Множество натуральных чисел

 1.1. Истинные высказывания. Ложные высказывания. Повторение и дополнения Все высказывания Злой Волшебник Мудреца являются постоянно лжет. истинными. О фразах Королевского Ш ута нельзя сказать, истинны они или ложны. Какому из этих персонажей может принадлежать утверждение? а) Время нельзя остановить. б) Веселое время. в) Время можно остановить. Обоснуйте ответ. Высказыванием (математическим) называется предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Если высказывание истинно, то говорят, что его истинностное значение - „ истина “ (обозначают „И “ или „1“). Если высказывание ложно, то говорят, что его истинностное значение - „ложь“ (обозначают „ Л “ или „0“). *• Исследуем и узнаем ^ Определите истинностное значение высказывания: ® В Республике Молдова учебный год начинается 1 сентября. • Вставьте частицу не перед сказуемым в высказывании ®>. Запишите полученное высказывание и определите его истинностное значение. Глава 1 7 л Розьмите на заметк Высказывание © является отрицанием высказывания ®. Отрицание высказывания получается приписыванием частицы не перед сказуемым. Отрицание истинного высказывания является ложным высказыванием, отрицание ложного высказывания является истинным высказыванием. 'Применяем и объясняем Сформулируйте: а) истинное высказывание и его отрицание; б) ложное высказывание и его отрицание. иССдеЭуем^ Т иаеД • Высказывания бывают общими и частными. / У лошади есть хвост. У всех животных, изображенных на рисунке, есть хвос Определите истинностное значение высказываний: а) Все животные, изображенные на рисунке, умеют плавать. б) Крокодил умеет плавать. в) Некоторые животные, изображенные на рисунке, умеют плавать. Какие из высказываний а), б), в) являются общими? А какие - частными? • Сформулируйте: а) истинное общее высказывание; б) истинное частное высказывание. ^ Впишите одно из слов: „ Все “ или „ Некоторые “, чтобы получить истинные высказывания. а) ученики нашего класса любят математику. б) четные числа делятся на 2. в) натуральные числа больше 10. 7 Л Розьмите на заметк Из простых высказываний при помощи слов и; или; не; если..., то... можно образовать сложное высказывание. Натуральные числа. Повторение и дополнения 5 ^ Впишите одно из выражений „Не б о л ь ш е „ Н е м е н ь ш е „Любое „ Существуют а) 5 упражнений должен решать каждый ученик на уроке математики. б) четные числа и нечетные числа. в) число, у которого цифра единиц равна 5, делится на 5. (о| Впишите одно из слов: „Некоторые“ или „Все“. а) одноклассники являются друзьями. б) числа - простые. в) натуральные числа больше 0. г) элементы множества А = {а, Ъ, с} принадлежат множеству В = {1, а, 5, с}. • Определите истинностное значение полученных высказываний. (Ц Приведите по одному примеру истинного и ложного высказывания для каждого из выражений: „Не больше“, „Не меньше“, „Любое“, „Существует “, „ Некоторые “, „Все“. • а) Определите истинностное значение простых высказываний: Число 8 делится на 2 без остатка. Число 8 делится на 3 без остатка. б) Составьте сложные высказывания: ® и ® ; ® или ® ; Если ® , то ® ; Если ® ,то ® и определите их истинностное значение. Обсудите полученные результаты. • Сформулируйте: а) два простых высказывания; б) два сложных высказывания. 1.2. Множества. Действия над множествами 11 Какому из множеств принадлежит дерево? Кузнечик? Гномик? А - множество насекомых; В - множество сказочных персонажей; С - множество растений; Б - множество живой природы. Назовите еще по два элемента, принадлежащих множествам А, В, С или Б. 6 Глава 1 Множество это совокупность объектов, объединяемых по некоторому признаку. Эти объекты называются элементами множества. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами: А, В, С, Д ... Элементы множества записываются в фигурных скобках: А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначается 0 . Рд «Т а в п а а * ! Даны множества: М ={а , Ъ, с, А} ; Р = {х | х е Ы, х > 3}; А - множество дней недели; В - множество выходных дней недели. а) Определите способ задания каждого множества. б) Укажите конечные и бесконечные множества. д в) Найдите сагё М, сагё А и сагс10. Число элементов множества М называется кардиналом множества М. Обозначается: сагб М. еагй 0 = 0. г) Задайте множества А и В перечислением их элементов: А = { }• }; 1ножество В называется подмножеством множества А , если любой элемент множества В является также элементом множества А. М ножества А и В называются равными множествами, если они состоят из одних и тех же элементов. В с А В ^ Рассмотрите рисунок. --------------1---------------1- Р С Е Б Заполните пропуски, чтобы получить истинные высказывания: [ РЕ ] П [СЭ ] = [СЕ ] [ РЕ ] ^ [СЭ] = [ РЭ] [ РС ] П [ ЕР] = ^ Ш [СЕ ] ^ [ ЕЭ ] = Натуральные числа. Повторение и дополнения А П В Пересечением множеств А и В является новое множество А П В , которое содержит общие элементы множеств А и В. А ^ В Объединением множеств А и В является новое множество А ^ В , которое содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А или В. ^§1 Проанализируйте и заполните таблицу: Множества А В Множество книг домашней библиотеки Множество учебников библиотеки В с V* Множество птиц А В А П В = 0 {1, 3, 5, 7, 9} {1, 2, 3, 4} А ^ В = А П В = Исследуем и узиаемИ А = {п, р, и, в, е, т} В = {с, о, в, е, т} , С = {п, и, р}. С с А, п € В, и € В, р € В . С - множество элементов множества А, которые не принадлежат множеству В . С - разность множеств А и В. И Возьмите иа заметк Разностью множеств А и В является новое множество А \ В , которое содержит элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В . А \ В Решаем и поясияем (Ц Даны множества: А = {х | х е Ы, х < 7}, В = {х | х е Ы, 2 < х < 5}. Найдите множество А \ В. Решение: Так как А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} и В = {3, 4}, то получим: А \ В = {0,1, 2,И , , }• 8 Глава 1 (Ц а) Задайте множества перечислением их элементов: А - множество учебных предметов в вашем классе; В - множество ваших любимых учебных предметов. б) Найдите: С = А \ В. Решение: а) А = { В = { б) С = { Надеемся, что математика € С. }; }. }. 1.3. Множество натуральных чисел Множество натуральных чисел обозначают через N . N = {0, 1, 2, 3, —} Множество натуральных чисел бесконечно. Множество ненулевых натуральных чисел обозначают через N ’ Решаем и поясняем Ц Приведите два примера бесконечных подмножеств множества N а) словесным описанием; б) указав характеристическое свойство их элементов. Решение: а) М - множество четных натуральных чисел. А - . б) С = {х | х е N х > 15}. Б = {х | х е N }. <7к Истинно или Ложно? М = {х | х е N х > 2}, В = {х | х е N х < 20}. а) М ^ В = N - Ложно б) М Ы В = N - в) М с N - Истинно г) В с N - Натуральные числа. Повторение и дополнения 9 Упражнения и задачи ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Определите истинностное значение высказывания: а) Земля вращается вокруг своей оси. б) 2 > 5. в) Число 3 является делителем числа 81. 2. Сформулируйте отрицание высказываний из упражнения 1 и определите их истинностное значение. 3. Определите истинностное значение высказывания: а) Все планеты Солнечной Системы вращаются вокруг Солнца. б) Земля вращается вокруг Солнца. в) Все реки впадают в Черное море. г) Днестр впадает в Черное море. д) Некоторые млекопитающие обитают е) Все грибы съедобные. ж) Все птицы могут летать. 4. Какие из высказываний упражнения 3 являются общими? 5. Впишите одно из слов: „ Все “ или „ Некоторые чтобы получить истинные высказывания: а) люди умеют плавать; б) месяцы имеют более 27 дней; в) дети любят сладости; г) натуральные числа, у которых цифра единиц равна 0, делятся на 10. 6. Впишите одно из выражений: „Не больше“, „Хотя бы “, „Любое“, „Существуют “, „Все“, „ Некоторые “: а) конечные и бесконечные множества; б) конечное множество имеет кардинал; в) один элемент из множества {0, 3, 5, 7} является нечетным числом; г) могут получить оценку 10 по математике; д) попугаи разговаривают; е) одноклассники занимаются спортом. 7. Назовите два элемента, которые принадлежат: а) множеству зимних месяцев; б) множеству спортивных игр; в) множеству деревьев; г) множеству предметов, имеющих форму шара. 8. а) Пусть А - множество трехзначных чисел, каждое из которых состоит из цифр 2, 5 и 7, причем эти цифры в записи данных чисел не повторяются. Перечислите элементы множества А. б) Найдите сагд А . на суше. 10 Глава 1 9. а) Пусть В - множество дробей, числитель которых равен 1, а знаменатель - ненулевое однозначное натуральное число. Перечислите элементы множества В. б) Найдите еагд В. 10. а) Задайте множество М = {х | х е N1, 3 < х < 15} перечислением его элементов. б) Найдите еагд М. 11. Дополните пропуски, чтобы получить истинные высказывания: а) А 1 0 = ; б) А ^ 0 = ; в) А ^ А = ; г) А I А = . 12. Даны множества: А = {3, 4, 5}, В = {5, 6, 7, 8}, С = {2, 4, 8}, К = {1, 3, 5, 7}. Найдите: а) А Ц| В; б) А Ц| К; в) В Ц| С; г) С Ц| К; д) А П В; е) С П В; ж) В П К ; з) С П К ; и) А \ К ; к) С \ А; л) К \ В; м) А \ К. 1345 13. Красная Ш апочка несла бабушке пирожки: 3 с капустой, 4 с яблоками и 3 с мясом. По дороге она съела два пирожка. Определите, какие из высказываний истинны, а какие ложны: а) Бабушке не достанется пирожков с мясом. б) Бабушке достанется хотя бы один пирожок с капустой. в) Бабушке достанется одинаковое количество пирожков всех видов. 14. Истинно или Ложно? а) Если у человека повышенная температура, то он болен. б) Если человек болен, то у него повышенная температура. в) Если число а больше числа Ъ, то число а расположено на числовой оси правее числа Ъ. г) Если число а расположено на числовой оси правее числа Ъ, то число а больше числа Ъ. 15. Прочитайте простые высказывания: 1) Собаке надели намордник. 2) Собаку ведут на поводке. Из этих простых высказываний при помощи слов „не“; „и“; „или“ составьте истинные сложные высказывания для каждого рисунка: ® - ® . Натуральные числа. Повторение и дополнения 11 16. А = {х | х еМ, х < 17}. Запишите подмножество множества А , состоящее из: а) четных чисел; б) нечетных чисел; в) чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел. 17. Дано множество: М = Найдите: а) М IМ ; б) М I N ; в) М \ N. 18. В саду растут 50 кустов роз. Раду полил половину кустов и Родика полила половину кустов. В результате оказалось, что три куста роз были политы дважды. Сколько кустов роз остались без полива? 19. Изобразите на прямой и найдите пересечение фигур: а) [АВ] П [АВ; б) [АВ П АВ; в) [АВ] П АВ. 20. Пусть Д 2 - множество делителей числа 12, В - множество нечетных чисел меньше 12, С - множество четных чисел меньше 12. Найдите: а) Д 2^ В; б) Д 2П С; в) В П С; г) Д 2 \ В; д) Д 2 \ 21. Каждый ученик лицея изучает или французский язык, или английский язык, или оба языка. Сколько учеников в лицее, если 320 из них изучают французский язык, 280 - английский язык, а 190 учеников изучают оба языка? 22. Исследуем: Даны множества А, В и М и высказывания: ® Все элементы множества М принадлежат множеству А и множеству В. ® Все общие элементы множеств А и В принадлежат множеству М. а) Запишите три множества А, В и М, для которых высказывания ® и ® являются истинными. б) Запишите три множества А, В и М, для которых высказывание ® - истинно, а высказывание ® - ложно. в) Известно, что высказывания ® и ® истинны. Определите истинностное значение высказывания: 1) Если любой элемент х принадлежит множеству М, то х е А. 2) Если любой элемент у принадлежит множеству М, то у е В. 3) М с А. 4) М = А П В. 5) А с М . \ 0 1 2 3 4 5 6 I [ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 Г 12 Глава 1