Дроби. Действия с дробями

 1.1. Понятие дроби. Основное свойство дроби. Сокращение дробей Что знаем? Что узнаем? ^1 Аня отметила в календаре выходные дни и дни каникул в ноябре и выяснила, что 2 дней в ноябре не надо посещать школу. Права ли Аня? Решение: В ноябре 30 дней. Из них всего 12 дней каникул и 12 выходных, что составляет 30 месяца. Числитель дроби Знаменатель дроби 1 2 ® _ 12: [6 _ 2 30 30: 6 5 I 6 _ (12; 30) Ответ: Аня была права. 'Применяем и объясняем Применяя основное свойство дроби или сокращение дроби, заполните пропуски так, чтобы получить равные дроби. Знаменатель и числитель дроби можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое н атуральное число. 9 6 18 6 2 18 5 6 (6 36 15 18 5)1 _ А 3 15 Две дроби называются равными, если они представляют одну и ту же часть от целого. Дроби а и С равны, если а ■ и _ Ъ ■ с. а с Ъ и Обозначаем: _ . Ъ и Основное свойство дроби. Числитель и знаменатель дроби можно умножить на одно и то же ненулевое натуральное число. 80 Глава 3 • Сократить дробь - значит, разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же ненулевое натуральное число. • Применив основное свойство дроби или сокращая дробь, получим дробь, равную исходной. 'Применяем и объясняем _6_ 18 2 з : ' 15 4 9 - - И , так как 6 -15 = 18 • 5 Л , так как 2 ■ 9 Ф ■ И вспомним и повторим Выделите целую часть из дроби 118 Решение: 11 11 = 13. 8 18 = 11:8 = 1 (ост. 3) Число 1 содержит целую часть, 8 равную 1, и дробную часть 3 . 8 ^§1 Запишите в виде неправиль2 ! = 9 4 4 2 1 = 2 • 4 +1 = 9 2 4 4 4 Розьмите на заметкЯ Чтобы выделить целую часть из дроби, надо разделить числитель дроби на ее знаменатель. ® Частное будет целой частью. ® Остаток (если он ненулевой) дает новый числитель. ® Знаменатель остается без изменений. Розьмите на заметкЯ! Чтобы представить число с целой и дробной частью в виде неправильной дроби, надо: ® умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; ® записать дробь, числитель которой равен числу, полученному в пункте 1, а знаменатель дробной части оставить без изменений. 8 Рациональные числа 81 1.2. Сложение дробей Что знаем? Что узнаем? Ц| Мамонтенок на корабле преодолел расстояние от Антарктиды до 3 Африки за 3 дня. В первый день было пройдено — пути, во второй день - 5 12 — пути. Какая часть пути была преодолена мамонтенком за эти два дня? Решение: — + — 12 12 3 + 5 = 8 12 12 (4 2 (пути). Ответ: 3 пути. Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, складываа Ъ а + Ъ ют только числители, а знаменатель оставляют тем же: + = с с с Замечаем и делаем выводы Мама купила на рынке пчелиный мед двух видов: липовый в банке емкостью 2 литра и майский в банке емкостью -3 литра. Сколько литров меда купила мама? Решение: 2) 1 3 2 3 5 1 1 + Т = Т + Т = Т = 1 т (литра). 2 4 4 4 4 4 у * ' Ответ: 1-4 литра. 7 “возьмите на заметк Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо: ® привести эти дроби к общему знаменателю; ® выполнить сложение получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. 5) 1 . 3) 2 5 . 6 11 * а) 3 + 5 = 15 + 15 = 15; Ч / 15 = [3; 5] б) 3)3 + ) 2 = — + — = — = | Н ) 0 ® 12 12 12 12' Ч / 12 = [4; 3] 3 82 Глава 3 Замечаем и делаем выводы На вершине скалы, расположенной на 2 расстоянии 43 — м над уровнем моря, построили маяк. На высоте 20-2 м от основания маяка установили фонарь. Н а каком расстоянии от уровня моря находится фонарь? Решение: 2 1 2 1 ( 2) 2 3) 1 ^ 43 + 20 = 43 + + 20 + = (43 + 20) + ( + = 3 2 3 2 4 М 3 2 \ / 6 = [3, 2] 63 + - 1 1 : 63 + 11 = (63 +1) + 1 = 64 + ^ = 64- . 6 6 6 6 неправильная дробь Ответ: 641 м. 6 'Применяем и объясняем .5 3 «5 „ 3)3 10 „ , 4 - + 2— = 4 - + 2 - = 4 + 2 = 6 — = — 6 4 6 4 12 12 Ч / 12 = [6 4]/ 12 = [6,4] Замечание. Число, состоящее из целой и дробной части, еще называют смешанным числом. 7 'возьмите на заметк Чтобы сложить два смешанных числа (то есть числа, состоящие из целой и дробной части), надо: ® привести дробные части этих чисел к общему знаменателю; ® отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей; ® если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то надо выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к целой части, полученной в шаге ®. Рациональные числа 83 ^ В Древнем Египте все дроби записывали в виде суммы &■* дробей вида —. 8 С * * * 8 1 1 Например, вместо — записывали 3 + 5 . Исключение делалось только для дроби -3. Иногда такая запись была удобна. В папирусе Ахмеса (египетского фараона, 1562-1537 до н.э.) есть такая задача: „Разделить поровну 7 хлебов между восемью людьми”. Если каждый хлеб разделить на 8 частей, то надо будет сделать 49 порезов. Египтяне решили эту задачу более рационально: дробь 7 записали в виде I I I 8 суммы „ + + . Значит, каждому человеку 2 4 8 надо дать половину хлеба, четверть хлеба и восьмую часть хлеба; поэтому четыре хлеба режем пополам, два хлеба на 4 части, а один хлеб на 8 равных частей. Затем каждый человек получает соответствующие части. 1 1.3. Вычитание дробей Что знаем? Что узнаем? Ц Муравей по числовой оси переместился из точки Р | 3 | в точку ^ | Какое расстояние прошел муравей? ' ' V Р V8 ? 0 Решение: р д = 7 _ 3 = 4 = 1 8 8 8 2 4 = 1 8 2 1 Ответ: А возьмите нз заметк Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тем же: а _ Ь_ с с а _ Ь с 84 Глава 3 О | 00 Замечаем и делаем выводы Из пол-литрового пакета кефира в чашку налили 5 литра. Сколько литров кефира осталось в пакете? Решение: 1 _ 1 = А _ 2 = 2 ( л 2 5 10 10 10 \/ /7 [2; 5] = 10 Ответ: 10 л. 7 ■ 7 возьмите на заметк Чтобы вычесть две дроби с разными знаменателями, надо: ф привести эти дроби к общему знаменателю; ф выполнить вычитание получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Э Дональд Даг весит 27-5 фунта, а его 7 друг Мики Маус легче на 3— фунта. Сколько весит Мики Маус? Решение: ^ < 7 1 7 2 7 12 7 27 5 _ 31 0 = 2710 _ 31 0 = 26ш _ 31 0 = \ / [5; 10] = 10 неправильная дробь = (26 _ 3)+ ( ] § _ 1 ) = 2з150= 2 3 2 (фунта)- Ответ: 23-5 (фунта). 7 А возьмите на заметк Чтобы выполнить вычитание двух смешанных чисел, надо: ф привести дробные части этих чисел к общему знаменателю. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу ее целую часть; ф отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей. Рациональные числа 85 Решаем и поясняем . 1 , 5 1 „ 2)5 г 3 10 „ 5 - - 2 - = 5 ----2 - = 5 - 2 = 4 6 9 6 9 18 18 18 -2 = \ / ^ т [6 ; 9] = 18 неправильная дробь 1.4. Умножение дробей Замечаем и делаем выводы Ц У Лены заболела бабушка. Врач прописал ей таблетки, которые надо принимать 5 дней по 2 таблетки 3 раза в день. В пластинке 8 таблеток. Сколько пластинок надо купить Лене для своей бабушки? Решение: В день бабушка должна принимать по: 1 3 1 + 1 + 1 3 .1 ( б ) 2 '3 = 2 + 2 + 2 = 2 = ’ 2 (таблеток)' 1 1-331 2 ' 3 = у 3 = "2 = 1_2 (таблеток) Возьмите на заметк Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Ъ а - Ъ * а - = , где а, Ъ е N. с е N . с с За 5 дней бабушка должна будет принять: 1 3 3'5 15 1 1-2 '5 = 2 '5 = — = у = 7 2 (таблеток). Ответ: Лена должна будет купить одну пластинку таблеток. 7 А 'возьмите на заметк Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, надо записать смешанное число в виде неправильной дроби, а затем воспользоваться правилом умножения дроби на число. 86 Глава 3 Рд фТ { в гл ^ • Вычислите Выполните умножение, переведя десятичные числа в дроби Что вы заметили? Решаем и замечаем /Щ Длина прямоугольника Б Р М А 3 А 1 равна а = 5 дм, а ширина А = — дм. Чему равна площадь прямоугольника? Решение: 0,3 • 0,7 = * _3_ 10 С дм В " : т в 3 5 Дм 7 З 3 1 3 1 3 ( — ) Значит, • = = (дм ). 525•2 10 3 Ответ: А = дм2. 10 Л возьмите на заметк Чтобы умножить дробь на дробь, надо: ® найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; ® первое произведение записать в числитель, а второе в знаменатель. а с а • с А В А • В для любых а, с е М; А, В е N . Рациональные числа 1 2 87 1 дм Задача Всезнайка и Многознайка перемножили дроби ^ и -25. Всезнайка 6 5 • 6 30 (30 12 25 12•25 300 10 1 1 А _6_ 5 • 6 12 • 25 “ 12• 2 5 _ 10 2 5 Многознайка 1 Кто выполнил умножение рациональным способом? Замечание. При умножении дробей, если это возможно, сначала производят сокращение и только потом выполняют умножение. Туристы шли со скоростью 4-3 км/ч. Какое расстояние они прошли за 2-4 часа? Решение: „ 1 , 1 V = 4 кмч; I = 2 ч. 3 ' 4 ё = 4—• 2 1 (км). 3 4 4 1 = ± 2 + 1 3 3 = 13- 21 = 2 •4 +1 = 9 3 ; 2 4 4 4. 3 1 1 13 9 13 • 9 39 3 . . 4 -• 2 - = • - = = = 9 — (км). 3 4 3 4 3 • 4 4 4 3 Ответ: 9 4 (км). 1 7 Л Розьмите на заметк Чтобы выполнить умножение двух смешанных чисел, надо: ® записать эти числа в виде неправильных дробей; ® перемножить неправильные дроби, применив правило умножения дробей. 5 5 . 2 6 = 5 5 . _ = . 6 7 6 7 \/ сокращ аем неправильны е дроби выделяем целую часть 1 88 Глава 3 1.5. Взаимно обратные числа (дроби) Вычислите: наем Ра *ТА в »А рА * ! 2 3 4 7 7 '4 15 _8_ 8 ' 15 3 • 3 2 •2 = .2 5 5 ^ 7 7 Л Что вы заметили? возьмите на заметк Два числа (две дроби) а и Ъ называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть а • Ъ = 1. В этом случае число а называется обратным числу Ъ, а Ъ - обратным числу а. а •Ъ = 1, для любых а, Ъе М*. Ъ а Замечание. Дробью, обратной дроби а , будет дробь Ъ . Числом, обратным Ъ а ненулевому натуральному числу а, будет число —, так как а • — = 1. а а Решаем и поясняем Дополните высказывание 5 9 — будет число — Числом, обратным числу 3 = у будет число — 213 = 3 будет число — 1,6 = 16 будет ч и сл о ---- Розьмите на заметкЯ * Чтобы получить дробь, обратную данной, надо поменять местами числитель и знаменатель заданной дроби (то есть перевернуть дробь). Найдите: - число, у которого нет взаимно обратного числа; - число, которое взаимно обратно самому себе. Рациональные числа 89 Кто быстрее найдет как можно больше пар взаимно обратных чисел из элементов множества М1 М = 7 5 12 1 1 1 1 0 1 0 2- 03’ 1 - 1 - 1—■ 2 5’ 3 - 5 8 12 16 3 5 7 3 1.6. Деление дробей наем ? \ «ТА в дА А ! Найдите число х, которое является решением уравнения: а) 1 . х = 1; ~ 1 2 б) х • 3 = з ; 3 3 в) 5 •х = 10; Рассмотрите решение уравнения г). • 5 = 10 Х ^ 7 21 = 1 0 .5 Х 21 ‘ 7 I_____ __II 5 Х ^ 7 = 10 21 х5 7 = 10 7 Х' 7 ' 5 21'5 2 10 7 10•7 х = • ; х = ------ ■ 21 5 2 1 '5 ! 3 2 х = 3 ч 5 10 г) х ' 7 = 21' Обе части уравнения можно умножить на одно и то же ненулевое число. 1 0 . 5 21 . 7 10 7 21'5 возьмите н а заметк Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю. а . с =а ё Ъ ё Ъ с для любых а е М, Ъ, с, ё е М*. (р Мама сварила вишневое варенье, взяв 4 5 кг 1 5 сахара на 3 ^ кг вишни. Варенье получилось очень вкусным, и мама захотела узнать, сколько килограммов сахара приходится на 1 кг вишни. Как ей поступить? Глава 3 Решение: 4 ! . 31 _ 2 1 . 7 _ 21 _ _ _ _ _ _ ^ ■ ^ - 5 ' 2 “ 5 ' - • - Ответ: — кг. — (кг). 1.7. Нахождение дроби от числа Замечаем и делаем выводы Ц В школе магии и волшебства, где 12 учился Гарри Потер, 142 лестницы, из них волшебные. Сколько волшебных лестниц в школе магии? Решение: (142:71) -12 _ 24 (лестницы). Ответ: 24 лестницы. Чтобы найти дробь от числа, надо: ® данное число разделить на знаменатель дроби; @ полученный результат умножить на числитель дроби. 3 а) 7 от 21 равно (21:7) - 5 _ 15 или 21 - 5 _ ^-Т-3 *5 *8_ 15; 3 б) 3 12 -2 3 Ц -3 9 4 1 б) от 12 равно 12 - _ 8 8 8 _ - _ 4 ­ 2 2 ‘ в) * 2 * 1 1 1 1 1 1 3 от 2 равно 2 - 3 _ 6 . возьмите на заметк Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь. т Рациональные числа 91 ‘Применяем и объясняем Илья потратил 4 денег со счета своего мобильного телефона. 2 3 из них были потрачены на передачу СМ С-сообщений. Какую часть денег со счета Илья потратил на передачу СМС-сообщений? Решение: 2 3 3 2 0 от равно • = — 3 * 4 3 Ответ: — денег со счета мобильного телефона. 1.8. Нахождение числа по его дроби наем Ц В первый день рабочий покрасил 75 м2 3 . поверхности стены, что составляет — от всей площади, которую нужно покрасить. Чему равна площадь всей поверхности стены? 7 7 7 Л 75:3 = 25 (м2) - составляет одна часть; 25 • 7 = 175 (м2) - вся поверхность. Решение задачи можно записать следующим образом: 3 (75:3) • 7 = 175 (м2) или 75:3 = 175 (м2). возьмите на заметк Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь. 92 Глава 3 РА вТА В А 1 А ! щ Составьте и решите задачу, используя данные рисунка. 15 мин Упражнения и задачи I □ □ ------------------------------------- 1. Нарисуйте квадрат со стороной 4 см. Закрасьте — квадрата. 4 . 5 ' 2. Выберите дроби, равные дроби — ■ 8 - 20. 7 , 24. 1 6 10’ 10’ 2 5 ’ 15’ 3 0 ’ 40' 3. п л Истинно или Ложно? ч 5 35 б) 14 2 5 35 а) 7 = 49 б) ^ " 7 49 ’ “' 2 4 3 4. Сократите дробь до несократимой дроби: а) 25 б) 12 в) 33 г) 100 75 15 44 250 5. Выделите целую часть из дроби: ч 7 Гч 28 ч 49 ч 25 а) 5 ’ б) Т т в) Т ; г) Т 6. Запишите в виде неправильной дроби смешанное число: 3 7 _ 56 , 3 г) 4 |<^ 1 |СМ ) 45 ’ д) 6 0 ’ ) 49 е) 63' д) 1 9 ’ ч 131 е) ”4 2 ' 9 6 2 3 3 5 а) 32 ’ б) 4 3 ’ в) 7 3 ’ г) 2 5 ’ д) 10 5 ’ ' V 4 ’ ^ “ 9 8' 7. Запишите в виде дроби десятичное число: а) 0,5; б) 0,3; в) 1,52; г) 1,03; д) 2,15; е) 7,125. Рациональные числа 93 8. Запишите дробь со знаменателем 24, равную данной дроби: Л 1. ^ 5. ч 3. ч 7 . ч 10 а) 3 , ) 6 , в) 8 , г) 12 . д) 4 8 - 9. Вычислите и упростите полученный результат: , 3 + 5 а) 14 + 1 4 ’ ~ 7 + 2 б) I ? + 1? ’ , 5 + 4 . в) 18 + 18 . 3 13 + 5 г) 54 + 54' 10. Вычислите: ) 3 + 5 а) 4 + 8 ’ б) 7 + 2 б) 12 + 3 ’ в) 6 + 24. ) 5 + 2. г) 9 + 3 . ) 4 + 8 . д) 5+15’ ) 1 + 5. е) 4 + 7. ж) 3 + 5 ; ) 2 + 3. з) 7 + 8. ) 7 + 4 и) 25 + ^ ’ ) 13 + 5 к) 18 + 1 г л) 18 + Т 5 - ) 5 + 3 м) 6 + 4 ' 11. Выполните действие: 3 1 а) 9! + 36 б) " и + 82 0 . в) 1117т+ 6 Ц . 3 7 г) 78 + п 1> 5 7 д) 3 9 + 1^ ’ е) 3 1 + 4 ; ж) 3Й + 4 ' 12. Используя данные рисунка, найдите длину отрезка АВ: 3 5 3 м 6 3 1 2 115 м В 13. Скорость яхты 23 км/ч, а скорость 8 течения реки 2 ^ км/ч. С какой скоростью движется яхта по течению? 14. После того как из ведра взяли 2-4 литра воды, в нем осталось 3 у литра. Сколько литров воды было в ведре первоначально? 15. Дима купил — кг колбасы, 1 ,3 -4 кг сыра и 1^ кг овощей. Сколько всего килограммов продуктов купил Дима? кг 2 кг 4 94 Глава 3 16. Вычислите и упростите полученный результат: ч 7 3 а) 8 - ! • б) 16 - 1 ; в) 1 ^- 3 : в) 12 1 2 ; 11 6 16; г) Т - 5' 17. Вычислите: ) 2 1 . а) 5 10; б) 5 - 1 ) 3 в) 4' 8 ; г) 2 3 ; ) 3 2 , д) 4 7 ; ч 3 3 е) 5 - 7 ; ж) 9 - 6 ) 5 2 ; ) 7 2 ; з) 12 9 ; и) 20 15; к) 5 - 8 ' 18. Выполните действие: а) 8 3 - 4 б) 3 11 б) 3 15 - 4 в) г) 8 - т г 2 д) 6 - ^ е) 2 1 18 1 ; 9 ; 3 3 ж) 611 - 2 ^ ; з) 4 - 4 19. Масса кирпича до обжига составляет 4 ^ кг. После обжига в печи его масса уменьшилась на I 5 кг. Какова масса кирпича после обжига? 20. Сережа, Даша и Никита собрали 32 кг винограда. Сережа и Никита 18 вместе собрали 24 5 кг. Сколько килограммов винограда собрала Даша? 21. Восстановите цепочку действий: 1 + 7 3 15 § 5 +* " + 2 + Ш 2 22. Миша прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал — книги, во второй день - 3 книги, а в третий день - оставшуюся часть. Какую часть книги Миша прочитал в третий день? 23. Вычислите: 1 +10 ч 5 3 2 а) 2 - 14 + —; 24. Выполните действие: ~ 9 ^ 7 2 . б) 20 + 10 15 ; в) 2 - {1 + 5 ) • а) 5 ■7; е) Н ; 2 б) 2 - 6; ж) 1 8 -1 0 в) 9 -10 з) 3 - -5 ­ ) 20 6 ’ 4 3 г) 5 8 ; ) — - 3 ­ д) 9 -10 ; ч 12 5. ч 16 35 и) 25 - 8 ; к) 2 5 -48' Рациональные числа 95 25. Вычислите: 26. Скорость звука - 3 км/с. На каком расстоянии от грозы находился Миша, если он услышал раскаты грома через 18 секунд после вспышки молнии? 27. Выполните действие: ч 0 1 т3 а) 2 -1 ; 7 2 4 б) 4 4 1 1 в) 2 3 18- г) 4 1 - 81 . 7 2 3 28. Найдите значение выражения: а) 4 3 4 ; 4 '9 ’ б) 4 2 - 3 ’ 2 1 _ 7 5 5'2 25'7' 29. Ракета, скорость которой 8 км/с, становится искусственным спутником Земли. Если скорость ракеты увеличить в 2 раза, то она на8 всегда покинет Солнечную систему. Найдите эту скорость. 30. Длина прямоугольника равна 3-5 м, а ширина в 1-5 раза больше длины. Чему равна площадь прямоугольника? 31. Заполните таблицу: 32. Проверьте, являются ли числа взаимно обратными: ) 4 5 а) 5 и 4 ’ 25 3 3 2 б) Т и 3 ’ в) 2_ и 7; г) 12 и 0,6. 96 Глава 3 33. Запишите число, обратное числу: а) 2 б) 11; в) 7 2 ; г) 0,12; д) з | ; е) 3,6. Выполните действие: .6.9. а) 11.22 ; б) 12 . 4 ; б) 1 3 ' 3 9 ; ) 2 1 в) 3 : 6 ; ч 3 . 2 1 . г) 4 ' 4 0 ; д) 56: ■— ; «) ^ . б ; ж) | : 2 }; ) 2 1 .1 1 . з) 2 2 :14 ; 4 2 и) 9 ^4 . ^ 2; ч Л т5 к) 5 3 :15 35. Периметр квадрата равен 13 м. Чему равна сторона квадрата? 2 36. Найдите скорость поезда, если 505 км он прошел 8 за 1 5 часа. 37. Том весит 7-5 кг, а Джери - в 12 раз легче. Сколько они весят вместе? 38. Найдите: 2 а) - от 27; б) 5 от 40; в) 5 от 16; 3 2 1 3 д) 3 от 12; е) - от 20; ж) 3 от г) от 42; 6 ) 3 8 з) 4 от 9- 39. Автомобиль должен проехать 240 км. Какое расстояние проехал автомобиль, если оно составляет 5 пути? 40. Масса муравья составляет - 0 от массы груза, который он может нести. Какова масса муравья, 7 если он может нести 250 г груза? 3 41. Размер обуви составляет — длины стопы. Какой размер обуви носит Миша, если длина его стопы равна 24 см? 42. В автопробеге участвовали 48 автомобилей. 5 из них дошли до финиша. 8 Сколько автомобилей сошли с дистанции? 43. Треть расстояния между двумя населенными пунктами составляет 7 км. Чему равно расстояние между этими пунктами? 44. Найдите число: 7 а) -0 которого равны 21; в) которого равны 24; 3 б) 4 которого равны 12; 3 г) — которого равны 15. Рациональные числа 97 45. За булочку Света заплатила 4-2 лея. Сколько денег было у Светы, если за булочку она заплатила -4 всех денег? 46. Только 12 учеников 6 „А “ класса занимаются спортом, что составляет 3 7 *47 I □ ■ учеников класса. Сколько всего учеников в этом классе? 47. Впишите числа так, чтобы получить истинное высказывание: 1 (4 , +- в) (10 (3 (б 4 + 9 _ 13 , 24 _ 2 4 : 10 - 6 30 2 15 (3 (2 б) - * - г) - ° - - " 15 +14 _ 29, 36 _ 36 15 -1 4 18 18' 48. Вычислите: ) 9 * 2 а) * - 8 . 11 5 2 . 4 Л 3 11 3 50 ' 75 100’ б) 21 * 24 2 7 ’ в) 2 3 * 5 115; г) 5 12 14 2 3' 49. Восстановите цепочку действий: 1 59 50. Вычислите: Л ,727. а) 10 * 9 ' 3 5 ’ 3 5 г) 1+ 1 1 §; О " ’ 3 4 * 29 - ■ 8> ~ 5 * 3 16 . б) 14 * 8 '21’ ) А " А А ­ д) 12 21'16’ 51. Найдите значение выражения: ) 1 3 2 1 2 1 27 а) 12 5 ' 2 7 2 9 ' 9 5 ’ 7 3 б) 4 12 ’1Ц * 1^ •164' в) А . 1 * 5 ' ± . } 16 7 8 35’ е) 2 " И ' 1 11 3 1 1 52. Папа купил 4 5 кг апельсинов по цене 12^ лея/кг и 8 4 кг яблок по цене 6-3 лея/кг. За какие фрукты папа заплатил больше и на сколько? 53. Запишите число, обратное числу, равному: 3 7 а) сумме чисел и ’ 18 12 3 5 в) разности чисел 8 4 и 7 4 ’ ~ 7 13 б) частному чисел — и — ’ ) 1 1 Л 5 г) произведению чисел 1 и 4 . 15 16 98 Глава 3 54. Перечертите и заполните таблицу: Скорость 1 1 -2 км/ч 2 15 у км/ч Время 3 4 ч 2 2 2 з ч Расстояние 2 2 2-5 км 4 7 ^ 4,7 км ■ / 55. Впишите один из знаков действий, чтобы получить истинное высказывание: а) 6 16 = 1; б) 3 ф 2 ^ = ^ , в) 2 | = 2 ; г) 1,2 ф § = 1. 2 5 56. В первом ящике 18 3 кг яблок, что на 3— кг больше, чем во втором ящике. Сколько килограммов яблок в третьем ящике, если всего в трех ящиках 50-1 кг яблок? 57. Вычислите: а) ( 3 7 Л 2 + 3 2 8 + 3 24 ( 2 1 Л 4 —- 1 — 3 8 б) ( 3 1 Л 5 — - 1 — 5 3 ( 7 1Л 7 7 - 2 1 12 4 1 58. Длина маршрута автобуса равна 204 км. 7 Рейс длится — часа. Автобус движется со скоростью 45 км/ч и делает 10 остановок. Сколько времени в среднем затрачивается на одну остановку? 4 59. У торговца Махлюшкина имеется на продажу 366 кг овощей. 9 овощей составляет картофель, 2— овощей - морковь, а остальное лук. Сколько килограммов лука у торговца Махлюшкина? 3 60. До привала туристы прошли — запланированного пути, а после привала еще 3 пути, пройденного до привала. Прошли ли туристы запланированный путь? 3 1 61. Собрали 10 кг грибов. — грибов замариновали, 5 грибов высушили, а из остальных грибов сварили суп. Сколько килограммов грибов пошло на суп? Рациональные числа 99 62. В первый день в школьную библиотеку завезли — новых учебников, а во второй день - остальные 56 учебников. Сколько всего новых учебников привезли в библиотеку за два дня? 17 63. Ш ирина прямоугольника равна 102 см, что составляет от его длины. 18 Найдите периметр и площадь прямоугольника. 64 64. Запишите дробь в виде разности двух дробей, числитель которых равен 1: , 1 . ~ 2 . а) 12’ б) 63' 65. Выполните действия: ' 5 , 2 „5 . „ 3 ' в) 1 г) 28' а) 112т 2 + Ч - 36 + 2 4 | : 12 2 • ! - ? т т5 т 7 б) 2 ^ : 6 ^ + 1^ - 1 ^ 1 5 ^ - 5 - I 73 5 7 т^ 66. Впишите в таблицу такие числа, чтобы произведения чисел по горизонтали, по вертикали и по диагонали были равны между собой: а) 32 1 2 16 4 67. В прямоугольном листе картона, дли2 1 2 на которого 2-4 дм и ширина 3 дм, вырезали два одинаковых квадрата со стороной 3 дм. Чему равна площадь оставшейся части? 1 4 68. Стену с измерениями 3 ^ м и 2-5 м необходимо оклеить обоями. Сколько рулонов обоев длиной 13 м и шириной 50 см для этого необходимо? 100 Глава 3 69. К огда у П иф агора, древнегреческого м атематика и философа, спросили, сколько у него учеников, он ответил: „Половина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 оратора Сколько учеников было у Пифагора? Пифагор (570-500 гг. до н.э.) 70. За завтраком мама Димы выпила чашки кофе, затем долила в чашку молока. Затем отпила — от чашки и опять долила молоко. После этого она выпила еще половину чашки и опять долила молоко. В конце она выпила все содержимое чашки. Чего мама выпила больше: кофе или молока? 71. Три мушкетера, после того как исполнили свой долг перед Францией, зашли в таверну. Они отобедали и заказали на десерт персики. Так как они были уставшими, то уснули до того, как им принесли блюдо с персиками. Первым проснулся Атос. Увидев персики в блюде, он 1 съел — всех персиков и опять уснул. Затем проснулся Портос. Увидев персики и подумав, что их еще никто 1 не ел, он съел — персиков и опять уснул. Третьим проснулся Арамис и тоже съел — персиков. Затем уснул и он. Пока мушкетеры спали, трактирщик отнес блюдо, на котором осталось 8 персиков, на кухню. Сколько персиков было на блюде первоначально?

Решение уравнений на множестве 2

 || Учительница попросила Мишу решить уравнение 4х +12 = 0 на множестве М, затем на множестве 2. Поможем Мише решить данное уравнение. Решение: Уравнение Уравнение не имеет имеет решений на М. решения на 2. На множестве М: 4 х +12 = 0 4 х = 0 -1 2 4 х = -12 х = -3 ё М Ответ: 8 = 0 . Что знаем? Что узнаем? На множестве 2 : 4 х +12 = 0 4 х = 0 -1 2 4 х = -12 х = -3 е 2 Проверка: 4 • (-3) +12 = 0 (И) Ответ: 8 = {-3}. Решить уравнение на числовом множестве означает найти решение данного уравнения, которое принадлежит заданному множеству. Решаем и поясняем Ш Решите на множестве 2 уравнение: а) х - 75 = -25; б) х :(-8) = 9; г) 81 • х = -324; д) Эх - 81 = 6; Решение: а) х - 75 = -25 х = -25 + 75 х = 50 е 2 Проверка: 50 - 75 = -25 (И) Ответ: 8 = {50}. в) (-625): х = 25 х = (-625): х = е 2 Проверка: : = Ответ: 8 = { }. в) (-625): х = 25; е) - 2 х + 92 = 4. б) х : (-8) = 9 х = 9 • (-8) х = -7 2 е 2 Проверка: (-72): (-8) = 9 (И) Ответ: 8 = {-72}. г) 81-х = -324 х = : х = е 2 Проверка: • = Ответ: 8 = { }. 72 Глава 2 д) 3х - 81 = 6 3х = 6 + ■ 3х = е) - 2 х + 92 = 4 - 2 х = 4 - - 2х = х = : х = е ж х = : х = е Ж Проверка: - = Ответ: 8 = { }. Проверка: + = Ответ: 8 = { }. Решите уравнение 2х + 5 = -1 на множестве А = {-5, -3 , 0, 1}. Решение: Для х = -5 имеем 2 • (-5) + 5 = -1 - Ложно. Значит, число -5 не является решением этого уравнения. Для х = -3 имеем 2 • (-3) + 5 = -1 - Истинно. Значит, число -3 является решением этого уравнения. Для х = 0 имеем 2 ■ + 5 = -1 - . Значит, число 0 решение этого уравнения. Для х = 1 имеем 2 ■ + 5 = -1 - . Значит, число 1 решение этого уравнения. Ответ: 8 = { }. Упражнения и задачи ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Определите, какой из элементов множества А = {-5, - 2, -1, 0, 4, 10} яв2. Решите задачу с помощью уравнения. Сколько было марок у Иры, если известно, что она отдала Марии 15 марок и у нее осталось 44? 3. Решите на множестве Ж уравнение: ляется решением уравнения: а) - х - 4 = 1; г) х • (-15) = 30; б) 2 х - 6 = -6; д) 1 - 3 х = х +1; в) (-200): х = -20; е) 10 + 2х = 0. а) х - 2 = -5; б) у - 25 = 60; в) г -100 = -2012. Целые числа 73 4. Решите на множестве 2 уравнение: а) х + 70 = -100; б) у + 8 = 2000; 5. Решите на множестве 2 уравнение: а) 3 • х = 81; б) (-11) • у = 121; 6. Решите на множестве 2 уравнение: а) х : (-8) = -20; б) у : 38 = 10; 7. Решите на множестве 2 уравнение: а) 3х + 72 = 0; б) - 8у + 800 = 0; в) 2 + 29 = -718. в) (-35) • 2 = -210. в) 2 : (-19) = -18. в) 222 + 440 = 0. ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. Впишите такое целое число, чтобы полученное уравнение имело указанное множество решений: а) | х -7 0 = 0; 5 = {5}; б) (-5)у - Щ = 8; 5 = {0}; в) Щ: 2 = 84; 5 = {-3}; г) х : = 25; 5 = {-100}. 9. Решите: 1) на множестве N уравнение: 2) на множестве 2 уравнение: а) 3х - 4 = 6 - х; б) 1 - 8х = х - 5; в) 3 + у = - 2 у - 60. 10. Решите на множестве 2 уравнение: а) 7х -1 2 = | (-4 )2 |; б) 5: 2 = | - 5 0 |; в) у : (-12) = | (-6 )3 | . 11. Решите на множестве 2 уравнение: а) (х -12) + (16 - 2 х) = 14; б) (х + 25) - (х -12) = 13; в) 2 х - 6 = 14 - 2 х; г) (44 - х) + (х - 35) = 0. 12. Решите на множестве 2 уравнение: а) | х | = 18; б) | х | = -2 ; в) | 2х - 3| = 7; г) | 5 - 8х| = 35. 13. Составьте задачу, которую можно решить при помощи уравнения: а) 3 - 5 х = -7; б) -1 0 х + 4 = -96. 74 Глава 2 Задания Эля осмысления 1. Объясните включение N с Ж. 2. Приведите примеры положительных и отрицательных чисел из разных областей знания: физики, биологии, географии, истории, литературы, экономики и т. д. 3. Что такое числовая ось? 4. Какое число противоположно числу: а) - 2011; б) 2012; в) 0? 5. Что называют модулем числа? 6. Какое расстояние выражает модуль целого числа? 7. Какие свойства модуля вы знаете? 8. В каких случаях мы используем модуль числа? 9. Как сравнивают целые числа? 10. Истинно ли высказывание: Любое натуральное число больше любого целого числа? 11. Дополните, чтобы получить истинное высказывание: Любое натуральное число больше .... 12. Какие случаи возможны при сложении целых чисел? Как мы поступаем в каждом из них? 13. Как вычитают целые числа? 14. Истинно или Ложно? а) - 7 - 5 = -2; б) -120 - (-18) = -138; в) 82 - (-12) = 94. 15. В чем заключаются правила знаков? В каких случаях мы их применяем? 16. Сформулируйте правила знаков. 17. Как перемножаются целые числа? Как возвести целое число в степень с натуральным показателем? Целые числа 75 18. Как делятся целые числа? 19. Действительно ли при делении двух целых чисел в частном всегда получается целое число? Приведите примеры. 20. Какие свойства действий с целыми числами вы знаете? 21. Каков порядок выполнения действий и что означают скобки при вычислениях с целыми числами? 22. Что значит решить уравнение на множестве Ж ? 23. Приведите по примеру для каждого из видов изученных уравнений. 24. Составьте по задаче, которые можно решить при помощи изученных уравнений. 25. Приведите пример уравнения, которое не имеет решения на множестве Ж. Упражнения и задачи на повторение ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Отметьте на числовой оси точки: А(-2); В(-7); С(5); 0(2). 2. Постройте числовую ось. Отметьте на ней точку М (-2) и точки, расположенные на расстоянии 7 единиц от точки М. Запишите координаты этих точек. 3. Расположите числа в порядке убывания: -9; 3; 5; -4; 0, -10; 12. 4. Вычислите наиболее рациональным способом: а) - 9 + (-13) +17 + (-6) +11; б) 14 + (-8) + (-25) +12 + 7; в) 43 - 60 +12 + 39 - 21. 5. Найдите сумму всех целых чисел, расположенных на числовой оси между числами -5 и 7. 6. Решите на множестве Ж уравнение: а) х + 7 = 3; б) 6 - х = 15; в) - 2 - х = -5 ; г) 16 - х = -4; д) 11 - х = 14; е) - х + 4 = -9. 7. Вычислите: а) ( 7 - 20) • (-3 + 5); б) (-5 - 7): (-6 + 2); в) - 2 1 :7 + [42: (-6)]. 76 Глава 2 8. Заполните таблицу: ■ ----------------------------------------------------------------------- 9. Истинно или Ложно? Числа а и Ь являются целыми. а) Если а = Ъ, то | а |=| Ъ | . б) Если | а |=| Ъ |, то а = Ъ. в) Если а = -Ъ, то | а |=| Ъ | . г) Если | а |=| Ъ |, то а = Ъ или а = -Ъ. 10. Впишите такие числа, чтобы каждое число, начиная с третьего, равнялось сумме двух предшествующих ему чисел. 2 0 Вычислите: а) - 7 + 1 -3 | - (-4) - 5; б) 4 + ( - 6 ) - |- 4 | - 3; в) - 2 - | -5 | +(-6) - (-2) ы 12. Истинно или Ложно? Если а - целое неотрицательное число, то: а) 2 + а > 2; -| в) а + а < а; 13. Вычислите: а) - 52 : (19 - 32) - 2 • [18 + 44: (-11)]; б) [25 - 24: (11 -14)] • [-9 + 8:(27 - 35)]. 98•(-15) "Л 14. Вычислите: -14 • (20 - 4 4 0 )' б) - 3 + а > 0; г) а + а > 0. 15. Решите на множестве 2 уравнение: а) | х | + 3 = 8; б) | х | - 3 = 4; в) | х | - 6 = -8; г) 15 | х | = 9; д) |х + 3| = 1; е) |х - 7| = 10. Целые числа 77 Итоговый тест Время выполнения работы: 45 минут I вариант II вариант 1. Дано множество: М = {-6, 3, -2, -3, 5}. а) Найдите наибольшее число, при- 1 надлежащее множеству М. Ц б) Найдите элемент множества М, 1 имеющий наименьший модуль. Ц в) Найдите элементы множества М, 1 имеющие равные модули. г) Расположите в порядке возрас- 6 тания числа: (-6)2, 34, (-2)5, 52, (-3)3. 2. Даны точки А (-4), 5(6), С(-1), Д3). а) Расположите точки А, В, С, Б на 4 числовой оси. б) Запишите все целые числа, рас- 3 положенные на оси между числами -1 и 3. в) Какую координату имеет точ- 3 ка К, если К - середина отрезка АВ? 3. Выполните действия: а) - 75 + 39; 2 б) - 53 - 27; 2 в) -15 • 61; 2 г) - 52 : (-4). 2 4. В результате засухи уровень воды в озере понизился на 16см. После того, как прошел дождь, уровень повысился на 9 см и стал составлять 658 см. Каков был уровень воды в озере до засухи? а) Решите задачу при помощи урав- 4 нения. | б) Решите задачу по действиям. 4 1. Дано множество: А = {-4, -1, 2, -5, 4}. а) Найдите наименьшее число, принадлежащее множеству А. б) Найдите элемент множества А, имеющий наибольший модуль. в) Найдите элементы множества А, имеющие равные модули. г) Расположите в порядке убывания числа: (-5)2, 42,(-4 )3, 25,(-1)8. 2. Даны точки М(-6), N(1), 5(-3), 5(4). а) Расположите точки М, N Ь, Р на числовой оси. б) Запишите все целые числа, расположенные на оси между числами -3 и 1. в) Какую координату имеет точка Д если Р - середина отрезка МР? 3. Выполните действия: а) 29 + (-18); б) - 34 - 76; в) -14 • (-83); г) - 72:18. 4. В ночь на 10 февраля температура воздуха упала на 12 °С, а за день повысилась на 4 °С и стала составлять 7 °С. Какой была температура 9 февраля вечером? а) Решите задачу при помощи уравнения. б) Решите задачу по действиям. Схема оценивания теста О ц ен ка 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 С ум м а баллов 35-34 33-32 31-27 26-22 21-17 16-12 11-9 8-6 5-3 2-0

Степень целого числа с натуральным показателем. Порядок выполнения действий

 7.1. Степень целого числа с натуральным показателем Иссд5 уемТ у ?иэе1^ ^ ^ ^ ^ И 1 Умножение ненулевых натуральных чисел можно записать в виде степени: 3-3-3-3 = (+3) • (+3) • (+3) • (+3) = (+3)4 4 множителя Читаем: „3 в четвертой степени или „3 в четвертой 113 =13-1131. 3 множителя Читаем: „11 в третьей степени “, или „11 в кубе“. Для а, п е Ы*: 1) (.+а)п =+ап = ап 2) (-а)п = п а , если п — четное п — а , если п — нечетное (+10)4 = 104. (—5)2 = 25 = 52. (—2)3 = (—2) • (—2) • (—2) = 4 • (—2) = —8 = —23. Целые числа 67 'Поясняем, читаем и дополняем а) (-12)25 б) 20116 в) (-21)2 г) (-100)3 „-12 в 25-й степени или „-12 в 25-й“; „2011 в 6-й степени “, или „2011 в 6-й“; -12 - основание степени; 25 - показатель степени. 2011 - основание степени; 6 - показатель степени. основание степени; показатель степени. основание степени; показатель степени. “Применяем и объясняем 1. (+10) • (+10) • (+10) • (+10) = 10 -10 -10 -10 = 104 —► 10 - основание степени, 4-------------------у----------------3 4 множителя 4 - показатель степени 2. 883 = (---------^---------3 —► - основание степени, 3 множителя - показатель степени. 3. (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = (-2 )5 V______________________________ _______________________________У V 5 множителей основание степени, показатель степени. 4. (-16) 7 = (-16) • (-16) • (-16) • (-16) • (-161 • (-16) • (-16) V____________________________________________________________________________________________________________________________ ^ V 7 множителей Памятка основание степени, степени. (- ) • (- ) • ••• • (- ) • (- ) = + ^------------- ^ ________ п четное (- ) • (- ) • ... • (- ) • (- ) = - ^------------- _________ > п нечетное (-1) ■ (-1) ■ (-1) ■ (-1) = 1 (-1) ■ (-1) ■ (-1) ■ (-1) ■ (-1) 1 68 Глава 2 7.2. Порядок выполнения действий Решаем и поясняем Вычислите: 60 - 8 • 50 + 2 123. Решение: 60 - 8 • 50 + 2 • 123 = I = 60 - 8 • 50 + 2 • 1728 = 60 - 400 + 2 • 1728 = = 60 - 400 + 3456 = = -3 4 0 + 3 4 5 6 = = 3 116. А Обратите внимание на порядок выполнения действий. V Что знаем? Что узнаем? • Сложение и вычитание - это действия первого порядка. • Умножение и деление - это действия второго порядка. • Возведение в степень - это действие третьего порядка. © © 30 + 60 -1 5 = 75 ® © 7 10:14=5 © © @© 45 + 2 • 3 - 142 = -145 |Л возьмите на заметку ♦ В выражении со скобками в первую очередь выполняются действия в скобках. ♦ В выражениях без скобок действия одного порядка выполняются в порядке их следования в записи. ♦ Если в выражении без скобок встречаются действия разных порядков, то сначала выполняются действия III порядка, затем II порядка и в последнюю очередь - I порядка. В математическом выражении могут быть: - квадратные скобки [ ] - круглые скобки ( ) - фигурные скобки { } • Вычислите: © © © © © {18 - [6 - 5 • (20 -18)]} - 2010. Сначала выполняем действия в круглых скобках, потом в квадратных скобках, затем в фигурных скобках. Целые числа 69 Упражнения и задачи 1. 16 участников слета математиков разделили на 4 группы, по 4 ученика в каждой группе. У каждого ученика было по 4 набора с 4 геометрическими фигурами. Сколько всего геометрических фигур было? 2. а) Для каждой степени определите основание степени и показатель степени: 45, (-3 )28; 04; 31 а х ; 16у; 32012; (-2 )х; 1999; 421; 18; (-16)4; 40. б) Есть ли среди них степени с одинаковыми основаниями? А с одинаковыми показателями? 3. Выполните действие: а) 4580; б) (-15)4; в) (-1)2011; г) 12999; д) (-7 )3; е) (-60)2; ж) 104; з) (-10)* 7. 4. Сравните: а) 25 ф ( - 2)5; в) (-3)4 ф (-9 )2; 5. Выполните действие: © © 0 ( 1 , а) 6 • (-3) +15 - 82; ОО О О в) (-5 )5 [6 -2 • (-18)]; > 2 /' ^ б) 62 ( - 3)4; г) 145 (-2 )5. © © 0 © б) 12: (-3) - 6 + (-10)3; О О О ОО г) {6 - (4 [(-2) -10])} + 82. 6. Вычислите: а) 144: (-12) + 7• (-2 )3 + 2010; б) (-88): (-4) -125 : (-5 )2 - 380; в) {6 - [282 • (-1) - (44:11 -18)]} - 644; г) 252 :(-5 )2 -{42 + 3 - [ 6 - (33 • 5 +11)]}. ■ ---------------------------------------------------- 7. Народная русская задача: Шли семь старцев, У каждого старца по семь костылей, На каждом костыле по семь сучков, На каждом сучке по семь кошелей, В каждом кошеле по семь пирогов, В каждом пироге по семь ягод. Сколько всего ягод? 70 Глава 2 8. Расставьте квадратные и круглые скобки так, чтобы получить истинное высказывание: а) 24: (-4) - 68 + (-4 )3 - 20 = -30. б) 16 • (-2 )3 - 44 - 78 - 30 = -124. 9. Покажите, что последней цифрой квадрата некоторого числа может быть 0, 1, 4, 5, 6 или 9. 10. Запишите числа, квадраты которых расположены между 11 и 101. 11. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) 43 = ■ ; б) (-9 )6 = ■ ; в) 255 = ■ ; г) (-36)8 = ■ . 12. Расположите: а) в порядке возрастания числа -41, 12, - 7 , (-3)4, - 53, (-3)5, 0, 25; б) в порядке убывания числа -1, 2011, -7 8 , (-4 )3, (-2 )6, 2, - 30, 14. 13. Не используя знаки математических действий, запишите наибольшее возможное число при помощи: а) трех цифр 2; б) трех цифр 3. 14. Составьте числовое выражение, используя скобки так, чтобы при вычислении значения этого выражения действия выполнялись в следующем порядке: а) сложение, деление, умножение и возведение в степень; б) возведение в степень, деление, вычитание и опять деление; в) вычитание, умножение, возведение в степень и опять вычитание. 15. Решите на множестве N уравнение: а) х2 = 4; б) х2 = -1; в) х3 = -8.

Деление целых чисел

 1! Температура воздуха в предгорье равна О °С. При подъеме на гору на каждом километре она понижается на 2 °С. На какую высоту поднялся альпинист, если температура воздуха составляет -6 °С? Решение: Обозначим понижение температуры на 2 °С через -2 °С. Вычислим: - 6 : (-2) = 3, так как 3 • (-2) = -6. Ответ: 3 км. /% Рассмотрите примеры и проверьте сделанные выводы при помощи других примеров. делимое делитель частное \ I / -1 8 : (-6) = + 3, так как +3 • (-6) = -18 +24 : (-4) = - 6 , так как -6 • (-4) = +24 -2 1 : (+7) = - 3 , так как -3 • 7 = -21 * ________4________ Частное двух целых чисел с оди- Частное двух целых чисел с разнаковыми знаками является по- ными знаками является отрицаложительным числом. тельным числом. V _____________1 __________________ Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя. |-18 : (-6)| = |-18| : |-6 | = |+3| |+24| : |-4 | = |-6 | |а : Ъ| = |а| : |Ъ|, а, Ъ е Ж, Ъ Ф 0. |-21| : |+7| = |-3 | Знак частного в зависимости от знака делимого и делителя можно вывести при помощи таблицы знаков. • Сравните с таблицей знаков произведения двух целых чисел. Знак числа а Знак числа Ъ Знак числа а : Ъ + + + + - - - + - - - + 64 Глава 2 Рассмотрите примеры и проверьте сделанные выводы при помощи других примеров. -6 : 1 = -6 5 : 1 = 5 -3 : (-1) = 3 7 : (-1) = -7 ♦ ___ 4___ При делении целого При делении целого числа на 1 получим числа на -1 получим это же число, то есть число, противоподелимое. ложное данному. При делении нуля на любое ненулевое целое число получим 0. Упражнения и задачи 1. Вычислите и выполните проверку умножением. а) -15 : 3; в) -24 : (-8); 2. Выполните действие: а) 78:(-6); г) 96:(-8); ж) 0: (-32); б) 21 : (-7); г) 0 : (-4). б) -5 2 : (-13); д) 57: (-3); з) -51: (-1); в) -84:12; е) -108:4; и) -121:11. 3. Перечертите и заполните таблицу: а -41 0 -64 -17 125 -63 ъ 41 -37 -16 -1 -5 -3 а : Ъ 4. Найдите значение -48 : а, если: а) а = -3; б) а = 12; в) а = -8; 5. Найдите значение а : (-3), если: а) а = -27; б) а = 36; в) а = 0; г) а = 6. г) а = -108. Целые числа 65 I □ ■ 6. Вычислите: а) (23 - 32): (-3); в) (-15 - 29): 11; 7. Перечертите и заполните таблицу: б) (-12 + 36): (-8); г) (-7 - (-21)): (-7). а 17 -13 53 Ъ -3 -3 -1 -26 а ■ Ъ 65 -39 -53 1 0 / 8. В холодильной камере в 8:00 часов температура была 0 °С. Но с каждым часом температура понижается на 3 °С. Какое время покажут часы, когда температура будет -12°С? 9. Вычислите: а) (-29 • 4): 4; б) (31- (-6)): 31; в) (-7-25): (-7); г) (-3 -(-10)):10. 10. Перечертите и заполните таблицу. Сделайте вывод. а -68 57 -116 0 Ъ -17 -3 29 -19 1а 1 : 1Ъ1 | а : Ъ | — 1 11. Подставьте вместо а, Ъ и с ненулевые целые числа и определите, какие из следующих равенств ложны: а) (а - Ъ): с = (а : с) - Ъ; б) (а - Ъ): с = (а - с) : Ъ; в) (а : Ъ) - с = (а - с ) : Ъ; г) (а : Ъ): с = а : (Ъ : с). 12. Подставьте вместо одно из арифметических действий (+; - ; -; :), чтобы получить истинное высказывание. а) 1 2 3 = -1; б) -1 2 3 4 = 1; в) -1 • 2 ф 3 ф 4 = -1

Умножение целых чисел

 5.1. Умножение целых чисел ^ ссА^УуеГТ у зизем" СЦ Муравей перемещается по числовой оси со скоростью 3 единицы в минуту. Сейчас он находится в начале отсчета. а) В какую точку переместится муравей через 4 минуты? б) В какой точке находился муравей 4 минуты назад? Решение: а) Пусть скорость муравья в положительном направлении равна 3 единицам/мин, а в отрицательном равна -3 единицам/мин. ® Если муравей перемещается в положительном направлении, то получим: Л +3 +3 +3 +3 3-4 = 12 ” О * А ----- ► 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 © Если муравей перемещается в отрицательном направлении, то получим: -3 -3 -3 -3 к -3 • 4 = -1 2 В О 12 -11-10 -9 -8 -7 6 -5 -4 -3 -2 -1 0 б) Обозначим 4 минуты назад через -4. ® Если муравей перемещается в положительном направлении, то получим: +3 +3 +3 +3 3 • (-4) = -12 С О -1 2 -1 1 -1 0 -9 -8 -7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 0 ® Если муравей перемещается в отрицательном направлении, то получим: 3 -3 -3 -3 ( - 3 ) ( - 4 ) = 12 / Д О о 0 1 Ответ: а) ® А(12); 2 3 В(-12); 6 7 8 9 б) ® С (-12); 10 11 12 © .0(12). Ф Розьмите на заметк Чтобы перемножить два целых числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак минус (-). Чтобы перемножить два целых числа с одинаковыми знаками, надо перемножить их модули. - 7 • 8 ----1 7 1 • | 8 1-----56; 9 • (-5) = - 19| • | - 5 |---- 45. +5 • (+4) = | +5 | • | + 4 1 = 20; - 6 • (-4) = | - 6 1 • | - 4 1 = 24. 60 Глава 2 Зависимость знака произведения двух целых ненулевых чисел от знаков множителей можно вывести при помощи таблицы знаков: Знак Знак Знак числа а числа Ъ числа а ■ Ъ + + + + - — — + — - - + С?Х Рассмотрите приведенные примеры и проверьте сделанные выводы при помощи других примеров. 5.2. Свойства умножения • Подставьте вместо букв а, Ъ и с любые целые числа и проверьте истинность свойств. Целые числа 61 'Применяем Вычислите: а) (-4) • 53 • (-25); б) 7 • (-93) + 7 • 92. Решение: а) (-4) • 53 • (-25) = 53 • (-4) • (-25) = 53 • 4 • 25 = 53 -100 = 5300. свойство 1° б) 7 • (-93) + 7 • 92 = 7 • (-93 + 92) = 7 • (-1) = -7. свойство 3° Упражнения и задачи ■ ---------------------------------------- 1. Уровень воды в Днестре меняется каждый день на 2 см. Сегодня четверг и уровень воды составляет 424 см. а) Каким будет уровень воды в воскресенье, если вода поднимается? б) Каким был уровень воды в понедельник, если уровень понизился? 2. Вычислите: а) 6 • (-9); б) (-15) • 7; в) (-4) • (-11); г) -1 1 7 ; д) (-12) • 0; е) -6 • (-9); ж) 0 • (-27); з) (-14) • (-3); и) 21 • (-6). 3. Перечертите в тетрадь таблицу и заполните ее: а 8 -7 -4 -52 -1 -12 -6 Ъ -3 9 -31 0 -75 3 -15 / а ■ Ъ 4. Запишите число в виде произведения двух целых чисел: а) -28; б) -12; в) -7; г) 0; д) -1. 5. Определите знак произведения (+ или -) и впишите один из знаков сравнения (>, < или =), чтобы получить истинное высказывание. а) (-12) ■ (-57) ■ (-81) 0; б) (-48) ■ (+21) ■ (-36) 0; в) (-15) ■ (+15) ■ (-25) 0; ^ г) (-521) ■ (-152) ■ 0 0. 62 Глава 2 6. Найдите -15а, если: а) а = -2; б) а = -1; в) а = 0; г) а = 7. 7. Вычислите: а) 20 18 • (-5); б) (-2) • (-35) • (-8); в) (-54) • (-82) • 0; г) (-24) • 8 • (-5). 8. Найдите произведение: а) (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1); б) (-2) ■ (-2) ■ (-2) ■ (-2) ■ (-2). ■ --------------------------------------------------------------------------------------------- 9. Не выполняя действий, определите знак произведения: а) (-5 - 6 - 7 - 8 - 9) • (-55); б) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) • (-1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6). 10. Запишите число -24 в виде произведения: а) двух множителей; б) трех множителей; в) четырех множителей. 11. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) -32 ■ = 96; б) ■ (-7) = 84; в) ■ 13 = -65; г) -9 ■ = -108. 12. Применив свойства умножения, вычислите наиболее рациональным способом: а) (-21) • (-8) • 3 • (-25); в) (-13) • 52 + 48 • (-13); 13. Найдите значение выражения: а) -3т + 5, если т = 7; в) 4аЪ + 2, если а = 3, Ъ = -1; б) (-5) • (-25) • (-2) • (-4); г) 29 • (-125) - 29 • (-124). б) 2 - 5п, если п = -6; г) 143 -1 5 ху, если х = -12, у = 0. 14. Найдите произведение всех целых чисел от -20 до 15. 15. Сумма двух ненулевых целых чисел равна нулю. Какой знак будет у произведения этих чисел? 16. Впишите числа -1, 2, -3, -4 , 5, -6 , -7, 8, -9 так, чтобы произведение чисел по любой горизонтали, вертикали и диагонали было положительным.

Вычитание целых чисел

 4.1. Вычитание целых чисел Иссд5 уемТ у ?иэе1Т 4 - 7 = ? Ц Коля попросил своего младшего брата Мишу выполнить вычитание: 4 - 7. Миша удивился и ответил, что не существует такого числа, которое бы равнялось разности 4 - 7. Коля объяснил Мише, что действительно не существует такого натурального числа, но его легко можно найти среди целых чисел. • Рассмотрев решение следующей задачи, вы поймете, как Коля объяснил Мише выполнение вычитания 4 - 7. <ТХ Вечером температура воздуха была 4 °С. Какой стала температура воздуха утром, если она понизилась на 7 °С? Решение: 1 способ Разностью двух целых чисел а и Ъ называется такое целое число с = а - Ъ, что а = с + Ъ. а - Ь = с X 1 X уменьшаемое разность (остаток) вычитаемое 2 способ Пусть х - искомое значение температуры. Так как температура понизилась на 7 °С, то она стала меньше на 7 °С, значит, 4 - 7 = х, где 4 = х + 7. х = -3, так как -3 + 7 = 4. Таким образом, 4 - 7 = —3. 7° Ответ: -3°С. 4 - 7 = 4 + (-7) -0 Обозначим понижение температуры через -7 °С. Получим: 4 + (-7) = -3. Целые числа 55 За бортом космического корабля работает космонавт. Часть скафандра, куда попадают солнечные лучи, имеет температуру +140°С, а теневая часть -130°С. Найдите разность между температурами. Решение: 140- (-130) = х. Найдем число х такое, что х + (-130) = 140. х = , так как + (-130) = 140. 140 - (-130) = 140 +130 = 270 Ответ: °С. 0 6 - 11 -5 0 Рассмотрите и объясните следующие вычитания: ( 6 + (-11) 6 -11 = 6 + (-11) = -5; 8 - (-5) = 8 + 5 = 13; - 2 - 4 = -2 + (-4) = -6; -3 - (-9) = -3 + 9 = 6. 8 + 5 8 - (-5) -2 + (-4) 13 -2 - 4 0 -3 + 9 -3 - (-9) 4 0 6 Розьмите на заметк Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - Ъ = а + (-Ъ), для любых а е 2, Ъ е 2. 6 4 4.2. Расстояние между двумя точками на числовой оси (дополнительно) ^ ссле^/ем^ знае^ ^ Муравей переместился по числовой оси из точки А(а) в точку Б(Ъ). Найдите, какое расстояние преодолел муравей, если: а) а = 2, Ъ = 6; б) а = -2, Ъ = 5; в) а = -1, Ъ = -4. Решение: Обозначим расстояние через АВ = х. а) +л' - А В 0 1 2 3 4 5 6 7 2 + х — 6 х = 4 АВ = 6 - 2 = 4 56 Глава 2 б) +х А В - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 2 + X = 5 х = АВ = 5 - = + = в) ------—--------- А -5 -4 -3 -2 - 0 1 2 * -1 + ( - х) = - 4 х = АВ = -1 - ■ + Расстояние между точками А (а) и В(Ъ) на числовой оси вычисляется по формуле: АВ = | а - Ъ |, для любых а е Ж, Ъ е Ж. •Применяем Город Астрахань расположен ниже уровня моря на 25 м, а город Мехико - на высоте 2 240 м над уровнем моря. На сколько метров выше уровня города Астрахань расположен город Мехико? Решение: 2 240 - (-25) = 2240 + 25 = 2 265 (м). Ответ: 2265 м. Упражнения и задачи 2240 1. Продолжите: а) -1 - 5 = -1 + (-5) = в) 7 - (-10) = 7 +10 = д) -15 -1 5 = -15 +... ж) 24 - (-9) = 24 +... 2. Выполните действия: а) -13 - 6; г) -16 - 9; ж) 0 - (-13); б) 40 - 52; д) 12 - 26; з) 0 - 22; б) 2 - 9 = 2 + (-9) =...; г) -4 - (-3) = -4 + 3 =...; е) 11 -1 8 = 11 +... =...; з) -15 - (-23) = -15 +... =... в) -17 - (-17); е) 8 - (-31); и) 34 - (-12). Целые числа 57 3. Впишите число так, чтобы полученное высказывание было истинным: 0 1 II 1оо б) 10 - = -2; в) - 4 = -1; г) - 10 = -7; д) -3 - = 6; е) 9 - = 15; о 1 N У II 1 со4 1 со | и) - (-12) = 14. Уменьшите каждое из чисел на 25. а) 18 ; б) 0 ; в) -6 ; г) 1 ; д) 24 . 5. Перечертите и заполните таблицу: 6. Найдите расстояние АВ между точками А (а) и В(Ъ), если: а) а = -5, Ъ = 3; б) а = 1, Ъ = 10; в) а = -7, Ъ = -8. 7. Самая низкая температура на Земле (-89 °С) была зарегистрирована в Антарктиде, а самая высокая (58 °С) - в Африке. Найдите разность между самой высокой и самой низкой температурами на Земле. а 8 0 -4 -15 1 -18 Ъ -13 -7 -16 4 15 0 а - Ъ Ъ - а Л 8. Вычислите: а) -12 - 8 + 7; б) 9 -1 6 - 3; в) 25 - 28 - 7; г) -7 -1 5 - 21; д) 6 -1 4 + 8; е) -9 - 7 +11. 9. Найдите значение числового выражения: а) -3 - 8 +12 - 4 +11; б) 4 - 5 +11 - 9 - 4; в) 9 - 2 - 8 + 4 - 21; г) -16 - 7 + 32 - 21 +17; д) -16 + 9 + 27 -11 - 8. 58 Глава 2 10. Найдите значение выражения х - у + 2, если: а) х = -3, у = -7 , 2 = -12; б) х = 9, у = 12, 2 = -8; в) х = -21, у = -6 , 2 = 17. 11. Впишите один из знаков (+ или -), чтобы полученное высказывание стало истинным: а) 72 (-53) = 125; б) 96 81 = -45; в) -37 (-64) = -101; г) -49 17 = -32; д) -61 9 = -70; е) 74 (-26) = 100. 12. Какая из точек, В или С, расположена на числовой оси дальше от точки А (-12), если: а) В(-6), С(-16); б) В(3), С(-27)? 13. Перечертите и заполните таблицу: а Ъ а - Ъ Ъ - а 1а 1 - 1Ъ1 1Ъ1 - 1а 1 -6 -9 12 19 -10 4 А 5 -11 __ — \ 14. Может ли разность двух чисел быть больше их суммы? Обоснуйте ответ, приведя примеры. 15. Подставьте вместо один из знаков (+ или -), а вместо такое число, чтобы полученное высказывание стало истинным: а) ( 24) + ( ) = -12; б) ( ) - ( 10) = 22; в) -15 - ( ) = 0; ^ г) ( 9) + (+4) = - И - 16. Даны числа А (-12), В(-4) на числовой оси. Найдите координаты точки С и длину отрезка АС, если точка В - середина этого отрезка.

Сложение целых чисел

 3.1. Сложение целых чисел с одинаковыми знаками ^ сЭ уемТ у зизе^ с§| Утром температура воздуха была +3°С. Какой стала температура воздуха в полдень, если она поднялась на 4 °С? Решение: Обозначим повышение температуры через +4 °С. Получим: (+3) + (+4) = 3 + 4 = 7. Ответ: +7 °С. 0 3 7 +4° С С /^1 Вечером температура воздуха была -3 °С. Какой стала температура воздуха к полуночи, если она понизилась на 5 °С? Решение: Обозначим понижение температуры через -5 °С. Получим: -3 + (-5) = . Ответ: °С. —I— - 8 +(-5)° 5° 3 0 Муравей переместился по числовой оси из точки О в отрицательном направлении сначала на 3 единицы, затем еще на единицу и оказался в точке С. Найдите координаты точки С. 1 -4 О Решение: -3 + (■ ) = Ответ: С( ). Можно решить и так: - 3 + (- 1) = = - (|-3| + |-1|) = = - (3 + 1) = - 4. 7 4 возьмите на заметк 3 3 0 Чтобы сложить два целых числа с одинаковыми знаками, надо: ® сложить их модули; ® поставить перед полученным числом общий знак. 50 Глава 2 3.2. Сложение целых чисел с разными знаками Исследуем и узнаем ‘Ц Коля и Саша играли в компьютерные игры. У Коли 7 выигрышей и 8 проигрышей, а у Саши - 6 выигрышей и 4 проигрыша. Кто выиграл, если каждый проигрыш аннулирует один выигрыш? Решение: Обозначим число выигрышей через положительные числа, а число проигрышей через отрицательные. Число проигрышей у Коли на единицу больше, чем выигрышей. Получим: (+7) + (-8) = -1. Число выигрышей у Саши на 2 больше, чем проигрышей: Получим: (6) + (-4) = Ответ: С/% Муравей переместился по числовой оси из точки О в положительном направлении сначала на 2 единицы, затем еще на 5 единиц в отрицательном направлении и оказался в точке А. Найдите координаты точки А. я р ешил так: +2 + (- 5) = - (|- 5 1 - |+2|) : = -(5 2) = -3 +8 + ( 2) = +(8 2) = +6 -7 + (+3) = -(7 - 3) = -4 Решение: -5 5 +2 А о ---------- -- -3 0 +2 + (-5) = -3. Ответ: -3. VI возьмите на заметк Чтобы сложить два целых числа с разными знаками, надо: ® из большего модуля слагаемых вычесть меньший; ® поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. Объясните, почему +3 + (-3) = 0. 7 Л Розьмите на заметк Целые числа Сумма двух противоположных целых чисел равна нулю: а + (-а) = 0, для любого а е Ж. 51 3.3. Свойства сложения целых чисел Исследуем и узнаем СЦ а) Рассмотрите таблицу. Подставьте вместо а и Ъ целые числа и проверьте истинность выводов, записанных в таблице. а Ъ а + Ъ Ъ + а Вывод -6 4 - 6 + (+4) = -2 + 4 + (-6) = -2 а + Ъ = Ъ + а, а е Ж, Ъ е Ж -4 0 - 4 + 0 = -4 0 + (-4) = -4 а + 0 = 0 + а = а, а е Ж б) Рассмотрите таблицу. Подставьте вместо а, Ъ и с целые числа и проверьте истинность вывода, записанного в таблице. а Ъ с а + (Ъ + с) (а + Ъ) + с Вывод -2 +7 -3 - 2 + (+7 + (-3)) = (-2 + (+7)) + (-3) = а + (Ъ + с) = (а + Ъ) + с, = -2 + (+4) = 2 = 5 + (-3) = 2 а, Ъ, с е Ж Свойства сложения целых чисел 1° Сложение целых чисел коммутативно: а + Ъ = Ъ + а для любых а, Ъ е Ж. 2° Сложение целых чисел ассоциативно: а + (Ъ + с) = (а + Ъ) + с для любых а, Ъ, с е Ж. 3° Целое число 0 является нейтральным элементом сложения целых чисел: а + 0 = 0 + а = а для любого а е Ж. 4° Для каждого целого числа а есть только одно противоположное ему число -а, - а е Ж такое, что а + (-а) = - а + а = 0 для любого а е Ж. ^ Вычислите ((-2) + (-3)) + 3. Решение: ((-2) + (-3)) + 3 = (-2) + (-3 + 3) = -2 + 0 = -2. ч__________ ____ __________________^ свойство 2° 52 Глава 2 Упражнения и задачи 1. Выполните с помощью числовой оси сложение: а) +3 + (+7); б) - 2 + (-6); в) -1 + (-8); г) +6 + (+1); д) - 4 + (-9); е) -8 + (-2). 2. Вычислите: а) -11 + (-120); б) -18 + (-17); в) +13 + (+34); г) -15 + (-27); д) +56 + (+27); е) -32 + (-181). 3. Вечером температура воздуха была -6 °С . Какой стала температура воздуха утром, если в течение ночи она понизилась на 5 °С? 4. Запишите число в виде суммы двух целых чисел: а) -100; б) -29; в) -13; г) -999. 5. Впишите в таблицу 4 числа так, чтобы сумма любых двух чисел была отрицательной. 6. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) (-4) + = -6; б) + (-2) = -12; в) -3 + = -11; г) + (-7) = -20. 7. Отметьте на числовой оси точку А(-4). Затем отметьте точку: а) Б(Ъ), где Ъ = - 4 + 2; б) С(с), где с = - 4 + 5; в) Б(Б), где ё = - 4 + (-1); г) М(т), где т = - 4 + 4. 8. Вычислите: а) -8 + 2; д) 21 + (-9); б) 12 + (-14); е) -121 + 98; в) -16 +15; ж) 137 + (-112); г) - 6 +17; з) -291 + 290. 9. Запишите в виде суммы двух целых чисел с разными знаками число: а) -2; б) 3; в) -5; г) 0; д) 7; е) -1. 10. Впишите такое целое число, чтобы полученное высказывание было истинным: а) 2 + = -7; б) + (-3) = -1; в) -3 + = 3; г) 0 + = -6; д) -8 + = 0; е) -11 + = -11 11. Перечертите и заполните таблицу: а -10 5 -17 0 -8 -20 - 13 Ъ 12 -7 17 -3 -4 19 -10 а + Ъ _ А Целые числа 53 12. Вычислите: а) 89 + (-62); б) -89 + (-62); д) -136 + (-49); е) -186 + 236; и) -64 + 75; к) -139 + 123; в) -89 + 62; ж) -98 + (-59); л) 45 + (-105); г) 27 + (-43); з) -43 + (-57); м) -82 + (-69). ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------- 13. Найдите значение выражения х + у , если: а) х = 171, у = 112; б) х = -213, у = -67; в) х = -47, у = -133; г) х = -59, у = -241. 14. Вычислите: а) (-4) + (-5) + (-6) + 2 + 3 + 4; б) (-7) + (-8) + (-4) +15 + 4; в) 17 + (-12) +18 + (-13) +19 + (-14). 15. Сравните: а) -99 + 100 0; >• б) -20 + 17 0; в) 82 + (-89) + 8 0; г) -114 + 114 0. 16. Вычислите, применив свойства сложения: а) -1 4 + (-16 + 20); б) (-18 + (-11)) + (-12); в) 19 + (-13) + 3 + (-19); г) -2 8 + (-17) + (-12) +17. 17. Найдите значение выражения а + (-38) + (-65) + Ъ, если: а) а = 28, Ъ = -25; б) а = -85, Ъ = -12. 18. Дополните таблицу тремя различными числами так, чтобы сумма любых двух чисел была отрицательной. 19. Впишите такое число, чтобы полученное высказывание было истинным: а) 627 + = 0; б) 217 + 325 + =325; в) + 215 + =215; г) + 2000 + =300. 7 • • • 20. Найдите сумму всех целых чисел от -99 до 100. 21. При каких условиях равенство х + у + г +1 = 0 является истинным, если х и 2 - противоположные целые числа? 22. Найдите сумму наибольшего положительного целого числа, состоящего из трех различных цифр и наименьшего отрицательного числа, состоящего из: а) 3 различных цифр; б) 5 различных цифр; в) 6 различных цифр.