Арифметические методы решения задач

 3.1. Графический метод Гешаем и поясняем Ц Всего на 3 базах было 260 т яблок. На первой базе было на 56 т яблок больше, чем на второй, а на третьей - на 30 т больше, чем на второй базе. Сколько тонн яблок было на каждой базе? Представим неизвестные и зафиксируем связь между величинами, заданными в задаче с помощью рисунка. Решение: ® Изобразим с помощью отрезков: I база II база III база 56 т г----------- ^ н-------------- ч 260 т 30 т ® Вычислим сумму значений равных частей: 260 - 56 - 30 = 174 (т). ® Найдем, сколько тонн яблок было на II базе (значение одной части): 174:3 = 58 (т). @ Найдем, сколько тонн яблок было на I базе: 58 + 56 = 114 (т). © Найдем, сколько тонн яблок было на III базе: 58 + 30 = 88 (т). Проверка: 114 + 58 + 88 = 260 (т) - И. Ответ: I база - 114 т; II база - 58 т; III база - 88 т. Натуральные числа. Повторение и дополнения 21 Дополняем и поясняем /^и Автобус преодолел расстояние в 1270 км за три дня. В первый день он прошел расстояние в 5 раз больше, чем во второй, а в третий - на 60 км больше, чем в первый день. Сколько километров проезжал автобус каждый день? Решение: ® Изобразим с помощью отрезков I день |---------1------- II день |---------1 III день I---------1------- 1270 км км ® 1270 - = (км) - сумма значений равных частей. ® 5 + 1 + 5 = 11 (равных частей). ® 1210 : 11 = (км) - II день. © • 5 = (км) - I день. 5 + 60 Проверка: + (км) - III день. + = 1270 (км) Ответ: I день км; II день км; III день км. 3.2. Метод сведения к единице Решаем и поясняем Ц За 12 коробок конфет заплатили 432 лея. Сколько стоят 8 таких коробок конфет? Решение: Применим схему: 12коробок ..................... 1 коробка .................... 432 : 12 = 36 (леев) 8 коробок ...................... 36 • 8 = 288 (леев) Значит, цена одной коробки равна 36 леям, а 8 коробок стоят 288 леев. Ответ: 288 леев. Сводим сравнение величин из условия задачи к их сравнению с одной из величин, принятой за единицу. 432 лея 22 Глава 1 Дополняем и поясняем /X Для празднования Рождества одна семья купила индюка, гуся, 3 курицы и 5 цыплят. Известно, что цена одного цыпленка равна 32 леям. Сколько заплатили за всю покупку, если индюк стоит столько же, сколько гусь и 2 курицы, гусь - как одна курица плюс 20 лей, а курица - как 3 цыпленка. Решение: Для решения задачи примем за единицу цену цыпленка. Тогда одна курица стоит 3 ■ 32 = 96 (леев). За гуся заплатили 3 ■ 96 + 20 = + 20 = (леев). За индюка: + 2 ■ 96 = (леев). За всю покупку заплатили: + + 3 ■ 96 + 5 ■ 32 = (леев). Ответ: лея. 3.3. Метод обратного хода Решаем и поясняем Ц Вика задумала число. Она умножила его на 2, потом отняла 5, полученный результат умножила на 3, разделила на 6, затем прибавила к частному 4 и получила 28. Какое число задумала Вика? Решение: Имеем: ■ 2 - 5 Решаем задачу, начиная с конца ее условия. : 6 + 4 28 Восстановим число, начиная решение с конца условия: 28 - 4 24 6 144 : 3 48 + 5 53 : 2 26,5 Ответ: 26,5. Дополняем и поясняем /X В первый день турист шел 6 часов, во второй день он прошел 30 км, в третий день на 20 км больше, чем во второй, а в четвертый день турист шел 5 часов со скоростью 8 км/ч. Всего он преодолел 180 км. С какой скоростью тронулся в путь турист в первый день? Натуральные числа. Повторение и дополнения 23 Решение: Начнем решение задачи с конца условия: ® В четвертый день турист прошел: 5 • 8 = 40 (км). © В третий день: 20 + 30 = 50 (км). ® За II, III, IV дни вместе: 30 + + (км). ® В первый день он прошел: 180 - = © В первый день турист тронулся в путь со скоростью: : 6 = (км/ч). Проверка: + + + = (км). (км). Ответ: + км/ч. 3.4. Метод фальшивой гипотезы Ис-с-ледуем ы узнаем Ц Н а лугу пасутся гуси и овцы, всего 98 голов и 252 ноги. Сколько гусей и сколько овец пасутся на лугу? Решение: ® Предположим, что на лугу пасутся только гуси. Тогда, если есть 98 голов, то имеем 98 • 2 = 196 (ног). © Сравнивая с условием задачи, получим: 252 - 196 = 56, то есть на 56 ног больше. ® Такой результат мы получили, предположив, что на лугу пасутся только гуси. ® Учитывая, что у овец не 2, а 4 ноги и то, что у нас получилось на 56 ног больше, найдем, сколько овец пасутся на лугу: 56 : 2 = 28 (овец). © Найдем, сколько гусей пасутся на лугу: 98 - 28 = 70 (гусей). Проверка: 28 • 4 + 70 • 2 = 252. Ответ: 28 овец, 70 гусей. 24 Глава 1 Дополняем и поясняем На 730 леев можно купить 22 книги, по 25 леев и по 40 леев. Сколько книг каждого вида можно купить? Решение: ® Предположим, что все книги стоят по 40 леев. Тогда за все 22 книги надо заплатить: 22 ■ 40 = 880 (леев). ® Сравнивая с заданной суммой денег, получим: 880 - 730 = (то есть на леев больше). ® Такой результат мы получили, предположив, что все книги стоят по 40 леев. ® Найдем, сколько книг по 25 леев было куплено: : (40 - 25) = (книг). © Найдем, сколько книг по 40 леев было куплено: 22 - = (книг). Проверка: ■ + ■ = 730 (леев). Ответ: книг по 25 леев; книг по 40 леев. Ододшаем Суть метода заключается в том, что начинают, как правило, с вопроса задачи, сделав произвольное предположение относительно искомых величин, не противореча условию задачи. Далее данная задача решается на основе сделанного предположения до тех пор, пока не будет получен результат, не соотносимый с условием задачи: либо больше, либо меньше, чем дано в условии. Этот результат (на основе предположения) сравнивается с тем, что дано в условии задачи. Из полученных несоответствий делаем правильный вывод по решению задачи. Упражнения и задачи ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Решите задачи графическим методом: а) Веревку длиной 74 м разрезали на две части. Длина первой части на 16 м длиннее второй. Чему равна длина каждой части? б) Масса трех металлических деталей равна155 кг. Первая деталь на 28 кг тяжелее второй, а третья на 22 кг тяжелее второй. Какова масса каждой детали? 2. Решите задачи методом сведения к единице: а) Стоимость 12 книг по одинаковой цене составляет 816 леев. Сколько стоят 5 таких книг? б) Света купила 18 альбомов и 24 книги по той же цене. За все она рассчиталась банкнотой в 500 леев и получила сдачу 17 леев. Сколько стоит один альбом и сколько стоит одна книга? Натуральные числа. Повторение и дополнения 25 3. Решите задачу методом обратного хода. От удвоенного числа отняли 10, полученный результат умножили на 6, затем прибавили 5, разделили на 8 и получили 22. Найдите искомое число. 4. Решите задачи и ш из раздела 3.4, сделав другое предположение. 5. Решите задачи методом фальшивой гипотезы: а) Фермер продавал цыплят и кроликов: всего 20 голов и 68 ног. Сколько цыплят и сколько кроликов выставил на продажу фермер? б) В 22 книгах по 50 и по 90 страниц, всего 1340 страниц. Сколько всего книг содержат 50 страниц и сколько - 90 страниц? ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Решите задачи графическим методом: а) Отцу 44 года, а сыну 16 лет. Сколько лет назад отец был в 3 раза старше сына? б) В библиотеке 458 книг на трех языках. Книг на испанском языке на 50 меньше, чем книг на французском, и в два раза меньше, чем на английском. Сколько книг на каждом языке в библиотеке? 7. Решите задачу методом сведения к единице: За 10 дней 6 рабочих выкопали ров длиной 420 м. Какой длины ров могут выкопать за 8 дней 10 рабочих с той же производительностью труда? 8. Решите задачу методом обратного хода: Домохозяйка продавала на рынке дыни. Первый покупатель купил половину всех дынь и еще полдыни. Второй купил половину того, что осталось и еще полдыни. Третий покупатель купил половину того, что осталось и еще полдыни. Так домохозяйка продала все дыни. Сколько всего дынь было у нее? 9. Решите задачу методом фальшивой гипотезы: На ферме есть гуси, утки и телята: всего 120 голов и 280 ног. Известно, что число гусей в три раза больше, чем уток. Най- С дите, сколько гусей, уток и телят на ферме. ' ( 10. В классе девочек в три раза больше, чем мальчиков. Может ли быть в этом классе 34 ученика? А 36 учеников? Сколько учеников должно быть в классе, чтобы задача имела решение? Найдите несколько вариантов ответа. 11. а) Составьте задачу, которую можно решить: 1) графическим методом; 2) методом сведения к единице; 3) методом обратного хода; 4) методом фальшивой гипотезы. б) Предложите одноклассникам решить составленные задачи.