Рассмотрите рисунки и поставьте необходимый знак сравнения: 19 28 > Л /а '/ГЧ 3 5 Сравните целые числа: а) 32 и 24; б) 8 и -15; в) -19 и -11. Решение: Отметим заданные числа на числовой оси: -19 -1*5 -1*1......................0 ................ 8 .................................... 2*4............... 3*2 а) Число 32 расположено правее числа 24. Значит, 32 24. б) Число 8 расположено правее числа -13. Значит, 8 -13. в) Число -19 расположено числа -11. Значит, -19 -11. 46 Глава 2 7 л а 0 ъ Ъ > а или а < Ъ. Розьмите на заметк ♦ Из двух чисел, изображенных на числовой оси, больше то, которое расположено правее другого. ♦ Любое отрицательное целое число меньше любого положительного целого числа. ♦ Нуль меньше любого положительного целого числа: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 <... ♦ Нуль больше любого отрицательного целого числа: ... -5 < - 4 < -3 < -2 < -1 < 0. 7 Сравните: а) 17 15, 1171 |15|; б) 100 200, 11001 12001; в) -7 -4, |-7 | |-4|; г) -98 -5, |-98| |-5|. > 2 '' а Розьмите на заметк Из двух положительных целых чисел больше то, модуль которого больше. Из двух отрицательных целых чисел больше то, модуль которого меньше. Упражнения и задачи 1. Отметьте на числовой оси числа 6, 2, -4, -8, 10, 3, -5 и определите: а) числа, больше 0; б) числа, меньше 0; в) наибольшее число; г) наименьшее число. 2. Запишите в виде неравенства высказывание: а) Число 111 - положительное. б) Число -200 - отрицательное. в) Число х - положительное. г) Число у - неотрицательное. 3. Впишите один из знаков сравнения (<, = или >): а) 25 17; б) -19 6; в) -15 -4; г) -7 0; д) 11 -(-11); е) -24 -23; ж) 16 -1; з) 8 -(-8). > 2 '' Целые числа 47 4. Запишите числа в порядке возрастания: а) 31, -27, -1, 0, 14, -17, 63, -3; б) 44, -33, 22, -11, 0, 19, 54, -4. 5. В Бельцах и Кагуле измеряли температуру воздуха в декабре. Результаты указаны в таблице: Дата Город 1 5 10 15 20 25 Кагул 0°С -5 °С -10°С -12°С -16°С -19°С Бельцы -2 °С -8 °С -10 °С -15 °С -18 °С -17 °С у У У ' * ' 1 Г 1 ( 1 а) Сравните температуру воздуха в Бельцах и Кагуле за эти дни. В каком городе было теплее? б) Какой из дней был самый холодный в этих городах? А самый теплый? ■ ----------------------------------------------------- 6. Определите, между какими соседними целыми числами заключено число: а) -5; б) -17; в) 7; г) 22; д) 0,5; е) 18,25. 7. Какая из температур выше? а) а = 10°С, Ь = 15°С; б) а = 21°С, Ь = 19°С; в) а = 18°С, Ь = -14°С; г) а = 12°С, Ь = -5°С. 8. Впишите такую цифру, чтобы получить истинное высказывание: а) -6481 < -6 4 8 | ; б) - 4 | 78 > -4278; в) 1608 < 160| ; г) 45 6 > 4546. 9. Запишите пять последовательных целых чисел: а) меньше 1; б) меньше -2; в) меньше -6; г) больше -4 . 10. Запишите числа в порядке возрастания: а) -24, 16, -|-18|, -(-15), |63|, -19, 21; б) -48, 32, |-61|, -|23|, |35|, -(-17), -61. 48 Глава 2 11. Дима изобразил температуру, зарегистрированную в Кагуле (см. таблицу упражнения 5), с помощью следующей схемы: О 1 5 10 15 20 25 Учитывая, что температура постоянно понижалась, определите, в какие дни могла быть следующая температура: а) -4°С; б) -14°С. Изобразите с помощью диаграммы температуру, зарегистрированную в Бельцах (см. таблицу упражнения 5). 12. Для каких целых чисел а верно высказывание а + | а | > 0? 13. Известно, что целые числа т и п являются отрицательными. Сравните числа: а) - т и п; б) -|п| и п; в) |т | и т ; г) |п| и т ; д) |-п| и |п|; е) |т | и - т . 14. На числовой оси даны точки А(а) и Б(Ъ). А В Н-------1------ 1—•—I------ 1-------- 1-------1-------1------ 1—•—I------ 1-------- 1- а Ъ Можно ли определить: а) какое из чисел а и Ъ больше ; б) модуль какого из чисел а и Ъ больше?
luni, 29 august 2022
Множество целых чисел
1.1. Целые числа 10 10 °С тепла или 10 °С холода ♦ ♦ 0 -0 Так как вода в пруду замер --Ю ° С зает при температуре ниже 0 °С, значит, хвост у медведя не примерз. О температуре 10 °С тепла говорят: 10 °С выше нуля (или плюс 10 °С) и записывают: +10 °С. Эта температура положительная. О температуре 10 °С холода говорят: 10 °С ниже нуля (или минус 10 °С) и записывают: -10 °С. Эта температура отрицательная. Рассмотрите рисунки и определите, каким словом необходимо дополнить предложение, чтобы получить истинное высказывание: Зимой, как правило, температура воздуха в Молдове Летом, как правило, температура воздуха в Молдове 36 Глава 2 Замечаем Положительные и отрицательные числа используются в географии при обозначении расположения объектов относительно уровня моря. В банковских операциях, как правило, доходы обозначают положительными числами, а расходы - отрицательными числами. Если перед целым числом стоит знак „ -“, то говорим, что целое число - отрицательное. Если перед целым числом стоит знак „+“, то говорим, что целое число - положительное. 7 Отрицательные целые числа: ..., -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1 Нуль Положительные целые числа: + 1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, ... ни положительное, ни отрицательное число Знак „+“ перед положительным числом можно опустить. Л возьмите на заметк Целые отрицательные числа, 0 и целые положительные числа образуют множество целых чисел. Множество целых чисел обозначается через 2. 2 = {..., -3, -2 , -1, 0, 1, 2, ...}. Множество 2* = 2 \ {0} называется множеством целых ненулевых чисел. ^ Долгое время отрицательные числа не использовались в вычислениях. Их считали „ложными” числами и к * говорили, что они „ меньше, чем ничего (ноль)”. Первыми, кто стал ассоциировать положительные числа с имуществом, а отрицательные - с долгами, были индусы. Китайцы для написания чисел использовали цвета: красный - для положительных чисел, черный - для отрицательных. В Европе отрицательные числа получили признание как действительно существующие лишь в первой половине XVIII века. В наше время отрицательные числа являются частью повседневной жизни. Целые числа 37 1.2. Числовая ось. Противоположные числа ИссдеЭуемиузиэем ^ Диана, прочитав в одной из книг об античных математиках, узнала, что Птоломей жил во II веке, Пифагор - в VI веке до н.э., а Эвклид - в III веке до н.э. Она захотела узнать, кто жил раньше. Для этого Диана расположила указанные века на хронологической оси (лента времени). VI век ' V век 1 IV век 1 III век 1 II век 1 I век I век II век . ! ^ ! III век до н. э. рождение Христа н. э. Ответ: Замечаем На хронологической оси отмечено начало отсчета (рождение Христа), направление и единичный отрезок (век). О единичный отрезок о ^ в 1 2 3 4 5 6 7 > 4 начало отсчета направление координата точки в В V классе я построил такую числовую ось. Дополним числовую ось, построенную в V классе, отметив слева от точки О числа -1, -2, -3, .... Числовая ось С О А -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 отрицательные значения положительные значения Возьмите иа заметк Прямую с выбранными на ней началом отсчета, направлением и единичным отрезком называю т числовой осью (или координатной прямой). 38 Глава 2 21 Яр |<Тич скАя 1*Аб ф Постройте числовую ось. ф Отметьте на ней точки: А (-2), В(-4), С(1), Я(3), О Д , Ш(-5), 0(-1), Н(5), /(-3), /(2). ф Назовите пары точек, равноудаленных от начала отсчета. В чем отличие координат точек каждой пары? Решение: ■ в / ■ о о Ш / я Ш Ш -5 -2 -1 0 1 2 | 4 5 Пары точек, равноудаленных от начала отсчета: Ш(-5) и , В(-4) и , и .0(3), и /(2), и . Координаты каждой пары отличаются знаком. Числа 1 и -1 называются противоположными. Противоположными числами являются: -5 и 5; и Ц ; и Ц ; и ; и . * / . ________________________ возьмите на заметь ♦ Для каждого целого ненулевого числа а чйсла а и -а называются противоположными. Противоположные числа отличаются друг от друга только знаками. Противоположным числу а является число -а, а противоположным числу -а является число а. Число 0 противоположно самому себе. ♦ Множество целых чисел состоит из нуля, множества ненулевых натуральных чисел и чисел, противоположных им. Примеры: Если а = 2, то -а = -2. Если а = -5, то -а = -(-5) = 5. 'Применяем Ц Используя результаты практической работы, назовите число, противоположное числу: 11, 17, -12, -23, 1411, -695. Целые числа 39 1.3. Модуль целого числа 1 я . *Тич СкАя I»АБ ф Постройте числовую ось. ф Отметьте на ней точки А(-4), В(3), С(-5), .0(5). ф Найдите расстояния ОА, ОВ, ОС и ОБ, где О - начало отсчета. ф Перечертите таблицу в тетрадь и заполните ее по образцу. Ф Точка Координата Отрезок Длина отрезка (Расстояние от заданной точки до точки О) А -4 ОА 4 В С 4 В __________________________ ^ Розьмите на заметк Расстояние от начала отсчета (точки О) до точки А(а), а е 2, называется модулем (или абсолютным значением числа а) и обозначается через |а|. В \а\ А Ь 0 а Используя результаты практической работы, вычислите: |-4 | = 4 |5| = ■ |-21| = |3| = |-8 | = 8 120051 = |-5 | = |17| = 17 |0| = ^ Даны целые противоположные числа: а) -5 и 5; б) -80 и 80; в) 18 и -18. Найдите модули этих чисел. Что вы заметили? Решение: а) |-5 | = 5, и |5| = 5. Значит, |-5 | = |5|. б) | -8 0 1 = , и 1801 = . Значит, в) |18| = , и |-18| = . Значит, 5 5 -5 0 5 40 Глава 2 7 Л возьмите на заметк ♦ Абсолютное значение (или модуль) любого целого числа является неотрицательным числом. ♦ Для любого целого числа а: | а | = < ♦ Модули противоположных чисел равны: | -а | = | а | __ а, если а > 0; 0, если а = 0; - а, если а < 0 - а | \а\ а Упражнения и задачи ■ ------------------------------------------------------------------- 1. Прочтите целые числа: -3000, -100, -24, -12, -2, 0, 12, 78, 2005, 30007. 2. Запишите с помощью цифр целые числа: „минус девяносто девять“, „плюс пятнадцать“, „минус две тысячи пятьдесят “, „ минус шесть миллионов “, „ плюс двадцать миллиардов “. 3. Среди чисел -11, 28, -33, 0, 69, -101, 202, -205, 44, -78, 27, 303, 0, 1012, -600, 99 укажите числа: а) отрицательные; б) положительные; в) неотрицательные; г) неположительные. 4. Прочтите показания термометров, изображенных на рисунке: а) -10 1 . б) 5 - 0 в) -10 0 г) - 5 - 0 д) -10 - 0 5. Истинно или Ложно? а) -5 е 2; в) 28 е N1; д) 0 е 2*; б) 17 е 2; г) 4-3е 2-; е) -1 е N. 6. Постройте в тетради вертикальную прямую и отметьте на ней точку О. Отметьте на этой прямой точки А, В, С, И, если: а) точка А на 8 клеток выше точки О; Целые числа 41 б) точка В на 5 клеток ниже точки О; в) точка С на 6 клеток ниже точки А ; г) точка В на 4 клетки выше точки В. 7. Рассмотрите домашний термометр для измерения температуры тела. Какую температуру он показывает: положительную или отрицательную? Обоснуйте ответ. 8. Нарисуйте шкалу термометра и отметьте на ней температуру: а) -5°С; б) +6°С; в) -4°С; г) +2°С; д) -1°С. 9. а) Отметьте на числовой оси целые числа: -6, 7, 8, -8, 9, -10. б) Рассмотрите числовую ось и определите координаты точек Е, Е, О, Н, Р. Р О Е О Е Н . ■ ■ ■ — 1 о 1 ' ' ' ' ' ' ' ' 10. Запишите целые числа, которые от начала отсчета на числовой оси расположены на расстоянии: а) 11 единиц; б) 65 единиц; в) 78 единиц; г) 100 единиц. 11. Отметьте на числовой оси точки: А(-7), В(-9), С(10), .0(6). 12. Назовите три целых числа, расположенных на числовой оси: а) правее числа 15; б) левее числа -13; в) правее числа -18; г) левее числа -5; д) между числами -3 и 5; е) между числами -1 и 8. 13. Запишите числа, противоположные целым числам: а) -65, 18, -22, -30, 11, 100, -2011, 0; б) 100, -81, -36, 48, -99, 0, 33, -2012. 14. Истинно или Ложно? а) Противоположным числу 17 является -17. б) Противоположным числу -5 является -5. в) Противоположным числу 8 является -3. г) Противоположным числу -25 является 25. 15. На каком расстоянии от пункта О находится автомобиль, если он доехал до пункта: а) А ; б) В? А О В Север Пункт отправления Юг 20 км 42 Глава 2 16. Перечертите и заполните таблицу: а 5 -8 72 0 -а -3 -23 7 ^ 17. Найдите расстояние от точки отсчета до точки: а) А(20); б) В(-8); в) С (-123); г) Я(129); д) 0(0); е) Р (-79); ж) О(2023); з) Н (-411). 18. Найдите абсолютную величину числа: а) 19; б) -33; в) -87; г) 104; д) -1222; е) 69; ж) -215; з) -98. 19. Дополните: а) если а е {-11, -9 , -5, 6, 29, 388}, то | а | е { }; б) если а е {33, -9 , -55, 44, -66, 77, -88}, то | а | е { }. 20. Отметьте на числовой оси точки, модуль которых равен: а) 6; б) 7; в) 0; г) 8; д) 5. ■ ------------------------------------------------------------------------------------------------- 21. Сережа поднялся на лифте шестнадцатиэтажного дома на 7 этаж, затем он переместился еще на 5 этажей. На какой этаж попал Сережа? Обоснуйте ответ. 22. Запишите элементы множества: а) А = {х | х е Ж, - 4 < х < 5}; б) В = {х | х е Ж, - 2 < х < 7}; в) С = {х | х е Ж, -1 < х < 8}; г) Р = {х | х е Ж, -5 < х < 6}. 23. Истинно или Ложно? а) {-7,0,1} с М; ^ б) {11, -3,0} с Ж*; в) {-5, -1,0} с Ж; г) {0,5,7} с М*; д) {-2,1,7} с Ж*; е) {1,8,100} с Ж. 24. Из повседневной жизни приведите примеры применения положительных и отрицательных чисел. 25. Назовите целые числа, расположенные на числовой оси между числами: а) 10,5 и 29,1; б) -5 и 12,4; в) -35 и -21; г) 11,2 и 31,8; д) -8 и 10,04; е) -46 и -31. 26. Запишите все натуральные числа меньше 9 и числа, противоположные им. Целые числа 43 27. В каком направлении и на сколько единиц надо переместить предмет из точки: а) А(-5) до точки В(3); б) С(6) до точки Л (-2)? 28. После перемещения предмета из точки А в отрицательном направлении на 4 единицы он оказался в точке В(-2). Найдите координаты точки А . 29. После перемещения некоторого предмета из точки С в положительном направлении на 7 единиц он попал в точку 0(3). Найдите координаты точки С. 30. Дополните: а) если т е {0, -2 , 5, -10}, то - т е { }; б) если к е {-3, 2, -7 , 11}, то - к е { }; в) если а е {-9, 3, -1, 8}, то - (- а) е { }. 31. Впишите число, чтобы получить истинное высказывание: а) -(-35) = ; б) 17 = ; в) -(-201) = ; г) 126 = . 32. Найдите х, если: а) | х | = 15; б) | х | = 123; в) | х | = 0; г) | х | = 63; д) | х | = 2012. 33. Найдите число: а) положительное, модуль которого равен: 1) 48; 2) 55; 3) 101; 4) 465; б) отрицательное, модуль которого равен: 1) 35; 2) 511; 3) 696; 4) 1001. 34. Определите число с наибольшим модулем: а) -7, 18, -35, 22, -14; б) 64, -19, 59, -63, 33. 35. Впишите один из знаков сравнения (<, = или >), чтобы получить истинное высказывание: а) |-7 | |8|; в )|-1 1 | 10; д) |-102| |-98|; Г > б) 1251 |-1 3 1; г) |-66| 1661; е) 1151 |-35|. 36. Вычислите: а) | -18 | + 117 | - 1 - 3 0 1 • 0; б) | 2 8 1 - 1- 1 4 1 + 1 -55 | • 0; в) | 681 : | - 2 1 + | 2 9 1 - 1 -15 | ; г) | -1 0 2 1 : | -3 | + | 911 - 1 - 6 9 1. 37. Перечертите рисунок и отметьте начало отсчета. Назовите координаты точек С, Д Е? Е Е А(-8) ‘ В(4) ‘ ( <1 44 Глава 2 38. Даны множества: а) А = {-4, -(-5 ), 0, 7, 21} и В = {5, -(-7 ), 18, -8, 15}; б) А = {17, -11, 18, -(-8 ), 25} и А = {-13, -(-9 ), 8, -(-25)}. Найдите: 1) А ^ В; 2) А П В; 3) А \ В; 4) В \ А. 39. Найдите число а, если: а) - ( - а ) = 12; б) - а = -(17); в) а = -{-[-(-25)]}. 40. Отметьте на числовой оси целые числа х, удовлетворяющие условию: а) | х | < 5; б) | х | < 6; в) | х | < 7; г) | х | < 8. 41. Запишите три целых значения х, удовлетворяющие условию: а) х < 0 и | х | < 7; б) х > 0 и | х | < 5. 42. Запишите элементы множества: а) А = {х | х е Ж, | х | < 3}; б) В = {х | х е Ж, | х | < 1}; в) С = {х | х е Ж, | х | < 2}; г) Б = {х | х е Ж, | х | < 4}. 43. Даны множества: а) А = {х | х е Ж, | х | < 9} и В = {х | х е Ж, -5 < х < 8}; б) А = {х | х е Ж, | х | < 8} и В = {х | х е Ж, - 2 < х < 7}. Найдите: А ^ В, А П В, А \ В, В \ А. 44. Найдите | х |, если расстояние между точками В (х) и С( - х) равно 8 единицам измерения. 45. Истинно или Ложно? К 1) Если а < 0, то | а | = а. 2) Если | а | = - а, то а = 0. 3) Если а = Ъ, то | а | = | Ъ |. 4) Если | а | = | Ъ |, то а = Ъ.
Решение уравнений на множестве N
4.2. Рассмотрите рисунок и заполните пропуски. Так как весы находятся в равновесии, то получим: 3 ■ + 1 = 10 ----- уравнение с одним неизвестным I___________I I__I Левая часть Правая часть уравнения уравнения Натуральные числа. Повторение и дополнения 27 Решаем и поясняем ^1 Решите на множестве N уравнение 3х +1 = 10. Решение: 3 х +1 = 10 Левая часть П равая часть уравнения уравнения 3* = 10 -1 -*■ 3* = 9 * = 9:3 * = 3 е N 3 • 3 +1 = 10 (И) 10 = 10 Ответ: 8 = {3}. Левая часть уравнения - сумма 3* +1, с одним неизвестным. Чтобы найти неизвестное число, вычтем из суммы известное слагаемое. Левая часть - произведение 3х, а неизвестное число х является одним из множителей. Чтобы найти неизвестный множитель х, разделим произведение 9 на известный множитель 3. Получим число 3 и проверим, принадлежит ли оно множеству N (так как уравнение решается на множестве натуральных чисел). Проверим, превращается ли уравнение в истинное равенство при подстановке полученного числа. Записываем ответ. -Л/ я А Возьмите на заметк Уравнение Уравнение имеет не имеет решение решений называет- на N. на N. ся равенство, содержащее одно неизвестное. ♦ Значение неизвестного, при котором уравнение превращается в истинное равенство, называется решением уравнения. ♦ Решить уравнение - значит найти все его решения или доказать, что решений нет. ♦ Множество решений уравнения обозначается через 5. ♦ Если уравнение не имеет решений, то $ = 0 . Решите на множестве N уравнение 4а - 3 = 18 . Решение: 4а - 3 = 1 8 ^ — Левая часть уравнения - разность. 4а = 18 + 3 — Чтобы найти уменьшаемое, складываем 28 Глава 1 4а = 21 Левая часть уравнения - , а неизвестное число а является одним из множителей. а = 21:4 а = 5,25 й N Вывод Ответ: 8 = 0 . Чтобы найти неизвестный множитель а, разделим произведение на известный множитель. Получим число 5,25, которое не принадлежит множеству N. Уравнение не имеет решений на множестве N. Записываем ответ. ^ Решите на множестве N уравнение 16: (2г) = 8. Решение: Левая часть уравнения - частное. — Чтобы найти , разделим на — Чтобы найти , разделим на Получим значение неизвестного и проверим, принадлежит ли оно множеству N. — Проверим, превращается ли уравнение в истинное равенство при подстановке полученного значения. Ответ: 8 = . -----Записываем ответ. 16: (2г) = 8 22=16:8 2 г = 2 г = 1 е N 16 : (2 1) = 8 (И) 8 = 8 Решите на множестве N уравнение 6х -1 8 = 0 . Решение: 6х - 1 8 = 0 6 х = 18 + 0 или 6х = 18 х = 18:6 х = 3 е N 6 • 3 -1 8 = 0 (И) 0 = 0 Ответ: 8 = {3}. Левая часть уравнения - это разность. Чтобы найти уменьшаемое, складываем с . Чтобы найти неизвестный множитель , разделим на . Получим число 3 и проверим, принадлежит ли оно множеству N. Проверим, превращается ли уравнение при подстановке полученного значения в истинное равенство. Записываем ответ. Натуральные числа. Повторение и дополнения 29 Упражнения и задачи 1. Даны математические выражения: 2х; 35 - 2; 0; 5а- Ъ; 73 • 2 + 3; 53 + у; 3(5 + 2• 4); 8аЪ; 5(12 + 32); х22; 1 8 -3 • 5. Выпишите: а) числовые выражения; 2. Найдите значение выражения: а) 2( х - 4) при х = 5; в) 3х +1 при х = 0,5; д) 5(а + Ъ) при а = 2, Ъ = 1,2; б) буквенные выражения. б) 3 : 2 при 2 = 6; г) 4х при х = 2 ; е) 7а + Ъ при а = 4 , Ъ = 3 . 3. Выполните подстановку и установите, решением каких уравнений является число: 1) 4; 2) 10: а) 3 + х = 28:4; б) 5(х + 2) = 32; в) 2а - 3 = 17; г) 120: 2 = 12; д) 8у + 6 = 4 2 -4 ; е) 20 + 31 = 100:2. 4. Поставьте в соответствие каждому уравнению его решение: х + 5 = 8 12х = 60 3 у -1 2 = 0] а - 10 = 2] 120:2 = 40 4 5 3 12 10 5. Решите на множестве N уравнения и выполните проверку: а) х +18 = 24; б) а + 35 = 20; в) 82 = 160; г) 5у = 18; д) х : 12 = 96; е) 1:6 = 100; ж) 9х -1 = 0; з) 4х - 20 = 0. ■ ----------------------------------------------- 6. Перечертите и заполните таблицу: 7. На кондитерской фабрике было х коробок и у конфет. В каждую коробку помещается не более 20 конфет. Объясните, что могут означать в этом случае выражения: а) 20х; б) у : х. 30 Глава 1 8. Используя данные таблицы, составьте уравнения, затем решите их на множестве М: а) Слагаемое 215 ? 24,06 Слагаемое ? 2011 6,84 Сумма 729 3405 ? Уменьшаемое 688 ? 144,28 Вычитаемое ? 2012 68,28 Разность 12 20 ? в) Множитель 14 ? 42,5 Множитель ? 41 14 Произведение 350 451 ? Делимое 688 ? 68,4 Делитель ? 15 10 Частное 43 420 ? 9. Составьте уравнение по каждой цепочке действий, затем решите его на множестве М : а) в) 10. Сереже 7 лет, а его брату Максиму 1 год. Сколько лет будет Сереже, когда его возраст будет в два раза больше возраста Максима? 11. Решите на множестве М уравнение: а) 3(1 - 2х) + 8 = 32; б) 60:(3у + 2) = 12; в) 1 - 3(8 х - 4) = 1; г) 1605 + 4(3 - х) = 2011. Натуральные числа. Повторение и дополнения 31 12. Решите задачу сначала арифметическим методом, затем уравнением: а) Автосалон за год продал 68 автомобилей марки В М ^ и марки Рогй. Автомобилей марки В М ^ продали на 12 больше, чем автомобилей марки Рогй. Сколько автомобилей марки В М ^ было продано? б) В домашней библиотеке Миши всего 124 книги, на русском и английском языках. Книг на русском языке в 3 раза больше, чем на английском. Сколько книг на русском языке в домашней библиотеке Миши? в) Сколько пассажиров было в поезде, если на станции вышла половина пассажиров, зашло 28 человек и в поезде стало 124 пассажира? 13. Впишите такое число, при котором решением полученного уравнения: а) 6 - 3х = 210 будет число 5; б) 4 • (1 + х) = х будет число 8. 14. Составьте задачу по данному уравнению: а) 2( х - 3) = 216; б) 5 - 3х = х +1; в) 280: х = 155 - 85. 15. Решите на множестве М* уравнение: а) (2х - 4): (3х) = 10; б) 2х2 = х(2х +1) -2 5 . Задания для осмысления 1. Что называется математическим высказыванием? Приведите примеры предложений, которые не являются высказываниями. 2. Приведите по три примера истинного и ложного высказывания из разных областей знания. 3. Сформулируйте истинное высказывание, а затем его отрицание. 4. Для каждого из слов и; или; не; если..., то... приведите по одному примеру истинного и ложного высказывания. 5. Приведите примеры из повседневной жизни для каждого из выражений: „Не больше“, „Хотя бы “, „Любое“, „Существует". 6. Сформулируйте одно общее и три частных высказываний, следующих из общего. 32 Глава 1 7. Приведите три частных высказывания из: а) биологии; б) физики; в) русской литературы. Сформулируйте общее высказывание, которое следует из частных. 8. Приведите примеры множеств из разных областей знания. 9. Истинно или Ложно? Кардинал множества учеников вашего класса равен 30. 10. Какие соотношения между множествами вы знаете? 11. Какие действия над множествами вы изучили? 12. Прочтите: В с А; В = А; А I В; В ^ А; А \ В; В \ А; А ^ В = 0 ; А П В = 0 . 13. Приведите примеры множеств А и В из повседневной жизни таких, что: а) А ^ В = 0 ; б) А П В = 0 . 14. Существует ли такое число, которое и кратно некоторому числу и является его делителем? 15. При каком условии число делится на 2? А на 3? На 5? На 9? На 10? ! 16. Какие числа называются простыми? А какие составными? 17. Существуют ли простые четные числа? 18. Какое число называют общим делителем двух чисел? А какое число называют общим кратным этих чисел? 19. Как найти наибольший общий делитель двух чисел? А наименьшее общее кратное? 20. Составьте по одной задаче, которую можно решить: а) графическим методом; б) методом сведения к единице; в) методом обратного хода; г) методом фальшивой гипотезы. 21. Что такое уравнение? 22. Что значит решить уравнение на множестве N ? 23. Приведите пример уравнения, которое не имеет решений на множестве N. 24. Составьте по одному уравнению каждого из изученных видов и решите их. Натуральные числа. Повторение и дополнения 33 Итоговый тест Время выполнения работы: 45 минут I вариант 1. Дано множество: А = {хе N | 60 < х < 70 и х : 3}. а) Истинно или Ложно? 1 „Натуральное число кратно 3 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3“. б) Задайте множество А перечисле- 3 нием его элементов. | в) Выберите одно четное число и 7 одно нечетное число среди элементов множества А и найдите их НОД. II вариант 1. Дано множество: В = {хе N | 80 < х < 100 и х : 9}. а) Истинно или Ложно? „Натуральное число кратно 9 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 9“. б) Задайте множество В перечислением его элементов. в) Выберите одно четное число и одно нечетное число среди элементов множества В и найдите их НОК. 2. Макс и его дедушка вместе собрали 100 кг слив. Сливы были распределены по 12 кг в каждый из ящиков, имеющихся у дедушки, и осталось еще 16 кг. а) Впишите натуральное число: 4 = 16. б) Определите, сколько ящиков было у дедушки. в) Найдите сумму денег, которую получит дедушка после продажи всех ящиков со сливами по цене 8 леев/кг. 3. Решите задачу арифметическим методом. Фермер выращивает поросят и голубей, всего 51 голова и 132 ноги. Найдите, сколько поросят и сколько голубей у фермера. 1 2. 3. Дана и ее бабушка вместе собрали 106 кг огурцов. Огурцы были распределены по 14 кг в каждый из ящиков, имеющихся у бабушки, и осталось еще 8 кг. а) Впишите натуральное число: 3 = 8. б) Определите, сколько ящиков было у бабушки. в) Найдите сумму денег, которую получит бабушка после продажи всех ящиков с огурцами по цене 7 леев/кг. Решите задачу арифметическим методом. В жилом доме есть двухкомнатные и четырехкомнатные квартиры. Найдите, сколько двухкомнатных и сколько четырехкомнатных квартир, если всего в доме 45 квартир и 140 комнат. Схема оценивания теста О ц ен ка 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 С ум м а баллов 27-26 25-24 23-21 20-17 16-12 11-8 7-6 5-4 3-2 1-0
Арифметические методы решения задач
3.1. Графический метод Гешаем и поясняем Ц Всего на 3 базах было 260 т яблок. На первой базе было на 56 т яблок больше, чем на второй, а на третьей - на 30 т больше, чем на второй базе. Сколько тонн яблок было на каждой базе? Представим неизвестные и зафиксируем связь между величинами, заданными в задаче с помощью рисунка. Решение: ® Изобразим с помощью отрезков: I база II база III база 56 т г----------- ^ н-------------- ч 260 т 30 т ® Вычислим сумму значений равных частей: 260 - 56 - 30 = 174 (т). ® Найдем, сколько тонн яблок было на II базе (значение одной части): 174:3 = 58 (т). @ Найдем, сколько тонн яблок было на I базе: 58 + 56 = 114 (т). © Найдем, сколько тонн яблок было на III базе: 58 + 30 = 88 (т). Проверка: 114 + 58 + 88 = 260 (т) - И. Ответ: I база - 114 т; II база - 58 т; III база - 88 т. Натуральные числа. Повторение и дополнения 21 Дополняем и поясняем /^и Автобус преодолел расстояние в 1270 км за три дня. В первый день он прошел расстояние в 5 раз больше, чем во второй, а в третий - на 60 км больше, чем в первый день. Сколько километров проезжал автобус каждый день? Решение: ® Изобразим с помощью отрезков I день |---------1------- II день |---------1 III день I---------1------- 1270 км км ® 1270 - = (км) - сумма значений равных частей. ® 5 + 1 + 5 = 11 (равных частей). ® 1210 : 11 = (км) - II день. © • 5 = (км) - I день. 5 + 60 Проверка: + (км) - III день. + = 1270 (км) Ответ: I день км; II день км; III день км. 3.2. Метод сведения к единице Решаем и поясняем Ц За 12 коробок конфет заплатили 432 лея. Сколько стоят 8 таких коробок конфет? Решение: Применим схему: 12коробок ..................... 1 коробка .................... 432 : 12 = 36 (леев) 8 коробок ...................... 36 • 8 = 288 (леев) Значит, цена одной коробки равна 36 леям, а 8 коробок стоят 288 леев. Ответ: 288 леев. Сводим сравнение величин из условия задачи к их сравнению с одной из величин, принятой за единицу. 432 лея 22 Глава 1 Дополняем и поясняем /X Для празднования Рождества одна семья купила индюка, гуся, 3 курицы и 5 цыплят. Известно, что цена одного цыпленка равна 32 леям. Сколько заплатили за всю покупку, если индюк стоит столько же, сколько гусь и 2 курицы, гусь - как одна курица плюс 20 лей, а курица - как 3 цыпленка. Решение: Для решения задачи примем за единицу цену цыпленка. Тогда одна курица стоит 3 ■ 32 = 96 (леев). За гуся заплатили 3 ■ 96 + 20 = + 20 = (леев). За индюка: + 2 ■ 96 = (леев). За всю покупку заплатили: + + 3 ■ 96 + 5 ■ 32 = (леев). Ответ: лея. 3.3. Метод обратного хода Решаем и поясняем Ц Вика задумала число. Она умножила его на 2, потом отняла 5, полученный результат умножила на 3, разделила на 6, затем прибавила к частному 4 и получила 28. Какое число задумала Вика? Решение: Имеем: ■ 2 - 5 Решаем задачу, начиная с конца ее условия. : 6 + 4 28 Восстановим число, начиная решение с конца условия: 28 - 4 24 6 144 : 3 48 + 5 53 : 2 26,5 Ответ: 26,5. Дополняем и поясняем /X В первый день турист шел 6 часов, во второй день он прошел 30 км, в третий день на 20 км больше, чем во второй, а в четвертый день турист шел 5 часов со скоростью 8 км/ч. Всего он преодолел 180 км. С какой скоростью тронулся в путь турист в первый день? Натуральные числа. Повторение и дополнения 23 Решение: Начнем решение задачи с конца условия: ® В четвертый день турист прошел: 5 • 8 = 40 (км). © В третий день: 20 + 30 = 50 (км). ® За II, III, IV дни вместе: 30 + + (км). ® В первый день он прошел: 180 - = © В первый день турист тронулся в путь со скоростью: : 6 = (км/ч). Проверка: + + + = (км). (км). Ответ: + км/ч. 3.4. Метод фальшивой гипотезы Ис-с-ледуем ы узнаем Ц Н а лугу пасутся гуси и овцы, всего 98 голов и 252 ноги. Сколько гусей и сколько овец пасутся на лугу? Решение: ® Предположим, что на лугу пасутся только гуси. Тогда, если есть 98 голов, то имеем 98 • 2 = 196 (ног). © Сравнивая с условием задачи, получим: 252 - 196 = 56, то есть на 56 ног больше. ® Такой результат мы получили, предположив, что на лугу пасутся только гуси. ® Учитывая, что у овец не 2, а 4 ноги и то, что у нас получилось на 56 ног больше, найдем, сколько овец пасутся на лугу: 56 : 2 = 28 (овец). © Найдем, сколько гусей пасутся на лугу: 98 - 28 = 70 (гусей). Проверка: 28 • 4 + 70 • 2 = 252. Ответ: 28 овец, 70 гусей. 24 Глава 1 Дополняем и поясняем На 730 леев можно купить 22 книги, по 25 леев и по 40 леев. Сколько книг каждого вида можно купить? Решение: ® Предположим, что все книги стоят по 40 леев. Тогда за все 22 книги надо заплатить: 22 ■ 40 = 880 (леев). ® Сравнивая с заданной суммой денег, получим: 880 - 730 = (то есть на леев больше). ® Такой результат мы получили, предположив, что все книги стоят по 40 леев. ® Найдем, сколько книг по 25 леев было куплено: : (40 - 25) = (книг). © Найдем, сколько книг по 40 леев было куплено: 22 - = (книг). Проверка: ■ + ■ = 730 (леев). Ответ: книг по 25 леев; книг по 40 леев. Ододшаем Суть метода заключается в том, что начинают, как правило, с вопроса задачи, сделав произвольное предположение относительно искомых величин, не противореча условию задачи. Далее данная задача решается на основе сделанного предположения до тех пор, пока не будет получен результат, не соотносимый с условием задачи: либо больше, либо меньше, чем дано в условии. Этот результат (на основе предположения) сравнивается с тем, что дано в условии задачи. Из полученных несоответствий делаем правильный вывод по решению задачи. Упражнения и задачи ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Решите задачи графическим методом: а) Веревку длиной 74 м разрезали на две части. Длина первой части на 16 м длиннее второй. Чему равна длина каждой части? б) Масса трех металлических деталей равна155 кг. Первая деталь на 28 кг тяжелее второй, а третья на 22 кг тяжелее второй. Какова масса каждой детали? 2. Решите задачи методом сведения к единице: а) Стоимость 12 книг по одинаковой цене составляет 816 леев. Сколько стоят 5 таких книг? б) Света купила 18 альбомов и 24 книги по той же цене. За все она рассчиталась банкнотой в 500 леев и получила сдачу 17 леев. Сколько стоит один альбом и сколько стоит одна книга? Натуральные числа. Повторение и дополнения 25 3. Решите задачу методом обратного хода. От удвоенного числа отняли 10, полученный результат умножили на 6, затем прибавили 5, разделили на 8 и получили 22. Найдите искомое число. 4. Решите задачи и ш из раздела 3.4, сделав другое предположение. 5. Решите задачи методом фальшивой гипотезы: а) Фермер продавал цыплят и кроликов: всего 20 голов и 68 ног. Сколько цыплят и сколько кроликов выставил на продажу фермер? б) В 22 книгах по 50 и по 90 страниц, всего 1340 страниц. Сколько всего книг содержат 50 страниц и сколько - 90 страниц? ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Решите задачи графическим методом: а) Отцу 44 года, а сыну 16 лет. Сколько лет назад отец был в 3 раза старше сына? б) В библиотеке 458 книг на трех языках. Книг на испанском языке на 50 меньше, чем книг на французском, и в два раза меньше, чем на английском. Сколько книг на каждом языке в библиотеке? 7. Решите задачу методом сведения к единице: За 10 дней 6 рабочих выкопали ров длиной 420 м. Какой длины ров могут выкопать за 8 дней 10 рабочих с той же производительностью труда? 8. Решите задачу методом обратного хода: Домохозяйка продавала на рынке дыни. Первый покупатель купил половину всех дынь и еще полдыни. Второй купил половину того, что осталось и еще полдыни. Третий покупатель купил половину того, что осталось и еще полдыни. Так домохозяйка продала все дыни. Сколько всего дынь было у нее? 9. Решите задачу методом фальшивой гипотезы: На ферме есть гуси, утки и телята: всего 120 голов и 280 ног. Известно, что число гусей в три раза больше, чем уток. Най- С дите, сколько гусей, уток и телят на ферме. ' ( 10. В классе девочек в три раза больше, чем мальчиков. Может ли быть в этом классе 34 ученика? А 36 учеников? Сколько учеников должно быть в классе, чтобы задача имела решение? Найдите несколько вариантов ответа. 11. а) Составьте задачу, которую можно решить: 1) графическим методом; 2) методом сведения к единице; 3) методом обратного хода; 4) методом фальшивой гипотезы. б) Предложите одноклассникам решить составленные задачи.
Делимость
2.1. Делитель. Кратное 1||| Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф хотят купить яблоки. Общая масса яблок в обоих ящиках одинаковая. Какой ящик надо выбрать поросятам, чтобы каждому из них досталось одинаковое количество яблок? Решение: 1 15 яблок можно поделить поровну между 3 поросятами. Обозначаем: 15 : 3 или 3 | 15 Читаем: 15 кратно 3 3 делит 15 20 яблок нельзя поделить поровну между 3 поросятами. Обозначаем: 20/ 3 или 3 /2 0 Читаем: 20 не кратно 3 3 не делит 20 • Натуральное число а делится на натуральное число Ъ, если существует натуральное число с такое, что а = Ъ • с. Обозначаем: а : Ъ. Говорят: Ъ делитель числа а, или Ъ делит число а. Обозначаем: Ъ | а. • Натуральное число а кратно натуральному числу Ъ, если а делится без остатка на Ъ. Очевидно, что если Ъ делит а, то а кратно Ъ. •Применяем и объясняем ь |а ^ ) делитель кратно числа а числу Ъ Сколько делителей и сколько кратных у числа 12? Решение: Так как 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12, то число 12 имеет шесть делителей. Каждое из чисел 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... делится без остатка на 12. Заметим, что любое число вида 12 • п, где п е Ы, делится без остатка на 12. Следовательно, число 12 имеет бесконечно много кратных. Ответ: 6 делителей и бесконечно много кратных. Натуральные числа. Повторение и дополнения 13 к Возьмите на заметк ♦ Множество делителей натурального числа п конечно и обозначается Б п. ♦ Множество кратных натурального числа п бесконечно и обозначается М п. Значит, Д 2 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, М 12 = {0,12, 24,36, 48, ...}. Замечание. Любое натуральное число п делится на 1 и на п. Числа 1 и п называются несобственными делителями числа п, остальные делители этого числа называются собственными. 2.2. Признаки делимости ‘Ц Для каждой корзины выберите соответствующие числа. 12 30 21 80 56 100 370 48 35 64 90 Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6 или 8. Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 0 или 5. Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 0. *3 ИййдеЭуем и узнаем с?%, Какой цифрой может оканчиваться запись числа, делящегося на 3? Решение: Рассмотрим несколько чисел, кратных числу 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, .... Ответ: Любой цифрой. 14 Глава 1 7 Рассмотрите и заполните пропуски: 81, 268, 873, 100, 108, 78, 95 Числа, делящиеся на 3 81 Числа, сумма цифр которых делится на 3 81 А Сделайте вывод. Решите задачу (Ц , исследуя делимость на 9. Сделайте вывод. возьмите на заметк ♦ Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3. ♦ Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9. применяем и объясняем ф/ Используя признаки делимости, выберите числа, которые делятся на: а) 3; б) 9. 8883) С3456] 384 567 4 2 ' 1234 288 234 Определите истинностное значение высказывания: а) Все числа, делящиеся на 9, делятся на 3. б) Все числа, делящиеся на 3, делятся на 9. в) Некоторые числа, делящиеся на 3, делятся и на 9. Образец: 168М 3, так как 1 + 6 + 8 = 15, а 15 М 3. 2.3. Простые числа. Составные числа. Разложение чисел на простые множители Ц Рассмотрите числа. Помогите Наф-Нафу выбрать числа, которые не имеют собственных делителей (то есть числа, которые делятся только сами „а себя и на 1): ( я ) ( З Г ) ^ 42 71 81 43 19 Решение: Числа 53, 71, 43, 19 делятся только сами на себя и на 1. Такие числа называют простыми числами. Каждое из чисел 42, 38, 81, 27, 39 имеет более 2 делителей. Например, 42 делится на 1,2, 3, 6, 7, 14, 21,42. Такие числа называют составными числами. Натуральные числа. Повторение и дополнения 15 фвозьмите на заметк ♦ Натуральное число п называется простым числом, если оно имеет только два делителя: 1 и п. ♦ Натуральное число п называется составным числом, если оно имеет более двух делителей. Замечание. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам, так как оно делится только на 1. 'Применяем и объясняем • Дополните последовательность такими числами, чтобы получить ряд первых десяти простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, , , . Обратите внимание, как Всезнайка и Многознайка разложили на простые множители число 300. 1 способ 2 способ 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 3 10 2 5 / Л 300= 22•3•52 М н о го зн а й к а ® Число, записанное слева, делим на самое маленькое возможное простое число и под делимым записываем полученное частное. ® Повторяем шаг ® до тех пор, пока не получим в частном 1. 300= 22•3•52 Задания для понимания Разложите на простые множители число: а) 420; б) 1200. 2 5 2.4. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное Исследуем и узнаем Ц В период зимних праздников один из магазинов приготовил одинаковые подарки, состоящие из конфет „М етеорит“ и „ До-ре-ми“. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 120 конфет „ Метеорит “ и 144 конфет „ До-ре-ми “? Решение: Каждое из чисел 120 и 144 должно делиться на число подарков. Поэтому выпишем все делители каждого из чисел. 16 Глава 1 Д 20 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 60, 120}. А 44 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 72, 144}. Видим, что наибольшим числом, которое делит числа 120 и 144, является 24. Значит, можно составить не больше 24 подарков. Говорим, что число 24 является наибольшим общим делителем чисел 120 и 144. Ответ: 24 подарка. 7 возьмите на заметк ♦ Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и Ъ называется наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и Ъ. Обозначаем: (а, Ъ). ♦ Если (а, Ъ) = 1, то числа а и Ъ называют взаимно простыми. Найдите НОД чисел 450 и 1050. Решение: ® Разложим на простые множители каждое число: 450 = 2•32 • 52 450 2 225 3 75 3 25 5 5 5 1 1050 2 525 3 175 5 35 5 7 7 1 1050 = 2•3•52 • 7 ® Найдем произведение общих простых делителей с наименьшими показателями степени. (450, 1050) = 2 • 3 • 52 = 150. Замечание. Если Ъ делит а, то (а, Ъ) = (Ъ, а) = Ъ. Иссдеэуемиузнаем Какое наименьшее количество уток может быть в стае, если на пруд они идут по 8 в ряду, а назад возвращаются по 6 в ряду? Решение: Число уток должно делиться на 6 и на 8. Запишем несколько чисел, кратных 6 и 8. М 6 = {0, 6, 12,18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}, М 8={0, 8,16, 24, 32, 40, 48,...}. Заметим, что наименьшим числом, кратным числам 6 и 8, является 24. Значит, в стае не меньше 24 уток. Ответ: 24 утки. Натуральные числа. Повторение и дополнения 17 Говорим, что число 24 является наименьшим общим кратным чисел 6 и 8. Обозначаем: [6, 8] = 24. возьмите на заметк Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ъ называется наименьшее ненулевое натуральное число, которое делится на числа а и Ъ. Обозначаем: [а, Ъ]. ^ Найдите НОК чисел 144 и 150. Решение: ® Разложим на простые множители каждое число. 144 72 36 18 9 3 1 144 = 24•32 150 75 25 5 1 150 = 2 • 3 • 52 ® Найдем произведение всех простых делителей данных чисел с наибольшими показателями степени: 24 • 32 • 52 = 3600 , или [144, 150] = 3 600. Ответ: [144, 150] = 3600. Замечание. Можно показать, что [а, Ъ] = а • Ъ (а, Ъ) для любых ненулевых чисел. 144• 150 Действительно, (144, 150) = 6 и = 3 600. / \ (144, 150) [144, 150] Запомните [а, Ъ] • (а, Ъ) = а • Ъ Л Упражнения и задачи 1. Выберите числа, которые делятся на: а) 2; б) 5; в) 10. 421 ( 500 ( 36 С 970 1 4000 ( ( 360 995 ( 59 45 ( 2615 70225 18 Глава 1 2. Запишите все двузначные натуральные числа: а) которые делятся на 2 и на 5; б) которые делятся на 10; в) которые делятся на 5, но не делятся на 10. 3. Найдите частное и остаток от деления: а) 2456 : 5; б) 3149 : 2; в) 2783 : 10; г) 1234 : 3; д) 43 210 : 9. 4. Найдите числа меньше 30, каждое из которых равно сумме всех своих делителей, не считая самого числа. 5. Применив соответствующий признак делимости, выберите числа, которые делятся на: а) 3; б) 9. 436 199 11211 2880 6666 7728 91917 46438 5423 6485 6. Найдите собственные делители числа: а) 36; б) 48; в) 126; г) 416; д) 500. 7. Найдите все двузначные числа, кратные: а) 21; б) 18; в) 35; г) 19. 8. Выберите простые числа: 9. Разложите на простые множители числа: а) 36; б) 80; в) 100; г) 136; д) 240. 10. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 12 и 20; б) 27 и 72; в) 60 и 64; г) 96 и 36; д) 360 и 840; е) 84 и 112. 11. Сократите дробь: а) 315. 320’ б) 48 . 124’ в) 360. 420’ 12. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 5 и 8; б) 45 и 9; в) 27 и 45; г) 12 и 18; г) 312 390' д) 33 и 39; е) 64 и 48. 13. Не выполняя деление, найдите остаток от деления числа 123456789 на: а) 2; б) 5; в) 10; г) 3; д) 9. 14. Найдите все числа вида: а) 123а, делящиеся на 3; б) 25аЬ, делящиеся на 9; в) 63Ьс, делящиеся и на 9, и на 10. ■ ------------------------------------------------------------------ 15. Найдите три числа, запись которых состоит: а) из цифр 1 и 0 и которые делятся на 3; б) из цифр 2 и 3 и которые делятся на 3; в) из цифры 3 и которые делятся на 9; г) из цифр 1 и 4 и которые делятся на 9. Натуральные числа. Повторение и дополнения 19 16. Истинно или Ложно? а) Произведение двух нечетных чисел является нечетным числом. б) Квадрат четного числа - нечетное число. в) Куб нечетного числа - четное число. г) Куб четного числа - четное число. * 17. Две маршрутки отправляются в 6:00 с одной и той же остановки. Первая марш рутка возвращ ается на эту остановку через каждые 45 минут, а вторая - через каждый час. Во сколько снова встретятся эти две маршрутки на той же остановке? 18. Чему равен остаток от деления числа п на 6, если число п + 4 кратно 6? 19. Истинно или Ложно? а) Сумма двух четных чисел является четным числом. б) Разность двух нечетных чисел является нечетным числом. в) Если с | а и с | Ъ, то с | (а + Ъ), для любых а, Ъ, с е N. г) Если натуральное число делится на 5, то оно делится и на 10. д) Если натуральное число делится на 2 и на 5, то оно делится и на 10. е) Если с | (а + Ъ), то с | а и с | Ъ, для любых а, Ъ, с е N. Я! 20. Перечертите диаграммы и впишите в соответствующие места числа: 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 21, 25, 30. 21. Найдите натуральные числа т и п, зная, что: а) т + п = 24 и (т, п) = 8; б) т + п = 45 и (т, п) = 9. 3 22. Даны множества: А = (х е N | х : 6 и х < 50}, В = (х е N х : 3 и х < 50}, С = (х е N х : 2 и х < 50}. Определите истинностное значение высказывания: а) В с А; б) А с С; в) В ^ С = А; г) В П С = А; д) {2,3,6} с В ^ С. 23. 10 мая одновременно из одного порта вышли три теплохода. Первый теплоход возвращается в порт через каждые 4 недели, второй - через каждые 6 недель, третий - через каждые 3 недели. Какого числа они снова встретятся в этом порту? 24. Докажите, что натуральное число делится на: а) 4, если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4; б) 8, если число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 8. 25. Найдите наименьшее натуральное число, которое поочередно при делении на 7, 8, 9 дает в остатке 5, 6, 7 соответственно.
Множество натуральных чисел
1.1. Истинные высказывания. Ложные высказывания. Повторение и дополнения Все высказывания Злой Волшебник Мудреца являются постоянно лжет. истинными. О фразах Королевского Ш ута нельзя сказать, истинны они или ложны. Какому из этих персонажей может принадлежать утверждение? а) Время нельзя остановить. б) Веселое время. в) Время можно остановить. Обоснуйте ответ. Высказыванием (математическим) называется предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Если высказывание истинно, то говорят, что его истинностное значение - „ истина “ (обозначают „И “ или „1“). Если высказывание ложно, то говорят, что его истинностное значение - „ложь“ (обозначают „ Л “ или „0“). *• Исследуем и узнаем ^ Определите истинностное значение высказывания: ® В Республике Молдова учебный год начинается 1 сентября. • Вставьте частицу не перед сказуемым в высказывании ®>. Запишите полученное высказывание и определите его истинностное значение. Глава 1 7 л Розьмите на заметк Высказывание © является отрицанием высказывания ®. Отрицание высказывания получается приписыванием частицы не перед сказуемым. Отрицание истинного высказывания является ложным высказыванием, отрицание ложного высказывания является истинным высказыванием. 'Применяем и объясняем Сформулируйте: а) истинное высказывание и его отрицание; б) ложное высказывание и его отрицание. иССдеЭуем^ Т иаеД • Высказывания бывают общими и частными. / У лошади есть хвост. У всех животных, изображенных на рисунке, есть хвос Определите истинностное значение высказываний: а) Все животные, изображенные на рисунке, умеют плавать. б) Крокодил умеет плавать. в) Некоторые животные, изображенные на рисунке, умеют плавать. Какие из высказываний а), б), в) являются общими? А какие - частными? • Сформулируйте: а) истинное общее высказывание; б) истинное частное высказывание. ^ Впишите одно из слов: „ Все “ или „ Некоторые “, чтобы получить истинные высказывания. а) ученики нашего класса любят математику. б) четные числа делятся на 2. в) натуральные числа больше 10. 7 Л Розьмите на заметк Из простых высказываний при помощи слов и; или; не; если..., то... можно образовать сложное высказывание. Натуральные числа. Повторение и дополнения 5 ^ Впишите одно из выражений „Не б о л ь ш е „ Н е м е н ь ш е „Любое „ Существуют а) 5 упражнений должен решать каждый ученик на уроке математики. б) четные числа и нечетные числа. в) число, у которого цифра единиц равна 5, делится на 5. (о| Впишите одно из слов: „Некоторые“ или „Все“. а) одноклассники являются друзьями. б) числа - простые. в) натуральные числа больше 0. г) элементы множества А = {а, Ъ, с} принадлежат множеству В = {1, а, 5, с}. • Определите истинностное значение полученных высказываний. (Ц Приведите по одному примеру истинного и ложного высказывания для каждого из выражений: „Не больше“, „Не меньше“, „Любое“, „Существует “, „ Некоторые “, „Все“. • а) Определите истинностное значение простых высказываний: Число 8 делится на 2 без остатка. Число 8 делится на 3 без остатка. б) Составьте сложные высказывания: ® и ® ; ® или ® ; Если ® , то ® ; Если ® ,то ® и определите их истинностное значение. Обсудите полученные результаты. • Сформулируйте: а) два простых высказывания; б) два сложных высказывания. 1.2. Множества. Действия над множествами 11 Какому из множеств принадлежит дерево? Кузнечик? Гномик? А - множество насекомых; В - множество сказочных персонажей; С - множество растений; Б - множество живой природы. Назовите еще по два элемента, принадлежащих множествам А, В, С или Б. 6 Глава 1 Множество это совокупность объектов, объединяемых по некоторому признаку. Эти объекты называются элементами множества. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами: А, В, С, Д ... Элементы множества записываются в фигурных скобках: А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначается 0 . Рд «Т а в п а а * ! Даны множества: М ={а , Ъ, с, А} ; Р = {х | х е Ы, х > 3}; А - множество дней недели; В - множество выходных дней недели. а) Определите способ задания каждого множества. б) Укажите конечные и бесконечные множества. д в) Найдите сагё М, сагё А и сагс10. Число элементов множества М называется кардиналом множества М. Обозначается: сагб М. еагй 0 = 0. г) Задайте множества А и В перечислением их элементов: А = { }• }; 1ножество В называется подмножеством множества А , если любой элемент множества В является также элементом множества А. М ножества А и В называются равными множествами, если они состоят из одних и тех же элементов. В с А В ^ Рассмотрите рисунок. --------------1---------------1- Р С Е Б Заполните пропуски, чтобы получить истинные высказывания: [ РЕ ] П [СЭ ] = [СЕ ] [ РЕ ] ^ [СЭ] = [ РЭ] [ РС ] П [ ЕР] = ^ Ш [СЕ ] ^ [ ЕЭ ] = Натуральные числа. Повторение и дополнения А П В Пересечением множеств А и В является новое множество А П В , которое содержит общие элементы множеств А и В. А ^ В Объединением множеств А и В является новое множество А ^ В , которое содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А или В. ^§1 Проанализируйте и заполните таблицу: Множества А В Множество книг домашней библиотеки Множество учебников библиотеки В с V* Множество птиц А В А П В = 0 {1, 3, 5, 7, 9} {1, 2, 3, 4} А ^ В = А П В = Исследуем и узиаемИ А = {п, р, и, в, е, т} В = {с, о, в, е, т} , С = {п, и, р}. С с А, п € В, и € В, р € В . С - множество элементов множества А, которые не принадлежат множеству В . С - разность множеств А и В. И Возьмите иа заметк Разностью множеств А и В является новое множество А \ В , которое содержит элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В . А \ В Решаем и поясияем (Ц Даны множества: А = {х | х е Ы, х < 7}, В = {х | х е Ы, 2 < х < 5}. Найдите множество А \ В. Решение: Так как А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} и В = {3, 4}, то получим: А \ В = {0,1, 2,И , , }• 8 Глава 1 (Ц а) Задайте множества перечислением их элементов: А - множество учебных предметов в вашем классе; В - множество ваших любимых учебных предметов. б) Найдите: С = А \ В. Решение: а) А = { В = { б) С = { Надеемся, что математика € С. }; }. }. 1.3. Множество натуральных чисел Множество натуральных чисел обозначают через N . N = {0, 1, 2, 3, —} Множество натуральных чисел бесконечно. Множество ненулевых натуральных чисел обозначают через N ’ Решаем и поясняем Ц Приведите два примера бесконечных подмножеств множества N а) словесным описанием; б) указав характеристическое свойство их элементов. Решение: а) М - множество четных натуральных чисел. А - . б) С = {х | х е N х > 15}. Б = {х | х е N }. <7к Истинно или Ложно? М = {х | х е N х > 2}, В = {х | х е N х < 20}. а) М ^ В = N - Ложно б) М Ы В = N - в) М с N - Истинно г) В с N - Натуральные числа. Повторение и дополнения 9 Упражнения и задачи ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Определите истинностное значение высказывания: а) Земля вращается вокруг своей оси. б) 2 > 5. в) Число 3 является делителем числа 81. 2. Сформулируйте отрицание высказываний из упражнения 1 и определите их истинностное значение. 3. Определите истинностное значение высказывания: а) Все планеты Солнечной Системы вращаются вокруг Солнца. б) Земля вращается вокруг Солнца. в) Все реки впадают в Черное море. г) Днестр впадает в Черное море. д) Некоторые млекопитающие обитают е) Все грибы съедобные. ж) Все птицы могут летать. 4. Какие из высказываний упражнения 3 являются общими? 5. Впишите одно из слов: „ Все “ или „ Некоторые чтобы получить истинные высказывания: а) люди умеют плавать; б) месяцы имеют более 27 дней; в) дети любят сладости; г) натуральные числа, у которых цифра единиц равна 0, делятся на 10. 6. Впишите одно из выражений: „Не больше“, „Хотя бы “, „Любое“, „Существуют “, „Все“, „ Некоторые “: а) конечные и бесконечные множества; б) конечное множество имеет кардинал; в) один элемент из множества {0, 3, 5, 7} является нечетным числом; г) могут получить оценку 10 по математике; д) попугаи разговаривают; е) одноклассники занимаются спортом. 7. Назовите два элемента, которые принадлежат: а) множеству зимних месяцев; б) множеству спортивных игр; в) множеству деревьев; г) множеству предметов, имеющих форму шара. 8. а) Пусть А - множество трехзначных чисел, каждое из которых состоит из цифр 2, 5 и 7, причем эти цифры в записи данных чисел не повторяются. Перечислите элементы множества А. б) Найдите сагд А . на суше. 10 Глава 1 9. а) Пусть В - множество дробей, числитель которых равен 1, а знаменатель - ненулевое однозначное натуральное число. Перечислите элементы множества В. б) Найдите еагд В. 10. а) Задайте множество М = {х | х е N1, 3 < х < 15} перечислением его элементов. б) Найдите еагд М. 11. Дополните пропуски, чтобы получить истинные высказывания: а) А 1 0 = ; б) А ^ 0 = ; в) А ^ А = ; г) А I А = . 12. Даны множества: А = {3, 4, 5}, В = {5, 6, 7, 8}, С = {2, 4, 8}, К = {1, 3, 5, 7}. Найдите: а) А Ц| В; б) А Ц| К; в) В Ц| С; г) С Ц| К; д) А П В; е) С П В; ж) В П К ; з) С П К ; и) А \ К ; к) С \ А; л) К \ В; м) А \ К. 1345 13. Красная Ш апочка несла бабушке пирожки: 3 с капустой, 4 с яблоками и 3 с мясом. По дороге она съела два пирожка. Определите, какие из высказываний истинны, а какие ложны: а) Бабушке не достанется пирожков с мясом. б) Бабушке достанется хотя бы один пирожок с капустой. в) Бабушке достанется одинаковое количество пирожков всех видов. 14. Истинно или Ложно? а) Если у человека повышенная температура, то он болен. б) Если человек болен, то у него повышенная температура. в) Если число а больше числа Ъ, то число а расположено на числовой оси правее числа Ъ. г) Если число а расположено на числовой оси правее числа Ъ, то число а больше числа Ъ. 15. Прочитайте простые высказывания: 1) Собаке надели намордник. 2) Собаку ведут на поводке. Из этих простых высказываний при помощи слов „не“; „и“; „или“ составьте истинные сложные высказывания для каждого рисунка: ® - ® . Натуральные числа. Повторение и дополнения 11 16. А = {х | х еМ, х < 17}. Запишите подмножество множества А , состоящее из: а) четных чисел; б) нечетных чисел; в) чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел. 17. Дано множество: М = Найдите: а) М IМ ; б) М I N ; в) М \ N. 18. В саду растут 50 кустов роз. Раду полил половину кустов и Родика полила половину кустов. В результате оказалось, что три куста роз были политы дважды. Сколько кустов роз остались без полива? 19. Изобразите на прямой и найдите пересечение фигур: а) [АВ] П [АВ; б) [АВ П АВ; в) [АВ] П АВ. 20. Пусть Д 2 - множество делителей числа 12, В - множество нечетных чисел меньше 12, С - множество четных чисел меньше 12. Найдите: а) Д 2^ В; б) Д 2П С; в) В П С; г) Д 2 \ В; д) Д 2 \ 21. Каждый ученик лицея изучает или французский язык, или английский язык, или оба языка. Сколько учеников в лицее, если 320 из них изучают французский язык, 280 - английский язык, а 190 учеников изучают оба языка? 22. Исследуем: Даны множества А, В и М и высказывания: ® Все элементы множества М принадлежат множеству А и множеству В. ® Все общие элементы множеств А и В принадлежат множеству М. а) Запишите три множества А, В и М, для которых высказывания ® и ® являются истинными. б) Запишите три множества А, В и М, для которых высказывание ® - истинно, а высказывание ® - ложно. в) Известно, что высказывания ® и ® истинны. Определите истинностное значение высказывания: 1) Если любой элемент х принадлежит множеству М, то х е А. 2) Если любой элемент у принадлежит множеству М, то у е В. 3) М с А. 4) М = А П В. 5) А с М . \ 0 1 2 3 4 5 6 I [ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 Г 12 Глава 1
тексты для внеклассного чтения
с к р й п к а Мальчик шёл из булочной, а хлеб прятал от дождя под пальтб. Лбди торопйлись домбй, а он остановйлся под бкнами музыкальной шкблы. У каждого окна был свой гблос, своя жизнь. Мальчик искал скрйпку. И нашёл её — она звучала в окне вторбго этажа. Скрйпка плакала и смеялась. Вдруг кто-то подошёл к нему. Он оглянулся и увйдел девочку с двумя корбткими косйчками. В руке она держала футляр с виолончелью. — Опять ждёшь? — спросйла девочка. Её гблос мешал слушать скрйпку. — Никогб я не жду, — недовбльно ответил мальчик. — Неправда. Зачем стоять на дожде, если никогб не ждёшь? — Я ходйл за хлебом, — ответил мальчик. — Вот вйдишь, хлеб. Девочка даже не посмотрела на хлеб: — Ты ждёшь Диану! — Нет! — В гблосе егб прозвучала боль. — Ты всегда ждёшь Диану! Он не знал, что делать. — Пойдём, — сказала девочка. — Зачем стоять под дождём! И он пошёл рядом с ней. Через несколько шагбв девочка попросйла: — Помогй, мне тяжелб! Он взял у неё виолончель и почувствовал себя нелбвко. Казалось, весь гброд знает, что ему хбчется нестй скрйпку, а он несёт виолончель. Она сказала: — Я часто вйжу тебя вбзле музыкальной шкблы. — Я хожу за хлебом, — ответил мальчик. — Ну да, — согласйлась она и уже не вспоминала о Диане. — Знаешь что, пойдём ко мне! Я сыграю тебе ноктюрн. Мы будем пить чай. Он ничегб не ответил. Он вдруг подумал, как было бы хорошб, если бы вместо этой девочки рядом была Диана. 131 И если бы она сказала: „Я сыграю тебе ноктюрн. Мы будем пить чай“. Он бы нёс её скрйпку. Он бы с радостью слушал скучный ноктюрн. И пйли бы чай. — Так пойдём ко мне? — рббко повторйла девочка. — Как хбчешь, — ответил мальчик. — Вот и хорошб! Дождь всё шёл. А почему он дблжен стоять под бкнами музыкальной шкблы и ждать Диану? Она пробегает легкб и своббдно, как будто никтб не стойт под бкнами и не ждёт её. Её не интересует, стойт он йли не стойт. Есть он йли егб нет. Он вдруг стал дббрым. — Хбчешь хлеба... Тёплого? — спросйл он и отломйл ей кусбк хлеба. Хлеб был тёплый. — Как вкусно! — сказала она. — Ты лббишь музыку? Он отрицательно покачал головбй. — ®то плбхо, — сказала она, — но ничегб. Я научу тебя любйть музыку. Хорошб? — Хорошб. Всё казалось бчень хорошб. Ббльше он не будет искать окнб со скрйпкой, а будет слушать гблос виолончели. Надо тблько запбмнить, какбй у неё гблос. — Ты хорбший мальчик, — неожйданно сказала девочка. И он тут же согласйлся с ней. Он согласйлся и вдруг замолчал. Ему показалось, что это не он шагает по дождб с тяжёлой виолончелью, а кто-то другбй. И этот другбй никогда не стоял у музыкальной шкблы, у её ярких окбн, у котбрых разные голоса. Ничегб этого не бы ло. И егб самогб уже нет. Он резко остановйлся, прислонйл виолончель к стене дбма. Потбм крйкнул: — Пока! И побежал. — Куда ты?.. А как же ноктюрн? — крйкнула она ему. Но он не оглянулся и ничегб не ответил. Он бежал назад, к музыкальной шкбле, к скрйпке, к самому себе. По Ю. Яковлеву СюВарь из булочной (булочная) — бе 1а Тгапге1апе, ноктюрн — посТигпа (тиг.) ЬгиТапе скучный (-ая, -ое, -ые) — рПсТюоз оглянулся (оглянуться) — а ргмТ Тп ^и^ рббко — си Теата, си з^а1а скрйпка — V^оа^а отломйл (отломйть) — здесь: а гирТ (о ЬисаТа виолончель — V^оIопсеI бе рате) прозвучала (прозвучать) — а газипаТ неожйданно — ре пеа[ТерТаТе Раздумья над прочит анным 1) Почему мальчик стоял под бкнами музыкальной шкблы? 2) Как вы думаете, почему он неохбтно (Тага Тгадеге бе ^ т а ) отвечал на вопрбсы девочки с виолончелью? 3) Почему мальчик чувствовал себя нелбвко, когда нёс виолончель? 4) О чём подумал мальчик, когда девочка пригласйла егб послушать ноктюрн и выпить чаю? 5) Как вы думаете, почему мальчик решйл принять приглашение девочки? 6) Чем мбжно объяснйть егб внезапное бегство? 132 м о й с п а с и т е л ь Однажды со мной произошёл сличай, котбрый я запбмнил на всю жизнь. Я жил на вторбм этаже бчень старого двухэтажного дбма и бчень скбро дблжен был переехать на нбвую квартйру. Вместе со мной жил громадный кот, котброго звали Смок. Днём я был на раббте, а Смок спал дбма. Вечером я возвращался, пил чай и садйлся читать газету йли кнйгу. Рядом со мной на диване всегда лежал Смок. Потбм я убирал квартйру, и мы со Смбком шли немнбго погулять. На улице Смок убегал от меня, и я гулял одйн, потбм шёл домбй и ложйлся спать. Утром за дверью слышалось корбткое „мяу“ — это возвращался Смок. Я открывал ему дверь, и он шёл на кухню, где егб ждал завтрак. Однажды пбздней бсенью мы, как обычно, пошлй гулять. Смок, как всегда, убежал, а я пошёл в парк и вернулся домбй, когда стемнело. Я бчень удивйлся, когда увйдел у двери Смбка. Он вместе со мной вбежал в квартйру и лёг на своё место на диване. В этот день я устал и рано уснул. Смок разбудйл меня средй нбчи. Он сидел бколо кровати, внимательно смотрел на меня и беспрерывно грбмко повторял: „Мяу-мяу“. Когда я поднялся, Смок побежал к дверй. Я открыл её. Смок посмотрел на меня и сел на пол. Он почему-то идтй на улицу уже не хотел. Через некоторое время он опять разбудйл меня. И всё повторйлось сначала. Так было три йли четыре раза. Последний раз он разбудйл меня, когда было два часа нбчи. За окнбм был ветер, шёл дождь. Поведение кота было странным. Он повторял „мяу“, хотел сбрбсить с меня одеяло, как будто хотел сказать, что ему необходймо србчно выйти. Медленно встал я с постели, подошёл к дверй и открыл её. В это время на потолке затрещало, и на подушку упал огрбмный кусбк штукатурки. А кот посмотрел на кровать, затем на потолбк и вышел. Ббльше в эту ночь делать ему дбма было нечего. Так мой друг Смок предупредйл меня об опасности. По В. Чарушину СлоВорь спасйтель — за№а1ог беспрерывно — песоп1епК произошёл (произойтй) — з-а Тп1атр1а1 сбрбсить одеяло — здесь: снять одеяло громадный (-ая, -ое, -ые) — большбй (-ая, -ое, -ие) србчно — игдеп! как обычно — бе оЫсе1 затрещало (затрещать) — а 1гозпК я удивйлся (удивйться) — т - а т т^а! огрбмный (-ая, -ое, -ые) — 1оабе таге средй нбчи — Тп 1ош1 пор\и опасность — репсо1 133 Раздумья над прочит анным 1) Кто такбй Смок? Какйми были будние (обычные) дни хозяина и кота? 2) Что случйлось однажды пбздней бсенью? 3) Почему поведение кота показалось хозяину странным? 4) Почему Смок в этот вечер не захотел идтй на улицу? 5) Как кот спас хозяина? 6) Знаете ли вы подббные случаи? Ёсли да, то расскажйте о них. с н е г у р о ч к а (Русская народная скйзка) Жйли-бьти старйк со старухой. Жйли онй дружно. Всё было хорошб, но вот тблько детей у них не было. Пришла зима снежная, выбежали ребята на улицу поиграть, а старйк со старухой из окна на них смбтрят и всё о своём думают. — А что, старуха, — говорйт старйк, — давай мы себе из снега дбчку сделаем! — Давай, — согласйлась старуха. Надел старйк шапку, вышли онй на улицу и начали дбчку из снега лепйть. Вылепил старйк нос, нарисовал глаза, рот. Вдруг — у снежной дбчки глаза открылись, смбтрит она на старикбв и улыбается. Чудеса: из снега получйлась живая девочка! Обрадовалисьстарикй, привелй Снегурочку в избу. Смбтрят на неё и радуются. Так и появйлась у старикбв долгожданная дбчка. Стала она растй не по дням, а по часам, с каждым днём всё краше станбвится. Сама беленькая, как первый снег, коса длйнная. Радуются старикй, на Снегурочку глядя: растёт дбчка у них красавица да умница! И приветливая, и весёлая, и раббта у неё в руках спбрится, а песни запоёт — заслушаешься. Прошла зима. Выглянуло весеннее сблнышко, зазеленела трава, запели птйчки. А Снегурочка вдруг стала грустная. — Что с тоббй, дбчка? — спрашивают старйки. — Что ты 134 такая невесёлая стала? Йли ты заболела? — Ничегб, батюшка; ничегб, матушка. Я здорбва. Вот и последний снег растаял, цветы расцвелй. А Снегурочка всё печальнее, всё молчалйвее станбвится. Лббит холодбк, а ещё ббльше — дбждичек. На сблнце не выхбдит. Однажды туча чёрная появйлась, пошёл град. Снегурочка обрадовалась граду, повеселела, а как тблько сблнышко вышло, сразу заплакала. За веснбю лето пришлб. Решйли девушки в лесу погулять, зовут Снегурочку: — Пойдём с нами, Снегурочка, в лес гулять, песни петь, плясать! Не хотелось Снегурочке в лес идтй, а старуха говорйт: — Пойдй, дбчка, повеселйсь с подружками! Пришлй девушки со Снегурочкой в лес. Стали цветы собирать, песни петь, хоровбды вбдить. Тблько однбй Снегурочке невесело. А когда стало темнеть, зажглй девушки костёр и начали друг за другом через огбнь прыгать. Последней Снегурочка встала. Побежала она за подружками, прыгнула и... растаяла над огнём. Тблько белое бблачко осталось! СиоВарь Снегурочка — девочка из снега матушка — мама изба — саза \агапеазса бе 1етп град — дппбта краше — красйвее плясать — танцевать спбрится — а аVеа зрог, а - тегде Ьте хоровбд — бапз саге зе азеатапа си Йога батюшка — папа Раздумья над прогйт а/нным 1) Как появйлась Снегурочка? 2) Какое время гбда она любйла и почему? 3) Расскажйте, как веселйлись девушки в лесу. 4) Какбе чувство вызвала у вас эта сказка? 5) Придумайте для этой сказки другую концбвку (финал). 6) Знаете ли вы ещё какйе-нибудь русские сказки? Ёсли да, расскажйте их одноклассникам. 135 в о р о н а и л и с и ц а (Бйсня) Уж скблько раз твердйли мйру, Что лесть гнусна, вредна; но тблько всё не впрок, И в сердце льстец всегда отыщет уголбк. Ворбне где-то Бог послал кусбчек сыру; На ель Ворбна взгромоздясь, Позавтракать было совсем уж собралась, Да призадумалась, а сыр во рту держала. На ту беду Лиса близёхонько бежала; Вдруг сырный дух Лису остановйл: Лисйца вйдит сыр, Лисйцу сыр пленйл. Плутбвка к дереву на цыпочках подхбдит; Вертит хвостбм, с Ворбны глаз не свбдит И говорйт так сладко, чуть дыша: „Голубушка, как хороша! Ну что за шейка, что за глазки! Рассказывать, так право, сказки! Какйе пёрышки! Какбй носбк! И, верно, ангельский быть дблжен голосбк! Спой, светик, не стыдйсь! Что, ежели, сестрйца, При красоте такбй и петь ты мастерйца, — Ведь ты б у нас была царь-птйца!“ Вещуньина с похвал вскружйлась голова, От радости в зобу дыханье спёрло, — И на приветливы Лисйцыны слова Ворбна каркнула во всё ворбнье гбрло: Сыр выпал — с ним была плутбвка такова. И. А. Крылов СлоВдрь твердйли (твердйть) — и зрипеаи тегеи, Т аНгтаи на цыпочках — Тп Vа^ГиI рююаге1ог лесть — Ппди^ге, тадиПге вещунья — ргегюа!оаге гнусна (гнусный) — та^§аVа в зобу — в гбрле не впрок — а пи И бе Ю1оз спёрло (дыханье) — сдавйло, перевзгромоздясь (взгромоздйться) — сосо\апби-зе хватйло; 1 з-а ^ а ! гезр^а^а призадумалась (призадуматься) — а саги! ре дапбип плутбвка — Но\отапса Раздумья над прочйта/н/нмм 1) Для чего Ворбна взгромоздйлась на ель? 2) Почему Лиса остановйлась? Как она себя повела? 3) Как вы думаете, зачем Лиса с такйм усердием (си загдшп\а) хвалйла Ворбну? 4) Как повела себя Ворбна в ответ на лесть Лисйцы? 5) Как вы думаете, что затем произошлб? Допблните басню свойми комментариями. 6) Подумайте, бывают ли в жйзни лбди, похбжие на Ворбну и Лисйцу? Приведйте примеры. 136 х о р о ш и й д е н ь Вот портфель, Пальтб и шляпа. День у папы Выходнбй. Не ушёл Сегбдня Папа. Значит, Б^дет он со мной. Что мы нынче Делать будем? ®то вместе Мы обсудим. Сяду к папе на кровать — Станем вместе Обсуждать. Не поехать ли Сегбдня В ботанйческий музей? Не созвать ли нам Сегбдня Всех знакбмых и друзей? — А пока,— Сказала мать, — Не пора ли Вам вставать?.. — Хорошб! Сейчас встаём! Отвечали мы вдвоём. Мы одеты И обуты. Мы побрйлись В две минуты. (Что касается Бритья — Брйлся папа, А не я!) Мы постель убрали сами. Вместе с мамой пйли чай. А потбм сказали маме: — До свиданья! Не скучай! 137 Голуббе, Голуббе, Голуббе В этот день Было небо над Москвбю, И в садах цвела сирень. Мы прошлйсь По зоопарку. Там кормйли сторожа Крокодйла И цесарку, Антилбпу И моржа. Сторожа Давали свёклу Двум Задумчивым Слонам. А в бассейне Что-то мбкло... ®то был гиппопотам! Покатался я На пбни, — ®то маленькие Кбни. Ёздил прямо И кругбм, В таратайке И верхбм. Мне и папе Стало жарко. Мы растаяли, как воск. За оградой зоопарка Отыскали мы кибск. Из серебряного крана С шумом Брызнуло ситрб. Мне досталось два стакана, А хотелось бы — Ведрб! 138 Мы вернулись на трамвае, Привезлй домбй Сирень. Шли по лестнице, хромая, — Так устали в этот день! Я нажал звонбк знакбмый — Он ответил мне, звеня, И затйх... Как тйхо дбма, Ёсли дбма нет меня! С. Я Маршак СххоВарь выходнбй день — 21 бе об^па таратайка — 1газига си боиа го\| обсуждать — здесь: а б1зси!а хромая (хромать) — [сМораШпб сирень — 1Шас нажал (нажать) — а араза ре цесарка — рюНеге звонбк — зопепе морж — тогза Раздумья паху прочит а/нпым 1) Почему мальчик решйл, что у егб папы — выходнбй день? 2) Как отец с сыном планйровали провестй выходнбй день? Какйе у них были варианты? 3) Как вы думаете, в какбе время гбда происходйли опйсанные в стихотворении события? Приведйте аргументы. 4) Куда отправились отец с сыном? 5) Когб и что увйдели в зоопарке герби стихотворения? 6) Как вы думаете, запбмнился ли этот день сыну? Почему? 7) Как обычно прохбдят выходные дни в вашей семье? 139 п о д а р и п р а з д н и к ! — Вот и наступйл День учйтеля! — радостно подымала девочка, — но что подарйть нашей Аннушке, нашей Анне Петрбвне, нашей классной руководйтельнице? Услышала бы её учйтельница — свойм ушам бы не поверила: ведь йменно эта ученйца частенько не выполняла домашние задания, опаздывала на урбк, а порбй вообще сбегала с занятий. А Настя (так звали девочку) продолжала думать, медленно гуляя по осеннему парку. Мысли её питались, и она ничегб не могла придумать... — Ну? И как прикажете отметить предстоящий праздник?! — в обйде на себя восклйкнула девочка Настя. Неожйданно ветер поднял и закружйл в танце вброх лйстьев. Настя зачарбванно смотрела на лйстья, а потбм вместе с нйми закружйлась в вйхре танца. А лйстья, слбвно подружки, толпясь вокруг неё, медленно падали на землю. Настенька поспешйла поймать лист, протянула руку, чтббы схватйть егб, и вдруг на ладбшку легла фотография. Испугавшись, она закрыла глаза, а когда открыла их — оказалась средй одноклассников. — Что вы здесь делаете, — спросйла Настя тйхо. — Не знаешь? Готбвимся ко Дню учйтеля! — Здесь? Как? — А где мбгут быть те, кто не желает учйться? — Где? — машинально повторйла вопрбс Настя, хотя ответ она знала. — Для чегб вам это? — Мы хотйм помбчь отстающим ученикам выполнить домашнее задание. Всем! Всем! Всем! — А зачем? — Как „зачем“? Представь, захбдит учйтельница в класс, а там идеальная тиш ина. О чём бы ни спросйла Анна Петрбвна — все ученикй всё знают!.. На протяжении урбка, как говорйтся — лес рук! Это ли не праздник?! Настя смутйлась и опустйла глаза. А когда открыла их, никогб вокруг неё не было. в руке же она держала оранжевый лист. — Что это было? И где все мой одноклассники? — саму себя спросйла Настя. И тут её осенйло (§на ба! зеата): — Вот как мбжно отпраздновать День учйтеля! В шкблу она прибежала первой. Быстро-быстро собрала одноклассников и рассказала, что нужно сделать, чтббы подарйть Анне Петрбвне и всем-всем учителям праздник. Началйсь урбки. Все ребята как никогда актйвно поднимали руки, правильно отвечали на вопрбсы учителей, и Анны Петрбвны, конечно, т о ж е . 140 В конце урбка Анна Петрбвна, еле сдерживая волнение, сказала: — Спасйбо вам, ребята, за сегбдняшний праздник! Настя была счастлива! От такйх тёплых слов классного руководйтеля она чувствовала себя тем самым осенним ярко-жёлтым праздничным листкбм. В душе она ощущала согревающее теплб: праздник получйлся едйным для всех! Йменно в этот день Настя твёрдо решйла каждый свой день превращать в праздник! С этого дня никтб не мог сказать, что Настя плбхо учится. Корсак Валерия, 12 лет, Кишинёв руководйтельница — бтдтШ мысли путались (путаться) — дапбигПе зе атез1есаи предстоящий — саге зе аргор1е; се игтеага за а^а 1ос восклйкнула (восклйкнуть) — а ехс1ата1 испугавшись (испугаться) — зрегипби-зе отстающие (ученикй) — га т а [ Тп игта (1а ^а\а1ига) на протяжении урбка — ре рагсигзи1 о ^ еле сдерживая волнение — зШраптб си дгеи ето\Ше СмоВорь классна Раздумья над прочит анным 1) Как вы думаете, почему Настя оказалась в парке? 2) О чём думала девочка? 3) Как Настя оказалась на аллее парка средй одноклассников? 4) Как Настя решйла порадовать учителей в День учйтеля? Согласйлись ли одноклассники с решением Насти? 5) Как в этот праздничный день прошлй урбки? 6) Что вы мбжете сказать о геройне рассказа до праздника и пбсле негб? 7) Скажйте, какую роль в вашей жйзни играет шкбла? Проведйте в классе беседу на эту тему. 141 к р ы ш а д о м а т в о е г о Мы все спешйм за чудесами, Но нет чудесней ничегб, Чем та земля под небесами, Где крыша дбма твоегб. И если вдруг тебе взгрустнётся, То грусть не значит ничегб, Когда ты знаешь, что под сблнцем Есть крыша дбма твоегб. Вмиг огорчения любые Исчезнут все до одногб, Лишь вспбмнишь звёзды голубые Над крышей дбма твоегб. Мир пблон радости и счастья, Но край роднбй — милей всегб... И так приятно возвращаться Под крышу дбма своегб. Ю. Антонов СлоВарь чудеса — т т и п исчезнут (исчезать) — VО^ ^зрагеа крыша — асореп§ возвращаться — а ^ е п огорчения — таН пт, зирагап, Тп1пз1ап, песагип тебе взгрустнётся — 1е Vе^ Тп1пз1а Раздумья над прош т а/нным 1) Что „чудеснее всегб“ на свете? 2) Когда исчезают любые огорчения? 3) Почему грусть „не означает ничегб“? 4) Почему так прекрасно возвращаться домбй? ■ Как вы понимаете выражение „крыша дбма твоегб“? В какбм значении автор употребйл слбво „крыша11? Какйм является край роднбй и дом для автора стихотворения? ■ Знаете ли вы, что к этому стихотворению егб автор и композйтор Юрий Антбнов написал музыку и сам исполняет эту песню. Кто-то из вас слышал эту песню? Вы мбжете её спеть? Выучите стихотворение наизусть.