Множество рациональных чисел

 3.1. Понятие рационального числа ИссдеЭуемиузиэем • Петя увидел на мамином рабочем столе один из бухгалтерских документов - еженедельный отчет. Заметив записи, он удивился, потому что был знаком только с целыми отрицательными числами. Поразмышляв минуту, он построил числовую ось. Отметил на этой оси сначала точку А(2,5). Затем построил слева от начала отсчета О отрезок ОВ, конгруэнтный отрезку ОА, и записал В(-2,5). В — I— -2,5 О А —I— 0 1 2,5 Числа -2,5 и 2,5 являются противоположными. Числа, противоположные положительным десятичным числам, являются отрицательными десятичными числами. 'Практическая работа ® Постройте числовую ось и обозначьте начало отсчета точкой О. ® Отметьте на этой числовой оси точки: М ' 1 Л V2 / N ' 1 Л V4 / Б ' 3 Л 2 С ' 3 Л 4 Постройте слева от точки О отрезок ОВ, конгруэнтный отрезку ОМ. Запишите координату точки В. ® Отметьте на этой же числовой оси точки: К ' 3 ^ "4 Е ' 3 ^ "2 О ' 1 ^ 4 ® Определите пары противоположных чисел. тт 1 1 3 3 Числа - 4 ; - 4 ; - - 4 являются отрицательными числами. Рациональные числа 117 вспомним Выберите из множества ^5; 1 |; - 5 ; 2,3; -21; 21,1; - | ; -3 ; -0,7^: 3 1 5 -• — • 2 3' - 21 211- - — 8 ; 5 ;2,3; 21;21,1; 3 а) целые числа; б) дроби и смешанные числа; в) десятичные числа. Решение: Целые числа 5 -21 -3 5 - 21 - 3 1 1 1 Дроби и смешанные числа 3 1 8 1 5 5 3 11 -1 - 5 8 5 3 Десятичные числа Все эти числа являются рациональными числами. Ф возьмите на заметк Число называют рациональным, если его можно записать т_ п * в виде , где т е Ж, а п е N . Множество рациональных чисел обозначают через Множество неотрицательных рациональных чисел Множество неположительных рациональных чисел Множество ненулевых рациональных чисел N с Ж с ^ Решаем • Впишите одно из множеств ^ +, ^ -, Ж*, чтобы получить истинное высказывание: а) 2 е Н ; б) - - 8 ; в) - 2 ё ; г) 0 ё . 118 Глава 3 1 1 а Т ® ^ С 7 у * Т е Р ® *111® - Долгое время рациональные числа не имели названия. Они получили свое название только после того, как появились другие виды чисел. Древнегреческие математики обнаружили, что для измерения длины диагонали квадрата со стороной, равной 1, недостаточно только целых чисел и дробей. Неизвестные новые числа назвали иррациональными, а уже известные - рациональными числами. 3.2. Модуль рационального числа. Свойства |- 2 | |3 | г н---------- \ ~^!-- —I--- -2 0 |- 2 |= 2; |3 |= 3 Исследуем и узнаем 3 4 Ж |1,5| = 4 ; 11,5 | = 1,5 1,5 Возьмите на заметк Расстояние от начала отсчета (точки О) до точки А(а), а е ^ , называется модулем (или абсолютным значением) рационального числа а и обозначается как | а | . 3 0 Проанализируйте и заполните пропуски: 2 3 : | -0 ,0 1 1 = | 5,3 | = 5,3; | -5,23 | = 7 возьмите на заметк Для любого рационального числа а верно: а, а > 0 | а | > 0 • | а | = < 0, а = 0 - а, а < 0 13 |0 | = | - а | = | а | Рациональные числа 119 3.3. Виды записей рациональных чисел Исследуем и геиаемИ Ц Миша записал числа 11 ; 1 0 ; 1,25 и сказал одноклассникам, что все 4 8 эти числа представляют одно и то же рациональное число. Он объяснил это следующим образом: 14 =■ 1-4 +1 _ 5 10 _ 1 0 :2 _ 5 1 2 5 _125 _125:25 _ 5 4 4 ; 8 8 :2 4 ; ,2 100 100:25 4 Рассмотрите и заполните пропуски: 1) Запишите десятичное число в виде дроби: а) 3,16; б) 10,035. I способ 16 4 79 а) 3Д6 _ 3Т0О _ 3 25 _ 25- б) 10,035 = 10— = 10— = — . II способ а) 3,16 = 3 16 _ 316 _ 79, 100 100 25 35 б) 10,035 = 10 = — = — . 2) Запишите дробь в виде конечного десятичного числа или периодического десятичного числа: ) 13 б) 17 а) У б) - 2 5 ; 13 а) У _ 2 в) - 3 ; 1,625 Выполняем деление 1 3I 8 8 1 ,6 2 5 50 48 _ 20 1 6 40 40 0 2 в) - 3 = - Выполняем деление 0,(6) 2, 0 20 - 18 20 - 1 8 0,66.. Л 20 11 г) У б) - ^ = -■ 1 25 Выполняем деление 11 г) У _ ■ Выполняем деление 17 25 0, 170 11 1, Глава 3 0 6 0 0 120 *? I л Возьмите из заметку ф Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей, кроме 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде конечного десятичного числа. ф Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители, отличные от 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде периодического десятичного числа. 3.4. Сравнение рациональных чисел изем Ц| Олег с Мишей помогли дедушке вскопать участок. Олег вскопал 0,4 3 участка, а Миша - участка. Кто 8 из внуков вскопал большую часть? Решение: 3 Сравним числа 0,4 и . 8 I способ 4 2 0,4 = 4 =2 2 5 16 40 10 ♦ 5 3 8 15 40 > 1 ? ' II способ 3 3 = 0,375 0,4 0,375 _Г 'Л 16 > 15 Ответ: вскопал большую часть. возьмите из ззметк Положительные рациональные числа сравниваются так же, как положительные дроби или положительные десятичные числа. Рациональные числа 121 Сравните числа: ) 7 9 . а) ~ п и - Т6- б) 0,(23) и - Ц , Решение: 7 12 а) - н меняем _9_ 16 12 А _9_ 16 А в) - 7 8 и 0. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль7 7 знак 9 которого меньше. 12 16 б) 0,(23) > - 19 в) - 7 8 < 0 Любое отрицательное число меньше любого положительного числа или нуля. 7 3.5. Округление рациональных чисел ф В свой день рождения Аня узнала, что на почте ее ждет посылка, которую ей прислала ее подруга из Англии. Посылка весит 3 фунта. Нужна ли будет Ане помощь брата, чтобы принести посылку домой? Решение: +1 1 фунт = 0,45359237 кг » 0,5 кг округляем до десятых 0,5 • 3 = 1,5 (кг) 3 фунта «1,5 кг. Ответ: Аня сможет сама принести посылку домой. 122 Глава 3 Исследуем и узнаем а) 5,2 5,27 +1 5,27 « 5,3 5,3 х б) в) + 0,14 0,13 3 0,133 -0,13 = - 0,13 х 4 7,4 7,45 7,5 7,45 « 7,5 возьмите на заметк х —I— -7,5 + + ■7,4 7,45 -7,4 х 45 « -7 ,4 ® Округлением рационального числа до заданного разряда является число этого разряда, расположенное на числовой оси более близко к данному рациональному числу. ® Если рациональное число равноудалено на числовой оси от двух последовательных чисел одного и того же разряда, до которого выполняется округление, то округлением будет большее из них. Решаем Рассмотрите и дополните таблицу: Рациональное число Округление до целого до десятых до сотых 0,813 1 0,8 0,81 2 1 9 40 -1,365 -1 -1,4 -1,36 -22,727 0,1(8) 0 0,2 0,19 - 4 ■ 128 ______________ 4 Рациональные числа 123 3.6. Сложение и вычитание рациональных чисел Решаем Ц Вертолет сначала снизил высоту на 50,6 м, а затем поднялся на 102,3 м. Как изменилась высота полета после таких маневров пилота? Решение: - 50,6 +102,3 = +51,7 (м). Ответ: Высота полета увеличилась на 51,7 м. 7 /% Выполните Решение: а) действия: + ■ ч 1 + 5. а) - 3 + 6 ’ б) 1 3 1 "э _ 1 3 0 ,5 = 1 Ь6 = 2 _ 1 = 3 1 2 Л _ 1 + 5 3 6 5 _ 2 6 6 = 1 2 3 6 1 2 б) _ 0,2 + (-1,4). + (_1,4) + ­ 0,2 0 | - 0 ,2 1 = 0,2 |- 1 ,4 |= 1,4 0,2 +1,4 = 1,6 - 0,2 + (-1,4) = -1,6 возьмите на заметк ® Чтобы сложить два рациональных числа с одинаковыми знаками, надо сложить их модули и поставить перед полученным результатом их общий знак. 1 + - 5 = - 8 = - 4 = - 1 1 2 1 6 6 э э 0 ,2 5 + 4 = -4+ 4 = 2 . 4 4 4 2 5 6 ® Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля вычесть меньший; 2) поставить перед полученным результатом знак того числа, модуль которого больше. - 31 + — = - 7 + — = - Э 4 2 10 / 1 0 ’ 124 Глава 3 ^ Выполните действие: а) -12,78 - 8,56; Решение: 5 ( 7 Л б) - 5 1 2 а) -12,78 - 8,56 = = -12,78 + (-8,56) = 4 б) - ? - 12 - 5 + А : 9 12 36 + 36 ' Розьмите на заметк Чтобы выполнить вычитание двух рациональных чисел, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - Ъ = а + {-Ъ). Замечание. Сумма и разность двух рациональных чисел есть число рациональное. 3.7. Свойства сложения №итш.'1цу!М1и Га *Т а в л ^а ! Ц Заполните таблицу: а ъ а + Ъ Ъ + а 2 1 3 5 4 - 0,4 - 2,7 ________ В • Вывод: а + Ъ = /X Заполните таблицу: а ъ с а + (Ъ + с) (а + Ъ) + с 1 3 5 3 4 6 - 0,03 - 0,75 - 0,25 _________4 • Вывод: а + {Ъ + с) = (Ц Выполните действие: а) п + 0 = • Сделайте вывод. ^ Выполните действие: а) - 1 7 + 1 7 = • Сделайте вывод. б) - 7 + 0 = б) 0,31 + {- 0,31) = в) 0 + {- 0,15) = ) А + ( - А Л 13 [ 13/ Рациональные числа 125 Ододшаем Свойства сложения рациональных чисел 1° Сложение рациональных чисел коммутативно: а + Ъ = Ъ + а, для любых а, Ъ е 2° Сложение рациональных чисел ассоциативно: а + (Ъ + с) = (а + Ъ) + с, для любых а, Ъ, с е 3° Число 0 является нейтральным элементом сложения рациональных чисел: а + 0 = 0 + а = а, для любого а е 4° Для любого рационального числа а существует только одно противоположное ему число, равное -а, причем а + (-а) = -а + а = 0. Завершите вычисление: а) - 15+ + 4 15 : - ± + - 4 + ( - 1 Л 15 15 7 V : 0 + ( \ 7 б) (0,01 + (-3,2)) + 3,2 = 0,01 + ( + ) = 0,01 + 1 3.8. Раскрытие скобок СЦ| Выполните действие: а) 7,1 + (2,9 + 3,1); б) 7,1 + 2,9 + 3,1; в) 6,3 + (-5,3 + 2,2); г) 6,3 - 5,3 + 2,2. Завершите решение и сравните полученные результаты: а) 7,1 + (2,9 + 3,1) = 7,1 + = ; б) 7,1 + 2,9 + 3,1 = а + (Ъ + с) = а + Ъ + с, для любых а, Ъ, с е Завершите решение и сравните полученные результаты: в) 6,3 + (-5,3 + 2,2) = 6,3 + ( ) = ; г) 6,3 - 5,3 + 2,2 = а + ( - Ъ + с) = а - Ъ + с, для любых а, Ъ, с е Ододшаем При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак плюс (+), знаки слагаемых, стоящих в скобках, сохраняются: + (а - Ъ + с) = а - Ъ + с. 126 Глава 3 <ТХ Вычислите: - 1 + |^ --2 - 2^. Проанализируйте и закончите решение. - 2 + | - ! - 2 Ь 2 • 3 • 2 = Ш 2 = Ш Исследуем и узнаем (Ц Вычислите: а) 5 1 -9 6 Г 6 б) ! + 6 + 9 в) 0,03 - (0,03 + 2,72); г) 0,03 - 0,03 - 2,72. Завершите решение и сравните полученные результаты: а) 6 - Г - 6 - 9 V 5 - <■ >= б) 5 + 6 + 9 = + 9 = а - ( - Ъ - с) = а + Ъ + с, а, Ъ, с е в) 0,03 - (0,03 + 2,72) = 0,03 - = ; г) 0,03 - 0,03 - 2,72 = - 2,72 = . а - (Ъ + с) = а - Ъ - с, а, Ъ, с е Ододшаем При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус (-), знак каждого слагаемого, стоящего в скобках, меняется на противоположный: - (а + Ъ - с) = -а - Ъ + с. Вычислите: 0,1 - (-0,9 +101). Проанализируйте и закончите вычисление: 0,1 - (-0,9 + 101) = 0,1 + 0,9 101 = 101 = . Рациональные числа 127 3.9. Умножение и деление рациональных чисел Исследуемиузнаем ^1 Температура тела летучей мыши может опуститься до -6,6°С. Найдите, до скольких градусов может опуститься температура тела ящерицы, если известно, 2 „ что она составляет — от минимальной температуры тела летучей мыши. Решение: 22 44 22 2 66 2 44 6-6 'з = - То'з = - То = - 4 -4 ф (градусов). Возьмите на заметк Произведение двух рациональных чисел а и Ъ положительно, если числа а и Ъ одного знака. (+)■(+) = + (+)■(-) = - (-)■(+) = - (-)■ (-) = + Произведение двух рациональных чисел а и Ъ отрицательно, если числа а и Ъ разного знака. •Применяем^ 3 Вычислите: а) -1,2 ■ (-17,5); б) - — ■1-9. Проанализируйте и закончите вычисление: а) -1,2■ ( 17,5) =Ш • = ; 3 7 3 б) - 4 ^ 9 = - 4 Замечание. Произведение двух рациональных чисел есть число рациональное. Исследуем и узнаем Днем температура воздуха была -8,5°С, что составляет 6 температуры, которая была ночью. Какой была температура воздуха ночью? Решение: - 8,5 | = -8 ,5 | Ответ: -10,2°С. , 17 ■ = -1 0 ,2 (градусов по Цельсию) 10 5 128 Глава 3 ф Розьмите на заметк Ч астное двух р ац и о ­ нальных чисел а и Ь положительно, если числа а и Ь одного знака. (+) (—) 1 8 +) Т +) т и и и и + + 1 11 'ПрименяемД Э Вычислите: а) —1-3. ( 5 I - 21, 5 Частное двух р ац и ональных чисел а и Ь отрицательно, если числа а и Ь разного знака. б) 0,2: (-1,1). Проанализируйте и закончите вычисление: а) 1з . ( ________ . а) V [ 21)~ - . б) 0,2: (-1,1) - —Н : = Н . Замечание. Частное двух рациональных чисел есть число рациональное. 3.10. Свойства умножения Исследуем и узнаем В АРА ! Ц Заполните таблицу: а Ь а ■ Ъ Ъ ■ а -0,8 1,5 1 3 3 7 1 -1,23 9 17 1 _________ \ Вывод: а ■ Ь- Н ■ ; а 4 - 1 а — Подставьте вместо а, Ь и с произвольные рациональные числа и проверьте формулы: а ■ (Ь ■ с) — (а ■ Ь) ■ с, для любых а, Ь, с е ^ ; а ■ (Ь + с) — а ■ Ь + а ■ с, для любых а, Ь, с е ^ ; а ■ (Ь — с) — а ■ Ь — а ■ с, для любых а, Ь, с е ^ . Рациональные числа 129 7 ■Л, Розьмите на заметк Свойства умножения рациональных чисел 1° Умножение рациональных чисел коммутативно: а ■ Ъ = Ъ ■ а, для любых а, Ъ е ^ . 2° Умножение рациональных чисел ассоциативно: а ■ (Ъ ■ с) = (а ■ Ъ) ■ с, для любых а, Ъ, с е ^ . 3° Число 1 является нейтральным элементом умножения рациональных чисел: а ■ 1 = 1 ■ а = а, для любого а е ^ . 4° Умножение рациональных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания: а ■ (Ъ ± с) = а ■ Ъ ± а ■ с, для любых а, Ъ, с е ^ . Из свойства 4° следуют правила вынесения общего множителя за скобки и раскрытия скобок. Вынесение общего множителя а ■ ( Ъ + с ) = а ■ Ъ + а ■ с Раскрытие скобок Вычислите рациональным способом, применив свойства умножения: а) - 5 ■ 13 ■ 5 ; б) - 2,7 ■ 0,54 - 2,7 ■ 0,46; ч 3 в) - 4 4 - 8 3 9 Проанализируйте и закончите вычисления: 7 13 = • ) - 5 7 6 = - 5 6 7 _ а) 6 ■ 13 ■ 5 6 ■ 5 ■ 13 б) Выносим общий множитель -2,7: - 2,7 ■ 0,54 - 2,7 ■ 0,46 = -2,7 ■ (0,54 + 0,46) = -2,7 ■ в) Раскрываем скобки: 3 9 V 7 - 3 4 + 3 8 = 4 ^ 3 + 4 ^ 9 + - + - Всезнайка применяет свойства умножения для выполнения быстрых вычислений: Попробуйте и вы: ( ш \ 2 |- 6 = + - V 2 35 ' 5 = 2 3 + 5 ■ 5 = 15 + 2 = 17 12 1,5 = 12 ■ (1 + 0,5) = 12 + 6 = 18 Всезнайка 6 = + 7 14 ■ 2,5 = 14 ■ ( + ) + 130 Глава 3 3.11. Степень рационального числа с натуральным показателем рспомии^ ^ ф Сотрудникам одной фирмы предложили оригинальный метод оплаты труда: за один час работы в день - 2 лея. Каждый следующий час - оплата удваивается. Какой будет дневная оплата сотрудника фирмы, если он проработает 8 часов? Решение: 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 28 = 256 (леев). Ответ: 256 леев. Найдите, какую сумму денег потеряет сотрудник, если он уйдет с работы на час раньше. показатель степени Читаем: степень Два в восьмой степени. основание степени (1,5)3 = 1,5 • 1,5 • 1,5 = 3,375; ' 2 * V 3 У 2 2 2 2 = 16, 3 3 3 3 81 (-2 )5 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32. Ф Розьмите из ззметк Степенью рационального числа а с натуральным показателем п, п е Ы*, называется произведение п множителей, каждый из которых равен а: ап = а - а а . . . - а '------------- V------------- ' п р а з Га * т а в а ^а ! Определите знак степени: (-1,73)4 0; 1 0 а = а а = 1 а е ^ а е ^* 00 - не имеет смысла 1 Л6 0; >'*г ' / Г 7 V V 9 7 ( - 0,03)3 0. Сделайте вывод 0 5 Рациональные числа 131 Решаем Рассмотрите и заполните таблицу: Произведение Степень Основание степени Показатель степени Значение степени (-0,2) • (-0,2) • (-0,2) ( - 0,2)3 -0,2 3 -0,008 1 1 1 1 з'з'з'з 2 3 4 ( 1 2 ) Ф Розьмите на заметк В выражениях без скобок возведение в степень является приоритетным. 2 3 1 2 9 - 6 Т ' Т в + - 2 4 V 3.12. Среднее арифметическое Исследуем и узнаем 131 Чтобы составить распорядок дня, Даша записывала в течение недели время, необходимое для выполнения домашней работы. Сколько времени, в среднем, в день тратит Даша на выполнение домашней работы? Решение: 13 + ‘-5 + 2 + 12 + ‘-5 = 1,5 (часа). Ответ: 1,5 часа. день недели &^емл • (б часах.) Лонедельник /.3 вй орн и к '■* С(1еда 2 1 ,2 Л лЯ ница / .5 132 Глава 3 Чтобы ответить на вопрос задачи, мы вычислили среднее арифметическое чисел, данных в таблице. й Розьмите на заметк Средним арифметическим рациональны х чисел ах, а2, а3, ап называется результат деления суммы этих чисел на число слагаемых: а„ а, + а2 + а3 + ...+ а 1___ 2___3______ п_ п Всезнайка изобразил с помощью графика изменение температуры воздуха в муниципии Кишинэу за первые 10 дней марта (см. рисунок). Какой, в среднем, была температура воздуха за эти 10 дней? Решение: г = 1 + (-2) + (-1) +1 + 0 + 3 + 2 + 2 + 5 + 4 = (°С) Ответ: °С. ГА «ТА В АГА » {Ц а) Найдите среднее арифметическое ат чисел 2,7 и -1,3. б) Отметьте на числовой оси точки А(2, 7); В(-1, 3) и С (ат ). в) Где на отрезке АВ расположена точка С? Сделайте вывод. Упражнения и задачи I □ □ ■ 1. Отметьте на числовой оси точки: А(2); В(-1,5); 7 3 1 2. Запишите числа, противоположные данным: 5,1; -0,25; - ; 1 ; 2,7; - 3 . 8 7 9 3. Найдите: а) -а, если а е {-3,1; 15 ; -2,03; 0}; б) Ъ, если - Ъе | -6,2; з | ; -0,1; | | | ; в) - ( - с), если с е | | | ; -1,3; -2,52; 0^ Рациональные числа 133 4. Перечертите таблицу и впишите в каждую ячейку знак е , если точка принадлежит указанному множеству, или знак ё , если точка не принадлежит этому множеству: -3,5 >6 -21 37 0 7 11 0,003 N 2 * <з+ ©- 5. Запишите все целые числа, расположенные на числовой оси между числами: 2 1 15 8 а) 3,7 и 5,1; б) -0,135 и 1,02; в) - 1 ^ и 1^^; г) - — и 3 . 6. Найдите модуль числа: 1 о г! (1 а) 1,3; б) - — ; в) -0,25; г) 1 -; д) 9 ; е) -4 — 7. Найдите | а |, если: 31 2 а) а = -2,3; б) а = — ; в) а = - 7 ^ ; г) 0,75. 8. Найдите значение выражения: а) | - 7 ,2 1 + 1 3,41 ; б) | -1,7 | - 1 -0 ,8 1 ; в) | -1 ,6 1 • | - 6 ,4 1 ; г) 12 + 3 . 16 ; д) 5 3 6 20 е) | -56 | : | 0,7 | . 9. Запишите десятичное число в виде несократимой дроби: а) 12,2; б) 0,25; в) 0,05; г) -3,08; д) 0,875; е) -0,48; ж) -1,92; з) 0,375. 10. Запишите десятичное число в виде смешанного числа: а) 1,5; б) -3,2; в) 5,25; г) -3,125; д) -7,005; е) 4,0125. 11. Запишите дробь в виде десятичного числа: ) 7. б) 3. ) 4. ) 18. ) 11. а) 2 ; б) 4 ; в) Т ; г) — ; д) — ; 4 5 12. Дано множество: М 5 = Г5 . _7. _ 3 . _6_. 17.131 = [ 8 ; 12; 25 ; 11; 5 0 ; 30}. 4 17 13 30 е) 2 > ; ж) 25' а) Определите множество А, А с М , состоящее из дробей, которые можно записать в виде непериодического десятичного числа. б) Запишите элементы множества А в виде десятичного числа. в) Определите множество В, В с М , состоящее из дробей, которые можно записать в виде периодического десятичного числа. 134 Глава 3 г) Запишите элементы множества В в виде периодического десятичного числа. д) Определите, какие из высказываний истинны, а какие ложны: 1) А П В = 0 ; 2) А ^ В = М . 13. Заполните таблицу: 14. Сравните числа: а) -1,1 -1,09; >* 0 % б) 5 7 г) 2,67 _ _ 9 ; 14 ; 2,(6). 4,9; 2-3; 2,3; -4,901; _ 2,3; в) 0,2 0,2011; 15. Расположите в порядке возрастания чйсла: -2,6; 0. 16. Расположите в порядке убывания чйсла: 3 14 -3,7; 0; 5,11; _ 3 | ; 0,1(2); 0,12; 512:5. 17. Впишите такую цифру, чтобы получить истинное высказывание: а) -2,02 < -2 ,И 1; б) -3,4Д 6 > -3,415; в) -1 1 ,1И < -11,18; г) -2 ,09 < -27,1. 18. Между какими последовательными целыми числами на числовой оси расположено число: 3 9 а) 5ТТ; б) _ 213; в) -9,3; г) _ п | ; д) 0,324; е) -0,12? 19. Учитель записал на доске несколько примеров на сравнение, но на перемене кто-то из учеников стер некоторые цифры. На уроке учитель сказал, что данные числа можно сравнить, не восстанавливая примеры. Сравните: а) -3,3 и -3,2^ ; б) -0,518 и -0,517 ; в) -^ М и °; г) - ^ и к Мг. -3,3 -3,2 -0,518 0,517 0 Рациональные числа 135 20. Впишите необходимый знак сравнения: а) | -1 ,6 1 0; в) 1,56 | -1,56 |; б) г) -0,09 _ 3. 8 ; | - 0,0011. V - 15,23 км/мин а) До какого разряда округлили средние скорости самолетов, изображенных на рисунке? б) Найдите средние скорости самолетов в км/ч и округлите полученные результаты до целых. 22. Округлите: а) до десятых чйсла: 3,46; -2,17; 0,052; -1,65; 2,(3). б) до сотых чйсла: 25,729; -31,047; -0,171; 6,725; 4,3(6); 4,(36). 23. Перечертите и заполните таблицу: Число Округление числа до целых десятых сотых 2,365 -1,884 -61,753 0,6(4) И 2,(17) _________ ] 24. Впишите такую цифру, чтобы получить истинное высказывание: а) 21,5 - 21,6; б) -3,92 - -3,92; в) 71,0 - 71,1; г) -5,2 - -5,3. 25. Вычислите: а) _ 4,1 +1,6; ) А _ А ­ д) 15 10; и) _ 312 _ 1 4 6 н) _ 2 4 _ 2 ^ - 35 ' б) 2,8 - 5,5; ч 1 + 2, е) - 4 + 5 ; 3 7 к) - 2 8 - 1Т0; о) 3 9 - 1 12; в) - 2,3 -1,4; , 3 20 ж) - 7 - 2 Т л) - 5 4 + 18 п) 2 ! - 3| ; г) 4 - 5,9; ч 5 3. з) 6 8 ; 3 9 м) 4 ^ - 814; 3 7 р) - 1 3 + 2 1 . 136 Глава 3 26. Выполните вычисле- 2,3 + ния по схеме: V / + -11,02 20,41 + - 4,3 27. Восстановите цепочку вычислений: 0,04 -20 Г Л +10,6 - 1-01 +0-57 -0,2 28. Вычислите: 30. Вычислите рациональным способом: 2 (1 5 ^ а) - 3,72 + 5,26 + 2,72; б) 3 + 3 - 1 ; 3 V3 12) в) (0,39 -10,56) +10,56; г) - 3,78 + 9,84 +1,78 - 20,84. Рациональные числа 137 31. Раскройте скобки и выполните действия: а) - 3,8 - (-8,1 + 3,9); б) 7,5 + (-8,4 - 2,1); в) - 7 - ' 8 14 - 1 4 2 г) 4 - ' 9 - 1 1 + 9 д) - 8,76 - (-3,25 -10,76); ) 9 ( 11 5 ^ Ж) - 2 0 - [ - 2 0 - 6 ; е) - 6,19 + (-1,5 + 5,19); з) Л + А - ( А - А ^. '2 8 18 [ 28 18 32. Вычислите: а) -1,2 • (-0,8); г' ! - ( - « 2 ) б) -12,5 • 3,6; ' 5 ^ д) 1,2-I - 8 ’ ( А в) - 5,6 - - 3 V 7 2 2 е) - 4 2 -1 2 . 7 3 7 а) - 2,4: 0,8; г) - 4А А . г) 515’ б) 8,4: (-0,42); д) в) - 8,64: (-1,2); ( - 5 "7 ' <м| т 7 ; V 7 ) е) - 0,78: 3 5 36. Сколько стоит 1 кг печенья, если за 5 кг заплатили 52,5 лея? 6 37. У дедушки Вани есть 5 ульев. Со всех ульев он собрал 182,5 кг меда. Сколько килограммов меда в среднем собрал дедушка с одного улья? 38. Вычислите рациональным способом: а) 0,4 - 3,56 - (-2,5); б) 0,2 - (-12,51) - 5; в) 3,6 - 0,03 + 6,4 - 0,03; г) -12,3 - 0,054 + (-12,3) - 0,054. 5 138 Глава 3 39. Вынесите общий множитель за скобки и найдите значение выражения: 2 ( 2 Л а) - з • 0,4 + 1 - з • 0,6; в) 2,7 1,9 - 3,7 1,9; 40. Запишите в виде степени: а) 1 1 1 • 1- а) 3 3 3 3 ’ б) 3 6 + 3 ( 1 ^ б) 5 ^ 7 + 5 | - 7 ] ’ г) 1,4 • 0,9 -1,4 • 5,9. б) (-1,3) • (-1,3) • (-1,3); в) 3 ^ 5 ( 3 ^ 5 ( 3 ^ 5 41. Истинно или Ложно? а) (-2,1)2 = (2,1)2; / г) V > 0; б) (-5,3)4 = -(5,3)4: д) (-25)3 < (-25)2; - 1 - 8 < 0; 42. Вычислите: ) ( 2 ^ ■ 8 а) ( э + 15; б) - 2 ) 16 в) ( - 6 V •15; г* ( 5 - I 43. Найдите среднее арифметическое числа: 1 3 а) 10,3 и 9,8; б) 1^ и 2 ; в) 3,8; 3,9; 4,3. 44. Вычислите среднее арифметическое ваших оценок за I семестр учебного года. Округлите результат до десятых. 45. В декабре Рома заплатил за использованные минуты мобильного телефона 22 лея, в январе - 31 лей, в феврале - 20 леев. Сколько платит в среднем в месяц за минуты на телефоне Рома? Округлите ответ до десятых. 0 46. Н а диаграмме представлены полугодовые затраты семьи Смирновых на питание. Сколько в среднем в месяц тратит семья на питание? леев 2100 2000 1900 1800 1700 1600 -- РР & РЭ х Рч РЭ «и н РчсЗ 2 <и Р. X сЗ сЗ 2 месяц Зн Рациональные числа 139 ■ -------------------------------------- 47. Перечертите числовую ось: ( Ь 4 5 У4 С:(2) Е К(-1 ) в Определите и укажите начало отсчета данной оси, единичный отрезок, координаты точек О, Ь, Е, А, В, Е. 3 1 48. Даны числа: 5,7; -7,3; - —; 7 3 ; -0,02. Запишите: а) противоположные им числа; б) обратные им числа. 49. Дано множество: М = | - 4 2 ; -3,4; -2 ; -1; - 3 ; 0; Ц ; 2 — ; 3,75; . Определите множество А, А с М , если известно, что: а) А с 2; б) А с N1; в) А с ; г) А с ^ +; д) А с ^ - . 50. Запишите числа в порядке возрастания их модулей: 7 -3,5; 0; - 9 ; 0,7; -0,007; 1,3. 51. На числовой оси отмечены числа: а, Ъ, с и й. а < 0 7 ь Впишите соответствующий знак сравнения: Ъ й; с й; а с ; а Ъ; й 0; -а с; а 0; -Ъ й; -Ъ 0; 0 -а. 52. Найдите рациональное число а, если известно, что: а) | а | = 3,1; б) | а |= Ц ; в) | а | = 0; г) | а | = 2,(3); д) | а | = - 1| ; е) | а | = 0,99. 53. Отметьте на числовой оси чйсла, модули которых: а) 2,5; б) 2 ; в) 3 — . 54. Запишите числа в виде периодического десятичного числа: а) Й Г- б) 18' в) 2 1 5 ’ г) 9 3 140 Глава 3 55. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) -2 < < 2; б) 0,86 < < 0,862; в) 1,4 < < 1,5; ) 3 19 < < 3 18- ) 2 2 , ) 1 1 56. Даны множества: А = {х | х е Ж, - 1,2 < х < 3,7} и В = |х | х е Ж, - Ц < х < 153 Найдите: а) А I В; б) А ^ В. 57. Расположите числа в порядке возрастания: 7 0,466; 1 5 ; 0,4(63); 0,4637; 0,(46). 58. Сравните числа: а) 0,(545) Ц-; 2 б) - 2-2 ф -2,(212); в) - 7 8 ф -7,(72). 59. Истинно или Ложно? а) Если а > 2, то а > 0, а е б) Если а < 3, то а < 0, а е в) Если а > -10, то а < 0, а е * г) Если - 3,2 < а < -0,1, то а < 0, а е а . Для ложных высказываний приведите по одному примеру, показывающему, что высказывание не истинно. 2 60. Запишите каждое из чисел - 3 и -7,8 в виде суммы: а) двух отрицательных чисел; б) чисел с разными знаками. 61. Вычислите, переведя слагаемые в десятичные числа: 1 3 2 5 а) - 2-2 - 0,254; б) - 3 + 0,35; в) - 4,39 + 4 | ; г) 5 -1,1. 62. Подставьте вместо знак плюс (+) или минус (-), чтобы получить истинное высказывание: а) ( 0 , 9 ) + ( 3 , 7 ) = -2,8; б) ( 7 2 1 ^= - 2 . 63. Впишите пропущенное слагаемое, чтобы получить истинное высказывание: а) - 2,3 + (-7,7) + Ш = 0; б) 12 + ( - 3 1+ = 0. Рациональные числа 141 64. Найдите значение выражения, если известно, что а = -3,2 и Ъ = 1,8 : а) а + Ъ; б) | а | + Ъ; в) а + 1 Ъ |; г) | а + Ъ |; д) | а | + 1 Ъ |. 65. Сравните значения выражений | а | + 1 Ъ | и | а + Ъ |, если: 3 1 а) а = -2,8, Ъ = 1,3; б) а = - - , Ъ = - в) а = 7,1, Ъ = 4,8. Какими должны быть числа а и Ь, чтобы | а + Ъ |= | а | + 1 Ъ |? 66. Используя числовую ось, найдите расстояние между точками А и В, если: а) Д -3 ,7 ), Д -2 ,8 ); б) | я ( - - ± ^ ; в) А(-0,3), В(7,1). 67. Вычислите рациональным способом: а) А - 1 1 - А + А . ) 16 42 16 4 2 ’ б) - 4 + 1 3 + 2! - 4 в) -1,23 + 2,14 + 7,38 - 5,77 +1,62; г) - 9,39 + 0,74 -10,61 + 3,26 + 6,25. 68. Раскройте скобки и выполните действия: 5 Л ( 3 Л ( 4 а) 5 — 10,8 - 8 4 ; б) - ' 4 - - 8 + 7,6 8 V 7 5 \ 5 - - 6 9 12 V У + в) V4,8 - 5134 Н - 4 + 4 Л г) I 1- 1 1 - 2 - 3 - - 9 - ( 2 - 3 Л- 5 - 4 69. М агия чисел! 5 + 4 = 5 • -5; 4 4 3,5 +1,4 = 3,5-1,4; 3 +1,5 = 3-1,5. Найдите другие пары таких чисел. 70. Вынесите общий множитель за скобки и найдите значение выражения: а) - 4,8 • 8,9 + 8,9 • (-5,2); 6) -1,2 ( - 7 13 У- ( - 1’2) • 4 ; в) - 4 • 4 + V - 4 )• 4 5 10 3 г) - 32,3 • 7-10 + 213 • ( - 32,3). 2 71. Два муравья передвигаются по числовой оси. Первый муравей прошел расстояние от точки А(-7,2) до точки В(2,8) за 5 секунд, а второй муравей - от точки С(-10,1) до точки Д -4 ,1 ) за 2 секунды. Какой муравей двигался с большей скоростью? * * * % ----- ч----- -----------н-------------------1----------------------------------------1--------------- ► С А Б В 142 Глава 3 72. Выполните действия: а) б 33 - 2 3 К - 3 ! ] ■ б) 151 - 4 1:1 ■3! )• в) А +А 73. Найдите значение выражения: а) 2 6,75 - 4,5-1-3- ■13 V 6) А _ А 12 20 V ( в) \ _ 18+ ( - 2 V V 2 Л 9 _ 113 32 \3 (_0,2) •(_1,2). 74. В школьной секции по волейболу двум игрокам по 11 лет, трем - по 12 лет и одному игроку 14 лет. Какой средний возраст игроков волейбольной секции? 75. Масса четырех цыплят равна 5,5 кг, а шести - 7,4 кг. Найдите средний вес одного цыпленка. 76. Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22 года. Во время матча один из игроков был удален с поля. После этого средний возраст оставшихся игроков снизился до 21 года. Сколько лет выбывшему игроку? 77. Зная, что а и Ъ - рациональные числа, определите истинностное значение высказываний: а) Если а = Ъ, то | а | = | Ъ |. б) Если | а | = | Ъ |, то а = Ъ. в) Если а = -Ъ, то | а | = | Ъ | . г) Если а = Ъ, то | а | = Ъ. 78. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) 3 < б) - 4 < < 1 3 . 79. Запишите выражение а + Ъ - с - ^ в виде: а) суммы, где а + Ъ - первое слагаемое; б) разности, где а + Ъ - уменьшаемое. Рациональные числа 143 80. Известно, что а, Ъ, с - ненулевые отрицательные рациональные числа. Каким будет знак значения выражения аЪ — 100с ? 81. Частное двух чисел равно -1. Чему равна сумма этих чисел? 85. Семь гномов сидят вокруг костра. Известно, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому ростов двух гномов, сидящих рядом. Докажите, что все гномы одного роста. 83. Расположите в порядке возрастания значения выражений: 84. Чему равно минимальное значение выражения: а) (а — 0,5)2 — 7,2; б) 4,3 + (л + 1,1)4 ? 86. В баскетбольной команде 5 человек. Их средний рост 2,04 м. После того как одного члена команды заменили новым игроком, средний рост игроков команды вырос до 2,08 м. Какой рост у нового игрока, если рост выбывшего равен среднему арифметическому ростов игроков команды? 87 87. В Стране Лилипутов Гулливер выше лилипута в 12 раз, а в Стране Великанов Гулливер ниже великана в 12 раз. Можно ли утверждать, что рост Гулливера равен среднему арифметическому ростов лилипута и великана?