . * / . ________________________ возьмите на заметь ♦ Для каждого целого ненулевого числа а чйсла а и -а называются противоположными. Противоположные числа отличаются друг от друга только знаками. Противоположным числу а является число -а, а противоположным числу -а является число а. Число 0 противоположно самому себе. ♦ Множество целых чисел состоит из нуля, множества ненулевых натуральных чисел и чисел, противоположных им. Примеры: Если а = 2, то -а = -2. Если а = -5, то -а = -(-5) = 5. 'Применяем Ц Используя результаты практической работы, назовите число, противоположное числу: 11, 17, -12, -23, 1411, -695. Целые числа 39 1.3. Модуль целого числа 1 я . *Тич СкАя I»АБ ф Постройте числовую ось. ф Отметьте на ней точки А(-4), В(3), С(-5), .0(5). ф Найдите расстояния ОА, ОВ, ОС и ОБ, где О - начало отсчета. ф Перечертите таблицу в тетрадь и заполните ее по образцу. Ф Точка Координата Отрезок Длина отрезка (Расстояние от заданной точки до точки О) А -4 ОА 4 В С 4 В __________________________ ^ Розьмите на заметк Расстояние от начала отсчета (точки О) до точки А(а), а е 2, называется модулем (или абсолютным значением числа а) и обозначается через |а|. В \а\ А Ь 0 а Используя результаты практической работы, вычислите: |-4 | = 4 |5| = ■ |-21| = |3| = |-8 | = 8 120051 = |-5 | = |17| = 17 |0| = ^ Даны целые противоположные числа: а) -5 и 5; б) -80 и 80; в) 18 и -18. Найдите модули этих чисел. Что вы заметили? Решение: а) |-5 | = 5, и |5| = 5. Значит, |-5 | = |5|. б) | -8 0 1 = , и 1801 = . Значит, в) |18| = , и |-18| = . Значит, 5 5 -5 0 5 40 Глава 2 7 Л возьмите на заметк ♦ Абсолютное значение (или модуль) любого целого числа является неотрицательным числом. ♦ Для любого целого числа а: | а | = < ♦ Модули противоположных чисел равны: | -а | = | а | __ а, если а > 0; 0, если а = 0; - а, если а < 0 - а | \а\ а Упражнения и задачи ■ ------------------------------------------------------------------- 1. Прочтите целые числа: -3000, -100, -24, -12, -2, 0, 12, 78, 2005, 30007. 2. Запишите с помощью цифр целые числа: „минус девяносто девять“, „плюс пятнадцать“, „минус две тысячи пятьдесят “, „ минус шесть миллионов “, „ плюс двадцать миллиардов “. 3. Среди чисел -11, 28, -33, 0, 69, -101, 202, -205, 44, -78, 27, 303, 0, 1012, -600, 99 укажите числа: а) отрицательные; б) положительные; в) неотрицательные; г) неположительные. 4. Прочтите показания термометров, изображенных на рисунке: а) -10 1 . б) 5 - 0 в) -10 0 г) - 5 - 0 д) -10 - 0 5. Истинно или Ложно? а) -5 е 2; в) 28 е N1; д) 0 е 2*; б) 17 е 2; г) 4-3е 2-; е) -1 е N. 6. Постройте в тетради вертикальную прямую и отметьте на ней точку О. Отметьте на этой прямой точки А, В, С, И, если: а) точка А на 8 клеток выше точки О; Целые числа 41 б) точка В на 5 клеток ниже точки О; в) точка С на 6 клеток ниже точки А ; г) точка В на 4 клетки выше точки В. 7. Рассмотрите домашний термометр для измерения температуры тела. Какую температуру он показывает: положительную или отрицательную? Обоснуйте ответ. 8. Нарисуйте шкалу термометра и отметьте на ней температуру: а) -5°С; б) +6°С; в) -4°С; г) +2°С; д) -1°С. 9. а) Отметьте на числовой оси целые числа: -6, 7, 8, -8, 9, -10. б) Рассмотрите числовую ось и определите координаты точек Е, Е, О, Н, Р. Р О Е О Е Н . ■ ■ ■ — 1 о 1 ' ' ' ' ' ' ' ' 10. Запишите целые числа, которые от начала отсчета на числовой оси расположены на расстоянии: а) 11 единиц; б) 65 единиц; в) 78 единиц; г) 100 единиц. 11. Отметьте на числовой оси точки: А(-7), В(-9), С(10), .0(6). 12. Назовите три целых числа, расположенных на числовой оси: а) правее числа 15; б) левее числа -13; в) правее числа -18; г) левее числа -5; д) между числами -3 и 5; е) между числами -1 и 8. 13. Запишите числа, противоположные целым числам: а) -65, 18, -22, -30, 11, 100, -2011, 0; б) 100, -81, -36, 48, -99, 0, 33, -2012. 14. Истинно или Ложно? а) Противоположным числу 17 является -17. б) Противоположным числу -5 является -5. в) Противоположным числу 8 является -3. г) Противоположным числу -25 является 25. 15. На каком расстоянии от пункта О находится автомобиль, если он доехал до пункта: а) А ; б) В? А О В Север Пункт отправления Юг 20 км 42 Глава 2 16. Перечертите и заполните таблицу: а 5 -8 72 0 -а -3 -23 7 ^ 17. Найдите расстояние от точки отсчета до точки: а) А(20); б) В(-8); в) С (-123); г) Я(129); д) 0(0); е) Р (-79); ж) О(2023); з) Н (-411). 18. Найдите абсолютную величину числа: а) 19; б) -33; в) -87; г) 104; д) -1222; е) 69; ж) -215; з) -98. 19. Дополните: а) если а е {-11, -9 , -5, 6, 29, 388}, то | а | е { }; б) если а е {33, -9 , -55, 44, -66, 77, -88}, то | а | е { }. 20. Отметьте на числовой оси точки, модуль которых равен: а) 6; б) 7; в) 0; г) 8; д) 5. ■ ------------------------------------------------------------------------------------------------- 21. Сережа поднялся на лифте шестнадцатиэтажного дома на 7 этаж, затем он переместился еще на 5 этажей. На какой этаж попал Сережа? Обоснуйте ответ. 22. Запишите элементы множества: а) А = {х | х е Ж, - 4 < х < 5}; б) В = {х | х е Ж, - 2 < х < 7}; в) С = {х | х е Ж, -1 < х < 8}; г) Р = {х | х е Ж, -5 < х < 6}. 23. Истинно или Ложно? а) {-7,0,1} с М; ^ б) {11, -3,0} с Ж*; в) {-5, -1,0} с Ж; г) {0,5,7} с М*; д) {-2,1,7} с Ж*; е) {1,8,100} с Ж. 24. Из повседневной жизни приведите примеры применения положительных и отрицательных чисел. 25. Назовите целые числа, расположенные на числовой оси между числами: а) 10,5 и 29,1; б) -5 и 12,4; в) -35 и -21; г) 11,2 и 31,8; д) -8 и 10,04; е) -46 и -31. 26. Запишите все натуральные числа меньше 9 и числа, противоположные им. Целые числа 43 27. В каком направлении и на сколько единиц надо переместить предмет из точки: а) А(-5) до точки В(3); б) С(6) до точки Л (-2)? 28. После перемещения предмета из точки А в отрицательном направлении на 4 единицы он оказался в точке В(-2). Найдите координаты точки А . 29. После перемещения некоторого предмета из точки С в положительном направлении на 7 единиц он попал в точку 0(3). Найдите координаты точки С. 30. Дополните: а) если т е {0, -2 , 5, -10}, то - т е { }; б) если к е {-3, 2, -7 , 11}, то - к е { }; в) если а е {-9, 3, -1, 8}, то - (- а) е { }. 31. Впишите число, чтобы получить истинное высказывание: а) -(-35) = ; б) 17 = ; в) -(-201) = ; г) 126 = . 32. Найдите х, если: а) | х | = 15; б) | х | = 123; в) | х | = 0; г) | х | = 63; д) | х | = 2012. 33. Найдите число: а) положительное, модуль которого равен: 1) 48; 2) 55; 3) 101; 4) 465; б) отрицательное, модуль которого равен: 1) 35; 2) 511; 3) 696; 4) 1001. 34. Определите число с наибольшим модулем: а) -7, 18, -35, 22, -14; б) 64, -19, 59, -63, 33. 35. Впишите один из знаков сравнения (<, = или >), чтобы получить истинное высказывание: а) |-7 | |8|; в )|-1 1 | 10; д) |-102| |-98|; Г > б) 1251 |-1 3 1; г) |-66| 1661; е) 1151 |-35|. 36. Вычислите: а) | -18 | + 117 | - 1 - 3 0 1 • 0; б) | 2 8 1 - 1- 1 4 1 + 1 -55 | • 0; в) | 681 : | - 2 1 + | 2 9 1 - 1 -15 | ; г) | -1 0 2 1 : | -3 | + | 911 - 1 - 6 9 1. 37. Перечертите рисунок и отметьте начало отсчета. Назовите координаты точек С, Д Е? Е Е А(-8) ‘ В(4) ‘ ( <1 44 Глава 2 38. Даны множества: а) А = {-4, -(-5 ), 0, 7, 21} и В = {5, -(-7 ), 18, -8, 15}; б) А = {17, -11, 18, -(-8 ), 25} и А = {-13, -(-9 ), 8, -(-25)}. Найдите: 1) А ^ В; 2) А П В; 3) А \ В; 4) В \ А. 39. Найдите число а, если: а) - ( - а ) = 12; б) - а = -(17); в) а = -{-[-(-25)]}. 40. Отметьте на числовой оси целые числа х, удовлетворяющие условию: а) | х | < 5; б) | х | < 6; в) | х | < 7; г) | х | < 8. 41. Запишите три целых значения х, удовлетворяющие условию: а) х < 0 и | х | < 7; б) х > 0 и | х | < 5. 42. Запишите элементы множества: а) А = {х | х е Ж, | х | < 3}; б) В = {х | х е Ж, | х | < 1}; в) С = {х | х е Ж, | х | < 2}; г) Б = {х | х е Ж, | х | < 4}. 43. Даны множества: а) А = {х | х е Ж, | х | < 9} и В = {х | х е Ж, -5 < х < 8}; б) А = {х | х е Ж, | х | < 8} и В = {х | х е Ж, - 2 < х < 7}. Найдите: А ^ В, А П В, А \ В, В \ А. 44. Найдите | х |, если расстояние между точками В (х) и С( - х) равно 8 единицам измерения. 45. Истинно или Ложно? К 1) Если а < 0, то | а | = а. 2) Если | а | = - а, то а = 0. 3) Если а = Ъ, то | а | = | Ъ |. 4) Если | а | = | Ъ |, то а = Ъ.