E Școala Noastră

scoala scoala de soferi scoala auto scoala de soferi pret scoala soferi scoala de soferi categoria b sofer cat b scoala de soferi categoria a cat costa scoala de soferi scoala de soferi sector 4 pret scoala de soferi examen auto școală de șoferi scoala de soferi categoria c pret scoala de soferi categoria b scoala soferi categoria a scoala de soferi profesionisti soferi profesionisti scoala auto online cursuri auto scoala de soferi ieftina scoala de soferi categoria d scoala particulara

luni, 29 august 2022

Отношения

Щ Для приготовления варенья из черной смородины на 9 кг свежей ягоды приходится 7,5 кг сахара. а) Чему равно значение отношения количества ягод к количеству сахара? б) Сколько сахара понадобится для 12 кг свежих ягод? Решение: Ошс>шение а) Члены отношения 4 9 7,5 = 1,2 Значение отношения б) Пусть х - необходимое количество сахара. 12 Тогда— = 1,2. Следовательно, х = 12:1,2 = 10 (кг). Ответ: а) 1,2; б) 10 кг. • Чему будет равно значение отношения, которое получится при умно9 жении каждого члена отношения на 3? а ♦ Выражение Ъ , где а и Ъ - рациональные числа, Ъ ф 0, называется отношением. а ♦ Значением отношения ъ является результат деления а : Ъ. ♦ Два отношения равны, если их значения равны. ♦ Основное свойство отношения: каждый член отношения можно умножить на одно и то же ненулевое натуральное число. ♦ Сократить отношение на ненулевое число, значит, разделить каждый член отношения на одно и то же ненулевое натуральное число. ♦ Применение основного свойства или сокращение отношения не меняет его значения. *• Замечание. Пара отношений а и Ъ , где а е Ъ, с е , может быть Ъ с записана кратко: а : Ъ : с. В этом случае говорят, что числа а, Ъ и с относятся как а : Ъ : с. • Истинно или Ложно? "I 71 а) Любая дробь - это отношение. б) Любое отношение - это дробь. $ 154 Глава 4 Замечаем и поясняем Из 1,5457 тонны руды получается 188,5 кг меди. Чему равно значение отношения количества руды к количеству полученной меди? Решение: 1545,7 = 8,2 188,5 Ответ: 8,2. 7 возьмите на заметк Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения значения их отношения надо предварительно перейти к одной единице измерения. • Найдите значение отношения: а) 120 м и 800 см; б) 600 кг и 300 г; в) 2 160 мин и 12 ч. Рассмотрите рисунок и определите, какой из драгоценных металлов тяжелее: золото или серебро (оба слитка имеют форму кубоида). Золото Серебро Ь = 5 см I = 2 см к = 1 см Ь = 5 см I = 2 см к = 2 см Решение: ® Вычислим объем тел: колота = 2 • 5 -1 = 10 (см3). Сребра = 2 - 5 - 2 = 20 (см3). ® Вычислим вес 1 см3 металла, то есть плотность металла: М асса------ ► 193 г О бъем------ ► 10 см3 208 г Золото: Г гО ~ 1^' I • к = 19,3 г/ см Плотность Серебро: = 10,4 г/ см3 20 см Ответ: Золото тяжелее серебра. 19,3 > 10,4 Отношения и пропорции 155 фРозьмите на заметк Отношение двух разноименных величин образует новую величину. Значение такой величины называется единичным отношением. Единичное отношение массы металла к его объему - это плотность металла, обозначается греческой буквой р (читается как „ро“). Масса (т) Плотность (р) = Объем (V ) Единичное отношение стоимости товара к его количеству или массе - это цена товара. Цена (с) ■ Стоимость (Р) Масса (т) Единичное отношение пройденного телом расстояния ко времени его движения - это скорость движения тела. Расстояние ( ^) Скорость (в) = ■ Время (() • Какова цена сахара, если 25 кг сахара стоят 365 леев? • Какова средняя скорость автомобиля, если время, за которое он проходит 385 км, составляет 3 ч 30 мин? Упражнения и задачи 1. Вычислите значение отношения: а) 9 б) 4,92 в) 23,32 г) 50,4 1,6’ 1,23 ’ 8,8 ’ 7,2 ' 2. Умножьте на 4 числитель и знаменатель отношений из упражнения 1 и вычислите значение полученных отношений. 3. Восстановите последовательность равных отношений: , 11 33 Н 2,75 _ 20,7 18 7,2 а) 2,2 : б) , 3,3 0,44' 33,2 4. Вычислите значение отношения: а) 3 кг и 150 г; б) 2,5 м и 125 мм; в) 6 ч и 45 мин; 5. Сравните отношения: 8 0,32' г) 14 см и 50 м. ч 7 8 „ 3,6 10,2 > 2 ^ ч 9,6 11,1 ч 1 2 а) й и 11,5 ; 6) 0 6 и 1,7 ’ * Г < в) 4,2 и 5,2 ; г) 7,8 и 10,9' 6. В классе 32 ученика, из них 12 мальчиков. Чему равно отношение числа мальчиков к числу девочек? 156 Глава 4 7. Вычислите значение отношения площади закрашенных квадратов к площади незакрашенных: О ) I □ ' 8. Как изменится значение отношения, если увеличить в 3,5 раза только один из членов отношения? Рассмотрите оба случая. 9. Чему равна плотность тела: а) объем которого 3 см3, а масса 12,42 г; б) объем которого 0,07 м3, а масса 91кг; в) объем которого 8,4 м3, а масса 54,6 т? 10. Какова цена яблок, если за 3,5 кг заплатили 36 леев 75 банов? 11. Вычислите значение отношения: 5 Ь а г б) , если =5. ’ 5 ъ - 2 а Ь ч 3 т + 4 п т а) , если = 2,4; ' 4 п ’ п ’ ’ 12. Найдите значение отношения площадей двух прямоугольников с измерениями: 2,5 см, 4 см и 3 см, 6 см. 13. Запишите отношение, значение которого: а) 0,2; б) 1,4; в) 0,(7); г) 4,(5). 14. С какой средней скоростью двигается поезд, если расстояние 1 050 км он проезжает за 12 ч и 30 мин? 15. Точка С принадлежит отрезку АВ, длина которого составляет 15 см, АС причем = 0,875. Найдите А С и ВС. ВС 16. Какова ежемесячная зарплата господина Петрова, если она относится к сумме минимальной потребительской корзины в 1 760 леев как 7:4? 17. Представьте число 459 в виде суммы трех чисел, которые относятся как 1 : 2 : 6. 18. Представьте число 459 в виде суммы трех чисел, которые относятся как 3 : 2 : 4.

Решение уравнений на множестве О

Исследуем и узнаем Ц Три стороны четырехугольника АБС Б конгруэнтны, а длина четвертой стороны 2,3 см. Чему равна длина каждой из конгруэнтных сторон, если периметр четырехугольника 8 см? Решение: х см В х см 3 х + 2 ,3 = 8 АВ = ВС = А Б = х см, Р = (3 х + 2,3) см. уравнение С 2,3 см В х см неизвестное неизвестное слагаемое сумма ч 3 х + 2 ,3 = 8 3 х = 8 - 2 ,3 3 х = 5 ,7 Г X неизвестный произведение множитель х = 5 ,7 : 3; х = 1,9 (см). Ответ: 1,9 см. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Ч тобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. Решите на множестве ^ уравнение: а) 2 • (0,5 х +1) = -7,2; в) - 3 : х = -1 , х Ф 0; - 1 ^ 4 7 б) 5 х +15 х = 3 0 ; г) (3 х -1,8): 2,4 = 3,2. Рациональные числа 145 Рассмотрите и допишите Решение: а) 2 • (0,5 х +1) = -7,2 неизвестный произведение множитель 0,5х +1 = -7,2 : 0,5 х +1 = неизвестное слагаемое сумма 0,5 х = 0,5х= неизвестный произведение множитель х - х - Ответ: 8 = { }. ~ 1 ^ 4 7 б) 5 х + 1? х = 30 х • '? + Т5 _7_ 30 7_ 30 Выносим общий множитель за скобку. X =■ , Ответ: 8 = { }. в) - 3 • х = ^ х * 0 I__3 9 делимое делитель частное 2 . 1 3 • 9 2 3' X = Ответ: 8 = { }. г) (3х -1,8) • 2,4 = 3,2 неизвестное делитель частное делимое 3х -1,8 = -3,2 • 2,4 неизвестное вычита- разность уменьшаемое емое X = X = Ответ: 8 = { ч 3 }. Упражнения и задачи ■ ------------------------------------------------ 1. Решите на множестве О уравнение: * II Оз б) х • [ - 4 ] = 18; в) 1 - 5 х = 0,5; * 1 II д) 3 х + 2 = ^ (Ч * II 1 77 (Ч ж) 3,6 • х = 1,2; з) 2,3х +1,2 х = 7. 146 Глава 3 2. Является ли число — решением уравнения: а) 1,5 + х = 2; б) 2 х - 3 = -2 ; в) ( 2х + 3 ) 4 = 3 ; г) 7,2: х = 3,6? 3. Решите на множестве ^ уравнение и выполните проверку: а) 0,47 х - 0,14 х = 1,65; ч 7 2 2 в) 9 х - з х =2; б) (4х -1) : 3 = - 3 ; г) - 3 • (2 -1 5 х) = - 6. 4. Составьте и решите уравнение по данным задачи: а) Даша задумала число, прибавила к нему 2,7 и получила 12,3. Какое число задумала Даша? 2 б) Аня задумала число, поделила его на 6 и получила - 3 . Какое число задумала Аня? 5. Перечертите и заполните таблицу: 2х - 3 -2 - 1 0 1 2 А х - А ■ -------------------------------------------------------------------- 6. Составьте и решите задачу по данным рисунка: а) х м 3х м б) 1~. 1 А Г 3,2 м х 15,4 х + 3 " ч в) х страниц г) 8 леев х леев 15,5 лея 7. Веревку длиной 3 м разрезали на две части. Длина одного отрезка на 6 полметра больше другого. Найдите длину каждого отрезка. Рациональные числа 147 8. Маша и Лена вместе собрали 24,6 кг клубники. Сколько килограм м ов клубники собрала каждая из девочек, если М аш а собрала на 4,6 кг меньше Лены? 9. За телевизор и СБ-плейер заплатили 5076 леев. Сколько стоит СБ-плейер, если он на 950 леев дешевле телевизора? 10. Периметр квадрата на 2 1 м больше длины его стороны. Найдите площадь квадрата. 11. Фермер продавал на рынке гогошары и сладкий перец. Цена гогошаров в два раза больше цены сладкого перца. Сколько стоит килограмм гогошаров, если за проданные 52 кг гогошаров и 76,5 кг сладкого перца фермер выручил 1 083 лея? 2 12. Петя проехал 5 горки на ногах, а потом упал и еще 8,4 м проехал на спине. Чему равна длина горки? 13. Учащиеся ежедневно следили за температурой воздуха в период с 15 по 19 апреля. Они установили, что в среднем температура воздуха в эти дни была 17,5°С. Какой была температура воздуха 15 апреля и 19 апреля, если ежедневно она повышалась на 1,5°С? а А ч аа чем * с 14. Маленький Мук и Королевский Скороход соревновались в беге на дорожке длиной 30 км, которая проходила вокруг большого луга. По условиям состязания выиграет тот, кто обгонит другого, пробежав на один круг больше. Скороход пробегает круг за 10 минут, а Маленький Мук - за 6 минут. Оба стартуют одновременно из одного и того же места. Через сколько минут Маленький Мук победит? 148 Глава 3 Задания Эля осмысления 1. Что называется дробью? Какое число называется смешанным? 2. Какие виды дробей вы знаете? Какие дроби называются равными? 3. В чем заключается основное свойство дроби? Что значит сократить дробь? 4. Что надо сделать, чтобы выделить целую часть из дроби? Приведите примеры. 5. Как сложить дроби с одинаковыми знаменателями? А с разными знаменателями? 6. Как сложить смешанные числа? 7. Что общего у действия вычитание дробей и действия сложение дробей? Обоснуйте ответ. 8. Как выполнить умножение двух дробей? А двух смешанных чисел? 9. Есть ли у числа 0 число, ему обратное? Какое число обратно самому себе? 10. Как найти дробь от числа? 11. Как найти число по данному значению его дроби? 12. Из каких частей состоит десятичное число? 13. Как сравнивают два десятичных числа? 14. Как выполняется сложение десятичных чисел? А вычитание? 15. Как выполняется умножение десятичных чисел? Возведение в степень с натуральным показателем? 16. Какие виды периодических десятичных чисел вы знаете? Приведите примеры. 17. Приведите примеры применения десятичных чисел из разных областей: физики, биологии, географии, истории, экономики и т. д. 18. Как обратить периодическое десятичное число в дробь? 19. Объясните включение N с Ж с 20. Какие свойства модуля рационального числа вы знаете? 21. Какие виды записей рациональных чисел вы знаете? 22. Как выполняется сложение рациональных чисел? Вычитание? А умножение? Деление? А возведение в степень с натуральным показателем? 23. Какие свойства действий рациональных чисел вы знаете? 24. Как вычисляется среднее арифметическое чисел? Рациональные числа 149 25. Приведите из повседневной жизни примеры применения среднего арифметического. 26. Каков порядок выполнения действий и какова значимость скобок в вычислениях с рациональными числами? 27. Что значит решить уравнение на множестве ^ ? I Упражнения и задачи на повторение ■ ------------ 1. Вычислите: г) 1 3 2 7 3 ’ 2. Вычислите: а) 11 2 1 ) 8 . 5 1. д) 15 5 673 ; ч 7 ^ 5 а) 12 + д) 4,32 - 2-2; »!Н ; ■>- 5 | ( - 3 8 б) 15 - 3 . 16 4 ; 1 в) ■ 3 + _2_- 14 21 е) 18+(-1,15); в) - 5п 2? ; 1 7 ж) - 4 8 :2 Т6; ж) . 0 - ( 5 + 4 - ч 12 ( 2 6 Л г) - 13 7 з) ^ :1-4 ' 27 3. Найдите значение выражения: 7 а) 3! I -3 ,5 1 + ■2 3 3 б) | -6,4 | - + | -0,625 | - 32 4. Во дворе росло 70 роз, — из котороых были красного цвета. Сколько роз красного цвета росло во дворе? 5. 12 учеников из 6 „А “ класса занимаются спортом. Сколько учеников 3 учатся в этом классе, если те, кто занимается спортом, составляют от 8 учеников всего класса? 6. Впишите числа, чтобы получить истинное высказывание: а) : 0,07 = 5; б) ■ 0,8 = 5,6; в) 0,2 : = 4; г) -6,1 ■ = 1,83; д) -4,06 : = -0,203; е) ■ 5,3 = -6,413. 7. Расположив в порядке возрастания числа, вы узнаете фамилию автора следующих слов: „ Никто не научился думать, читая чужие мысли. Можно научиться думать, только думая самостоятельно “. 1,(2) 101 100 5 4 1,06 2 3 К М У Э (1,1)2 С Е V V Н И 5 150 Глава 3 ■ --------------------------------------------------- 8. Вычислите рациональным способом: 3 3 3 3 1 3 а) 4 1! + Д ь 3 - Д Д б) 4 1 -5 + 35 -5 + 11 5 ) 9 8 9 8 3 8' 9. Найдите значение выражения: а) | 16,5-13-9-1Ц- + 2,2| - у ! 1+ 3 Ц ; 10. 11. б) Д - 23 17 49 . 22 ' 147 На птицефабрике выращивают кур, уток и индюков. Количество уток составляет 0,42 коли9 чества всех птиц, а количество индюков - 28 количества всех уток. Сколько всего птиц на этой птицефабрике, если индюков 54? Лист картона прямоугольной формы, длина которого 41,3 см, надо разрезать на два прямоугольника равной ширины так, чтобы длина одного из прямоугольников была на 3,7 см больше длины другого. Какой будет длина каждого из прямоугольников? 12. Решите на множестве ^ уравнение: а) | х | - 1,3 = 1,2; б) 1 5 - |х |= - 9 ; г) | х +1,3 |= 2; д) | х - 0,161 = 0,16; в) |х | + 3,7 = 7; е) | 2 ,6 - х |= 5,1' 13. Турист проходит расстояние от пункта А до пункта В и обратно за 3 ч 41 мин. Дорога (см. рисунок) от пункта А до пункта В состоит из трех частей Скорость туриста на подъеме ке В подъем, равнинный участок и спуск. 4 км/ч, на равнине - 5 км/ч, а на спус6 км/ч. Расстояние между пунктами А и В составляет 9 км. Каково расстояние между пунктами С и Б? Рациональные числа 151 Итоговый тест I вариант 1. Даны числа: 2 1 4 2,3; 2 ; -1,25; 1-4; 2,5; 2,(3); - а) Впишите один из знаков сравнения (<, =, >), чтобы полученное высказывание было истинным: 2,3 О 2,(3). б) Выпишите противоположные числа. в) Выпишите взаимно обратные числа и обоснуйте ответ. г) Найдите среднее арифметичес2 I 1 I кое чисел: 5 ; -1,25; 2,5. 2. Выполните действия: ч .5 . 7 . а) 6 8 + 112’ в) А 1 16 ) _8_ 25 : 11 7 б) " 12 + 8 ’ ) 5 . 1 г ) -7:114- 4 3 3 3 3 А длины сто3. В треугольнике АВС длина стороны АВ равна В 72,6 м и составляет роны АС. а) Найдите длину стороны АС. б) Зная, что периметр треугольника АВС равен 300 м, найдите длину стороны ВС. в) Три новых дома расположены в вершинах треугольника АВС. К дому в вершине С проведен интернет. Требуется проложить кабель от дома в вершине С к домам в вершинах А и В. Существует два проекта: 1) по отрезкам СВ и СА; 2) по отрезкам СА и АВ. Какой проект более выгодный? Сколько метС 3 4 I Время выполнения работы: 45 минут II вариант 1. Даны числа: 5 3 3,6; 5; 2,75; -23;1,6; 3,(6); 1,3. 8 4 а) Впишите один из знаков сравнения (<, =, >), чтобы полученное высказывание было истинным: 3,6 О 3,(6). б) Выпишите противоположные числа. в) Выпишите взаимно обратные числа и обоснуйте ответ. г) Найдите среднее арифметичес3 кое чисел: - 2 ; 1,6; 1,3. 4 2. Выполните действия: , . 8 , 4 а) ^9 + 3Т5; 7 5 б) - 16 + 24’ в) 12 35 51 6 ) г) 11 12 С _7 15' В четырехугольнике АВСБ длина стороны АВ равна 2,1 км 7 и составляет 8 длины стороны АБ. а) Найдите длину стороны АБ. б) Зная, что ВС = 1,8 км, а периметр четырехугольника равен 7,55 км, Найдите длину стороны СБ. в) Дом Ани находится в вершине А четырехугольника АВСБ, а школа - в вершине С. От дома Ани до школы можно доехать двумя троллейбусными маршрутами: 1) от остановки в пункте А до В и от В до С; 2) от А до остановки в пункте Б и от Б до С. Какой маршрут короче и на сколько километров? ров кабеля можно сэкономить? Схема оценивания теста О ц ен ка 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 С ум м а баллов 27-26 25-24 23-21 20-17 16-12 11-8 7-6 5-4 3-2 1-0

Множество рациональных чисел

3.1. Понятие рационального числа ИссдеЭуемиузиэем • Петя увидел на мамином рабочем столе один из бухгалтерских документов - еженедельный отчет. Заметив записи, он удивился, потому что был знаком только с целыми отрицательными числами. Поразмышляв минуту, он построил числовую ось. Отметил на этой оси сначала точку А(2,5). Затем построил слева от начала отсчета О отрезок ОВ, конгруэнтный отрезку ОА, и записал В(-2,5). В — I— -2,5 О А —I— 0 1 2,5 Числа -2,5 и 2,5 являются противоположными. Числа, противоположные положительным десятичным числам, являются отрицательными десятичными числами. 'Практическая работа ® Постройте числовую ось и обозначьте начало отсчета точкой О. ® Отметьте на этой числовой оси точки: М ' 1 Л V2 / N ' 1 Л V4 / Б ' 3 Л 2 С ' 3 Л 4 Постройте слева от точки О отрезок ОВ, конгруэнтный отрезку ОМ. Запишите координату точки В. ® Отметьте на этой же числовой оси точки: К ' 3 ^ "4 Е ' 3 ^ "2 О ' 1 ^ 4 ® Определите пары противоположных чисел. тт 1 1 3 3 Числа - 4 ; - 4 ; - - 4 являются отрицательными числами. Рациональные числа 117 вспомним Выберите из множества ^5; 1 |; - 5 ; 2,3; -21; 21,1; - | ; -3 ; -0,7^: 3 1 5 -• — • 2 3' - 21 211- - — 8 ; 5 ;2,3; 21;21,1; 3 а) целые числа; б) дроби и смешанные числа; в) десятичные числа. Решение: Целые числа 5 -21 -3 5 - 21 - 3 1 1 1 Дроби и смешанные числа 3 1 8 1 5 5 3 11 -1 - 5 8 5 3 Десятичные числа Все эти числа являются рациональными числами. Ф возьмите на заметк Число называют рациональным, если его можно записать т_ п * в виде , где т е Ж, а п е N . Множество рациональных чисел обозначают через Множество неотрицательных рациональных чисел Множество неположительных рациональных чисел Множество ненулевых рациональных чисел N с Ж с ^ Решаем • Впишите одно из множеств ^ +, ^ -, Ж*, чтобы получить истинное высказывание: а) 2 е Н ; б) - - 8 ; в) - 2 ё ; г) 0 ё . 118 Глава 3 1 1 а Т ® ^ С 7 у * Т е Р ® *111® - Долгое время рациональные числа не имели названия. Они получили свое название только после того, как появились другие виды чисел. Древнегреческие математики обнаружили, что для измерения длины диагонали квадрата со стороной, равной 1, недостаточно только целых чисел и дробей. Неизвестные новые числа назвали иррациональными, а уже известные - рациональными числами. 3.2. Модуль рационального числа. Свойства |- 2 | |3 | г н---------- \ ~^!-- —I--- -2 0 |- 2 |= 2; |3 |= 3 Исследуем и узнаем 3 4 Ж |1,5| = 4 ; 11,5 | = 1,5 1,5 Возьмите на заметк Расстояние от начала отсчета (точки О) до точки А(а), а е ^ , называется модулем (или абсолютным значением) рационального числа а и обозначается как | а | . 3 0 Проанализируйте и заполните пропуски: 2 3 : | -0 ,0 1 1 = | 5,3 | = 5,3; | -5,23 | = 7 возьмите на заметк Для любого рационального числа а верно: а, а > 0 | а | > 0 • | а | = < 0, а = 0 - а, а < 0 13 |0 | = | - а | = | а | Рациональные числа 119 3.3. Виды записей рациональных чисел Исследуем и геиаемИ Ц Миша записал числа 11 ; 1 0 ; 1,25 и сказал одноклассникам, что все 4 8 эти числа представляют одно и то же рациональное число. Он объяснил это следующим образом: 14 =■ 1-4 +1 _ 5 10 _ 1 0 :2 _ 5 1 2 5 _125 _125:25 _ 5 4 4 ; 8 8 :2 4 ; ,2 100 100:25 4 Рассмотрите и заполните пропуски: 1) Запишите десятичное число в виде дроби: а) 3,16; б) 10,035. I способ 16 4 79 а) 3Д6 _ 3Т0О _ 3 25 _ 25- б) 10,035 = 10— = 10— = — . II способ а) 3,16 = 3 16 _ 316 _ 79, 100 100 25 35 б) 10,035 = 10 = — = — . 2) Запишите дробь в виде конечного десятичного числа или периодического десятичного числа: ) 13 б) 17 а) У б) - 2 5 ; 13 а) У _ 2 в) - 3 ; 1,625 Выполняем деление 1 3I 8 8 1 ,6 2 5 50 48 _ 20 1 6 40 40 0 2 в) - 3 = - Выполняем деление 0,(6) 2, 0 20 - 18 20 - 1 8 0,66.. Л 20 11 г) У б) - ^ = -■ 1 25 Выполняем деление 11 г) У _ ■ Выполняем деление 17 25 0, 170 11 1, Глава 3 0 6 0 0 120 *? I л Возьмите из заметку ф Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей, кроме 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде конечного десятичного числа. ф Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители, отличные от 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде периодического десятичного числа. 3.4. Сравнение рациональных чисел изем Ц| Олег с Мишей помогли дедушке вскопать участок. Олег вскопал 0,4 3 участка, а Миша - участка. Кто 8 из внуков вскопал большую часть? Решение: 3 Сравним числа 0,4 и . 8 I способ 4 2 0,4 = 4 =2 2 5 16 40 10 ♦ 5 3 8 15 40 > 1 ? ' II способ 3 3 = 0,375 0,4 0,375 _Г 'Л 16 > 15 Ответ: вскопал большую часть. возьмите из ззметк Положительные рациональные числа сравниваются так же, как положительные дроби или положительные десятичные числа. Рациональные числа 121 Сравните числа: ) 7 9 . а) ~ п и - Т6- б) 0,(23) и - Ц , Решение: 7 12 а) - н меняем _9_ 16 12 А _9_ 16 А в) - 7 8 и 0. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль7 7 знак 9 которого меньше. 12 16 б) 0,(23) > - 19 в) - 7 8 < 0 Любое отрицательное число меньше любого положительного числа или нуля. 7 3.5. Округление рациональных чисел ф В свой день рождения Аня узнала, что на почте ее ждет посылка, которую ей прислала ее подруга из Англии. Посылка весит 3 фунта. Нужна ли будет Ане помощь брата, чтобы принести посылку домой? Решение: +1 1 фунт = 0,45359237 кг » 0,5 кг округляем до десятых 0,5 • 3 = 1,5 (кг) 3 фунта «1,5 кг. Ответ: Аня сможет сама принести посылку домой. 122 Глава 3 Исследуем и узнаем а) 5,2 5,27 +1 5,27 « 5,3 5,3 х б) в) + 0,14 0,13 3 0,133 -0,13 = - 0,13 х 4 7,4 7,45 7,5 7,45 « 7,5 возьмите на заметк х —I— -7,5 + + ■7,4 7,45 -7,4 х 45 « -7 ,4 ® Округлением рационального числа до заданного разряда является число этого разряда, расположенное на числовой оси более близко к данному рациональному числу. ® Если рациональное число равноудалено на числовой оси от двух последовательных чисел одного и того же разряда, до которого выполняется округление, то округлением будет большее из них. Решаем Рассмотрите и дополните таблицу: Рациональное число Округление до целого до десятых до сотых 0,813 1 0,8 0,81 2 1 9 40 -1,365 -1 -1,4 -1,36 -22,727 0,1(8) 0 0,2 0,19 - 4 ■ 128 ______________ 4 Рациональные числа 123 3.6. Сложение и вычитание рациональных чисел Решаем Ц Вертолет сначала снизил высоту на 50,6 м, а затем поднялся на 102,3 м. Как изменилась высота полета после таких маневров пилота? Решение: - 50,6 +102,3 = +51,7 (м). Ответ: Высота полета увеличилась на 51,7 м. 7 /% Выполните Решение: а) действия: + ■ ч 1 + 5. а) - 3 + 6 ’ б) 1 3 1 "э _ 1 3 0 ,5 = 1 Ь6 = 2 _ 1 = 3 1 2 Л _ 1 + 5 3 6 5 _ 2 6 6 = 1 2 3 6 1 2 б) _ 0,2 + (-1,4). + (_1,4) + 0,2 0 | - 0 ,2 1 = 0,2 |- 1 ,4 |= 1,4 0,2 +1,4 = 1,6 - 0,2 + (-1,4) = -1,6 возьмите на заметк ® Чтобы сложить два рациональных числа с одинаковыми знаками, надо сложить их модули и поставить перед полученным результатом их общий знак. 1 + - 5 = - 8 = - 4 = - 1 1 2 1 6 6 э э 0 ,2 5 + 4 = -4+ 4 = 2 . 4 4 4 2 5 6 ® Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля вычесть меньший; 2) поставить перед полученным результатом знак того числа, модуль которого больше. - 31 + — = - 7 + — = - Э 4 2 10 / 1 0 ’ 124 Глава 3 ^ Выполните действие: а) -12,78 - 8,56; Решение: 5 ( 7 Л б) - 5 1 2 а) -12,78 - 8,56 = = -12,78 + (-8,56) = 4 б) - ? - 12 - 5 + А : 9 12 36 + 36 ' Розьмите на заметк Чтобы выполнить вычитание двух рациональных чисел, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - Ъ = а + {-Ъ). Замечание. Сумма и разность двух рациональных чисел есть число рациональное. 3.7. Свойства сложения №итш.'1цу!М1и Га *Т а в л ^а ! Ц Заполните таблицу: а ъ а + Ъ Ъ + а 2 1 3 5 4 - 0,4 - 2,7 ________ В • Вывод: а + Ъ = /X Заполните таблицу: а ъ с а + (Ъ + с) (а + Ъ) + с 1 3 5 3 4 6 - 0,03 - 0,75 - 0,25 _________4 • Вывод: а + {Ъ + с) = (Ц Выполните действие: а) п + 0 = • Сделайте вывод. ^ Выполните действие: а) - 1 7 + 1 7 = • Сделайте вывод. б) - 7 + 0 = б) 0,31 + {- 0,31) = в) 0 + {- 0,15) = ) А + ( - А Л 13 [ 13/ Рациональные числа 125 Ододшаем Свойства сложения рациональных чисел 1° Сложение рациональных чисел коммутативно: а + Ъ = Ъ + а, для любых а, Ъ е 2° Сложение рациональных чисел ассоциативно: а + (Ъ + с) = (а + Ъ) + с, для любых а, Ъ, с е 3° Число 0 является нейтральным элементом сложения рациональных чисел: а + 0 = 0 + а = а, для любого а е 4° Для любого рационального числа а существует только одно противоположное ему число, равное -а, причем а + (-а) = -а + а = 0. Завершите вычисление: а) - 15+ + 4 15 : - ± + - 4 + ( - 1 Л 15 15 7 V : 0 + ( \ 7 б) (0,01 + (-3,2)) + 3,2 = 0,01 + ( + ) = 0,01 + 1 3.8. Раскрытие скобок СЦ| Выполните действие: а) 7,1 + (2,9 + 3,1); б) 7,1 + 2,9 + 3,1; в) 6,3 + (-5,3 + 2,2); г) 6,3 - 5,3 + 2,2. Завершите решение и сравните полученные результаты: а) 7,1 + (2,9 + 3,1) = 7,1 + = ; б) 7,1 + 2,9 + 3,1 = а + (Ъ + с) = а + Ъ + с, для любых а, Ъ, с е Завершите решение и сравните полученные результаты: в) 6,3 + (-5,3 + 2,2) = 6,3 + ( ) = ; г) 6,3 - 5,3 + 2,2 = а + ( - Ъ + с) = а - Ъ + с, для любых а, Ъ, с е Ододшаем При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак плюс (+), знаки слагаемых, стоящих в скобках, сохраняются: + (а - Ъ + с) = а - Ъ + с. 126 Глава 3 <ТХ Вычислите: - 1 + |^ --2 - 2^. Проанализируйте и закончите решение. - 2 + | - ! - 2 Ь 2 • 3 • 2 = Ш 2 = Ш Исследуем и узнаем (Ц Вычислите: а) 5 1 -9 6 Г 6 б) ! + 6 + 9 в) 0,03 - (0,03 + 2,72); г) 0,03 - 0,03 - 2,72. Завершите решение и сравните полученные результаты: а) 6 - Г - 6 - 9 V 5 - <■ >= б) 5 + 6 + 9 = + 9 = а - ( - Ъ - с) = а + Ъ + с, а, Ъ, с е в) 0,03 - (0,03 + 2,72) = 0,03 - = ; г) 0,03 - 0,03 - 2,72 = - 2,72 = . а - (Ъ + с) = а - Ъ - с, а, Ъ, с е Ододшаем При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус (-), знак каждого слагаемого, стоящего в скобках, меняется на противоположный: - (а + Ъ - с) = -а - Ъ + с. Вычислите: 0,1 - (-0,9 +101). Проанализируйте и закончите вычисление: 0,1 - (-0,9 + 101) = 0,1 + 0,9 101 = 101 = . Рациональные числа 127 3.9. Умножение и деление рациональных чисел Исследуемиузнаем ^1 Температура тела летучей мыши может опуститься до -6,6°С. Найдите, до скольких градусов может опуститься температура тела ящерицы, если известно, 2 „ что она составляет — от минимальной температуры тела летучей мыши. Решение: 22 44 22 2 66 2 44 6-6 'з = - То'з = - То = - 4 -4 ф (градусов). Возьмите на заметк Произведение двух рациональных чисел а и Ъ положительно, если числа а и Ъ одного знака. (+)■(+) = + (+)■(-) = - (-)■(+) = - (-)■ (-) = + Произведение двух рациональных чисел а и Ъ отрицательно, если числа а и Ъ разного знака. •Применяем^ 3 Вычислите: а) -1,2 ■ (-17,5); б) - — ■1-9. Проанализируйте и закончите вычисление: а) -1,2■ ( 17,5) =Ш • = ; 3 7 3 б) - 4 ^ 9 = - 4 Замечание. Произведение двух рациональных чисел есть число рациональное. Исследуем и узнаем Днем температура воздуха была -8,5°С, что составляет 6 температуры, которая была ночью. Какой была температура воздуха ночью? Решение: - 8,5 | = -8 ,5 | Ответ: -10,2°С. , 17 ■ = -1 0 ,2 (градусов по Цельсию) 10 5 128 Глава 3 ф Розьмите на заметк Ч астное двух р ац и о нальных чисел а и Ь положительно, если числа а и Ь одного знака. (+) (—) 1 8 +) Т +) т и и и и + + 1 11 'ПрименяемД Э Вычислите: а) —1-3. ( 5 I - 21, 5 Частное двух р ац и ональных чисел а и Ь отрицательно, если числа а и Ь разного знака. б) 0,2: (-1,1). Проанализируйте и закончите вычисление: а) 1з . ( ________ . а) V [ 21)~ - . б) 0,2: (-1,1) - —Н : = Н . Замечание. Частное двух рациональных чисел есть число рациональное. 3.10. Свойства умножения Исследуем и узнаем В АРА ! Ц Заполните таблицу: а Ь а ■ Ъ Ъ ■ а -0,8 1,5 1 3 3 7 1 -1,23 9 17 1 _________ \ Вывод: а ■ Ь- Н ■ ; а 4 - 1 а — Подставьте вместо а, Ь и с произвольные рациональные числа и проверьте формулы: а ■ (Ь ■ с) — (а ■ Ь) ■ с, для любых а, Ь, с е ^ ; а ■ (Ь + с) — а ■ Ь + а ■ с, для любых а, Ь, с е ^ ; а ■ (Ь — с) — а ■ Ь — а ■ с, для любых а, Ь, с е ^ . Рациональные числа 129 7 ■Л, Розьмите на заметк Свойства умножения рациональных чисел 1° Умножение рациональных чисел коммутативно: а ■ Ъ = Ъ ■ а, для любых а, Ъ е ^ . 2° Умножение рациональных чисел ассоциативно: а ■ (Ъ ■ с) = (а ■ Ъ) ■ с, для любых а, Ъ, с е ^ . 3° Число 1 является нейтральным элементом умножения рациональных чисел: а ■ 1 = 1 ■ а = а, для любого а е ^ . 4° Умножение рациональных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания: а ■ (Ъ ± с) = а ■ Ъ ± а ■ с, для любых а, Ъ, с е ^ . Из свойства 4° следуют правила вынесения общего множителя за скобки и раскрытия скобок. Вынесение общего множителя а ■ ( Ъ + с ) = а ■ Ъ + а ■ с Раскрытие скобок Вычислите рациональным способом, применив свойства умножения: а) - 5 ■ 13 ■ 5 ; б) - 2,7 ■ 0,54 - 2,7 ■ 0,46; ч 3 в) - 4 4 - 8 3 9 Проанализируйте и закончите вычисления: 7 13 = • ) - 5 7 6 = - 5 6 7 _ а) 6 ■ 13 ■ 5 6 ■ 5 ■ 13 б) Выносим общий множитель -2,7: - 2,7 ■ 0,54 - 2,7 ■ 0,46 = -2,7 ■ (0,54 + 0,46) = -2,7 ■ в) Раскрываем скобки: 3 9 V 7 - 3 4 + 3 8 = 4 ^ 3 + 4 ^ 9 + - + - Всезнайка применяет свойства умножения для выполнения быстрых вычислений: Попробуйте и вы: ( ш \ 2 |- 6 = + - V 2 35 ' 5 = 2 3 + 5 ■ 5 = 15 + 2 = 17 12 1,5 = 12 ■ (1 + 0,5) = 12 + 6 = 18 Всезнайка 6 = + 7 14 ■ 2,5 = 14 ■ ( + ) + 130 Глава 3 3.11. Степень рационального числа с натуральным показателем рспомии^ ^ ф Сотрудникам одной фирмы предложили оригинальный метод оплаты труда: за один час работы в день - 2 лея. Каждый следующий час - оплата удваивается. Какой будет дневная оплата сотрудника фирмы, если он проработает 8 часов? Решение: 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 28 = 256 (леев). Ответ: 256 леев. Найдите, какую сумму денег потеряет сотрудник, если он уйдет с работы на час раньше. показатель степени Читаем: степень Два в восьмой степени. основание степени (1,5)3 = 1,5 • 1,5 • 1,5 = 3,375; ' 2 * V 3 У 2 2 2 2 = 16, 3 3 3 3 81 (-2 )5 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32. Ф Розьмите из ззметк Степенью рационального числа а с натуральным показателем п, п е Ы*, называется произведение п множителей, каждый из которых равен а: ап = а - а а . . . - а '------------- V------------- ' п р а з Га * т а в а ^а ! Определите знак степени: (-1,73)4 0; 1 0 а = а а = 1 а е ^ а е ^* 00 - не имеет смысла 1 Л6 0; >'*г ' / Г 7 V V 9 7 ( - 0,03)3 0. Сделайте вывод 0 5 Рациональные числа 131 Решаем Рассмотрите и заполните таблицу: Произведение Степень Основание степени Показатель степени Значение степени (-0,2) • (-0,2) • (-0,2) ( - 0,2)3 -0,2 3 -0,008 1 1 1 1 з'з'з'з 2 3 4 ( 1 2 ) Ф Розьмите на заметк В выражениях без скобок возведение в степень является приоритетным. 2 3 1 2 9 - 6 Т ' Т в + - 2 4 V 3.12. Среднее арифметическое Исследуем и узнаем 131 Чтобы составить распорядок дня, Даша записывала в течение недели время, необходимое для выполнения домашней работы. Сколько времени, в среднем, в день тратит Даша на выполнение домашней работы? Решение: 13 + ‘-5 + 2 + 12 + ‘-5 = 1,5 (часа). Ответ: 1,5 часа. день недели &^емл • (б часах.) Лонедельник /.3 вй орн и к '■* С(1еда 2 1 ,2 Л лЯ ница / .5 132 Глава 3 Чтобы ответить на вопрос задачи, мы вычислили среднее арифметическое чисел, данных в таблице. й Розьмите на заметк Средним арифметическим рациональны х чисел ах, а2, а3, ап называется результат деления суммы этих чисел на число слагаемых: а„ а, + а2 + а3 + ...+ а 1___ 2___3______ п_ п Всезнайка изобразил с помощью графика изменение температуры воздуха в муниципии Кишинэу за первые 10 дней марта (см. рисунок). Какой, в среднем, была температура воздуха за эти 10 дней? Решение: г = 1 + (-2) + (-1) +1 + 0 + 3 + 2 + 2 + 5 + 4 = (°С) Ответ: °С. ГА «ТА В АГА » {Ц а) Найдите среднее арифметическое ат чисел 2,7 и -1,3. б) Отметьте на числовой оси точки А(2, 7); В(-1, 3) и С (ат ). в) Где на отрезке АВ расположена точка С? Сделайте вывод. Упражнения и задачи I □ □ ■ 1. Отметьте на числовой оси точки: А(2); В(-1,5); 7 3 1 2. Запишите числа, противоположные данным: 5,1; -0,25; - ; 1 ; 2,7; - 3 . 8 7 9 3. Найдите: а) -а, если а е {-3,1; 15 ; -2,03; 0}; б) Ъ, если - Ъе | -6,2; з | ; -0,1; | | | ; в) - ( - с), если с е | | | ; -1,3; -2,52; 0^ Рациональные числа 133 4. Перечертите таблицу и впишите в каждую ячейку знак е , если точка принадлежит указанному множеству, или знак ё , если точка не принадлежит этому множеству: -3,5 >6 -21 37 0 7 11 0,003 N 2 * <з+ ©- 5. Запишите все целые числа, расположенные на числовой оси между числами: 2 1 15 8 а) 3,7 и 5,1; б) -0,135 и 1,02; в) - 1 ^ и 1^^; г) - — и 3 . 6. Найдите модуль числа: 1 о г! (1 а) 1,3; б) - — ; в) -0,25; г) 1 -; д) 9 ; е) -4 — 7. Найдите | а |, если: 31 2 а) а = -2,3; б) а = — ; в) а = - 7 ^ ; г) 0,75. 8. Найдите значение выражения: а) | - 7 ,2 1 + 1 3,41 ; б) | -1,7 | - 1 -0 ,8 1 ; в) | -1 ,6 1 • | - 6 ,4 1 ; г) 12 + 3 . 16 ; д) 5 3 6 20 е) | -56 | : | 0,7 | . 9. Запишите десятичное число в виде несократимой дроби: а) 12,2; б) 0,25; в) 0,05; г) -3,08; д) 0,875; е) -0,48; ж) -1,92; з) 0,375. 10. Запишите десятичное число в виде смешанного числа: а) 1,5; б) -3,2; в) 5,25; г) -3,125; д) -7,005; е) 4,0125. 11. Запишите дробь в виде десятичного числа: ) 7. б) 3. ) 4. ) 18. ) 11. а) 2 ; б) 4 ; в) Т ; г) — ; д) — ; 4 5 12. Дано множество: М 5 = Г5 . _7. _ 3 . _6_. 17.131 = [ 8 ; 12; 25 ; 11; 5 0 ; 30}. 4 17 13 30 е) 2 > ; ж) 25' а) Определите множество А, А с М , состоящее из дробей, которые можно записать в виде непериодического десятичного числа. б) Запишите элементы множества А в виде десятичного числа. в) Определите множество В, В с М , состоящее из дробей, которые можно записать в виде периодического десятичного числа. 134 Глава 3 г) Запишите элементы множества В в виде периодического десятичного числа. д) Определите, какие из высказываний истинны, а какие ложны: 1) А П В = 0 ; 2) А ^ В = М . 13. Заполните таблицу: 14. Сравните числа: а) -1,1 -1,09; >* 0 % б) 5 7 г) 2,67 _ _ 9 ; 14 ; 2,(6). 4,9; 2-3; 2,3; -4,901; _ 2,3; в) 0,2 0,2011; 15. Расположите в порядке возрастания чйсла: -2,6; 0. 16. Расположите в порядке убывания чйсла: 3 14 -3,7; 0; 5,11; _ 3 | ; 0,1(2); 0,12; 512:5. 17. Впишите такую цифру, чтобы получить истинное высказывание: а) -2,02 < -2 ,И 1; б) -3,4Д 6 > -3,415; в) -1 1 ,1И < -11,18; г) -2 ,09 < -27,1. 18. Между какими последовательными целыми числами на числовой оси расположено число: 3 9 а) 5ТТ; б) _ 213; в) -9,3; г) _ п | ; д) 0,324; е) -0,12? 19. Учитель записал на доске несколько примеров на сравнение, но на перемене кто-то из учеников стер некоторые цифры. На уроке учитель сказал, что данные числа можно сравнить, не восстанавливая примеры. Сравните: а) -3,3 и -3,2^ ; б) -0,518 и -0,517 ; в) -^ М и °; г) - ^ и к Мг. -3,3 -3,2 -0,518 0,517 0 Рациональные числа 135 20. Впишите необходимый знак сравнения: а) | -1 ,6 1 0; в) 1,56 | -1,56 |; б) г) -0,09 _ 3. 8 ; | - 0,0011. V - 15,23 км/мин а) До какого разряда округлили средние скорости самолетов, изображенных на рисунке? б) Найдите средние скорости самолетов в км/ч и округлите полученные результаты до целых. 22. Округлите: а) до десятых чйсла: 3,46; -2,17; 0,052; -1,65; 2,(3). б) до сотых чйсла: 25,729; -31,047; -0,171; 6,725; 4,3(6); 4,(36). 23. Перечертите и заполните таблицу: Число Округление числа до целых десятых сотых 2,365 -1,884 -61,753 0,6(4) И 2,(17) _________ ] 24. Впишите такую цифру, чтобы получить истинное высказывание: а) 21,5 - 21,6; б) -3,92 - -3,92; в) 71,0 - 71,1; г) -5,2 - -5,3. 25. Вычислите: а) _ 4,1 +1,6; ) А _ А д) 15 10; и) _ 312 _ 1 4 6 н) _ 2 4 _ 2 ^ - 35 ' б) 2,8 - 5,5; ч 1 + 2, е) - 4 + 5 ; 3 7 к) - 2 8 - 1Т0; о) 3 9 - 1 12; в) - 2,3 -1,4; , 3 20 ж) - 7 - 2 Т л) - 5 4 + 18 п) 2 ! - 3| ; г) 4 - 5,9; ч 5 3. з) 6 8 ; 3 9 м) 4 ^ - 814; 3 7 р) - 1 3 + 2 1 . 136 Глава 3 26. Выполните вычисле- 2,3 + ния по схеме: V / + -11,02 20,41 + - 4,3 27. Восстановите цепочку вычислений: 0,04 -20 Г Л +10,6 - 1-01 +0-57 -0,2 28. Вычислите: 30. Вычислите рациональным способом: 2 (1 5 ^ а) - 3,72 + 5,26 + 2,72; б) 3 + 3 - 1 ; 3 V3 12) в) (0,39 -10,56) +10,56; г) - 3,78 + 9,84 +1,78 - 20,84. Рациональные числа 137 31. Раскройте скобки и выполните действия: а) - 3,8 - (-8,1 + 3,9); б) 7,5 + (-8,4 - 2,1); в) - 7 - ' 8 14 - 1 4 2 г) 4 - ' 9 - 1 1 + 9 д) - 8,76 - (-3,25 -10,76); ) 9 ( 11 5 ^ Ж) - 2 0 - [ - 2 0 - 6 ; е) - 6,19 + (-1,5 + 5,19); з) Л + А - ( А - А ^. '2 8 18 [ 28 18 32. Вычислите: а) -1,2 • (-0,8); г' ! - ( - « 2 ) б) -12,5 • 3,6; ' 5 ^ д) 1,2-I - 8 ’ ( А в) - 5,6 - - 3 V 7 2 2 е) - 4 2 -1 2 . 7 3 7 а) - 2,4: 0,8; г) - 4А А . г) 515’ б) 8,4: (-0,42); д) в) - 8,64: (-1,2); ( - 5 "7 ' <м| т 7 ; V 7 ) е) - 0,78: 3 5 36. Сколько стоит 1 кг печенья, если за 5 кг заплатили 52,5 лея? 6 37. У дедушки Вани есть 5 ульев. Со всех ульев он собрал 182,5 кг меда. Сколько килограммов меда в среднем собрал дедушка с одного улья? 38. Вычислите рациональным способом: а) 0,4 - 3,56 - (-2,5); б) 0,2 - (-12,51) - 5; в) 3,6 - 0,03 + 6,4 - 0,03; г) -12,3 - 0,054 + (-12,3) - 0,054. 5 138 Глава 3 39. Вынесите общий множитель за скобки и найдите значение выражения: 2 ( 2 Л а) - з • 0,4 + 1 - з • 0,6; в) 2,7 1,9 - 3,7 1,9; 40. Запишите в виде степени: а) 1 1 1 • 1- а) 3 3 3 3 ’ б) 3 6 + 3 ( 1 ^ б) 5 ^ 7 + 5 | - 7 ] ’ г) 1,4 • 0,9 -1,4 • 5,9. б) (-1,3) • (-1,3) • (-1,3); в) 3 ^ 5 ( 3 ^ 5 ( 3 ^ 5 41. Истинно или Ложно? а) (-2,1)2 = (2,1)2; / г) V > 0; б) (-5,3)4 = -(5,3)4: д) (-25)3 < (-25)2; - 1 - 8 < 0; 42. Вычислите: ) ( 2 ^ ■ 8 а) ( э + 15; б) - 2 ) 16 в) ( - 6 V •15; г* ( 5 - I 43. Найдите среднее арифметическое числа: 1 3 а) 10,3 и 9,8; б) 1^ и 2 ; в) 3,8; 3,9; 4,3. 44. Вычислите среднее арифметическое ваших оценок за I семестр учебного года. Округлите результат до десятых. 45. В декабре Рома заплатил за использованные минуты мобильного телефона 22 лея, в январе - 31 лей, в феврале - 20 леев. Сколько платит в среднем в месяц за минуты на телефоне Рома? Округлите ответ до десятых. 0 46. Н а диаграмме представлены полугодовые затраты семьи Смирновых на питание. Сколько в среднем в месяц тратит семья на питание? леев 2100 2000 1900 1800 1700 1600 -- РР & РЭ х Рч РЭ «и н РчсЗ 2 <и Р. X сЗ сЗ 2 месяц Зн Рациональные числа 139 ■ -------------------------------------- 47. Перечертите числовую ось: ( Ь 4 5 У4 С:(2) Е К(-1 ) в Определите и укажите начало отсчета данной оси, единичный отрезок, координаты точек О, Ь, Е, А, В, Е. 3 1 48. Даны числа: 5,7; -7,3; - —; 7 3 ; -0,02. Запишите: а) противоположные им числа; б) обратные им числа. 49. Дано множество: М = | - 4 2 ; -3,4; -2 ; -1; - 3 ; 0; Ц ; 2 — ; 3,75; . Определите множество А, А с М , если известно, что: а) А с 2; б) А с N1; в) А с ; г) А с ^ +; д) А с ^ - . 50. Запишите числа в порядке возрастания их модулей: 7 -3,5; 0; - 9 ; 0,7; -0,007; 1,3. 51. На числовой оси отмечены числа: а, Ъ, с и й. а < 0 7 ь Впишите соответствующий знак сравнения: Ъ й; с й; а с ; а Ъ; й 0; -а с; а 0; -Ъ й; -Ъ 0; 0 -а. 52. Найдите рациональное число а, если известно, что: а) | а | = 3,1; б) | а |= Ц ; в) | а | = 0; г) | а | = 2,(3); д) | а | = - 1| ; е) | а | = 0,99. 53. Отметьте на числовой оси чйсла, модули которых: а) 2,5; б) 2 ; в) 3 — . 54. Запишите числа в виде периодического десятичного числа: а) Й Г- б) 18' в) 2 1 5 ’ г) 9 3 140 Глава 3 55. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) -2 < < 2; б) 0,86 < < 0,862; в) 1,4 < < 1,5; ) 3 19 < < 3 18- ) 2 2 , ) 1 1 56. Даны множества: А = {х | х е Ж, - 1,2 < х < 3,7} и В = |х | х е Ж, - Ц < х < 153 Найдите: а) А I В; б) А ^ В. 57. Расположите числа в порядке возрастания: 7 0,466; 1 5 ; 0,4(63); 0,4637; 0,(46). 58. Сравните числа: а) 0,(545) Ц-; 2 б) - 2-2 ф -2,(212); в) - 7 8 ф -7,(72). 59. Истинно или Ложно? а) Если а > 2, то а > 0, а е б) Если а < 3, то а < 0, а е в) Если а > -10, то а < 0, а е * г) Если - 3,2 < а < -0,1, то а < 0, а е а . Для ложных высказываний приведите по одному примеру, показывающему, что высказывание не истинно. 2 60. Запишите каждое из чисел - 3 и -7,8 в виде суммы: а) двух отрицательных чисел; б) чисел с разными знаками. 61. Вычислите, переведя слагаемые в десятичные числа: 1 3 2 5 а) - 2-2 - 0,254; б) - 3 + 0,35; в) - 4,39 + 4 | ; г) 5 -1,1. 62. Подставьте вместо знак плюс (+) или минус (-), чтобы получить истинное высказывание: а) ( 0 , 9 ) + ( 3 , 7 ) = -2,8; б) ( 7 2 1 ^= - 2 . 63. Впишите пропущенное слагаемое, чтобы получить истинное высказывание: а) - 2,3 + (-7,7) + Ш = 0; б) 12 + ( - 3 1+ = 0. Рациональные числа 141 64. Найдите значение выражения, если известно, что а = -3,2 и Ъ = 1,8 : а) а + Ъ; б) | а | + Ъ; в) а + 1 Ъ |; г) | а + Ъ |; д) | а | + 1 Ъ |. 65. Сравните значения выражений | а | + 1 Ъ | и | а + Ъ |, если: 3 1 а) а = -2,8, Ъ = 1,3; б) а = - - , Ъ = - в) а = 7,1, Ъ = 4,8. Какими должны быть числа а и Ь, чтобы | а + Ъ |= | а | + 1 Ъ |? 66. Используя числовую ось, найдите расстояние между точками А и В, если: а) Д -3 ,7 ), Д -2 ,8 ); б) | я ( - - ± ^ ; в) А(-0,3), В(7,1). 67. Вычислите рациональным способом: а) А - 1 1 - А + А . ) 16 42 16 4 2 ’ б) - 4 + 1 3 + 2! - 4 в) -1,23 + 2,14 + 7,38 - 5,77 +1,62; г) - 9,39 + 0,74 -10,61 + 3,26 + 6,25. 68. Раскройте скобки и выполните действия: 5 Л ( 3 Л ( 4 а) 5 — 10,8 - 8 4 ; б) - ' 4 - - 8 + 7,6 8 V 7 5 \ 5 - - 6 9 12 V У + в) V4,8 - 5134 Н - 4 + 4 Л г) I 1- 1 1 - 2 - 3 - - 9 - ( 2 - 3 Л- 5 - 4 69. М агия чисел! 5 + 4 = 5 • -5; 4 4 3,5 +1,4 = 3,5-1,4; 3 +1,5 = 3-1,5. Найдите другие пары таких чисел. 70. Вынесите общий множитель за скобки и найдите значение выражения: а) - 4,8 • 8,9 + 8,9 • (-5,2); 6) -1,2 ( - 7 13 У- ( - 1’2) • 4 ; в) - 4 • 4 + V - 4 )• 4 5 10 3 г) - 32,3 • 7-10 + 213 • ( - 32,3). 2 71. Два муравья передвигаются по числовой оси. Первый муравей прошел расстояние от точки А(-7,2) до точки В(2,8) за 5 секунд, а второй муравей - от точки С(-10,1) до точки Д -4 ,1 ) за 2 секунды. Какой муравей двигался с большей скоростью? * * * % ----- ч----- -----------н-------------------1----------------------------------------1--------------- ► С А Б В 142 Глава 3 72. Выполните действия: а) б 33 - 2 3 К - 3 ! ] ■ б) 151 - 4 1:1 ■3! )• в) А +А 73. Найдите значение выражения: а) 2 6,75 - 4,5-1-3- ■13 V 6) А _ А 12 20 V ( в) \ _ 18+ ( - 2 V V 2 Л 9 _ 113 32 \3 (_0,2) •(_1,2). 74. В школьной секции по волейболу двум игрокам по 11 лет, трем - по 12 лет и одному игроку 14 лет. Какой средний возраст игроков волейбольной секции? 75. Масса четырех цыплят равна 5,5 кг, а шести - 7,4 кг. Найдите средний вес одного цыпленка. 76. Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22 года. Во время матча один из игроков был удален с поля. После этого средний возраст оставшихся игроков снизился до 21 года. Сколько лет выбывшему игроку? 77. Зная, что а и Ъ - рациональные числа, определите истинностное значение высказываний: а) Если а = Ъ, то | а | = | Ъ |. б) Если | а | = | Ъ |, то а = Ъ. в) Если а = -Ъ, то | а | = | Ъ | . г) Если а = Ъ, то | а | = Ъ. 78. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) 3 < б) - 4 < < 1 3 . 79. Запишите выражение а + Ъ - с - ^ в виде: а) суммы, где а + Ъ - первое слагаемое; б) разности, где а + Ъ - уменьшаемое. Рациональные числа 143 80. Известно, что а, Ъ, с - ненулевые отрицательные рациональные числа. Каким будет знак значения выражения аЪ — 100с ? 81. Частное двух чисел равно -1. Чему равна сумма этих чисел? 85. Семь гномов сидят вокруг костра. Известно, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому ростов двух гномов, сидящих рядом. Докажите, что все гномы одного роста. 83. Расположите в порядке возрастания значения выражений: 84. Чему равно минимальное значение выражения: а) (а — 0,5)2 — 7,2; б) 4,3 + (л + 1,1)4 ? 86. В баскетбольной команде 5 человек. Их средний рост 2,04 м. После того как одного члена команды заменили новым игроком, средний рост игроков команды вырос до 2,08 м. Какой рост у нового игрока, если рост выбывшего равен среднему арифметическому ростов игроков команды? 87 87. В Стране Лилипутов Гулливер выше лилипута в 12 раз, а в Стране Великанов Гулливер ниже великана в 12 раз. Можно ли утверждать, что рост Гулливера равен среднему арифметическому ростов лилипута и великана?

Десятичные числа. 5 Действия с десятичными числами

2.1. Десятичные числа. Сравнение десятичных чисел 2 7 = 3 2 7 3 1 0 0 3 , 2 7 десятичное число 1 1 Пишем: целая часть 12 7 3 5 , 7 3 5 десятые сотые тысячные дробная часть Читаем: Двенадцать целых и семьсот тридцать пять тысячных, или: Двенадцать, запятая, семьсот тридцать пять. 5,2 = 5 ,2 0 = 5 ,2 0 0 В конце десятичного числа можно приписывать любое количество нулей. ф/ На соревнованиях по плаванию немецкий спортсмен проплыл 100 м за 52,8 с, а испанский - за 52,87 с. У кого из спортсменов результат лучше? Решение: Результат лучше у того спортсмена, который проплыл данное расстояние за более короткое время. Чтобы сравнить два десятичных числа: ® сначала сравниваем их целые части: а) больше то число, у которого целая часть больше; б) если целые части равны, то: © сравниваем десятые: а) больше то десятичное число, у которого число десятых больше; б) если десятые равны, то: © сравниваем сотые и т. д. Получаем: 52,87 > 52,8. Значит, результат немецкого спортсмена лучше. 52,87 52,8 52,87 52, 52,8 7 52, И 7 > 0 102 Глава 3 Запишите названия рек в порядке возрастания их длин. Название реки Длина реки (тыс./км) Днепр 2,201 Днестр ‘ •352 А Дунай 2,857 2.2. Сложение десятичных чисел ф Заяц Барни в феврале съел 28,7 кг моркови, а в марте - 32,46 кг. Сколько килограммов моркови съел Барни за эти два месяца? Решение: 28,7 кг + 32,46 кг = кг 28,70 + 32,46 ■ I , I Ответ: кг. Чтобы сложить два десятичных числа, надо: ® записать одно число под другим следующим образом: целая часть под целой частью, запятая под запятой, дробная часть под дробной частью и дописать нули в дробной части, чтобы уравнять количество знаков после запятой в обоих числах; ® выполнить сложение, не обращая внимания на запятую; ® поставить в ответе запятую под запятыми. 125,80 + 1 2 , 0 3 — 137,83 Рациональные числа 103 2.3. Вычитание десятичных чисел ф Среднемесячная прибыль с первой фирмы Скруджа Макдака составляет 483,86 тысячи долларов, а со второй - на 16,4 тысячи долларов меньше. Какова среднемесячная прибыль со второй фирмы? Решение: 438,86 -16,4: - 438,86 - 16,40 Ответ: тысячи долларов тысячи долларов. Чтобы выполнить вычитание двух десятичных чисел, надо ® записать одно число под другим следующим образом: целая часть - под целой частью, запятая - под запятой, дробная часть - под дробной частью; ® дописать, если это необходимо, нули в дробной части, чтобы уравнять количество знаков после запятой в обоих числах; ® выполнить вычитание, не обращая внимания на запятую; ® поставить в ответе запятую под запятыми. 1 1 1 , 1 4 1,21 - 30,80 — 110,41 2.4. Умножение десятичных чисел Ц В январе семья Ботнару израсходовала 225 кВт электроэнергии. 1кВт электроэнергии стоит 1,33 лея. Сколько леев должна заплатить семья Ботнару за использованную электроэнергию в январе? Решение: 1,33 • 225 = лея. Ответ: лея. х 1Ш ^ -----2 2 2 5 десятичных 6 6 5 знака 26 6 ■ ■ ■ / ■I , 2 5 104 Глава 3 6,2| 8; в) 5,4| 8 > 5,49; г) 3 М > 3,78; д) 1,1| 8 > 1,192; е) 1,895 < 1,И 957. 34. Из села Албинуца до села Фрумушика можно проехать по разным дорогам. Какой путь самый короткий? 35. Впишите такие числа, чтобы сумма чисел по горизонтали, по вертикали и по диагонали была равна 3: 36. Впишите соответствующие цифры: б) 1 ,5 3 ,5 Ц + 6, 9 18 1 0 5 ,2 3 2 0 , 27 0 ,0 4 1 а) + 17, 4 37. Впишите соответствующие цифры: а) _ 7 2 , | | б) _ 9 , 7 | 5 3 7 5 9 0 4 .1 6 2 ,6 9 3 4 ,8 4 1 Рациональные числа 113 38. Восстановите цепочку действий: 2,4 + 0,8 _ 0 -О,О6^ ^ +1Д 1 +1,78 -5,14 39. Впишите соответствующий знак сравнения: а) 49,41 + 0,0009 49,42 - 0,001; б) 0,7001 + 0,0039 0,7431 - 0,039; в) 67,002 - 56,003 10,0999 + 0,8991. > 2 ' ' *ГЧ 40. М агия ч и сел! Числа 2,75 и 8 обладают следующим свойством: их произведение равно сумме их цифр. 2,75 • 8 = 2 + 7 + 5 + 8 = 22. Найдите хотя бы еще одну пару чисел, обладающих таким же свойством. 41. Вычислите: а) 5,6 • 0,08 + 2,23 • 2,4; б) (46 - 34,17) • 0,09; в) (3,126 -1,7) • (0,15 + 7,4); г) (9,38 + 5,12) • (8,4 - 3,24). 42. Хозяйка продала 15,8 кг вишни по цене 8,5 лея/кг и 20,6 кг слив по цене 7,5 лея/кг. За какие фрукты хозяйка выручила больше денег и на сколько? 43. Составьте и решите задачу, используя данные рисунка. 3 ч с— 5 ч 48,4 км/ч 56,6 км/ч 44. В таблице приведены суточные нормы белков, жиров и углеводов на 1 килограмм веса ребенка в возрасте 11-15 лет. Белки Жиры Углеводы 2,6 г 2,3 г 10,4 г Вычислите, сколько белков, жиров и углеводов: а) необходимо в день ребенку, вес которого 36,9 кг; б) необходимо в день вам. 114 Глава 3 45. Впишите знаки арифметических действий: 1.8 0,5 0,2 = 2,5; 1,8 0,5 0,2 = 1,5; 1.8 0,5 0,2 = 0,26; 1,8 0,5 0,2 = 0,46; 1,8 0,5 0,2 = 1,9. 46. Найдите значение выражения: а) 40 - (2,0592:0,072 -19,63); б) 50 - (2,3256:0,068 - 9,38); в) 7,67 : 0,65 - (0,394 + 0,7688): 0,57; г) 6,63:0,85 - (34 - 30,9248):0,62. 47. Восстановите цепочку вычислений: а^ 9^ _ ■ — < 5 ^ — ! ■ б>( ^ — •— - 6 7 3 6 + в) 48. 49. Основанием пирамиды Хеопса является квадрат со стороной 230 м. Восхищенные туристы двигаются со скоростью 0,32 м/с. Успеют ли они обойти всю пирамиду за один час? Из отрезка проволоки сделали треугольник со сторонами 7,5 см, 8,3 см и 9,4 см. Если из того же отрезка проволоки сделать квадрат, какой длины будет его сторона? 50. Какая из кошечек, белая или черная, раньше разбудит собаку? На сколько минут раньше? V = 3,8 км/ч у2 = 3,5 км/ч --------------- 5! = 380 м 5 2 = 1 7 5 м Рациональные числа 115 51. На рисунке указаны измерения комнаты Даши. Учитывая, что пол комнаты прямоугольный, и используя данные рисунка, определите: а) сколько квадратных метров ковролина необходимо, чтобы покрыть весь пол; б) сколько рулонов обоев понадобится, чтобы оклеить три стены комнаты (без стены с окном и дверью), если длина одного рулона обоев 10 м, а ширина 0,55 м? 52. Запишите периодическое десятичное число в виде дроби: а) 123,(18); б) 6,02(78); в) 2,(135); г) 16,2(14); д) 6,25(8); е) 30,02(78). 534 53. Составьте задание, подобное заданию 19 (с. 112), используя умножение десятичных чисел. 54. а) Ювелир поделил золотую проволоку на две части одинаковой массы. Из одной части он изготовил цепочку из 80 одинаковых звеньев, а из другой - цепочку из 100 одинаковых звеньев. Масса одного звена первой цепочки 0,12 г. Какова масса одного звена второй цепочки? б) Составьте и решите задачу, подобную задаче пункта а), в которой надо найти число звеньев первой цепочки. 55. Из одного улья одновременно вылетели в противоположных направлениях две пчелы. Через 0,15 часа расстояние между ними составило 6,3 км. Скорость одной из пчел 21,6 км/ч. Найдите скорость второй пчелы.

Дроби. Действия с дробями

1.1. Понятие дроби. Основное свойство дроби. Сокращение дробей Что знаем? Что узнаем? ^1 Аня отметила в календаре выходные дни и дни каникул в ноябре и выяснила, что 2 дней в ноябре не надо посещать школу. Права ли Аня? Решение: В ноябре 30 дней. Из них всего 12 дней каникул и 12 выходных, что составляет 30 месяца. Числитель дроби Знаменатель дроби 1 2 ® _ 12: [6 _ 2 30 30: 6 5 I 6 _ (12; 30) Ответ: Аня была права. 'Применяем и объясняем Применяя основное свойство дроби или сокращение дроби, заполните пропуски так, чтобы получить равные дроби. Знаменатель и числитель дроби можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое н атуральное число. 9 6 18 6 2 18 5 6 (6 36 15 18 5)1 _ А 3 15 Две дроби называются равными, если они представляют одну и ту же часть от целого. Дроби а и С равны, если а ■ и _ Ъ ■ с. а с Ъ и Обозначаем: _ . Ъ и Основное свойство дроби. Числитель и знаменатель дроби можно умножить на одно и то же ненулевое натуральное число. 80 Глава 3 • Сократить дробь - значит, разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же ненулевое натуральное число. • Применив основное свойство дроби или сокращая дробь, получим дробь, равную исходной. 'Применяем и объясняем _6_ 18 2 з : ' 15 4 9 - - И , так как 6 -15 = 18 • 5 Л , так как 2 ■ 9 Ф ■ И вспомним и повторим Выделите целую часть из дроби 118 Решение: 11 11 = 13. 8 18 = 11:8 = 1 (ост. 3) Число 1 содержит целую часть, 8 равную 1, и дробную часть 3 . 8 ^§1 Запишите в виде неправиль2 ! = 9 4 4 2 1 = 2 • 4 +1 = 9 2 4 4 4 Розьмите на заметкЯ Чтобы выделить целую часть из дроби, надо разделить числитель дроби на ее знаменатель. ® Частное будет целой частью. ® Остаток (если он ненулевой) дает новый числитель. ® Знаменатель остается без изменений. Розьмите на заметкЯ! Чтобы представить число с целой и дробной частью в виде неправильной дроби, надо: ® умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; ® записать дробь, числитель которой равен числу, полученному в пункте 1, а знаменатель дробной части оставить без изменений. 8 Рациональные числа 81 1.2. Сложение дробей Что знаем? Что узнаем? Ц| Мамонтенок на корабле преодолел расстояние от Антарктиды до 3 Африки за 3 дня. В первый день было пройдено — пути, во второй день - 5 12 — пути. Какая часть пути была преодолена мамонтенком за эти два дня? Решение: — + — 12 12 3 + 5 = 8 12 12 (4 2 (пути). Ответ: 3 пути. Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, складываа Ъ а + Ъ ют только числители, а знаменатель оставляют тем же: + = с с с Замечаем и делаем выводы Мама купила на рынке пчелиный мед двух видов: липовый в банке емкостью 2 литра и майский в банке емкостью -3 литра. Сколько литров меда купила мама? Решение: 2) 1 3 2 3 5 1 1 + Т = Т + Т = Т = 1 т (литра). 2 4 4 4 4 4 у * ' Ответ: 1-4 литра. 7 “возьмите на заметк Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо: ® привести эти дроби к общему знаменателю; ® выполнить сложение получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. 5) 1 . 3) 2 5 . 6 11 * а) 3 + 5 = 15 + 15 = 15; Ч / 15 = [3; 5] б) 3)3 + ) 2 = — + — = — = | Н ) 0 ® 12 12 12 12' Ч / 12 = [4; 3] 3 82 Глава 3 Замечаем и делаем выводы На вершине скалы, расположенной на 2 расстоянии 43 — м над уровнем моря, построили маяк. На высоте 20-2 м от основания маяка установили фонарь. Н а каком расстоянии от уровня моря находится фонарь? Решение: 2 1 2 1 ( 2) 2 3) 1 ^ 43 + 20 = 43 + + 20 + = (43 + 20) + ( + = 3 2 3 2 4 М 3 2 \ / 6 = [3, 2] 63 + - 1 1 : 63 + 11 = (63 +1) + 1 = 64 + ^ = 64- . 6 6 6 6 неправильная дробь Ответ: 641 м. 6 'Применяем и объясняем .5 3 «5 „ 3)3 10 „ , 4 - + 2— = 4 - + 2 - = 4 + 2 = 6 — = — 6 4 6 4 12 12 Ч / 12 = [6 4]/ 12 = [6,4] Замечание. Число, состоящее из целой и дробной части, еще называют смешанным числом. 7 'возьмите на заметк Чтобы сложить два смешанных числа (то есть числа, состоящие из целой и дробной части), надо: ® привести дробные части этих чисел к общему знаменателю; ® отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей; ® если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то надо выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к целой части, полученной в шаге ®. Рациональные числа 83 ^ В Древнем Египте все дроби записывали в виде суммы &■* дробей вида —. 8 С * * * 8 1 1 Например, вместо — записывали 3 + 5 . Исключение делалось только для дроби -3. Иногда такая запись была удобна. В папирусе Ахмеса (египетского фараона, 1562-1537 до н.э.) есть такая задача: „Разделить поровну 7 хлебов между восемью людьми”. Если каждый хлеб разделить на 8 частей, то надо будет сделать 49 порезов. Египтяне решили эту задачу более рационально: дробь 7 записали в виде I I I 8 суммы „ + + . Значит, каждому человеку 2 4 8 надо дать половину хлеба, четверть хлеба и восьмую часть хлеба; поэтому четыре хлеба режем пополам, два хлеба на 4 части, а один хлеб на 8 равных частей. Затем каждый человек получает соответствующие части. 1 1.3. Вычитание дробей Что знаем? Что узнаем? Ц Муравей по числовой оси переместился из точки Р | 3 | в точку ^ | Какое расстояние прошел муравей? ' ' V Р V8 ? 0 Решение: р д = 7 _ 3 = 4 = 1 8 8 8 2 4 = 1 8 2 1 Ответ: А возьмите нз заметк Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тем же: а _ Ь_ с с а _ Ь с 84 Глава 3 О | 00 Замечаем и делаем выводы Из пол-литрового пакета кефира в чашку налили 5 литра. Сколько литров кефира осталось в пакете? Решение: 1 _ 1 = А _ 2 = 2 ( л 2 5 10 10 10 \/ /7 [2; 5] = 10 Ответ: 10 л. 7 ■ 7 возьмите на заметк Чтобы вычесть две дроби с разными знаменателями, надо: ф привести эти дроби к общему знаменателю; ф выполнить вычитание получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Э Дональд Даг весит 27-5 фунта, а его 7 друг Мики Маус легче на 3— фунта. Сколько весит Мики Маус? Решение: ^ < 7 1 7 2 7 12 7 27 5 _ 31 0 = 2710 _ 31 0 = 26ш _ 31 0 = \ / [5; 10] = 10 неправильная дробь = (26 _ 3)+ ( ] § _ 1 ) = 2з150= 2 3 2 (фунта)- Ответ: 23-5 (фунта). 7 А возьмите на заметк Чтобы выполнить вычитание двух смешанных чисел, надо: ф привести дробные части этих чисел к общему знаменателю. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу ее целую часть; ф отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей. Рациональные числа 85 Решаем и поясняем . 1 , 5 1 „ 2)5 г 3 10 „ 5 - - 2 - = 5 ----2 - = 5 - 2 = 4 6 9 6 9 18 18 18 -2 = \ / ^ т [6 ; 9] = 18 неправильная дробь 1.4. Умножение дробей Замечаем и делаем выводы Ц У Лены заболела бабушка. Врач прописал ей таблетки, которые надо принимать 5 дней по 2 таблетки 3 раза в день. В пластинке 8 таблеток. Сколько пластинок надо купить Лене для своей бабушки? Решение: В день бабушка должна принимать по: 1 3 1 + 1 + 1 3 .1 ( б ) 2 '3 = 2 + 2 + 2 = 2 = ’ 2 (таблеток)' 1 1-331 2 ' 3 = у 3 = "2 = 1_2 (таблеток) Возьмите на заметк Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Ъ а - Ъ * а - = , где а, Ъ е N. с е N . с с За 5 дней бабушка должна будет принять: 1 3 3'5 15 1 1-2 '5 = 2 '5 = — = у = 7 2 (таблеток). Ответ: Лена должна будет купить одну пластинку таблеток. 7 А 'возьмите на заметк Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, надо записать смешанное число в виде неправильной дроби, а затем воспользоваться правилом умножения дроби на число. 86 Глава 3 Рд фТ { в гл ^ • Вычислите Выполните умножение, переведя десятичные числа в дроби Что вы заметили? Решаем и замечаем /Щ Длина прямоугольника Б Р М А 3 А 1 равна а = 5 дм, а ширина А = — дм. Чему равна площадь прямоугольника? Решение: 0,3 • 0,7 = * _3_ 10 С дм В " : т в 3 5 Дм 7 З 3 1 3 1 3 ( — ) Значит, • = = (дм ). 525•2 10 3 Ответ: А = дм2. 10 Л возьмите на заметк Чтобы умножить дробь на дробь, надо: ® найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; ® первое произведение записать в числитель, а второе в знаменатель. а с а • с А В А • В для любых а, с е М; А, В е N . Рациональные числа 1 2 87 1 дм Задача Всезнайка и Многознайка перемножили дроби ^ и -25. Всезнайка 6 5 • 6 30 (30 12 25 12•25 300 10 1 1 А _6_ 5 • 6 12 • 25 “ 12• 2 5 _ 10 2 5 Многознайка 1 Кто выполнил умножение рациональным способом? Замечание. При умножении дробей, если это возможно, сначала производят сокращение и только потом выполняют умножение. Туристы шли со скоростью 4-3 км/ч. Какое расстояние они прошли за 2-4 часа? Решение: „ 1 , 1 V = 4 кмч; I = 2 ч. 3 ' 4 ё = 4—• 2 1 (км). 3 4 4 1 = ± 2 + 1 3 3 = 13- 21 = 2 •4 +1 = 9 3 ; 2 4 4 4. 3 1 1 13 9 13 • 9 39 3 . . 4 -• 2 - = • - = = = 9 — (км). 3 4 3 4 3 • 4 4 4 3 Ответ: 9 4 (км). 1 7 Л Розьмите на заметк Чтобы выполнить умножение двух смешанных чисел, надо: ® записать эти числа в виде неправильных дробей; ® перемножить неправильные дроби, применив правило умножения дробей. 5 5 . 2 6 = 5 5 . _ = . 6 7 6 7 \/ сокращ аем неправильны е дроби выделяем целую часть 1 88 Глава 3 1.5. Взаимно обратные числа (дроби) Вычислите: наем Ра *ТА в »А рА * ! 2 3 4 7 7 '4 15 _8_ 8 ' 15 3 • 3 2 •2 = .2 5 5 ^ 7 7 Л Что вы заметили? возьмите на заметк Два числа (две дроби) а и Ъ называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть а • Ъ = 1. В этом случае число а называется обратным числу Ъ, а Ъ - обратным числу а. а •Ъ = 1, для любых а, Ъе М*. Ъ а Замечание. Дробью, обратной дроби а , будет дробь Ъ . Числом, обратным Ъ а ненулевому натуральному числу а, будет число —, так как а • — = 1. а а Решаем и поясняем Дополните высказывание 5 9 — будет число — Числом, обратным числу 3 = у будет число — 213 = 3 будет число — 1,6 = 16 будет ч и сл о ---- Розьмите на заметкЯ * Чтобы получить дробь, обратную данной, надо поменять местами числитель и знаменатель заданной дроби (то есть перевернуть дробь). Найдите: - число, у которого нет взаимно обратного числа; - число, которое взаимно обратно самому себе. Рациональные числа 89 Кто быстрее найдет как можно больше пар взаимно обратных чисел из элементов множества М1 М = 7 5 12 1 1 1 1 0 1 0 2- 03’ 1 - 1 - 1—■ 2 5’ 3 - 5 8 12 16 3 5 7 3 1.6. Деление дробей наем ? \ «ТА в дА А ! Найдите число х, которое является решением уравнения: а) 1 . х = 1; ~ 1 2 б) х • 3 = з ; 3 3 в) 5 •х = 10; Рассмотрите решение уравнения г). • 5 = 10 Х ^ 7 21 = 1 0 .5 Х 21 ‘ 7 I_____ __II 5 Х ^ 7 = 10 21 х5 7 = 10 7 Х' 7 ' 5 21'5 2 10 7 10•7 х = • ; х = ------ ■ 21 5 2 1 '5 ! 3 2 х = 3 ч 5 10 г) х ' 7 = 21' Обе части уравнения можно умножить на одно и то же ненулевое число. 1 0 . 5 21 . 7 10 7 21'5 возьмите н а заметк Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю. а . с =а ё Ъ ё Ъ с для любых а е М, Ъ, с, ё е М*. (р Мама сварила вишневое варенье, взяв 4 5 кг 1 5 сахара на 3 ^ кг вишни. Варенье получилось очень вкусным, и мама захотела узнать, сколько килограммов сахара приходится на 1 кг вишни. Как ей поступить? Глава 3 Решение: 4 ! . 31 _ 2 1 . 7 _ 21 _ _ _ _ _ _ ^ ■ ^ - 5 ' 2 “ 5 ' - • - Ответ: — кг. — (кг). 1.7. Нахождение дроби от числа Замечаем и делаем выводы Ц В школе магии и волшебства, где 12 учился Гарри Потер, 142 лестницы, из них волшебные. Сколько волшебных лестниц в школе магии? Решение: (142:71) -12 _ 24 (лестницы). Ответ: 24 лестницы. Чтобы найти дробь от числа, надо: ® данное число разделить на знаменатель дроби; @ полученный результат умножить на числитель дроби. 3 а) 7 от 21 равно (21:7) - 5 _ 15 или 21 - 5 _ ^-Т-3 *5 *8_ 15; 3 б) 3 12 -2 3 Ц -3 9 4 1 б) от 12 равно 12 - _ 8 8 8 _ - _ 4 2 2 ‘ в) * 2 * 1 1 1 1 1 1 3 от 2 равно 2 - 3 _ 6 . возьмите на заметк Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь. т Рациональные числа 91 ‘Применяем и объясняем Илья потратил 4 денег со счета своего мобильного телефона. 2 3 из них были потрачены на передачу СМ С-сообщений. Какую часть денег со счета Илья потратил на передачу СМС-сообщений? Решение: 2 3 3 2 0 от равно • = — 3 * 4 3 Ответ: — денег со счета мобильного телефона. 1.8. Нахождение числа по его дроби наем Ц В первый день рабочий покрасил 75 м2 3 . поверхности стены, что составляет — от всей площади, которую нужно покрасить. Чему равна площадь всей поверхности стены? 7 7 7 Л 75:3 = 25 (м2) - составляет одна часть; 25 • 7 = 175 (м2) - вся поверхность. Решение задачи можно записать следующим образом: 3 (75:3) • 7 = 175 (м2) или 75:3 = 175 (м2). возьмите на заметк Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь. 92 Глава 3 РА вТА В А 1 А ! щ Составьте и решите задачу, используя данные рисунка. 15 мин Упражнения и задачи I □ □ ------------------------------------- 1. Нарисуйте квадрат со стороной 4 см. Закрасьте — квадрата. 4 . 5 ' 2. Выберите дроби, равные дроби — ■ 8 - 20. 7 , 24. 1 6 10’ 10’ 2 5 ’ 15’ 3 0 ’ 40' 3. п л Истинно или Ложно? ч 5 35 б) 14 2 5 35 а) 7 = 49 б) ^ " 7 49 ’ “' 2 4 3 4. Сократите дробь до несократимой дроби: а) 25 б) 12 в) 33 г) 100 75 15 44 250 5. Выделите целую часть из дроби: ч 7 Гч 28 ч 49 ч 25 а) 5 ’ б) Т т в) Т ; г) Т 6. Запишите в виде неправильной дроби смешанное число: 3 7 _ 56 , 3 г) 4 |<^ 1 |СМ ) 45 ’ д) 6 0 ’ ) 49 е) 63' д) 1 9 ’ ч 131 е) ”4 2 ' 9 6 2 3 3 5 а) 32 ’ б) 4 3 ’ в) 7 3 ’ г) 2 5 ’ д) 10 5 ’ ' V 4 ’ ^ “ 9 8' 7. Запишите в виде дроби десятичное число: а) 0,5; б) 0,3; в) 1,52; г) 1,03; д) 2,15; е) 7,125. Рациональные числа 93 8. Запишите дробь со знаменателем 24, равную данной дроби: Л 1. ^ 5. ч 3. ч 7 . ч 10 а) 3 , ) 6 , в) 8 , г) 12 . д) 4 8 - 9. Вычислите и упростите полученный результат: , 3 + 5 а) 14 + 1 4 ’ ~ 7 + 2 б) I ? + 1? ’ , 5 + 4 . в) 18 + 18 . 3 13 + 5 г) 54 + 54' 10. Вычислите: ) 3 + 5 а) 4 + 8 ’ б) 7 + 2 б) 12 + 3 ’ в) 6 + 24. ) 5 + 2. г) 9 + 3 . ) 4 + 8 . д) 5+15’ ) 1 + 5. е) 4 + 7. ж) 3 + 5 ; ) 2 + 3. з) 7 + 8. ) 7 + 4 и) 25 + ^ ’ ) 13 + 5 к) 18 + 1 г л) 18 + Т 5 - ) 5 + 3 м) 6 + 4 ' 11. Выполните действие: 3 1 а) 9! + 36 б) " и + 82 0 . в) 1117т+ 6 Ц . 3 7 г) 78 + п 1> 5 7 д) 3 9 + 1^ ’ е) 3 1 + 4 ; ж) 3Й + 4 ' 12. Используя данные рисунка, найдите длину отрезка АВ: 3 5 3 м 6 3 1 2 115 м В 13. Скорость яхты 23 км/ч, а скорость 8 течения реки 2 ^ км/ч. С какой скоростью движется яхта по течению? 14. После того как из ведра взяли 2-4 литра воды, в нем осталось 3 у литра. Сколько литров воды было в ведре первоначально? 15. Дима купил — кг колбасы, 1 ,3 -4 кг сыра и 1^ кг овощей. Сколько всего килограммов продуктов купил Дима? кг 2 кг 4 94 Глава 3 16. Вычислите и упростите полученный результат: ч 7 3 а) 8 - ! • б) 16 - 1 ; в) 1 ^- 3 : в) 12 1 2 ; 11 6 16; г) Т - 5' 17. Вычислите: ) 2 1 . а) 5 10; б) 5 - 1 ) 3 в) 4' 8 ; г) 2 3 ; ) 3 2 , д) 4 7 ; ч 3 3 е) 5 - 7 ; ж) 9 - 6 ) 5 2 ; ) 7 2 ; з) 12 9 ; и) 20 15; к) 5 - 8 ' 18. Выполните действие: а) 8 3 - 4 б) 3 11 б) 3 15 - 4 в) г) 8 - т г 2 д) 6 - ^ е) 2 1 18 1 ; 9 ; 3 3 ж) 611 - 2 ^ ; з) 4 - 4 19. Масса кирпича до обжига составляет 4 ^ кг. После обжига в печи его масса уменьшилась на I 5 кг. Какова масса кирпича после обжига? 20. Сережа, Даша и Никита собрали 32 кг винограда. Сережа и Никита 18 вместе собрали 24 5 кг. Сколько килограммов винограда собрала Даша? 21. Восстановите цепочку действий: 1 + 7 3 15 § 5 +* " + 2 + Ш 2 22. Миша прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал — книги, во второй день - 3 книги, а в третий день - оставшуюся часть. Какую часть книги Миша прочитал в третий день? 23. Вычислите: 1 +10 ч 5 3 2 а) 2 - 14 + —; 24. Выполните действие: ~ 9 ^ 7 2 . б) 20 + 10 15 ; в) 2 - {1 + 5 ) • а) 5 ■7; е) Н ; 2 б) 2 - 6; ж) 1 8 -1 0 в) 9 -10 з) 3 - -5 ) 20 6 ’ 4 3 г) 5 8 ; ) — - 3 д) 9 -10 ; ч 12 5. ч 16 35 и) 25 - 8 ; к) 2 5 -48' Рациональные числа 95 25. Вычислите: 26. Скорость звука - 3 км/с. На каком расстоянии от грозы находился Миша, если он услышал раскаты грома через 18 секунд после вспышки молнии? 27. Выполните действие: ч 0 1 т3 а) 2 -1 ; 7 2 4 б) 4 4 1 1 в) 2 3 18- г) 4 1 - 81 . 7 2 3 28. Найдите значение выражения: а) 4 3 4 ; 4 '9 ’ б) 4 2 - 3 ’ 2 1 _ 7 5 5'2 25'7' 29. Ракета, скорость которой 8 км/с, становится искусственным спутником Земли. Если скорость ракеты увеличить в 2 раза, то она на8 всегда покинет Солнечную систему. Найдите эту скорость. 30. Длина прямоугольника равна 3-5 м, а ширина в 1-5 раза больше длины. Чему равна площадь прямоугольника? 31. Заполните таблицу: 32. Проверьте, являются ли числа взаимно обратными: ) 4 5 а) 5 и 4 ’ 25 3 3 2 б) Т и 3 ’ в) 2_ и 7; г) 12 и 0,6. 96 Глава 3 33. Запишите число, обратное числу: а) 2 б) 11; в) 7 2 ; г) 0,12; д) з | ; е) 3,6. Выполните действие: .6.9. а) 11.22 ; б) 12 . 4 ; б) 1 3 ' 3 9 ; ) 2 1 в) 3 : 6 ; ч 3 . 2 1 . г) 4 ' 4 0 ; д) 56: ■— ; «) ^ . б ; ж) | : 2 }; ) 2 1 .1 1 . з) 2 2 :14 ; 4 2 и) 9 ^4 . ^ 2; ч Л т5 к) 5 3 :15 35. Периметр квадрата равен 13 м. Чему равна сторона квадрата? 2 36. Найдите скорость поезда, если 505 км он прошел 8 за 1 5 часа. 37. Том весит 7-5 кг, а Джери - в 12 раз легче. Сколько они весят вместе? 38. Найдите: 2 а) - от 27; б) 5 от 40; в) 5 от 16; 3 2 1 3 д) 3 от 12; е) - от 20; ж) 3 от г) от 42; 6 ) 3 8 з) 4 от 9- 39. Автомобиль должен проехать 240 км. Какое расстояние проехал автомобиль, если оно составляет 5 пути? 40. Масса муравья составляет - 0 от массы груза, который он может нести. Какова масса муравья, 7 если он может нести 250 г груза? 3 41. Размер обуви составляет — длины стопы. Какой размер обуви носит Миша, если длина его стопы равна 24 см? 42. В автопробеге участвовали 48 автомобилей. 5 из них дошли до финиша. 8 Сколько автомобилей сошли с дистанции? 43. Треть расстояния между двумя населенными пунктами составляет 7 км. Чему равно расстояние между этими пунктами? 44. Найдите число: 7 а) -0 которого равны 21; в) которого равны 24; 3 б) 4 которого равны 12; 3 г) — которого равны 15. Рациональные числа 97 45. За булочку Света заплатила 4-2 лея. Сколько денег было у Светы, если за булочку она заплатила -4 всех денег? 46. Только 12 учеников 6 „А “ класса занимаются спортом, что составляет 3 7 *47 I □ ■ учеников класса. Сколько всего учеников в этом классе? 47. Впишите числа так, чтобы получить истинное высказывание: 1 (4 , +- в) (10 (3 (б 4 + 9 _ 13 , 24 _ 2 4 : 10 - 6 30 2 15 (3 (2 б) - * - г) - ° - - " 15 +14 _ 29, 36 _ 36 15 -1 4 18 18' 48. Вычислите: ) 9 * 2 а) * - 8 . 11 5 2 . 4 Л 3 11 3 50 ' 75 100’ б) 21 * 24 2 7 ’ в) 2 3 * 5 115; г) 5 12 14 2 3' 49. Восстановите цепочку действий: 1 59 50. Вычислите: Л ,727. а) 10 * 9 ' 3 5 ’ 3 5 г) 1+ 1 1 §; О " ’ 3 4 * 29 - ■ 8> ~ 5 * 3 16 . б) 14 * 8 '21’ ) А " А А д) 12 21'16’ 51. Найдите значение выражения: ) 1 3 2 1 2 1 27 а) 12 5 ' 2 7 2 9 ' 9 5 ’ 7 3 б) 4 12 ’1Ц * 1^ •164' в) А . 1 * 5 ' ± . } 16 7 8 35’ е) 2 " И ' 1 11 3 1 1 52. Папа купил 4 5 кг апельсинов по цене 12^ лея/кг и 8 4 кг яблок по цене 6-3 лея/кг. За какие фрукты папа заплатил больше и на сколько? 53. Запишите число, обратное числу, равному: 3 7 а) сумме чисел и ’ 18 12 3 5 в) разности чисел 8 4 и 7 4 ’ ~ 7 13 б) частному чисел — и — ’ ) 1 1 Л 5 г) произведению чисел 1 и 4 . 15 16 98 Глава 3 54. Перечертите и заполните таблицу: Скорость 1 1 -2 км/ч 2 15 у км/ч Время 3 4 ч 2 2 2 з ч Расстояние 2 2 2-5 км 4 7 ^ 4,7 км ■ / 55. Впишите один из знаков действий, чтобы получить истинное высказывание: а) 6 16 = 1; б) 3 ф 2 ^ = ^ , в) 2 | = 2 ; г) 1,2 ф § = 1. 2 5 56. В первом ящике 18 3 кг яблок, что на 3— кг больше, чем во втором ящике. Сколько килограммов яблок в третьем ящике, если всего в трех ящиках 50-1 кг яблок? 57. Вычислите: а) ( 3 7 Л 2 + 3 2 8 + 3 24 ( 2 1 Л 4 —- 1 — 3 8 б) ( 3 1 Л 5 — - 1 — 5 3 ( 7 1Л 7 7 - 2 1 12 4 1 58. Длина маршрута автобуса равна 204 км. 7 Рейс длится — часа. Автобус движется со скоростью 45 км/ч и делает 10 остановок. Сколько времени в среднем затрачивается на одну остановку? 4 59. У торговца Махлюшкина имеется на продажу 366 кг овощей. 9 овощей составляет картофель, 2— овощей - морковь, а остальное лук. Сколько килограммов лука у торговца Махлюшкина? 3 60. До привала туристы прошли — запланированного пути, а после привала еще 3 пути, пройденного до привала. Прошли ли туристы запланированный путь? 3 1 61. Собрали 10 кг грибов. — грибов замариновали, 5 грибов высушили, а из остальных грибов сварили суп. Сколько килограммов грибов пошло на суп? Рациональные числа 99 62. В первый день в школьную библиотеку завезли — новых учебников, а во второй день - остальные 56 учебников. Сколько всего новых учебников привезли в библиотеку за два дня? 17 63. Ш ирина прямоугольника равна 102 см, что составляет от его длины. 18 Найдите периметр и площадь прямоугольника. 64 64. Запишите дробь в виде разности двух дробей, числитель которых равен 1: , 1 . ~ 2 . а) 12’ б) 63' 65. Выполните действия: ' 5 , 2 „5 . „ 3 ' в) 1 г) 28' а) 112т 2 + Ч - 36 + 2 4 | : 12 2 • ! - ? т т5 т 7 б) 2 ^ : 6 ^ + 1^ - 1 ^ 1 5 ^ - 5 - I 73 5 7 т^ 66. Впишите в таблицу такие числа, чтобы произведения чисел по горизонтали, по вертикали и по диагонали были равны между собой: а) 32 1 2 16 4 67. В прямоугольном листе картона, дли2 1 2 на которого 2-4 дм и ширина 3 дм, вырезали два одинаковых квадрата со стороной 3 дм. Чему равна площадь оставшейся части? 1 4 68. Стену с измерениями 3 ^ м и 2-5 м необходимо оклеить обоями. Сколько рулонов обоев длиной 13 м и шириной 50 см для этого необходимо? 100 Глава 3 69. К огда у П иф агора, древнегреческого м атематика и философа, спросили, сколько у него учеников, он ответил: „Половина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 оратора Сколько учеников было у Пифагора? Пифагор (570-500 гг. до н.э.) 70. За завтраком мама Димы выпила чашки кофе, затем долила в чашку молока. Затем отпила — от чашки и опять долила молоко. После этого она выпила еще половину чашки и опять долила молоко. В конце она выпила все содержимое чашки. Чего мама выпила больше: кофе или молока? 71. Три мушкетера, после того как исполнили свой долг перед Францией, зашли в таверну. Они отобедали и заказали на десерт персики. Так как они были уставшими, то уснули до того, как им принесли блюдо с персиками. Первым проснулся Атос. Увидев персики в блюде, он 1 съел — всех персиков и опять уснул. Затем проснулся Портос. Увидев персики и подумав, что их еще никто 1 не ел, он съел — персиков и опять уснул. Третьим проснулся Арамис и тоже съел — персиков. Затем уснул и он. Пока мушкетеры спали, трактирщик отнес блюдо, на котором осталось 8 персиков, на кухню. Сколько персиков было на блюде первоначально?

Решение уравнений на множестве 2

|| Учительница попросила Мишу решить уравнение 4х +12 = 0 на множестве М, затем на множестве 2. Поможем Мише решить данное уравнение. Решение: Уравнение Уравнение не имеет имеет решений на М. решения на 2. На множестве М: 4 х +12 = 0 4 х = 0 -1 2 4 х = -12 х = -3 ё М Ответ: 8 = 0 . Что знаем? Что узнаем? На множестве 2 : 4 х +12 = 0 4 х = 0 -1 2 4 х = -12 х = -3 е 2 Проверка: 4 • (-3) +12 = 0 (И) Ответ: 8 = {-3}. Решить уравнение на числовом множестве означает найти решение данного уравнения, которое принадлежит заданному множеству. Решаем и поясняем Ш Решите на множестве 2 уравнение: а) х - 75 = -25; б) х :(-8) = 9; г) 81 • х = -324; д) Эх - 81 = 6; Решение: а) х - 75 = -25 х = -25 + 75 х = 50 е 2 Проверка: 50 - 75 = -25 (И) Ответ: 8 = {50}. в) (-625): х = 25 х = (-625): х = е 2 Проверка: : = Ответ: 8 = { }. в) (-625): х = 25; е) - 2 х + 92 = 4. б) х : (-8) = 9 х = 9 • (-8) х = -7 2 е 2 Проверка: (-72): (-8) = 9 (И) Ответ: 8 = {-72}. г) 81-х = -324 х = : х = е 2 Проверка: • = Ответ: 8 = { }. 72 Глава 2 д) 3х - 81 = 6 3х = 6 + ■ 3х = е) - 2 х + 92 = 4 - 2 х = 4 - - 2х = х = : х = е ж х = : х = е Ж Проверка: - = Ответ: 8 = { }. Проверка: + = Ответ: 8 = { }. Решите уравнение 2х + 5 = -1 на множестве А = {-5, -3 , 0, 1}. Решение: Для х = -5 имеем 2 • (-5) + 5 = -1 - Ложно. Значит, число -5 не является решением этого уравнения. Для х = -3 имеем 2 • (-3) + 5 = -1 - Истинно. Значит, число -3 является решением этого уравнения. Для х = 0 имеем 2 ■ + 5 = -1 - . Значит, число 0 решение этого уравнения. Для х = 1 имеем 2 ■ + 5 = -1 - . Значит, число 1 решение этого уравнения. Ответ: 8 = { }. Упражнения и задачи ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Определите, какой из элементов множества А = {-5, - 2, -1, 0, 4, 10} яв2. Решите задачу с помощью уравнения. Сколько было марок у Иры, если известно, что она отдала Марии 15 марок и у нее осталось 44? 3. Решите на множестве Ж уравнение: ляется решением уравнения: а) - х - 4 = 1; г) х • (-15) = 30; б) 2 х - 6 = -6; д) 1 - 3 х = х +1; в) (-200): х = -20; е) 10 + 2х = 0. а) х - 2 = -5; б) у - 25 = 60; в) г -100 = -2012. Целые числа 73 4. Решите на множестве 2 уравнение: а) х + 70 = -100; б) у + 8 = 2000; 5. Решите на множестве 2 уравнение: а) 3 • х = 81; б) (-11) • у = 121; 6. Решите на множестве 2 уравнение: а) х : (-8) = -20; б) у : 38 = 10; 7. Решите на множестве 2 уравнение: а) 3х + 72 = 0; б) - 8у + 800 = 0; в) 2 + 29 = -718. в) (-35) • 2 = -210. в) 2 : (-19) = -18. в) 222 + 440 = 0. ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. Впишите такое целое число, чтобы полученное уравнение имело указанное множество решений: а) | х -7 0 = 0; 5 = {5}; б) (-5)у - Щ = 8; 5 = {0}; в) Щ: 2 = 84; 5 = {-3}; г) х : = 25; 5 = {-100}. 9. Решите: 1) на множестве N уравнение: 2) на множестве 2 уравнение: а) 3х - 4 = 6 - х; б) 1 - 8х = х - 5; в) 3 + у = - 2 у - 60. 10. Решите на множестве 2 уравнение: а) 7х -1 2 = | (-4 )2 |; б) 5: 2 = | - 5 0 |; в) у : (-12) = | (-6 )3 | . 11. Решите на множестве 2 уравнение: а) (х -12) + (16 - 2 х) = 14; б) (х + 25) - (х -12) = 13; в) 2 х - 6 = 14 - 2 х; г) (44 - х) + (х - 35) = 0. 12. Решите на множестве 2 уравнение: а) | х | = 18; б) | х | = -2 ; в) | 2х - 3| = 7; г) | 5 - 8х| = 35. 13. Составьте задачу, которую можно решить при помощи уравнения: а) 3 - 5 х = -7; б) -1 0 х + 4 = -96. 74 Глава 2 Задания Эля осмысления 1. Объясните включение N с Ж. 2. Приведите примеры положительных и отрицательных чисел из разных областей знания: физики, биологии, географии, истории, литературы, экономики и т. д. 3. Что такое числовая ось? 4. Какое число противоположно числу: а) - 2011; б) 2012; в) 0? 5. Что называют модулем числа? 6. Какое расстояние выражает модуль целого числа? 7. Какие свойства модуля вы знаете? 8. В каких случаях мы используем модуль числа? 9. Как сравнивают целые числа? 10. Истинно ли высказывание: Любое натуральное число больше любого целого числа? 11. Дополните, чтобы получить истинное высказывание: Любое натуральное число больше .... 12. Какие случаи возможны при сложении целых чисел? Как мы поступаем в каждом из них? 13. Как вычитают целые числа? 14. Истинно или Ложно? а) - 7 - 5 = -2; б) -120 - (-18) = -138; в) 82 - (-12) = 94. 15. В чем заключаются правила знаков? В каких случаях мы их применяем? 16. Сформулируйте правила знаков. 17. Как перемножаются целые числа? Как возвести целое число в степень с натуральным показателем? Целые числа 75 18. Как делятся целые числа? 19. Действительно ли при делении двух целых чисел в частном всегда получается целое число? Приведите примеры. 20. Какие свойства действий с целыми числами вы знаете? 21. Каков порядок выполнения действий и что означают скобки при вычислениях с целыми числами? 22. Что значит решить уравнение на множестве Ж ? 23. Приведите по примеру для каждого из видов изученных уравнений. 24. Составьте по задаче, которые можно решить при помощи изученных уравнений. 25. Приведите пример уравнения, которое не имеет решения на множестве Ж. Упражнения и задачи на повторение ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Отметьте на числовой оси точки: А(-2); В(-7); С(5); 0(2). 2. Постройте числовую ось. Отметьте на ней точку М (-2) и точки, расположенные на расстоянии 7 единиц от точки М. Запишите координаты этих точек. 3. Расположите числа в порядке убывания: -9; 3; 5; -4; 0, -10; 12. 4. Вычислите наиболее рациональным способом: а) - 9 + (-13) +17 + (-6) +11; б) 14 + (-8) + (-25) +12 + 7; в) 43 - 60 +12 + 39 - 21. 5. Найдите сумму всех целых чисел, расположенных на числовой оси между числами -5 и 7. 6. Решите на множестве Ж уравнение: а) х + 7 = 3; б) 6 - х = 15; в) - 2 - х = -5 ; г) 16 - х = -4; д) 11 - х = 14; е) - х + 4 = -9. 7. Вычислите: а) ( 7 - 20) • (-3 + 5); б) (-5 - 7): (-6 + 2); в) - 2 1 :7 + [42: (-6)]. 76 Глава 2 8. Заполните таблицу: ■ ----------------------------------------------------------------------- 9. Истинно или Ложно? Числа а и Ь являются целыми. а) Если а = Ъ, то | а |=| Ъ | . б) Если | а |=| Ъ |, то а = Ъ. в) Если а = -Ъ, то | а |=| Ъ | . г) Если | а |=| Ъ |, то а = Ъ или а = -Ъ. 10. Впишите такие числа, чтобы каждое число, начиная с третьего, равнялось сумме двух предшествующих ему чисел. 2 0 Вычислите: а) - 7 + 1 -3 | - (-4) - 5; б) 4 + ( - 6 ) - |- 4 | - 3; в) - 2 - | -5 | +(-6) - (-2) ы 12. Истинно или Ложно? Если а - целое неотрицательное число, то: а) 2 + а > 2; -| в) а + а < а; 13. Вычислите: а) - 52 : (19 - 32) - 2 • [18 + 44: (-11)]; б) [25 - 24: (11 -14)] • [-9 + 8:(27 - 35)]. 98•(-15) "Л 14. Вычислите: -14 • (20 - 4 4 0 )' б) - 3 + а > 0; г) а + а > 0. 15. Решите на множестве 2 уравнение: а) | х | + 3 = 8; б) | х | - 3 = 4; в) | х | - 6 = -8; г) 15 | х | = 9; д) |х + 3| = 1; е) |х - 7| = 10. Целые числа 77 Итоговый тест Время выполнения работы: 45 минут I вариант II вариант 1. Дано множество: М = {-6, 3, -2, -3, 5}. а) Найдите наибольшее число, при- 1 надлежащее множеству М. Ц б) Найдите элемент множества М, 1 имеющий наименьший модуль. Ц в) Найдите элементы множества М, 1 имеющие равные модули. г) Расположите в порядке возрас- 6 тания числа: (-6)2, 34, (-2)5, 52, (-3)3. 2. Даны точки А (-4), 5(6), С(-1), Д3). а) Расположите точки А, В, С, Б на 4 числовой оси. б) Запишите все целые числа, рас- 3 положенные на оси между числами -1 и 3. в) Какую координату имеет точ- 3 ка К, если К - середина отрезка АВ? 3. Выполните действия: а) - 75 + 39; 2 б) - 53 - 27; 2 в) -15 • 61; 2 г) - 52 : (-4). 2 4. В результате засухи уровень воды в озере понизился на 16см. После того, как прошел дождь, уровень повысился на 9 см и стал составлять 658 см. Каков был уровень воды в озере до засухи? а) Решите задачу при помощи урав- 4 нения. | б) Решите задачу по действиям. 4 1. Дано множество: А = {-4, -1, 2, -5, 4}. а) Найдите наименьшее число, принадлежащее множеству А. б) Найдите элемент множества А, имеющий наибольший модуль. в) Найдите элементы множества А, имеющие равные модули. г) Расположите в порядке убывания числа: (-5)2, 42,(-4 )3, 25,(-1)8. 2. Даны точки М(-6), N(1), 5(-3), 5(4). а) Расположите точки М, N Ь, Р на числовой оси. б) Запишите все целые числа, расположенные на оси между числами -3 и 1. в) Какую координату имеет точка Д если Р - середина отрезка МР? 3. Выполните действия: а) 29 + (-18); б) - 34 - 76; в) -14 • (-83); г) - 72:18. 4. В ночь на 10 февраля температура воздуха упала на 12 °С, а за день повысилась на 4 °С и стала составлять 7 °С. Какой была температура 9 февраля вечером? а) Решите задачу при помощи уравнения. б) Решите задачу по действиям. Схема оценивания теста О ц ен ка 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 С ум м а баллов 35-34 33-32 31-27 26-22 21-17 16-12 11-9 8-6 5-3 2-0

Степень целого числа с натуральным показателем. Порядок выполнения действий

7.1. Степень целого числа с натуральным показателем Иссд5 уемТ у ?иэе1^ ^ ^ ^ ^ И 1 Умножение ненулевых натуральных чисел можно записать в виде степени: 3-3-3-3 = (+3) • (+3) • (+3) • (+3) = (+3)4 4 множителя Читаем: „3 в четвертой степени или „3 в четвертой 113 =13-1131. 3 множителя Читаем: „11 в третьей степени “, или „11 в кубе“. Для а, п е Ы*: 1) (.+а)п =+ап = ап 2) (-а)п = п а , если п — четное п — а , если п — нечетное (+10)4 = 104. (—5)2 = 25 = 52. (—2)3 = (—2) • (—2) • (—2) = 4 • (—2) = —8 = —23. Целые числа 67 'Поясняем, читаем и дополняем а) (-12)25 б) 20116 в) (-21)2 г) (-100)3 „-12 в 25-й степени или „-12 в 25-й“; „2011 в 6-й степени “, или „2011 в 6-й“; -12 - основание степени; 25 - показатель степени. 2011 - основание степени; 6 - показатель степени. основание степени; показатель степени. основание степени; показатель степени. “Применяем и объясняем 1. (+10) • (+10) • (+10) • (+10) = 10 -10 -10 -10 = 104 —► 10 - основание степени, 4-------------------у----------------3 4 множителя 4 - показатель степени 2. 883 = (---------^---------3 —► - основание степени, 3 множителя - показатель степени. 3. (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = (-2 )5 V______________________________ _______________________________У V 5 множителей основание степени, показатель степени. 4. (-16) 7 = (-16) • (-16) • (-16) • (-16) • (-161 • (-16) • (-16) V____________________________________________________________________________________________________________________________ ^ V 7 множителей Памятка основание степени, степени. (- ) • (- ) • ••• • (- ) • (- ) = + ^------------- ^ ________ п четное (- ) • (- ) • ... • (- ) • (- ) = - ^------------- _________ > п нечетное (-1) ■ (-1) ■ (-1) ■ (-1) = 1 (-1) ■ (-1) ■ (-1) ■ (-1) ■ (-1) 1 68 Глава 2 7.2. Порядок выполнения действий Решаем и поясняем Вычислите: 60 - 8 • 50 + 2 123. Решение: 60 - 8 • 50 + 2 • 123 = I = 60 - 8 • 50 + 2 • 1728 = 60 - 400 + 2 • 1728 = = 60 - 400 + 3456 = = -3 4 0 + 3 4 5 6 = = 3 116. А Обратите внимание на порядок выполнения действий. V Что знаем? Что узнаем? • Сложение и вычитание - это действия первого порядка. • Умножение и деление - это действия второго порядка. • Возведение в степень - это действие третьего порядка. © © 30 + 60 -1 5 = 75 ® © 7 10:14=5 © © @© 45 + 2 • 3 - 142 = -145 |Л возьмите на заметку ♦ В выражении со скобками в первую очередь выполняются действия в скобках. ♦ В выражениях без скобок действия одного порядка выполняются в порядке их следования в записи. ♦ Если в выражении без скобок встречаются действия разных порядков, то сначала выполняются действия III порядка, затем II порядка и в последнюю очередь - I порядка. В математическом выражении могут быть: - квадратные скобки [ ] - круглые скобки ( ) - фигурные скобки { } • Вычислите: © © © © © {18 - [6 - 5 • (20 -18)]} - 2010. Сначала выполняем действия в круглых скобках, потом в квадратных скобках, затем в фигурных скобках. Целые числа 69 Упражнения и задачи 1. 16 участников слета математиков разделили на 4 группы, по 4 ученика в каждой группе. У каждого ученика было по 4 набора с 4 геометрическими фигурами. Сколько всего геометрических фигур было? 2. а) Для каждой степени определите основание степени и показатель степени: 45, (-3 )28; 04; 31 а х ; 16у; 32012; (-2 )х; 1999; 421; 18; (-16)4; 40. б) Есть ли среди них степени с одинаковыми основаниями? А с одинаковыми показателями? 3. Выполните действие: а) 4580; б) (-15)4; в) (-1)2011; г) 12999; д) (-7 )3; е) (-60)2; ж) 104; з) (-10)* 7. 4. Сравните: а) 25 ф ( - 2)5; в) (-3)4 ф (-9 )2; 5. Выполните действие: © © 0 ( 1 , а) 6 • (-3) +15 - 82; ОО О О в) (-5 )5 [6 -2 • (-18)]; > 2 /' ^ б) 62 ( - 3)4; г) 145 (-2 )5. © © 0 © б) 12: (-3) - 6 + (-10)3; О О О ОО г) {6 - (4 [(-2) -10])} + 82. 6. Вычислите: а) 144: (-12) + 7• (-2 )3 + 2010; б) (-88): (-4) -125 : (-5 )2 - 380; в) {6 - [282 • (-1) - (44:11 -18)]} - 644; г) 252 :(-5 )2 -{42 + 3 - [ 6 - (33 • 5 +11)]}. ■ ---------------------------------------------------- 7. Народная русская задача: Шли семь старцев, У каждого старца по семь костылей, На каждом костыле по семь сучков, На каждом сучке по семь кошелей, В каждом кошеле по семь пирогов, В каждом пироге по семь ягод. Сколько всего ягод? 70 Глава 2 8. Расставьте квадратные и круглые скобки так, чтобы получить истинное высказывание: а) 24: (-4) - 68 + (-4 )3 - 20 = -30. б) 16 • (-2 )3 - 44 - 78 - 30 = -124. 9. Покажите, что последней цифрой квадрата некоторого числа может быть 0, 1, 4, 5, 6 или 9. 10. Запишите числа, квадраты которых расположены между 11 и 101. 11. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) 43 = ■ ; б) (-9 )6 = ■ ; в) 255 = ■ ; г) (-36)8 = ■ . 12. Расположите: а) в порядке возрастания числа -41, 12, - 7 , (-3)4, - 53, (-3)5, 0, 25; б) в порядке убывания числа -1, 2011, -7 8 , (-4 )3, (-2 )6, 2, - 30, 14. 13. Не используя знаки математических действий, запишите наибольшее возможное число при помощи: а) трех цифр 2; б) трех цифр 3. 14. Составьте числовое выражение, используя скобки так, чтобы при вычислении значения этого выражения действия выполнялись в следующем порядке: а) сложение, деление, умножение и возведение в степень; б) возведение в степень, деление, вычитание и опять деление; в) вычитание, умножение, возведение в степень и опять вычитание. 15. Решите на множестве N уравнение: а) х2 = 4; б) х2 = -1; в) х3 = -8.

Деление целых чисел

1! Температура воздуха в предгорье равна О °С. При подъеме на гору на каждом километре она понижается на 2 °С. На какую высоту поднялся альпинист, если температура воздуха составляет -6 °С? Решение: Обозначим понижение температуры на 2 °С через -2 °С. Вычислим: - 6 : (-2) = 3, так как 3 • (-2) = -6. Ответ: 3 км. /% Рассмотрите примеры и проверьте сделанные выводы при помощи других примеров. делимое делитель частное \ I / -1 8 : (-6) = + 3, так как +3 • (-6) = -18 +24 : (-4) = - 6 , так как -6 • (-4) = +24 -2 1 : (+7) = - 3 , так как -3 • 7 = -21 * ________4________ Частное двух целых чисел с оди- Частное двух целых чисел с разнаковыми знаками является по- ными знаками является отрицаложительным числом. тельным числом. V _____________1 __________________ Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя. |-18 : (-6)| = |-18| : |-6 | = |+3| |+24| : |-4 | = |-6 | |а : Ъ| = |а| : |Ъ|, а, Ъ е Ж, Ъ Ф 0. |-21| : |+7| = |-3 | Знак частного в зависимости от знака делимого и делителя можно вывести при помощи таблицы знаков. • Сравните с таблицей знаков произведения двух целых чисел. Знак числа а Знак числа Ъ Знак числа а : Ъ + + + + - - - + - - - + 64 Глава 2 Рассмотрите примеры и проверьте сделанные выводы при помощи других примеров. -6 : 1 = -6 5 : 1 = 5 -3 : (-1) = 3 7 : (-1) = -7 ♦ ___ 4___ При делении целого При делении целого числа на 1 получим числа на -1 получим это же число, то есть число, противоподелимое. ложное данному. При делении нуля на любое ненулевое целое число получим 0. Упражнения и задачи 1. Вычислите и выполните проверку умножением. а) -15 : 3; в) -24 : (-8); 2. Выполните действие: а) 78:(-6); г) 96:(-8); ж) 0: (-32); б) 21 : (-7); г) 0 : (-4). б) -5 2 : (-13); д) 57: (-3); з) -51: (-1); в) -84:12; е) -108:4; и) -121:11. 3. Перечертите и заполните таблицу: а -41 0 -64 -17 125 -63 ъ 41 -37 -16 -1 -5 -3 а : Ъ 4. Найдите значение -48 : а, если: а) а = -3; б) а = 12; в) а = -8; 5. Найдите значение а : (-3), если: а) а = -27; б) а = 36; в) а = 0; г) а = 6. г) а = -108. Целые числа 65 I □ ■ 6. Вычислите: а) (23 - 32): (-3); в) (-15 - 29): 11; 7. Перечертите и заполните таблицу: б) (-12 + 36): (-8); г) (-7 - (-21)): (-7). а 17 -13 53 Ъ -3 -3 -1 -26 а ■ Ъ 65 -39 -53 1 0 / 8. В холодильной камере в 8:00 часов температура была 0 °С. Но с каждым часом температура понижается на 3 °С. Какое время покажут часы, когда температура будет -12°С? 9. Вычислите: а) (-29 • 4): 4; б) (31- (-6)): 31; в) (-7-25): (-7); г) (-3 -(-10)):10. 10. Перечертите и заполните таблицу. Сделайте вывод. а -68 57 -116 0 Ъ -17 -3 29 -19 1а 1 : 1Ъ1 | а : Ъ | — 1 11. Подставьте вместо а, Ъ и с ненулевые целые числа и определите, какие из следующих равенств ложны: а) (а - Ъ): с = (а : с) - Ъ; б) (а - Ъ): с = (а - с) : Ъ; в) (а : Ъ) - с = (а - с ) : Ъ; г) (а : Ъ): с = а : (Ъ : с). 12. Подставьте вместо одно из арифметических действий (+; - ; -; :), чтобы получить истинное высказывание. а) 1 2 3 = -1; б) -1 2 3 4 = 1; в) -1 • 2 ф 3 ф 4 = -1

Умножение целых чисел

5.1. Умножение целых чисел ^ ссА^УуеГТ у зизем" СЦ Муравей перемещается по числовой оси со скоростью 3 единицы в минуту. Сейчас он находится в начале отсчета. а) В какую точку переместится муравей через 4 минуты? б) В какой точке находился муравей 4 минуты назад? Решение: а) Пусть скорость муравья в положительном направлении равна 3 единицам/мин, а в отрицательном равна -3 единицам/мин. ® Если муравей перемещается в положительном направлении, то получим: Л +3 +3 +3 +3 3-4 = 12 ” О * А ----- ► 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 © Если муравей перемещается в отрицательном направлении, то получим: -3 -3 -3 -3 к -3 • 4 = -1 2 В О 12 -11-10 -9 -8 -7 6 -5 -4 -3 -2 -1 0 б) Обозначим 4 минуты назад через -4. ® Если муравей перемещается в положительном направлении, то получим: +3 +3 +3 +3 3 • (-4) = -12 С О -1 2 -1 1 -1 0 -9 -8 -7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 0 ® Если муравей перемещается в отрицательном направлении, то получим: 3 -3 -3 -3 ( - 3 ) ( - 4 ) = 12 / Д О о 0 1 Ответ: а) ® А(12); 2 3 В(-12); 6 7 8 9 б) ® С (-12); 10 11 12 © .0(12). Ф Розьмите на заметк Чтобы перемножить два целых числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак минус (-). Чтобы перемножить два целых числа с одинаковыми знаками, надо перемножить их модули. - 7 • 8 ----1 7 1 • | 8 1-----56; 9 • (-5) = - 19| • | - 5 |---- 45. +5 • (+4) = | +5 | • | + 4 1 = 20; - 6 • (-4) = | - 6 1 • | - 4 1 = 24. 60 Глава 2 Зависимость знака произведения двух целых ненулевых чисел от знаков множителей можно вывести при помощи таблицы знаков: Знак Знак Знак числа а числа Ъ числа а ■ Ъ + + + + - — — + — - - + С?Х Рассмотрите приведенные примеры и проверьте сделанные выводы при помощи других примеров. 5.2. Свойства умножения • Подставьте вместо букв а, Ъ и с любые целые числа и проверьте истинность свойств. Целые числа 61 'Применяем Вычислите: а) (-4) • 53 • (-25); б) 7 • (-93) + 7 • 92. Решение: а) (-4) • 53 • (-25) = 53 • (-4) • (-25) = 53 • 4 • 25 = 53 -100 = 5300. свойство 1° б) 7 • (-93) + 7 • 92 = 7 • (-93 + 92) = 7 • (-1) = -7. свойство 3° Упражнения и задачи ■ ---------------------------------------- 1. Уровень воды в Днестре меняется каждый день на 2 см. Сегодня четверг и уровень воды составляет 424 см. а) Каким будет уровень воды в воскресенье, если вода поднимается? б) Каким был уровень воды в понедельник, если уровень понизился? 2. Вычислите: а) 6 • (-9); б) (-15) • 7; в) (-4) • (-11); г) -1 1 7 ; д) (-12) • 0; е) -6 • (-9); ж) 0 • (-27); з) (-14) • (-3); и) 21 • (-6). 3. Перечертите в тетрадь таблицу и заполните ее: а 8 -7 -4 -52 -1 -12 -6 Ъ -3 9 -31 0 -75 3 -15 / а ■ Ъ 4. Запишите число в виде произведения двух целых чисел: а) -28; б) -12; в) -7; г) 0; д) -1. 5. Определите знак произведения (+ или -) и впишите один из знаков сравнения (>, < или =), чтобы получить истинное высказывание. а) (-12) ■ (-57) ■ (-81) 0; б) (-48) ■ (+21) ■ (-36) 0; в) (-15) ■ (+15) ■ (-25) 0; ^ г) (-521) ■ (-152) ■ 0 0. 62 Глава 2 6. Найдите -15а, если: а) а = -2; б) а = -1; в) а = 0; г) а = 7. 7. Вычислите: а) 20 18 • (-5); б) (-2) • (-35) • (-8); в) (-54) • (-82) • 0; г) (-24) • 8 • (-5). 8. Найдите произведение: а) (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1); б) (-2) ■ (-2) ■ (-2) ■ (-2) ■ (-2). ■ --------------------------------------------------------------------------------------------- 9. Не выполняя действий, определите знак произведения: а) (-5 - 6 - 7 - 8 - 9) • (-55); б) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) • (-1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6). 10. Запишите число -24 в виде произведения: а) двух множителей; б) трех множителей; в) четырех множителей. 11. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) -32 ■ = 96; б) ■ (-7) = 84; в) ■ 13 = -65; г) -9 ■ = -108. 12. Применив свойства умножения, вычислите наиболее рациональным способом: а) (-21) • (-8) • 3 • (-25); в) (-13) • 52 + 48 • (-13); 13. Найдите значение выражения: а) -3т + 5, если т = 7; в) 4аЪ + 2, если а = 3, Ъ = -1; б) (-5) • (-25) • (-2) • (-4); г) 29 • (-125) - 29 • (-124). б) 2 - 5п, если п = -6; г) 143 -1 5 ху, если х = -12, у = 0. 14. Найдите произведение всех целых чисел от -20 до 15. 15. Сумма двух ненулевых целых чисел равна нулю. Какой знак будет у произведения этих чисел? 16. Впишите числа -1, 2, -3, -4 , 5, -6 , -7, 8, -9 так, чтобы произведение чисел по любой горизонтали, вертикали и диагонали было положительным.

Вычитание целых чисел

4.1. Вычитание целых чисел Иссд5 уемТ у ?иэе1Т 4 - 7 = ? Ц Коля попросил своего младшего брата Мишу выполнить вычитание: 4 - 7. Миша удивился и ответил, что не существует такого числа, которое бы равнялось разности 4 - 7. Коля объяснил Мише, что действительно не существует такого натурального числа, но его легко можно найти среди целых чисел. • Рассмотрев решение следующей задачи, вы поймете, как Коля объяснил Мише выполнение вычитания 4 - 7. <ТХ Вечером температура воздуха была 4 °С. Какой стала температура воздуха утром, если она понизилась на 7 °С? Решение: 1 способ Разностью двух целых чисел а и Ъ называется такое целое число с = а - Ъ, что а = с + Ъ. а - Ь = с X 1 X уменьшаемое разность (остаток) вычитаемое 2 способ Пусть х - искомое значение температуры. Так как температура понизилась на 7 °С, то она стала меньше на 7 °С, значит, 4 - 7 = х, где 4 = х + 7. х = -3, так как -3 + 7 = 4. Таким образом, 4 - 7 = —3. 7° Ответ: -3°С. 4 - 7 = 4 + (-7) -0 Обозначим понижение температуры через -7 °С. Получим: 4 + (-7) = -3. Целые числа 55 За бортом космического корабля работает космонавт. Часть скафандра, куда попадают солнечные лучи, имеет температуру +140°С, а теневая часть -130°С. Найдите разность между температурами. Решение: 140- (-130) = х. Найдем число х такое, что х + (-130) = 140. х = , так как + (-130) = 140. 140 - (-130) = 140 +130 = 270 Ответ: °С. 0 6 - 11 -5 0 Рассмотрите и объясните следующие вычитания: ( 6 + (-11) 6 -11 = 6 + (-11) = -5; 8 - (-5) = 8 + 5 = 13; - 2 - 4 = -2 + (-4) = -6; -3 - (-9) = -3 + 9 = 6. 8 + 5 8 - (-5) -2 + (-4) 13 -2 - 4 0 -3 + 9 -3 - (-9) 4 0 6 Розьмите на заметк Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - Ъ = а + (-Ъ), для любых а е 2, Ъ е 2. 6 4 4.2. Расстояние между двумя точками на числовой оси (дополнительно) ^ ссле^/ем^ знае^ ^ Муравей переместился по числовой оси из точки А(а) в точку Б(Ъ). Найдите, какое расстояние преодолел муравей, если: а) а = 2, Ъ = 6; б) а = -2, Ъ = 5; в) а = -1, Ъ = -4. Решение: Обозначим расстояние через АВ = х. а) +л' - А В 0 1 2 3 4 5 6 7 2 + х — 6 х = 4 АВ = 6 - 2 = 4 56 Глава 2 б) +х А В - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 2 + X = 5 х = АВ = 5 - = + = в) ------—--------- А -5 -4 -3 -2 - 0 1 2 * -1 + ( - х) = - 4 х = АВ = -1 - ■ + Расстояние между точками А (а) и В(Ъ) на числовой оси вычисляется по формуле: АВ = | а - Ъ |, для любых а е Ж, Ъ е Ж. •Применяем Город Астрахань расположен ниже уровня моря на 25 м, а город Мехико - на высоте 2 240 м над уровнем моря. На сколько метров выше уровня города Астрахань расположен город Мехико? Решение: 2 240 - (-25) = 2240 + 25 = 2 265 (м). Ответ: 2265 м. Упражнения и задачи 2240 1. Продолжите: а) -1 - 5 = -1 + (-5) = в) 7 - (-10) = 7 +10 = д) -15 -1 5 = -15 +... ж) 24 - (-9) = 24 +... 2. Выполните действия: а) -13 - 6; г) -16 - 9; ж) 0 - (-13); б) 40 - 52; д) 12 - 26; з) 0 - 22; б) 2 - 9 = 2 + (-9) =...; г) -4 - (-3) = -4 + 3 =...; е) 11 -1 8 = 11 +... =...; з) -15 - (-23) = -15 +... =... в) -17 - (-17); е) 8 - (-31); и) 34 - (-12). Целые числа 57 3. Впишите число так, чтобы полученное высказывание было истинным: 0 1 II 1оо б) 10 - = -2; в) - 4 = -1; г) - 10 = -7; д) -3 - = 6; е) 9 - = 15; о 1 N У II 1 со4 1 со | и) - (-12) = 14. Уменьшите каждое из чисел на 25. а) 18 ; б) 0 ; в) -6 ; г) 1 ; д) 24 . 5. Перечертите и заполните таблицу: 6. Найдите расстояние АВ между точками А (а) и В(Ъ), если: а) а = -5, Ъ = 3; б) а = 1, Ъ = 10; в) а = -7, Ъ = -8. 7. Самая низкая температура на Земле (-89 °С) была зарегистрирована в Антарктиде, а самая высокая (58 °С) - в Африке. Найдите разность между самой высокой и самой низкой температурами на Земле. а 8 0 -4 -15 1 -18 Ъ -13 -7 -16 4 15 0 а - Ъ Ъ - а Л 8. Вычислите: а) -12 - 8 + 7; б) 9 -1 6 - 3; в) 25 - 28 - 7; г) -7 -1 5 - 21; д) 6 -1 4 + 8; е) -9 - 7 +11. 9. Найдите значение числового выражения: а) -3 - 8 +12 - 4 +11; б) 4 - 5 +11 - 9 - 4; в) 9 - 2 - 8 + 4 - 21; г) -16 - 7 + 32 - 21 +17; д) -16 + 9 + 27 -11 - 8. 58 Глава 2 10. Найдите значение выражения х - у + 2, если: а) х = -3, у = -7 , 2 = -12; б) х = 9, у = 12, 2 = -8; в) х = -21, у = -6 , 2 = 17. 11. Впишите один из знаков (+ или -), чтобы полученное высказывание стало истинным: а) 72 (-53) = 125; б) 96 81 = -45; в) -37 (-64) = -101; г) -49 17 = -32; д) -61 9 = -70; е) 74 (-26) = 100. 12. Какая из точек, В или С, расположена на числовой оси дальше от точки А (-12), если: а) В(-6), С(-16); б) В(3), С(-27)? 13. Перечертите и заполните таблицу: а Ъ а - Ъ Ъ - а 1а 1 - 1Ъ1 1Ъ1 - 1а 1 -6 -9 12 19 -10 4 А 5 -11 __ — \ 14. Может ли разность двух чисел быть больше их суммы? Обоснуйте ответ, приведя примеры. 15. Подставьте вместо один из знаков (+ или -), а вместо такое число, чтобы полученное высказывание стало истинным: а) ( 24) + ( ) = -12; б) ( ) - ( 10) = 22; в) -15 - ( ) = 0; ^ г) ( 9) + (+4) = - И - 16. Даны числа А (-12), В(-4) на числовой оси. Найдите координаты точки С и длину отрезка АС, если точка В - середина этого отрезка.

Сложение целых чисел

3.1. Сложение целых чисел с одинаковыми знаками ^ сЭ уемТ у зизе^ с§| Утром температура воздуха была +3°С. Какой стала температура воздуха в полдень, если она поднялась на 4 °С? Решение: Обозначим повышение температуры через +4 °С. Получим: (+3) + (+4) = 3 + 4 = 7. Ответ: +7 °С. 0 3 7 +4° С С /^1 Вечером температура воздуха была -3 °С. Какой стала температура воздуха к полуночи, если она понизилась на 5 °С? Решение: Обозначим понижение температуры через -5 °С. Получим: -3 + (-5) = . Ответ: °С. —I— - 8 +(-5)° 5° 3 0 Муравей переместился по числовой оси из точки О в отрицательном направлении сначала на 3 единицы, затем еще на единицу и оказался в точке С. Найдите координаты точки С. 1 -4 О Решение: -3 + (■ ) = Ответ: С( ). Можно решить и так: - 3 + (- 1) = = - (|-3| + |-1|) = = - (3 + 1) = - 4. 7 4 возьмите на заметк 3 3 0 Чтобы сложить два целых числа с одинаковыми знаками, надо: ® сложить их модули; ® поставить перед полученным числом общий знак. 50 Глава 2 3.2. Сложение целых чисел с разными знаками Исследуем и узнаем ‘Ц Коля и Саша играли в компьютерные игры. У Коли 7 выигрышей и 8 проигрышей, а у Саши - 6 выигрышей и 4 проигрыша. Кто выиграл, если каждый проигрыш аннулирует один выигрыш? Решение: Обозначим число выигрышей через положительные числа, а число проигрышей через отрицательные. Число проигрышей у Коли на единицу больше, чем выигрышей. Получим: (+7) + (-8) = -1. Число выигрышей у Саши на 2 больше, чем проигрышей: Получим: (6) + (-4) = Ответ: С/% Муравей переместился по числовой оси из точки О в положительном направлении сначала на 2 единицы, затем еще на 5 единиц в отрицательном направлении и оказался в точке А. Найдите координаты точки А. я р ешил так: +2 + (- 5) = - (|- 5 1 - |+2|) : = -(5 2) = -3 +8 + ( 2) = +(8 2) = +6 -7 + (+3) = -(7 - 3) = -4 Решение: -5 5 +2 А о ---------- -- -3 0 +2 + (-5) = -3. Ответ: -3. VI возьмите на заметк Чтобы сложить два целых числа с разными знаками, надо: ® из большего модуля слагаемых вычесть меньший; ® поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. Объясните, почему +3 + (-3) = 0. 7 Л Розьмите на заметк Целые числа Сумма двух противоположных целых чисел равна нулю: а + (-а) = 0, для любого а е Ж. 51 3.3. Свойства сложения целых чисел Исследуем и узнаем СЦ а) Рассмотрите таблицу. Подставьте вместо а и Ъ целые числа и проверьте истинность выводов, записанных в таблице. а Ъ а + Ъ Ъ + а Вывод -6 4 - 6 + (+4) = -2 + 4 + (-6) = -2 а + Ъ = Ъ + а, а е Ж, Ъ е Ж -4 0 - 4 + 0 = -4 0 + (-4) = -4 а + 0 = 0 + а = а, а е Ж б) Рассмотрите таблицу. Подставьте вместо а, Ъ и с целые числа и проверьте истинность вывода, записанного в таблице. а Ъ с а + (Ъ + с) (а + Ъ) + с Вывод -2 +7 -3 - 2 + (+7 + (-3)) = (-2 + (+7)) + (-3) = а + (Ъ + с) = (а + Ъ) + с, = -2 + (+4) = 2 = 5 + (-3) = 2 а, Ъ, с е Ж Свойства сложения целых чисел 1° Сложение целых чисел коммутативно: а + Ъ = Ъ + а для любых а, Ъ е Ж. 2° Сложение целых чисел ассоциативно: а + (Ъ + с) = (а + Ъ) + с для любых а, Ъ, с е Ж. 3° Целое число 0 является нейтральным элементом сложения целых чисел: а + 0 = 0 + а = а для любого а е Ж. 4° Для каждого целого числа а есть только одно противоположное ему число -а, - а е Ж такое, что а + (-а) = - а + а = 0 для любого а е Ж. ^ Вычислите ((-2) + (-3)) + 3. Решение: ((-2) + (-3)) + 3 = (-2) + (-3 + 3) = -2 + 0 = -2. ч__________ ____ __________________^ свойство 2° 52 Глава 2 Упражнения и задачи 1. Выполните с помощью числовой оси сложение: а) +3 + (+7); б) - 2 + (-6); в) -1 + (-8); г) +6 + (+1); д) - 4 + (-9); е) -8 + (-2). 2. Вычислите: а) -11 + (-120); б) -18 + (-17); в) +13 + (+34); г) -15 + (-27); д) +56 + (+27); е) -32 + (-181). 3. Вечером температура воздуха была -6 °С . Какой стала температура воздуха утром, если в течение ночи она понизилась на 5 °С? 4. Запишите число в виде суммы двух целых чисел: а) -100; б) -29; в) -13; г) -999. 5. Впишите в таблицу 4 числа так, чтобы сумма любых двух чисел была отрицательной. 6. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) (-4) + = -6; б) + (-2) = -12; в) -3 + = -11; г) + (-7) = -20. 7. Отметьте на числовой оси точку А(-4). Затем отметьте точку: а) Б(Ъ), где Ъ = - 4 + 2; б) С(с), где с = - 4 + 5; в) Б(Б), где ё = - 4 + (-1); г) М(т), где т = - 4 + 4. 8. Вычислите: а) -8 + 2; д) 21 + (-9); б) 12 + (-14); е) -121 + 98; в) -16 +15; ж) 137 + (-112); г) - 6 +17; з) -291 + 290. 9. Запишите в виде суммы двух целых чисел с разными знаками число: а) -2; б) 3; в) -5; г) 0; д) 7; е) -1. 10. Впишите такое целое число, чтобы полученное высказывание было истинным: а) 2 + = -7; б) + (-3) = -1; в) -3 + = 3; г) 0 + = -6; д) -8 + = 0; е) -11 + = -11 11. Перечертите и заполните таблицу: а -10 5 -17 0 -8 -20 - 13 Ъ 12 -7 17 -3 -4 19 -10 а + Ъ _ А Целые числа 53 12. Вычислите: а) 89 + (-62); б) -89 + (-62); д) -136 + (-49); е) -186 + 236; и) -64 + 75; к) -139 + 123; в) -89 + 62; ж) -98 + (-59); л) 45 + (-105); г) 27 + (-43); з) -43 + (-57); м) -82 + (-69). ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------- 13. Найдите значение выражения х + у , если: а) х = 171, у = 112; б) х = -213, у = -67; в) х = -47, у = -133; г) х = -59, у = -241. 14. Вычислите: а) (-4) + (-5) + (-6) + 2 + 3 + 4; б) (-7) + (-8) + (-4) +15 + 4; в) 17 + (-12) +18 + (-13) +19 + (-14). 15. Сравните: а) -99 + 100 0; >• б) -20 + 17 0; в) 82 + (-89) + 8 0; г) -114 + 114 0. 16. Вычислите, применив свойства сложения: а) -1 4 + (-16 + 20); б) (-18 + (-11)) + (-12); в) 19 + (-13) + 3 + (-19); г) -2 8 + (-17) + (-12) +17. 17. Найдите значение выражения а + (-38) + (-65) + Ъ, если: а) а = 28, Ъ = -25; б) а = -85, Ъ = -12. 18. Дополните таблицу тремя различными числами так, чтобы сумма любых двух чисел была отрицательной. 19. Впишите такое число, чтобы полученное высказывание было истинным: а) 627 + = 0; б) 217 + 325 + =325; в) + 215 + =215; г) + 2000 + =300. 7 • • • 20. Найдите сумму всех целых чисел от -99 до 100. 21. При каких условиях равенство х + у + г +1 = 0 является истинным, если х и 2 - противоположные целые числа? 22. Найдите сумму наибольшего положительного целого числа, состоящего из трех различных цифр и наименьшего отрицательного числа, состоящего из: а) 3 различных цифр; б) 5 различных цифр; в) 6 различных цифр.