Обратно пропорциональные величины

 Скаковая лошадь проходит расстояние в 40 км за час. Это же расстояние спортсмен преодолевает за 2 часа, мотоциклист - за 30 мин, а автомобилист - за 20 мин. Вычислите скорость каждого. • Как изменится скорость, если время: увеличить в 2 раза; уменьшить в 2 раза; уменьшить в 3 раза? • Как изменится произведение I • V? Две взаимосвязанные величины а и Ъ называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) а в несколько раз, другая величина Ъ уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Значение произведения аЪ не изменяется. Следовательно, время и скорость являются обратно пропорциональными величинами (при постоянном расстоянии). Решение: 8 = 40 км Время (ч) Скорость (км/ч) 80 км/ч Глава 4 Фермер решил оградить сеткой участок прямоугольной формы (вдоль водного канала). Сначала он хотел сделать его подлинней, взяв Участок длину 50 м и ширину 10 м. Увидев, что сетки ему не хватает, он решил уменьшить длину до Водный канал 40 м, при этом периметр участка ум ен ьш и лся______ _____________ достаточно, чтобы хватило сетки. Какой теперь будет ширина участка, если его площадь не изменилась? Решение: ® Запишем кратко условие задачи в виде схемы: Длина (Ь) Ш ирина (/) 50 м -------- 10 м 40 м -------- х м 1 способ ® Простое правило трех (для обратно пропорциональных величин): Длины (I) ня ширину (/) равно площади (./) являющейся постоянной*11 м ч и т ,/, и /-о б р а т н о про- _ 11И|1а^лаимсис.|пл;пп|. 2 способ ® Вычислим площадь: А = м ■ м = м2. 50 _ х 40 _ 10 ■ (м) 1 Вычислим ширину: , А м2 I _ — _ ---------_ м . Ь м • Насколько уменьшилась длина забора из сетки? Х *Т Т 3На Т ( Бв ЬШе .......................................... Первая бригада рабочих выполняет работу за 2 дня, вторая бригада выполняет эту же работу за 3 дня, а третья - за 4 дня. Сколько человек в каждой бригаде, если всего 156 рабочих, и все они работают с одинаковой производительностью? Решение: I бригада - х рабочих II бригада - у рабочих 156 рабочих III бригада - 2 рабочих Тогда один рабочий выполняет работу за 2х дней (или 3у дней, или 4г дней). Отношения и пропорции 171 Получим: 2 х = 3 у = 4 г. Делим каждое равенство на [2,3,4], т. е. на 12: Получим: х = у = г = х + у + г 6 4 3 6 + 4 + 3 X = 12 6 х = 72 (м) : = - У = (м) : - г = (м) 13 = 12. Ответ: 72 рабочих в I бригаде, во II бригаде, - в III бригаде. Заметим, что 2 • 72 = 3 • 48 = 4 • 36 = 144. Говорим, что числовая последовательность 2, 3, 4 обратно пропорциональна числовой последовательности 72, 48, 36. Ф возьмите на заметк Числовые последовательности а1, а2, ..., ап и Ъ1, Ъ2, ..., Ъп являются обратно пропорциональными, если а1Ъ1 = а2Ъ2 =... = апЪп. Замечаем Если последовательности а1, а2, ..., ап и Ъ1, Ъ2, ..., Ъп прямо (обратно) 1 1 1 пропорциональны, то последовательности ах, а2, ..., ап и — , — , — обратно (прямо) пропорциональны. 1 2 п Упражнения и задачи 1. Определите, являются ли величины а и Ъ, данные в таблицах, обратно пропорциональными: а) в) а 1 4 2 10 7 4 3 3 , 6 Ъ 12 0,8 24 42 5 а 0,2 0,4 0 , 8 1,6 3,2 Ъ 32 16 8 4 2 б) г) а 1 3 5 7 9 Ъ 11 9 7 5 3 а 3 2 2 3 0,5 ОО I 1,25 Ъ 5 6 15 8 2,5 2 1 172 Глава 4 2. Заполните таблицу: а) в) Сумма: 2520 леев Количество Сумма денег б) Сумма: 87,5 лея человек на человека Цена Количество 5 504 (леев/кг) (кг) 8 7,5 25 630 5 360 15 14 3,75 28 3 31,25 Масса: 800 кг Плотность Объем г) Количество бензина: 20 л (кг/м3) (м3) Расход (л) Расстояние 1000 0,8 на 1 км (км) 125 0,1 200 160 0,05 400 1,6 0,16 250 у 1,28 50 0,25 ... г 3. Истинно или Ложно? а) Количество одинаковых кранов, наполняющих водой бассейн обратно пропорционально времени наполнения бассейна. б) Количество отличников класса обратно пропорционально остальному количеству учащихся этого класса. в) В произведении двух чисел обратно пропорциональными являются множители. г) Количество сока, взятого из банки, обратно пропорционально количеству оставшегося сока. 4. Велосипедист проехал некоторое расстояние за 4 ч со средней скоростью 24 км/ч. С какой средней скоростью должен ехать велосипедист, чтобы преодолеть это расстояние за 3 ч? 5. 8 комбайнов могут убрать с поля пшеницу за 6 дней. За сколько дней уберут ту же пшеницу 12 комбайнов? 6. 10 рабочих выполняют работу за 9 дней. Сколько рабочих понадобится, чтобы выполнить работу за 6 дней? Отношения и пропорции 173 7. 6 человек могут выкопать ров за 8 ч. а) За сколько часов могут выкопать этот ров 4 человека? А 12 человек? Один человек? б) Сколько человек могут выкопать этот ров за 3 ч? За 16 ч? За час? 8. Водой из одного крана можно наполнить 1000-литровый бассейн за 40 мин. За сколько минут наполнится бассейн: а) водой из 4 кранов; б) водой из 6 кранов? ■ ---------------------------------------------------- 9. Пасечник Золотомед разлил мед в 60 банок, по 250 мл каждая. Сколько банок понадобится пасечнику, если он захочет разлить мед в банки по: а) 200 мл; б) 750 мл; в) 300 мл? 750 мл 300 мл 200 мл 10. В сутках 24 часа, а в часе - 60 минут. Учитывая общее количество таких же минут, подсчитайте, сколько минут было бы в сутках, если бы они длились: а) 30 часов? б) 32 часа? в) 20 часов? 11. Маша разложила книги своей библиотеки на 24 полках, по 30 книг на каждой. Сколько полок понадобится, если Маша будет раскладывать по 36 книг на каждой полке? 12. Насос мощностью 12 л/мин наполняет емкость водой за 4 мин. За какое время наполнит водой эту емкость насос мощностью 10 л/мин? 13. Составьте и решите задачу по каждой схеме: а) 9 леев/кг - 10 кг 6 леев/кг - ? кг ? леев/кг - 18 кг б) 40 км/ч - 9 ч 60 км/ч - ? ч ? км/ч - 12 ч 30 мешков - 60 кг/мешок ? мешков - 45 кг/мешок г) 30 шагов - 20 см/шаг. 12 мешков - ? кг/мешок ? шагов - 25 см/шаг. 15 шагов - ? см/шаг. 174 Глава 4 14. Трактор, автобус и автомобиль проехали по 180 км каждый. а) Заполните таблицу: Трактор Автобус Автомобиль Скорость 30 км/ч Время 3 часа 2 часа б) Являются ли скорость и время обратно пропорциональными? в) Приведите другие примеры обратно пропорциональных величин из различных областей знаний. 15. Данный рисунок показывает зависимость между величинами х и у. Например, если х = 3, то у = 4. а) Запишите формулу, выражающую эту зависимость. б) Какими величинами являются х и у? в) Запишите данные рисунка в виде таблицы: х 1 2 3 4 у 12 ? 4 ? 16. Постройте рисунок, как в задании 14, для зависимости у = ■ 17. Одно и то же расстояние Денис проходит за 3 ч, а Никита за 2 ч. Отправившись навстречу друг другу, они встретились в момент, когда Никита уже прошел 7 км 200 м. Какое расстояние до встречи преодолел Денис?

Прямо пропорциональные величины

 Литр бензина стоит 15,3 лея. Сколько стоят: 10 л; 20 л; 15 л; 25 л бензина? Решение: Количество бензина (л) Стоимость (леев) а ъ х10 10 х 2 х15 Х 2 20 15 25 .1 5 ,3 . х10 153 Х 2 Х15 Х 2 306 229,5 Улитка ползет со средней скоростью 0,15 м/мин. Какое расстояние преодолеет улитка за: 3 мин; 4 мин; 5 мин; 7 мин? Решение: • 1 способ 2 способ V = 0,15 м/мин Время Расстояние (мин) (м) 1 Ц 0,15 х 3 х 3 3 0,45 4 • Допишите решение задачи по схеме. 164 Глава 4 • Какое расстояние проползет улитка за 6 мин? А за 3,5 мин? • Как изменится расстояние, пройденное улиткой, если увеличить время: в 3 раза; в 4 раза; в 6 раз? • Как изменится значение отношения ? Л. 1 7 возьмите на заметк Две взаимосвязанные величины а и Ъ называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) а в несколько раз другая величина Ъ увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Значение отношения — не изменится. а Следовательно, количество бензина и его стоимость являются прямо пропорциональными величинами (при постоянной цене). Время и пройденное расстояние являются прямо пропорциональными величинами (при постоянной скорости). ^ Принтер печатает за 3 мин 21 страницу. Сколько страниц напечатает принтер за 10 мин? Решение: Ф Запишем кратко условие задачи в виде схемы: 3 мин ---- 21 страница 10 мин ---- х страниц ® 1 способ 2 способ Простое правило трех (для прямо пропорциональных величин): Метод приведения к единице: 21 1 мин страниц 10 мин — • 10 страниц Отношения и пропорции х « т Т 3 М а т б « ЬШ е р " -------- Три друга - Роман Рублев, Дмитрий Полушкин и Андрей Полонидей - решили открыть свой бизнес. При этом каждый вложил в дело соответствующую сумму денег (капитал): 1 600 леев, 2000 леев, 1 800 леев. Прибыль от их бизнеса составила 16 200 леев. Как им поделить эти деньги между собой? Решение: Подсчитаем весь капитал: 1 600 + 2000 + 1 800 = 5400 (леев). Подсчитаем, во сколько раз прибыль больше вложенной суммы: 16200 : 5400 = 3 (раза). Значит, 1 600 ■ 3 = 4 800 (леев)------ ► Роман 2000 ■ 3 = 6000 (леев)-------► Дмитрий 1 800 ■ 3 = 5 400 (леев)-------► Андрей Замечаем 4800 6000 5 400 = = - последовательность равных отношений. 1600 2000 1800 Р 3 = 4800 = 6000 = 54000 = 4800+6000+54000 = 16200 1600 2000 1800 1600+2000+1800 5 4 0 0 ' 4 Розьмите на заметк Если а - ^''2 К ап Ъп ■ к, где к ф 0, то говорим, что между последовательностями а1, а 2, '.', ап и Ъ1з Ъ2, Ъп сущпропорциональность и а1 + а 2 +... + ап Ъ1 + Ъ2 + ''' + Ъп ■ к. Следовательно, между последовательностью суммы денег, вложенной в бизнес (1 600 леев, 2000 леев, 1 800 леев), и последовательностью суммы денег прибыли, полученной каждым (4800 леев, 6000 леев, 5400 леев), существует прямая пропорциональность. (Ц Разделите отрезок в 18 см на три части, прямо пропорциональные числам: 2, 3, 4. Решение: Пусть х, у, г - последовательность искомых длин (х + у + 2 = 18). 166 Глава 4 Тогда между последовательностями х, у, г и 2, 3, 4 существует прямая пропорциональность. „ х у г х + у + г 18 _ Значит, = = = = = 2. 2 3 4 2 + 3 + 4 9 Получим: х = 4 (см), у = 6 (см), г = 8 (см). х у 4 см 6 см 8 см Упражнения и задачи I □ □ ■ 1. Определите, являются ли величины а и Ъ, данные в таблице, прямо пропорциональными. а) в) а 2 4 6 1 0 12 Ъ 3 6 9 15 18 а 1 3 2 3 3 4 4 5 Ъ 20 40 45 48 б) г) а 0,2 0,6 1,8 3,2 Ъ 5 15 50 80 а 8 4,2 66 1 Ъ 4 3 0,7 11 1 6 2. Заполните таблицу а) Коли ч ество Ве с мешков с мукой (кг) 1 60 3 5 480 9 660 б) Количество Стоимость батонов (леев) 1 2,5 4 15 7 27,5 9 в) Р асстоя ни е (км) Кол и ч е с тв о бензина (л) г) Площадь (м2) Количество краски (кг) 100 7 8 1 50 10 150 15 17,5 2,5 350 7,5 / € 22,75 30 ... А Отношения и пропорции 167 3. Истинно или Ложно? а) Площадь прямоугольника прямо пропорциональна длине каждой из его сторон. б) Периметр прямоугольника прямо пропорционален длине каждой из его сторон. в) Площадь и периметр прямоугольника - прямо пропорциональные величины. г) Площадь и длина стороны квадрата - прямо пропорциональные величины. шV I 4. Тракторист вспахивает 49 гектаров пашни за 4 дня. За сколько дней тракторист вспашет: а) 73,5 гектара; б) 122,5 гектара? 5. 5 л масла весят 4 кг. а) Сколько килограммов масла вместится в 12-литровое ведро? А в 180 л бочку? А 250 мл стакан? б) Какова вместимость 700-граммовой банки масла? А 3-килограммового бидона с маслом? 6. Электронасос выкачивает из колодца 30 л воды за 12 с. а) За какое время наполнится водой 800-литровая бочка? А 1000-литровая бочка? б) Сколько воды выкачивает насос за 10 с? А за 18 с? А за 2 мин? 7. Дина выписала из кулинарной книги список продуктов, необходимых для приготовления 4 порций салата „ Нежность “. Какое количество продуктов понадобится Дине для приготовления 6 порций салата? А для 10 порций? 300 г капусты 100 г колбасы 6 яиц 100 г ветчины 80 г майонеза 2луковицы 8. а) В 100 г черной смородины содержится 250 мг витамина С. Сколько граммов витамина С содержится в 2 кг черной смородины? б) Суточная норма витамина С для взрослого человека составляет 0, 05 г. Какое количество черной смородины надо съесть взрослому человеку, чтобы получить суточную норму витамина С? 9. Проба сплава нескольких драгоценных металлов - это количество граммов драгоценного металла в килограмме сплава. Какое количество чистого золота содержится в 16 г золотого браслета, если его проба: а) 585; б) 958? 168 Глава 4 ■ ------------------------------------------------ 10. Составьте и решите задачу по схеме: а) 3,5 кг - 44,8 лея б) 12 костюмов - 44 м 14,5 кг - ? леев 25 костюмов - ? м ? кг - 160 леев ? костюмов - 110 м 11. Из 40 л молока получается 15 кг творога. а) Сколько творога получится из 100 л молока? А из 60 л? б) Сколько необходимо молока, чтобы получить 112,5 кг творога? А 22,5 кг? 12. Составьте задачу для каждой из таблиц задания 2. 13. Разделите отрезок АВ на 3 части, прямо пропорциональные числам: а) 6, 2, 4; б) 10, 9, 5. А1 В 3 14. а) Разделите число 4960 на части, прямо пропорциональные числам 8, 15, 17. б) Разделите число 9 200 на части, прямо пропорциональные числам 1,75; 2,75; 31 . 6 15. Найдите числа х, у, 2, зная, что они прямо пропорциональны числам 3,4 и 5, а х + у = 35. 16. Три брата получили в наследство 90 000 долларов, которые по завещанию надо разделить следующим образом: первому - половину того, что получит второй, третьему - -2 того, что получит второй. Какую сумму денег получит каждый из братьев? ЗА Д А Ч V Д А ЧЕМ и * * 17. Среднее арифметическое четырех чисел - 34. Найдите эти числа, если известно, что они прямо пропорциональны четырем простым натуральным числам? Отношения и пропорции 169

Пропорции

 Г осподин Копейкин решил купить сок из тропических фруктов и, как всегда, подешевле. Рассмотрите данные рисунка и помогите ему выбрать. Решение: 750 мл= 0,75 л Какая цена ниже? 2 л 0,75 л 24 лея 9 леев Цена = Стоимость Количество 24 лея > 2 ' ' 9 леев 2 л 0,75 л 1 * Г Ч 1 I леев/л Равенство ^ = - ± - является пропорцией. леев/л. й"Розьмите из ззметк ♦ Равенство двух отношений называется пропорцией. ♦ Четыре числа, образующие пропорцию, называются членами пропорции. ♦ Числа а и й пропорции а С называются крайними О (Л членами, а числа Ъ и с - средними. Читаем: „а так относится к Ъ, как с относится к й”. а Ь с а а : Ь = с : а Щ крайние средние Сравните произведение крайних и произведение средних членов пропорции: а) 18 = 1,2 . а) 6 = 0,4’ 3 1 ^ и О 1 ^ Решение: а) 18 1,2 18 } 6 0,4 6 о II II - 4 б) 2,5 б) Т = 10 158 Глава 4 возьмите на заметь 1/1 7 Основное свойство пропорции Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних, а с 1 то есть, если — = — , то а • а = Ь • с. ъ а ^ Найдите неизвестный член пропорции: ■003 = 40.. Решение: Используя основное свойство пропорции, получим: 0,3 • 40 = 0,2 • х. Отсюда: х = 0 ^ = 60. 0,2 Ответ: х = 60. 41 а) Можно ли из чисел 4, 36, 18, 8 составить пропорцию? б) А из чисел 16, 2, 4, 12? Решение: Расположим числа в порядке возрастания: а) 4, 8, 18, 36; б) 2, 4, 12, 16. ® Сравним произведение наибольшего и наименьшего числа с произведением двух других чисел: а) 4 ■ 36 \ 144 8 ■ 18] \ 144 б) 2 ■ 16 Ф \ 4 ■ 12] \ 32 Ф 48 Ответ: а) Да, можно составить. Напри- б) Нет, нельзя составить. 4 18 мер, пропорцию ^ = 3 6 . • Составьте и другие пропорции из чисел: 4, 8, 18, 36. 7 возьмите на заметк Из четырех чисел можно составить пропорцию тогда и только тогда, когда произведение наименьш его и наибольш его чисел равно произведению двух других чисел. Отношения и пропорции 159 Масштаб карты равен 1 : 25000000. Чему равно расстояние между Кишинэу и Варшавой, если на карте оно составляет 3,5 см? Решение: Пусть х - искомое расстояние. Составляем пропорцию: 1 = 3,5 25000000 х ♦ х = 3,5 • 25000000 (см) = 87500000 (см) = 875 (км). Ответ: 875 км. / Значит, если масш таб рисунка 1: а , то реальные размеры будут в а раз больше нарисованных. в Дана пропорция 2 7 _6 21. Что получится, если: а) поменять местами крайние члены; б) поменять местами средние члены; в) перевернуть отношения пропорции? Решение: 160 Глава 4 • Обратите внимание на правила и составьте производные пропорции, 5 10 которые можно получить из пропорции = . 4 8 Приравниваем одно из отношений к отношению, числитель которого равен сумме числителей отношений, а знаменатель - сумме знаменателей: а а + с Прибавляем числители к знаменателям: а = с Ъ + а ё + с Ъ Ъ + ё Прибавляем знаменатели к числителям: а + Ъ = с + ё ~ Ь ~ ~ ~ ё ~ Вычитаем из знаменателей Вычитаем из числителей числители а с знаменатели:: а - Ъ с - ё Ъ - а ё - с (а < Ъ) Ъ ё (а > Ъ) Упражнения и задачи I □ □ ■ 1. Назовите крайние и средние члены пропорции: , 4 _ 2 . 5 15. , 0,4 _ 2. а) 9 4, 5 ; б) 3 9 ; в) 0, 6 3 ; г) 7 21 ? 6 1,8 ' 2. Составьте пропорции из отношений: а) 1 , 0,3 , 6 , 0,5 4 0,3 , 10 , 1,5. 4 , 6 ’ 8 ’ 10 ' 9 , 1,2 , 22,5 , 2 1,4 7 , 1,8 0,09 0,63 6 2 0,2’ 0,28 , 6 0,3 , 0,09, 1,8, 0,08 30 9 ' 3. Запишите пропорцию, значение каждого отношения которой будет равно: а) 3; б) 5; в) 0,4; г) 1,5; д) 2. 3 ; е) 6. 5 ’ ж) 1. 4. Найдите неизвестный член пропорции: ч 2 8 х 2 ч 2 5 а) х = 4 ; б) 27 = 3 ; в) 5 = X • г) 0,8 х 1,6; х 3 д) 4 = 10' Отношения и пропорции 161 5. Р Т в А Ежик составляет пропорции, умножая или деля числитель и знаменатель отношения на любое ненулевое число. Составьте и вы пропорции, используя отношения: ) 1 б) 8 а) ТО’ б) 5 ' 2 • 0,5 2 / 5 • 0,5 5 ^ 2:0,4 5:0,4 в) 4. 9 ’ 2 1 г) 0 6 1,2' 6. Данные числа являются членами некоторой пропорции. Запишите эту пропорцию: • Сколько решений у этой задачи? 7. Используя равенство произведений, составьте пропорции: а) 6 16 = 48 • 2; б) 12 12 = 18 • 8; в) 2,4 • 5,8 = 3,48 • 4; г) 0,9 • 0,27 = 0,81 • 0,3. 8. Можно ли составить пропорцию из данных чисел? а) 6 18 15 5 ; б) 14 50 10 70 ; в) 16 20 30 1 4 ; г) 7,5 1,2 15 0,6 ; д) 8 6 15 18 . 9. Компания „ Роснефть “ за 24 часа продала 9 700 000 барелей нефти, получив при этом прибыль в 523 800 000 $, а компания „Парсойл“ продала за это же время 6 400 000 барелей нефти, получив 345 600 000 $. а) Впишите данные задачи, чтобы получить пропорцию: 523 800 000 б) Что представляет собой величина каждого соотношения пропорции? 162 Глава 4 10. Пусть й - расстояние на карте между населенными пунктами А и В. Найдите реальное расстояние АВ на местности, если: а) й = 15 см при масштабе 1 : 10000; б) й = 6,5 см при масштабе 1 : 20000; в) й = 8 см при масштабе 1 : 50000; г) й = 5,5 см при масштабе 1 : 30000. ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11. Составьте производные пропорции (состоящие из тех же членов) из пропорции: ч 4 1 18 9 а) 8 = 2 12. Вычислите: б) 12 6 ’ в) 0 4 = 1 2 . в) 1,6 4,8 ’ Ъс а с а) 15 + , если = . аа Ъ а б) ас и Ъй, если а с = 2 и а • Ъ • с ■ а = 900. Ъ а г) 52 = 4 65 5. 13. Значение отношения длины окружности к ее диа22 метру приблизительно равно — . Вычислите (приблизительно): а) длину окружности, диаметр которой 10 см; б) длину окружности, диаметр которой 1 см; в) диаметр окружности, длина которой 10 см; г) радиус окружности, длина которой 1 см. 14. Докажите, что если члены пропорции являются натуральными числами, то их произведение - это точный квадрат. 15. Измерьте соответствующую длину на рисунке и найдите эту длину в действительности: а) б) Масштаб 1 : 400 Масштаб 1 : 95 16. Нарисуйте окружающие вас предметы в масштабе 1 : 200. Отношения и пропорции 163

Отношения

 Щ Для приготовления варенья из черной смородины на 9 кг свежей ягоды приходится 7,5 кг сахара. а) Чему равно значение отношения количества ягод к количеству сахара? б) Сколько сахара понадобится для 12 кг свежих ягод? Решение: Ошс>шение а) Члены отношения 4 9 7,5 = 1,2 Значение отношения б) Пусть х - необходимое количество сахара. 12 Тогда— = 1,2. Следовательно, х = 12:1,2 = 10 (кг). Ответ: а) 1,2; б) 10 кг. • Чему будет равно значение отношения, которое получится при умно9 жении каждого члена отношения на 3? а ♦ Выражение Ъ , где а и Ъ - рациональные числа, Ъ ф 0, называется отношением. а ♦ Значением отношения ъ является результат деления а : Ъ. ♦ Два отношения равны, если их значения равны. ♦ Основное свойство отношения: каждый член отношения можно умножить на одно и то же ненулевое натуральное число. ♦ Сократить отношение на ненулевое число, значит, разделить каждый член отношения на одно и то же ненулевое натуральное число. ♦ Применение основного свойства или сокращение отношения не меняет его значения. *• Замечание. Пара отношений а и Ъ , где а е Ъ, с е , может быть Ъ с записана кратко: а : Ъ : с. В этом случае говорят, что числа а, Ъ и с относятся как а : Ъ : с. • Истинно или Ложно? "I 71 а) Любая дробь - это отношение. б) Любое отношение - это дробь. $ 154 Глава 4 Замечаем и поясняем Из 1,5457 тонны руды получается 188,5 кг меди. Чему равно значение отношения количества руды к количеству полученной меди? Решение: 1545,7 = 8,2 188,5 Ответ: 8,2. 7 возьмите на заметк Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения значения их отношения надо предварительно перейти к одной единице измерения. • Найдите значение отношения: а) 120 м и 800 см; б) 600 кг и 300 г; в) 2 160 мин и 12 ч. Рассмотрите рисунок и определите, какой из драгоценных металлов тяжелее: золото или серебро (оба слитка имеют форму кубоида). Золото Серебро Ь = 5 см I = 2 см к = 1 см Ь = 5 см I = 2 см к = 2 см Решение: ® Вычислим объем тел: колота = 2 • 5 -1 = 10 (см3). Сребра = 2 - 5 - 2 = 20 (см3). ® Вычислим вес 1 см3 металла, то есть плотность металла: М асса------ ► 193 г О бъем------ ► 10 см3 208 г Золото: Г гО ~ 1^' I • к = 19,3 г/ см Плотность Серебро: = 10,4 г/ см3 20 см Ответ: Золото тяжелее серебра. 19,3 > 10,4 Отношения и пропорции 155 фРозьмите на заметк Отношение двух разноименных величин образует новую величину. Значение такой величины называется единичным отношением. Единичное отношение массы металла к его объему - это плотность металла, обозначается греческой буквой р (читается как „ро“). Масса (т) Плотность (р) = Объем (V ) Единичное отношение стоимости товара к его количеству или массе - это цена товара. Цена (с) ■ Стоимость (Р) Масса (т) Единичное отношение пройденного телом расстояния ко времени его движения - это скорость движения тела. Расстояние ( ^) Скорость (в) = ■ Время (() • Какова цена сахара, если 25 кг сахара стоят 365 леев? • Какова средняя скорость автомобиля, если время, за которое он проходит 385 км, составляет 3 ч 30 мин? Упражнения и задачи 1. Вычислите значение отношения: а) 9 б) 4,92 в) 23,32 г) 50,4 1,6’ 1,23 ’ 8,8 ’ 7,2 ' 2. Умножьте на 4 числитель и знаменатель отношений из упражнения 1 и вычислите значение полученных отношений. 3. Восстановите последовательность равных отношений: , 11 33 Н 2,75 _ 20,7 18 7,2 а) 2,2 : б) , 3,3 0,44' 33,2 4. Вычислите значение отношения: а) 3 кг и 150 г; б) 2,5 м и 125 мм; в) 6 ч и 45 мин; 5. Сравните отношения: 8 0,32' г) 14 см и 50 м. ч 7 8 „ 3,6 10,2 > 2 ^ ч 9,6 11,1 ч 1 2 а) й и 11,5 ; 6) 0 6 и 1,7 ’ * Г < в) 4,2 и 5,2 ; г) 7,8 и 10,9' 6. В классе 32 ученика, из них 12 мальчиков. Чему равно отношение числа мальчиков к числу девочек? 156 Глава 4 7. Вычислите значение отношения площади закрашенных квадратов к площади незакрашенных: О ) I □ ' 8. Как изменится значение отношения, если увеличить в 3,5 раза только один из членов отношения? Рассмотрите оба случая. 9. Чему равна плотность тела: а) объем которого 3 см3, а масса 12,42 г; б) объем которого 0,07 м3, а масса 91кг; в) объем которого 8,4 м3, а масса 54,6 т? 10. Какова цена яблок, если за 3,5 кг заплатили 36 леев 75 банов? 11. Вычислите значение отношения: 5 Ь а г б) , если =5. ’ 5 ъ - 2 а Ь ч 3 т + 4 п т а) , если = 2,4; ' 4 п ’ п ’ ’ 12. Найдите значение отношения площадей двух прямоугольников с измерениями: 2,5 см, 4 см и 3 см, 6 см. 13. Запишите отношение, значение которого: а) 0,2; б) 1,4; в) 0,(7); г) 4,(5). 14. С какой средней скоростью двигается поезд, если расстояние 1 050 км он проезжает за 12 ч и 30 мин? 15. Точка С принадлежит отрезку АВ, длина которого составляет 15 см, АС причем = 0,875. Найдите А С и ВС. ВС 16. Какова ежемесячная зарплата господина Петрова, если она относится к сумме минимальной потребительской корзины в 1 760 леев как 7:4? 17. Представьте число 459 в виде суммы трех чисел, которые относятся как 1 : 2 : 6. 18. Представьте число 459 в виде суммы трех чисел, которые относятся как 3 : 2 : 4.

Решение уравнений на множестве О

 Исследуем и узнаем Ц Три стороны четырехугольника АБС Б конгруэнтны, а длина четвертой стороны 2,3 см. Чему равна длина каждой из конгруэнтных сторон, если периметр четырехугольника 8 см? Решение: х см В х см 3 х + 2 ,3 = 8 АВ = ВС = А Б = х см, Р = (3 х + 2,3) см. уравнение С 2,3 см В х см неизвестное неизвестное слагаемое сумма ч 3 х + 2 ,3 = 8 3 х = 8 - 2 ,3 3 х = 5 ,7 Г X неизвестный произведение множитель х = 5 ,7 : 3; х = 1,9 (см). Ответ: 1,9 см. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Ч тобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. Решите на множестве ^ уравнение: а) 2 • (0,5 х +1) = -7,2; в) - 3 : х = -1 , х Ф 0; - 1 ^ 4 7 б) 5 х +15 х = 3 0 ; г) (3 х -1,8): 2,4 = 3,2. Рациональные числа 145 Рассмотрите и допишите Решение: а) 2 • (0,5 х +1) = -7,2 неизвестный произведение множитель 0,5х +1 = -7,2 : 0,5 х +1 = неизвестное слагаемое сумма 0,5 х = 0,5х= неизвестный произведение множитель х - х - Ответ: 8 = { }. ~ 1 ^ 4 7 б) 5 х + 1? х = 30 х • '? + Т5 _7_ 30 7_ 30 Выносим общий множитель за скобку. X =■ , Ответ: 8 = { }. в) - 3 • х = ^ х * 0 I__3 9 делимое делитель частное 2 . 1 3 • 9 2 3' X = Ответ: 8 = { }. г) (3х -1,8) • 2,4 = 3,2 неизвестное делитель частное делимое 3х -1,8 = -3,2 • 2,4 неизвестное вычита- разность уменьшаемое емое X = X = Ответ: 8 = { ч 3 }. Упражнения и задачи ■ ------------------------------------------------ 1. Решите на множестве О уравнение: * II Оз б) х • [ - 4 ] = 18; в) 1 - 5 х = 0,5; * 1 II д) 3 х + 2 = ^ (Ч * II 1 77 (Ч ж) 3,6 • х = 1,2; з) 2,3х +1,2 х = 7. 146 Глава 3 2. Является ли число — решением уравнения: а) 1,5 + х = 2; б) 2 х - 3 = -2 ; в) ( 2х + 3 ) 4 = 3 ; г) 7,2: х = 3,6? 3. Решите на множестве ^ уравнение и выполните проверку: а) 0,47 х - 0,14 х = 1,65; ч 7 2 2 в) 9 х - з х =2; б) (4х -1) : 3 = - 3 ; г) - 3 • (2 -1 5 х) = - 6. 4. Составьте и решите уравнение по данным задачи: а) Даша задумала число, прибавила к нему 2,7 и получила 12,3. Какое число задумала Даша? 2 б) Аня задумала число, поделила его на 6 и получила - 3 . Какое число задумала Аня? 5. Перечертите и заполните таблицу: 2х - 3 -2 - 1 0 1 2 А х - А ■ -------------------------------------------------------------------- 6. Составьте и решите задачу по данным рисунка: а) х м 3х м б) 1~. 1 А Г 3,2 м х 15,4 х + 3 " ч в) х страниц г) 8 леев х леев 15,5 лея 7. Веревку длиной 3 м разрезали на две части. Длина одного отрезка на 6 полметра больше другого. Найдите длину каждого отрезка. Рациональные числа 147 8. Маша и Лена вместе собрали 24,6 кг клубники. Сколько килограм м ов клубники собрала каждая из девочек, если М аш а собрала на 4,6 кг меньше Лены? 9. За телевизор и СБ-плейер заплатили 5076 леев. Сколько стоит СБ-плейер, если он на 950 леев дешевле телевизора? 10. Периметр квадрата на 2 1 м больше длины его стороны. Найдите площадь квадрата. 11. Фермер продавал на рынке гогошары и сладкий перец. Цена гогошаров в два раза больше цены сладкого перца. Сколько стоит килограмм гогошаров, если за проданные 52 кг гогошаров и 76,5 кг сладкого перца фермер выручил 1 083 лея? 2 12. Петя проехал 5 горки на ногах, а потом упал и еще 8,4 м проехал на спине. Чему равна длина горки? 13. Учащиеся ежедневно следили за температурой воздуха в период с 15 по 19 апреля. Они установили, что в среднем температура воздуха в эти дни была 17,5°С. Какой была температура воздуха 15 апреля и 19 апреля, если ежедневно она повышалась на 1,5°С? а А ч аа чем * с 14. Маленький Мук и Королевский Скороход соревновались в беге на дорожке длиной 30 км, которая проходила вокруг большого луга. По условиям состязания выиграет тот, кто обгонит другого, пробежав на один круг больше. Скороход пробегает круг за 10 минут, а Маленький Мук - за 6 минут. Оба стартуют одновременно из одного и того же места. Через сколько минут Маленький Мук победит? 148 Глава 3 Задания Эля осмысления 1. Что называется дробью? Какое число называется смешанным? 2. Какие виды дробей вы знаете? Какие дроби называются равными? 3. В чем заключается основное свойство дроби? Что значит сократить дробь? 4. Что надо сделать, чтобы выделить целую часть из дроби? Приведите примеры. 5. Как сложить дроби с одинаковыми знаменателями? А с разными знаменателями? 6. Как сложить смешанные числа? 7. Что общего у действия вычитание дробей и действия сложение дробей? Обоснуйте ответ. 8. Как выполнить умножение двух дробей? А двух смешанных чисел? 9. Есть ли у числа 0 число, ему обратное? Какое число обратно самому себе? 10. Как найти дробь от числа? 11. Как найти число по данному значению его дроби? 12. Из каких частей состоит десятичное число? 13. Как сравнивают два десятичных числа? 14. Как выполняется сложение десятичных чисел? А вычитание? 15. Как выполняется умножение десятичных чисел? Возведение в степень с натуральным показателем? 16. Какие виды периодических десятичных чисел вы знаете? Приведите примеры. 17. Приведите примеры применения десятичных чисел из разных областей: физики, биологии, географии, истории, экономики и т. д. 18. Как обратить периодическое десятичное число в дробь? 19. Объясните включение N с Ж с 20. Какие свойства модуля рационального числа вы знаете? 21. Какие виды записей рациональных чисел вы знаете? 22. Как выполняется сложение рациональных чисел? Вычитание? А умножение? Деление? А возведение в степень с натуральным показателем? 23. Какие свойства действий рациональных чисел вы знаете? 24. Как вычисляется среднее арифметическое чисел? Рациональные числа 149 25. Приведите из повседневной жизни примеры применения среднего арифметического. 26. Каков порядок выполнения действий и какова значимость скобок в вычислениях с рациональными числами? 27. Что значит решить уравнение на множестве ^ ? I Упражнения и задачи на повторение ■ ------------ 1. Вычислите: г) 1 3 2 7 3 ’ 2. Вычислите: а) 11 2 1 ­ ) 8 . 5 1. д) 15 5 673 ; ч 7 ^ 5 а) 12 + д) 4,32 - 2-2; »!Н ; ■>- 5 | ( - 3 8 б) 15 - 3 . 16 4 ; 1 в) ■ 3 + _2_- 14 21 е) 18+(-1,15); в) - 5п 2? ; 1 7 ж) - 4 8 :2 Т6; ж) . 0 - ( 5 + 4 - ч 12 ( 2 6 Л г) - 13 7 з) ^ :1-4 ' 27 3. Найдите значение выражения: 7 а) 3! I -3 ,5 1 + ■2 3 3 б) | -6,4 | - + | -0,625 | - 32 4. Во дворе росло 70 роз, — из котороых были красного цвета. Сколько роз красного цвета росло во дворе? 5. 12 учеников из 6 „А “ класса занимаются спортом. Сколько учеников 3 учатся в этом классе, если те, кто занимается спортом, составляют от 8 учеников всего класса? 6. Впишите числа, чтобы получить истинное высказывание: а) : 0,07 = 5; б) ■ 0,8 = 5,6; в) 0,2 : = 4; г) -6,1 ■ = 1,83; д) -4,06 : = -0,203; е) ■ 5,3 = -6,413. 7. Расположив в порядке возрастания числа, вы узнаете фамилию автора следующих слов: „ Никто не научился думать, читая чужие мысли. Можно научиться думать, только думая самостоятельно “. 1,(2) 101 100 5 4 1,06 2 3 К М У Э (1,1)2 С Е V V Н И 5 150 Глава 3 ■ --------------------------------------------------- 8. Вычислите рациональным способом: 3 3 3 3 1 3 а) 4 1! + Д ь 3 - Д Д б) 4 1 -5 + 35 -5 + 11 5 ) 9 8 9 8 3 8' 9. Найдите значение выражения: а) | 16,5-13-9-1Ц- + 2,2| - у ! 1+ 3 Ц ; 10. 11. б) Д - 23 17 49 . 22 ' 147 На птицефабрике выращивают кур, уток и индюков. Количество уток составляет 0,42 коли9 чества всех птиц, а количество индюков - 28 количества всех уток. Сколько всего птиц на этой птицефабрике, если индюков 54? Лист картона прямоугольной формы, длина которого 41,3 см, надо разрезать на два прямоугольника равной ширины так, чтобы длина одного из прямоугольников была на 3,7 см больше длины другого. Какой будет длина каждого из прямоугольников? 12. Решите на множестве ^ уравнение: а) | х | - 1,3 = 1,2; б) 1 5 - |х |= - 9 ; г) | х +1,3 |= 2; д) | х - 0,161 = 0,16; в) |х | + 3,7 = 7; е) | 2 ,6 - х |= 5,1' 13. Турист проходит расстояние от пункта А до пункта В и обратно за 3 ч 41 мин. Дорога (см. рисунок) от пункта А до пункта В состоит из трех частей Скорость туриста на подъеме ке В подъем, равнинный участок и спуск. 4 км/ч, на равнине - 5 км/ч, а на спус6 км/ч. Расстояние между пунктами А и В составляет 9 км. Каково расстояние между пунктами С и Б? Рациональные числа 151 Итоговый тест I вариант 1. Даны числа: 2 1 4 2,3; 2 ; -1,25; 1-4; 2,5; 2,(3); - а) Впишите один из знаков сравнения (<, =, >), чтобы полученное высказывание было истинным: 2,3 О 2,(3). б) Выпишите противоположные числа. в) Выпишите взаимно обратные числа и обоснуйте ответ. г) Найдите среднее арифметичес2 I 1 I кое чисел: 5 ; -1,25; 2,5. 2. Выполните действия: ч .5 . 7 . а) 6 8 + 112’ в) А 1 16 ) _8_ 25 : 11 7 б) " 12 + 8 ’ ) 5 . 1 г ) -7:114- 4 3 3 3 3 А длины сто3. В треугольнике АВС длина стороны АВ равна В 72,6 м и составляет роны АС. а) Найдите длину стороны АС. б) Зная, что периметр треугольника АВС равен 300 м, найдите длину стороны ВС. в) Три новых дома расположены в вершинах треугольника АВС. К дому в вершине С проведен интернет. Требуется проложить кабель от дома в вершине С к домам в вершинах А и В. Существует два проекта: 1) по отрезкам СВ и СА; 2) по отрезкам СА и АВ. Какой проект более выгодный? Сколько метС 3 4 I Время выполнения работы: 45 минут II вариант 1. Даны числа: 5 3 3,6; 5; 2,75; -23;1,6; 3,(6); 1,3. 8 4 а) Впишите один из знаков сравнения (<, =, >), чтобы полученное высказывание было истинным: 3,6 О 3,(6). б) Выпишите противоположные числа. в) Выпишите взаимно обратные числа и обоснуйте ответ. г) Найдите среднее арифметичес3 кое чисел: - 2 ; 1,6; 1,3. 4 2. Выполните действия: , . 8 , 4 а) ^9 + 3Т5; 7 5 б) - 16 + 24’ в) 12 35 51 6 ) г) 11 12 С _7 15' В четырехугольнике АВСБ длина стороны АВ равна 2,1 км 7 и составляет 8 длины стороны АБ. а) Найдите длину стороны АБ. б) Зная, что ВС = 1,8 км, а периметр четырехугольника равен 7,55 км, Найдите длину стороны СБ. в) Дом Ани находится в вершине А четырехугольника АВСБ, а школа - в вершине С. От дома Ани до школы можно доехать двумя троллейбусными маршрутами: 1) от остановки в пункте А до В и от В до С; 2) от А до остановки в пункте Б и от Б до С. Какой маршрут короче и на сколько километров? ров кабеля можно сэкономить? Схема оценивания теста О ц ен ка 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 С ум м а баллов 27-26 25-24 23-21 20-17 16-12 11-8 7-6 5-4 3-2 1-0

Множество рациональных чисел

 3.1. Понятие рационального числа ИссдеЭуемиузиэем • Петя увидел на мамином рабочем столе один из бухгалтерских документов - еженедельный отчет. Заметив записи, он удивился, потому что был знаком только с целыми отрицательными числами. Поразмышляв минуту, он построил числовую ось. Отметил на этой оси сначала точку А(2,5). Затем построил слева от начала отсчета О отрезок ОВ, конгруэнтный отрезку ОА, и записал В(-2,5). В — I— -2,5 О А —I— 0 1 2,5 Числа -2,5 и 2,5 являются противоположными. Числа, противоположные положительным десятичным числам, являются отрицательными десятичными числами. 'Практическая работа ® Постройте числовую ось и обозначьте начало отсчета точкой О. ® Отметьте на этой числовой оси точки: М ' 1 Л V2 / N ' 1 Л V4 / Б ' 3 Л 2 С ' 3 Л 4 Постройте слева от точки О отрезок ОВ, конгруэнтный отрезку ОМ. Запишите координату точки В. ® Отметьте на этой же числовой оси точки: К ' 3 ^ "4 Е ' 3 ^ "2 О ' 1 ^ 4 ® Определите пары противоположных чисел. тт 1 1 3 3 Числа - 4 ; - 4 ; - - 4 являются отрицательными числами. Рациональные числа 117 вспомним Выберите из множества ^5; 1 |; - 5 ; 2,3; -21; 21,1; - | ; -3 ; -0,7^: 3 1 5 -• — • 2 3' - 21 211- - — 8 ; 5 ;2,3; 21;21,1; 3 а) целые числа; б) дроби и смешанные числа; в) десятичные числа. Решение: Целые числа 5 -21 -3 5 - 21 - 3 1 1 1 Дроби и смешанные числа 3 1 8 1 5 5 3 11 -1 - 5 8 5 3 Десятичные числа Все эти числа являются рациональными числами. Ф возьмите на заметк Число называют рациональным, если его можно записать т_ п * в виде , где т е Ж, а п е N . Множество рациональных чисел обозначают через Множество неотрицательных рациональных чисел Множество неположительных рациональных чисел Множество ненулевых рациональных чисел N с Ж с ^ Решаем • Впишите одно из множеств ^ +, ^ -, Ж*, чтобы получить истинное высказывание: а) 2 е Н ; б) - - 8 ; в) - 2 ё ; г) 0 ё . 118 Глава 3 1 1 а Т ® ^ С 7 у * Т е Р ® *111® - Долгое время рациональные числа не имели названия. Они получили свое название только после того, как появились другие виды чисел. Древнегреческие математики обнаружили, что для измерения длины диагонали квадрата со стороной, равной 1, недостаточно только целых чисел и дробей. Неизвестные новые числа назвали иррациональными, а уже известные - рациональными числами. 3.2. Модуль рационального числа. Свойства |- 2 | |3 | г н---------- \ ~^!-- —I--- -2 0 |- 2 |= 2; |3 |= 3 Исследуем и узнаем 3 4 Ж |1,5| = 4 ; 11,5 | = 1,5 1,5 Возьмите на заметк Расстояние от начала отсчета (точки О) до точки А(а), а е ^ , называется модулем (или абсолютным значением) рационального числа а и обозначается как | а | . 3 0 Проанализируйте и заполните пропуски: 2 3 : | -0 ,0 1 1 = | 5,3 | = 5,3; | -5,23 | = 7 возьмите на заметк Для любого рационального числа а верно: а, а > 0 | а | > 0 • | а | = < 0, а = 0 - а, а < 0 13 |0 | = | - а | = | а | Рациональные числа 119 3.3. Виды записей рациональных чисел Исследуем и геиаемИ Ц Миша записал числа 11 ; 1 0 ; 1,25 и сказал одноклассникам, что все 4 8 эти числа представляют одно и то же рациональное число. Он объяснил это следующим образом: 14 =■ 1-4 +1 _ 5 10 _ 1 0 :2 _ 5 1 2 5 _125 _125:25 _ 5 4 4 ; 8 8 :2 4 ; ,2 100 100:25 4 Рассмотрите и заполните пропуски: 1) Запишите десятичное число в виде дроби: а) 3,16; б) 10,035. I способ 16 4 79 а) 3Д6 _ 3Т0О _ 3 25 _ 25- б) 10,035 = 10— = 10— = — . II способ а) 3,16 = 3 16 _ 316 _ 79, 100 100 25 35 б) 10,035 = 10 = — = — . 2) Запишите дробь в виде конечного десятичного числа или периодического десятичного числа: ) 13 б) 17 а) У б) - 2 5 ; 13 а) У _ 2 в) - 3 ; 1,625 Выполняем деление 1 3I 8 8 1 ,6 2 5 50 48 _ 20 1 6 40 40 0 2 в) - 3 = - Выполняем деление 0,(6) 2, 0 20 - 18 20 - 1 8 0,66.. Л 20 11 г) У б) - ^ = -■ 1 25 Выполняем деление 11 г) У _ ■ Выполняем деление 17 25 0, 170 11 1, Глава 3 0 6 0 0 120 *? I л Возьмите из заметку ф Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей, кроме 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде конечного десятичного числа. ф Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители, отличные от 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде периодического десятичного числа. 3.4. Сравнение рациональных чисел изем Ц| Олег с Мишей помогли дедушке вскопать участок. Олег вскопал 0,4 3 участка, а Миша - участка. Кто 8 из внуков вскопал большую часть? Решение: 3 Сравним числа 0,4 и . 8 I способ 4 2 0,4 = 4 =2 2 5 16 40 10 ♦ 5 3 8 15 40 > 1 ? ' II способ 3 3 = 0,375 0,4 0,375 _Г 'Л 16 > 15 Ответ: вскопал большую часть. возьмите из ззметк Положительные рациональные числа сравниваются так же, как положительные дроби или положительные десятичные числа. Рациональные числа 121 Сравните числа: ) 7 9 . а) ~ п и - Т6- б) 0,(23) и - Ц , Решение: 7 12 а) - н меняем _9_ 16 12 А _9_ 16 А в) - 7 8 и 0. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль7 7 знак 9 которого меньше. 12 16 б) 0,(23) > - 19 в) - 7 8 < 0 Любое отрицательное число меньше любого положительного числа или нуля. 7 3.5. Округление рациональных чисел ф В свой день рождения Аня узнала, что на почте ее ждет посылка, которую ей прислала ее подруга из Англии. Посылка весит 3 фунта. Нужна ли будет Ане помощь брата, чтобы принести посылку домой? Решение: +1 1 фунт = 0,45359237 кг » 0,5 кг округляем до десятых 0,5 • 3 = 1,5 (кг) 3 фунта «1,5 кг. Ответ: Аня сможет сама принести посылку домой. 122 Глава 3 Исследуем и узнаем а) 5,2 5,27 +1 5,27 « 5,3 5,3 х б) в) + 0,14 0,13 3 0,133 -0,13 = - 0,13 х 4 7,4 7,45 7,5 7,45 « 7,5 возьмите на заметк х —I— -7,5 + + ■7,4 7,45 -7,4 х 45 « -7 ,4 ® Округлением рационального числа до заданного разряда является число этого разряда, расположенное на числовой оси более близко к данному рациональному числу. ® Если рациональное число равноудалено на числовой оси от двух последовательных чисел одного и того же разряда, до которого выполняется округление, то округлением будет большее из них. Решаем Рассмотрите и дополните таблицу: Рациональное число Округление до целого до десятых до сотых 0,813 1 0,8 0,81 2 1 9 40 -1,365 -1 -1,4 -1,36 -22,727 0,1(8) 0 0,2 0,19 - 4 ■ 128 ______________ 4 Рациональные числа 123 3.6. Сложение и вычитание рациональных чисел Решаем Ц Вертолет сначала снизил высоту на 50,6 м, а затем поднялся на 102,3 м. Как изменилась высота полета после таких маневров пилота? Решение: - 50,6 +102,3 = +51,7 (м). Ответ: Высота полета увеличилась на 51,7 м. 7 /% Выполните Решение: а) действия: + ■ ч 1 + 5. а) - 3 + 6 ’ б) 1 3 1 "э _ 1 3 0 ,5 = 1 Ь6 = 2 _ 1 = 3 1 2 Л _ 1 + 5 3 6 5 _ 2 6 6 = 1 2 3 6 1 2 б) _ 0,2 + (-1,4). + (_1,4) + ­ 0,2 0 | - 0 ,2 1 = 0,2 |- 1 ,4 |= 1,4 0,2 +1,4 = 1,6 - 0,2 + (-1,4) = -1,6 возьмите на заметк ® Чтобы сложить два рациональных числа с одинаковыми знаками, надо сложить их модули и поставить перед полученным результатом их общий знак. 1 + - 5 = - 8 = - 4 = - 1 1 2 1 6 6 э э 0 ,2 5 + 4 = -4+ 4 = 2 . 4 4 4 2 5 6 ® Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля вычесть меньший; 2) поставить перед полученным результатом знак того числа, модуль которого больше. - 31 + — = - 7 + — = - Э 4 2 10 / 1 0 ’ 124 Глава 3 ^ Выполните действие: а) -12,78 - 8,56; Решение: 5 ( 7 Л б) - 5 1 2 а) -12,78 - 8,56 = = -12,78 + (-8,56) = 4 б) - ? - 12 - 5 + А : 9 12 36 + 36 ' Розьмите на заметк Чтобы выполнить вычитание двух рациональных чисел, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - Ъ = а + {-Ъ). Замечание. Сумма и разность двух рациональных чисел есть число рациональное. 3.7. Свойства сложения №итш.'1цу!М1и Га *Т а в л ^а ! Ц Заполните таблицу: а ъ а + Ъ Ъ + а 2 1 3 5 4 - 0,4 - 2,7 ________ В • Вывод: а + Ъ = /X Заполните таблицу: а ъ с а + (Ъ + с) (а + Ъ) + с 1 3 5 3 4 6 - 0,03 - 0,75 - 0,25 _________4 • Вывод: а + {Ъ + с) = (Ц Выполните действие: а) п + 0 = • Сделайте вывод. ^ Выполните действие: а) - 1 7 + 1 7 = • Сделайте вывод. б) - 7 + 0 = б) 0,31 + {- 0,31) = в) 0 + {- 0,15) = ) А + ( - А Л 13 [ 13/ Рациональные числа 125 Ододшаем Свойства сложения рациональных чисел 1° Сложение рациональных чисел коммутативно: а + Ъ = Ъ + а, для любых а, Ъ е 2° Сложение рациональных чисел ассоциативно: а + (Ъ + с) = (а + Ъ) + с, для любых а, Ъ, с е 3° Число 0 является нейтральным элементом сложения рациональных чисел: а + 0 = 0 + а = а, для любого а е 4° Для любого рационального числа а существует только одно противоположное ему число, равное -а, причем а + (-а) = -а + а = 0. Завершите вычисление: а) - 15+ + 4 15 : - ± + - 4 + ( - 1 Л 15 15 7 V : 0 + ( \ 7 б) (0,01 + (-3,2)) + 3,2 = 0,01 + ( + ) = 0,01 + 1 3.8. Раскрытие скобок СЦ| Выполните действие: а) 7,1 + (2,9 + 3,1); б) 7,1 + 2,9 + 3,1; в) 6,3 + (-5,3 + 2,2); г) 6,3 - 5,3 + 2,2. Завершите решение и сравните полученные результаты: а) 7,1 + (2,9 + 3,1) = 7,1 + = ; б) 7,1 + 2,9 + 3,1 = а + (Ъ + с) = а + Ъ + с, для любых а, Ъ, с е Завершите решение и сравните полученные результаты: в) 6,3 + (-5,3 + 2,2) = 6,3 + ( ) = ; г) 6,3 - 5,3 + 2,2 = а + ( - Ъ + с) = а - Ъ + с, для любых а, Ъ, с е Ододшаем При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак плюс (+), знаки слагаемых, стоящих в скобках, сохраняются: + (а - Ъ + с) = а - Ъ + с. 126 Глава 3 <ТХ Вычислите: - 1 + |^ --2 - 2^. Проанализируйте и закончите решение. - 2 + | - ! - 2 Ь 2 • 3 • 2 = Ш 2 = Ш Исследуем и узнаем (Ц Вычислите: а) 5 1 -9 6 Г 6 б) ! + 6 + 9 в) 0,03 - (0,03 + 2,72); г) 0,03 - 0,03 - 2,72. Завершите решение и сравните полученные результаты: а) 6 - Г - 6 - 9 V 5 - <■ >= б) 5 + 6 + 9 = + 9 = а - ( - Ъ - с) = а + Ъ + с, а, Ъ, с е в) 0,03 - (0,03 + 2,72) = 0,03 - = ; г) 0,03 - 0,03 - 2,72 = - 2,72 = . а - (Ъ + с) = а - Ъ - с, а, Ъ, с е Ододшаем При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус (-), знак каждого слагаемого, стоящего в скобках, меняется на противоположный: - (а + Ъ - с) = -а - Ъ + с. Вычислите: 0,1 - (-0,9 +101). Проанализируйте и закончите вычисление: 0,1 - (-0,9 + 101) = 0,1 + 0,9 101 = 101 = . Рациональные числа 127 3.9. Умножение и деление рациональных чисел Исследуемиузнаем ^1 Температура тела летучей мыши может опуститься до -6,6°С. Найдите, до скольких градусов может опуститься температура тела ящерицы, если известно, 2 „ что она составляет — от минимальной температуры тела летучей мыши. Решение: 22 44 22 2 66 2 44 6-6 'з = - То'з = - То = - 4 -4 ф (градусов). Возьмите на заметк Произведение двух рациональных чисел а и Ъ положительно, если числа а и Ъ одного знака. (+)■(+) = + (+)■(-) = - (-)■(+) = - (-)■ (-) = + Произведение двух рациональных чисел а и Ъ отрицательно, если числа а и Ъ разного знака. •Применяем^ 3 Вычислите: а) -1,2 ■ (-17,5); б) - — ■1-9. Проанализируйте и закончите вычисление: а) -1,2■ ( 17,5) =Ш • = ; 3 7 3 б) - 4 ^ 9 = - 4 Замечание. Произведение двух рациональных чисел есть число рациональное. Исследуем и узнаем Днем температура воздуха была -8,5°С, что составляет 6 температуры, которая была ночью. Какой была температура воздуха ночью? Решение: - 8,5 | = -8 ,5 | Ответ: -10,2°С. , 17 ■ = -1 0 ,2 (градусов по Цельсию) 10 5 128 Глава 3 ф Розьмите на заметк Ч астное двух р ац и о ­ нальных чисел а и Ь положительно, если числа а и Ь одного знака. (+) (—) 1 8 +) Т +) т и и и и + + 1 11 'ПрименяемД Э Вычислите: а) —1-3. ( 5 I - 21, 5 Частное двух р ац и ональных чисел а и Ь отрицательно, если числа а и Ь разного знака. б) 0,2: (-1,1). Проанализируйте и закончите вычисление: а) 1з . ( ________ . а) V [ 21)~ - . б) 0,2: (-1,1) - —Н : = Н . Замечание. Частное двух рациональных чисел есть число рациональное. 3.10. Свойства умножения Исследуем и узнаем В АРА ! Ц Заполните таблицу: а Ь а ■ Ъ Ъ ■ а -0,8 1,5 1 3 3 7 1 -1,23 9 17 1 _________ \ Вывод: а ■ Ь- Н ■ ; а 4 - 1 а — Подставьте вместо а, Ь и с произвольные рациональные числа и проверьте формулы: а ■ (Ь ■ с) — (а ■ Ь) ■ с, для любых а, Ь, с е ^ ; а ■ (Ь + с) — а ■ Ь + а ■ с, для любых а, Ь, с е ^ ; а ■ (Ь — с) — а ■ Ь — а ■ с, для любых а, Ь, с е ^ . Рациональные числа 129 7 ■Л, Розьмите на заметк Свойства умножения рациональных чисел 1° Умножение рациональных чисел коммутативно: а ■ Ъ = Ъ ■ а, для любых а, Ъ е ^ . 2° Умножение рациональных чисел ассоциативно: а ■ (Ъ ■ с) = (а ■ Ъ) ■ с, для любых а, Ъ, с е ^ . 3° Число 1 является нейтральным элементом умножения рациональных чисел: а ■ 1 = 1 ■ а = а, для любого а е ^ . 4° Умножение рациональных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания: а ■ (Ъ ± с) = а ■ Ъ ± а ■ с, для любых а, Ъ, с е ^ . Из свойства 4° следуют правила вынесения общего множителя за скобки и раскрытия скобок. Вынесение общего множителя а ■ ( Ъ + с ) = а ■ Ъ + а ■ с Раскрытие скобок Вычислите рациональным способом, применив свойства умножения: а) - 5 ■ 13 ■ 5 ; б) - 2,7 ■ 0,54 - 2,7 ■ 0,46; ч 3 в) - 4 4 - 8 3 9 Проанализируйте и закончите вычисления: 7 13 = • ) - 5 7 6 = - 5 6 7 _ а) 6 ■ 13 ■ 5 6 ■ 5 ■ 13 б) Выносим общий множитель -2,7: - 2,7 ■ 0,54 - 2,7 ■ 0,46 = -2,7 ■ (0,54 + 0,46) = -2,7 ■ в) Раскрываем скобки: 3 9 V 7 - 3 4 + 3 8 = 4 ^ 3 + 4 ^ 9 + - + - Всезнайка применяет свойства умножения для выполнения быстрых вычислений: Попробуйте и вы: ( ш \ 2 |- 6 = + - V 2 35 ' 5 = 2 3 + 5 ■ 5 = 15 + 2 = 17 12 1,5 = 12 ■ (1 + 0,5) = 12 + 6 = 18 Всезнайка 6 = + 7 14 ■ 2,5 = 14 ■ ( + ) + 130 Глава 3 3.11. Степень рационального числа с натуральным показателем рспомии^ ^ ф Сотрудникам одной фирмы предложили оригинальный метод оплаты труда: за один час работы в день - 2 лея. Каждый следующий час - оплата удваивается. Какой будет дневная оплата сотрудника фирмы, если он проработает 8 часов? Решение: 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 28 = 256 (леев). Ответ: 256 леев. Найдите, какую сумму денег потеряет сотрудник, если он уйдет с работы на час раньше. показатель степени Читаем: степень Два в восьмой степени. основание степени (1,5)3 = 1,5 • 1,5 • 1,5 = 3,375; ' 2 * V 3 У 2 2 2 2 = 16, 3 3 3 3 81 (-2 )5 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32. Ф Розьмите из ззметк Степенью рационального числа а с натуральным показателем п, п е Ы*, называется произведение п множителей, каждый из которых равен а: ап = а - а а . . . - а '------------- V------------- ' п р а з Га * т а в а ^а ! Определите знак степени: (-1,73)4 0; 1 0 а = а а = 1 а е ^ а е ^* 00 - не имеет смысла 1 Л6 0; >'*г ' / Г 7 V V 9 7 ( - 0,03)3 0. Сделайте вывод 0 5 Рациональные числа 131 Решаем Рассмотрите и заполните таблицу: Произведение Степень Основание степени Показатель степени Значение степени (-0,2) • (-0,2) • (-0,2) ( - 0,2)3 -0,2 3 -0,008 1 1 1 1 з'з'з'з 2 3 4 ( 1 2 ) Ф Розьмите на заметк В выражениях без скобок возведение в степень является приоритетным. 2 3 1 2 9 - 6 Т ' Т в + - 2 4 V 3.12. Среднее арифметическое Исследуем и узнаем 131 Чтобы составить распорядок дня, Даша записывала в течение недели время, необходимое для выполнения домашней работы. Сколько времени, в среднем, в день тратит Даша на выполнение домашней работы? Решение: 13 + ‘-5 + 2 + 12 + ‘-5 = 1,5 (часа). Ответ: 1,5 часа. день недели &^емл • (б часах.) Лонедельник /.3 вй орн и к '■* С(1еда 2 1 ,2 Л лЯ ница / .5 132 Глава 3 Чтобы ответить на вопрос задачи, мы вычислили среднее арифметическое чисел, данных в таблице. й Розьмите на заметк Средним арифметическим рациональны х чисел ах, а2, а3, ап называется результат деления суммы этих чисел на число слагаемых: а„ а, + а2 + а3 + ...+ а 1___ 2___3______ п_ п Всезнайка изобразил с помощью графика изменение температуры воздуха в муниципии Кишинэу за первые 10 дней марта (см. рисунок). Какой, в среднем, была температура воздуха за эти 10 дней? Решение: г = 1 + (-2) + (-1) +1 + 0 + 3 + 2 + 2 + 5 + 4 = (°С) Ответ: °С. ГА «ТА В АГА » {Ц а) Найдите среднее арифметическое ат чисел 2,7 и -1,3. б) Отметьте на числовой оси точки А(2, 7); В(-1, 3) и С (ат ). в) Где на отрезке АВ расположена точка С? Сделайте вывод. Упражнения и задачи I □ □ ■ 1. Отметьте на числовой оси точки: А(2); В(-1,5); 7 3 1 2. Запишите числа, противоположные данным: 5,1; -0,25; - ; 1 ; 2,7; - 3 . 8 7 9 3. Найдите: а) -а, если а е {-3,1; 15 ; -2,03; 0}; б) Ъ, если - Ъе | -6,2; з | ; -0,1; | | | ; в) - ( - с), если с е | | | ; -1,3; -2,52; 0^ Рациональные числа 133 4. Перечертите таблицу и впишите в каждую ячейку знак е , если точка принадлежит указанному множеству, или знак ё , если точка не принадлежит этому множеству: -3,5 >6 -21 37 0 7 11 0,003 N 2 * <з+ ©- 5. Запишите все целые числа, расположенные на числовой оси между числами: 2 1 15 8 а) 3,7 и 5,1; б) -0,135 и 1,02; в) - 1 ^ и 1^^; г) - — и 3 . 6. Найдите модуль числа: 1 о г! (1 а) 1,3; б) - — ; в) -0,25; г) 1 -; д) 9 ; е) -4 — 7. Найдите | а |, если: 31 2 а) а = -2,3; б) а = — ; в) а = - 7 ^ ; г) 0,75. 8. Найдите значение выражения: а) | - 7 ,2 1 + 1 3,41 ; б) | -1,7 | - 1 -0 ,8 1 ; в) | -1 ,6 1 • | - 6 ,4 1 ; г) 12 + 3 . 16 ; д) 5 3 6 20 е) | -56 | : | 0,7 | . 9. Запишите десятичное число в виде несократимой дроби: а) 12,2; б) 0,25; в) 0,05; г) -3,08; д) 0,875; е) -0,48; ж) -1,92; з) 0,375. 10. Запишите десятичное число в виде смешанного числа: а) 1,5; б) -3,2; в) 5,25; г) -3,125; д) -7,005; е) 4,0125. 11. Запишите дробь в виде десятичного числа: ) 7. б) 3. ) 4. ) 18. ) 11. а) 2 ; б) 4 ; в) Т ; г) — ; д) — ; 4 5 12. Дано множество: М 5 = Г5 . _7. _ 3 . _6_. 17.131 = [ 8 ; 12; 25 ; 11; 5 0 ; 30}. 4 17 13 30 е) 2 > ; ж) 25' а) Определите множество А, А с М , состоящее из дробей, которые можно записать в виде непериодического десятичного числа. б) Запишите элементы множества А в виде десятичного числа. в) Определите множество В, В с М , состоящее из дробей, которые можно записать в виде периодического десятичного числа. 134 Глава 3 г) Запишите элементы множества В в виде периодического десятичного числа. д) Определите, какие из высказываний истинны, а какие ложны: 1) А П В = 0 ; 2) А ^ В = М . 13. Заполните таблицу: 14. Сравните числа: а) -1,1 -1,09; >* 0 % б) 5 7 г) 2,67 _ _ 9 ; 14 ; 2,(6). 4,9; 2-3; 2,3; -4,901; _ 2,3; в) 0,2 0,2011; 15. Расположите в порядке возрастания чйсла: -2,6; 0. 16. Расположите в порядке убывания чйсла: 3 14 -3,7; 0; 5,11; _ 3 | ; 0,1(2); 0,12; 512:5. 17. Впишите такую цифру, чтобы получить истинное высказывание: а) -2,02 < -2 ,И 1; б) -3,4Д 6 > -3,415; в) -1 1 ,1И < -11,18; г) -2 ,09 < -27,1. 18. Между какими последовательными целыми числами на числовой оси расположено число: 3 9 а) 5ТТ; б) _ 213; в) -9,3; г) _ п | ; д) 0,324; е) -0,12? 19. Учитель записал на доске несколько примеров на сравнение, но на перемене кто-то из учеников стер некоторые цифры. На уроке учитель сказал, что данные числа можно сравнить, не восстанавливая примеры. Сравните: а) -3,3 и -3,2^ ; б) -0,518 и -0,517 ; в) -^ М и °; г) - ^ и к Мг. -3,3 -3,2 -0,518 0,517 0 Рациональные числа 135 20. Впишите необходимый знак сравнения: а) | -1 ,6 1 0; в) 1,56 | -1,56 |; б) г) -0,09 _ 3. 8 ; | - 0,0011. V - 15,23 км/мин а) До какого разряда округлили средние скорости самолетов, изображенных на рисунке? б) Найдите средние скорости самолетов в км/ч и округлите полученные результаты до целых. 22. Округлите: а) до десятых чйсла: 3,46; -2,17; 0,052; -1,65; 2,(3). б) до сотых чйсла: 25,729; -31,047; -0,171; 6,725; 4,3(6); 4,(36). 23. Перечертите и заполните таблицу: Число Округление числа до целых десятых сотых 2,365 -1,884 -61,753 0,6(4) И 2,(17) _________ ] 24. Впишите такую цифру, чтобы получить истинное высказывание: а) 21,5 - 21,6; б) -3,92 - -3,92; в) 71,0 - 71,1; г) -5,2 - -5,3. 25. Вычислите: а) _ 4,1 +1,6; ) А _ А ­ д) 15 10; и) _ 312 _ 1 4 6 н) _ 2 4 _ 2 ^ - 35 ' б) 2,8 - 5,5; ч 1 + 2, е) - 4 + 5 ; 3 7 к) - 2 8 - 1Т0; о) 3 9 - 1 12; в) - 2,3 -1,4; , 3 20 ж) - 7 - 2 Т л) - 5 4 + 18 п) 2 ! - 3| ; г) 4 - 5,9; ч 5 3. з) 6 8 ; 3 9 м) 4 ^ - 814; 3 7 р) - 1 3 + 2 1 . 136 Глава 3 26. Выполните вычисле- 2,3 + ния по схеме: V / + -11,02 20,41 + - 4,3 27. Восстановите цепочку вычислений: 0,04 -20 Г Л +10,6 - 1-01 +0-57 -0,2 28. Вычислите: 30. Вычислите рациональным способом: 2 (1 5 ^ а) - 3,72 + 5,26 + 2,72; б) 3 + 3 - 1 ; 3 V3 12) в) (0,39 -10,56) +10,56; г) - 3,78 + 9,84 +1,78 - 20,84. Рациональные числа 137 31. Раскройте скобки и выполните действия: а) - 3,8 - (-8,1 + 3,9); б) 7,5 + (-8,4 - 2,1); в) - 7 - ' 8 14 - 1 4 2 г) 4 - ' 9 - 1 1 + 9 д) - 8,76 - (-3,25 -10,76); ) 9 ( 11 5 ^ Ж) - 2 0 - [ - 2 0 - 6 ; е) - 6,19 + (-1,5 + 5,19); з) Л + А - ( А - А ^. '2 8 18 [ 28 18 32. Вычислите: а) -1,2 • (-0,8); г' ! - ( - « 2 ) б) -12,5 • 3,6; ' 5 ^ д) 1,2-I - 8 ’ ( А в) - 5,6 - - 3 V 7 2 2 е) - 4 2 -1 2 . 7 3 7 а) - 2,4: 0,8; г) - 4А А . г) 515’ б) 8,4: (-0,42); д) в) - 8,64: (-1,2); ( - 5 "7 ' <м| т 7 ; V 7 ) е) - 0,78: 3 5 36. Сколько стоит 1 кг печенья, если за 5 кг заплатили 52,5 лея? 6 37. У дедушки Вани есть 5 ульев. Со всех ульев он собрал 182,5 кг меда. Сколько килограммов меда в среднем собрал дедушка с одного улья? 38. Вычислите рациональным способом: а) 0,4 - 3,56 - (-2,5); б) 0,2 - (-12,51) - 5; в) 3,6 - 0,03 + 6,4 - 0,03; г) -12,3 - 0,054 + (-12,3) - 0,054. 5 138 Глава 3 39. Вынесите общий множитель за скобки и найдите значение выражения: 2 ( 2 Л а) - з • 0,4 + 1 - з • 0,6; в) 2,7 1,9 - 3,7 1,9; 40. Запишите в виде степени: а) 1 1 1 • 1- а) 3 3 3 3 ’ б) 3 6 + 3 ( 1 ^ б) 5 ^ 7 + 5 | - 7 ] ’ г) 1,4 • 0,9 -1,4 • 5,9. б) (-1,3) • (-1,3) • (-1,3); в) 3 ^ 5 ( 3 ^ 5 ( 3 ^ 5 41. Истинно или Ложно? а) (-2,1)2 = (2,1)2; / г) V > 0; б) (-5,3)4 = -(5,3)4: д) (-25)3 < (-25)2; - 1 - 8 < 0; 42. Вычислите: ) ( 2 ^ ■ 8 а) ( э + 15; б) - 2 ) 16 в) ( - 6 V •15; г* ( 5 - I 43. Найдите среднее арифметическое числа: 1 3 а) 10,3 и 9,8; б) 1^ и 2 ; в) 3,8; 3,9; 4,3. 44. Вычислите среднее арифметическое ваших оценок за I семестр учебного года. Округлите результат до десятых. 45. В декабре Рома заплатил за использованные минуты мобильного телефона 22 лея, в январе - 31 лей, в феврале - 20 леев. Сколько платит в среднем в месяц за минуты на телефоне Рома? Округлите ответ до десятых. 0 46. Н а диаграмме представлены полугодовые затраты семьи Смирновых на питание. Сколько в среднем в месяц тратит семья на питание? леев 2100 2000 1900 1800 1700 1600 -- РР & РЭ х Рч РЭ «и н РчсЗ 2 <и Р. X сЗ сЗ 2 месяц Зн Рациональные числа 139 ■ -------------------------------------- 47. Перечертите числовую ось: ( Ь 4 5 У4 С:(2) Е К(-1 ) в Определите и укажите начало отсчета данной оси, единичный отрезок, координаты точек О, Ь, Е, А, В, Е. 3 1 48. Даны числа: 5,7; -7,3; - —; 7 3 ; -0,02. Запишите: а) противоположные им числа; б) обратные им числа. 49. Дано множество: М = | - 4 2 ; -3,4; -2 ; -1; - 3 ; 0; Ц ; 2 — ; 3,75; . Определите множество А, А с М , если известно, что: а) А с 2; б) А с N1; в) А с ; г) А с ^ +; д) А с ^ - . 50. Запишите числа в порядке возрастания их модулей: 7 -3,5; 0; - 9 ; 0,7; -0,007; 1,3. 51. На числовой оси отмечены числа: а, Ъ, с и й. а < 0 7 ь Впишите соответствующий знак сравнения: Ъ й; с й; а с ; а Ъ; й 0; -а с; а 0; -Ъ й; -Ъ 0; 0 -а. 52. Найдите рациональное число а, если известно, что: а) | а | = 3,1; б) | а |= Ц ; в) | а | = 0; г) | а | = 2,(3); д) | а | = - 1| ; е) | а | = 0,99. 53. Отметьте на числовой оси чйсла, модули которых: а) 2,5; б) 2 ; в) 3 — . 54. Запишите числа в виде периодического десятичного числа: а) Й Г- б) 18' в) 2 1 5 ’ г) 9 3 140 Глава 3 55. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) -2 < < 2; б) 0,86 < < 0,862; в) 1,4 < < 1,5; ) 3 19 < < 3 18- ) 2 2 , ) 1 1 56. Даны множества: А = {х | х е Ж, - 1,2 < х < 3,7} и В = |х | х е Ж, - Ц < х < 153 Найдите: а) А I В; б) А ^ В. 57. Расположите числа в порядке возрастания: 7 0,466; 1 5 ; 0,4(63); 0,4637; 0,(46). 58. Сравните числа: а) 0,(545) Ц-; 2 б) - 2-2 ф -2,(212); в) - 7 8 ф -7,(72). 59. Истинно или Ложно? а) Если а > 2, то а > 0, а е б) Если а < 3, то а < 0, а е в) Если а > -10, то а < 0, а е * г) Если - 3,2 < а < -0,1, то а < 0, а е а . Для ложных высказываний приведите по одному примеру, показывающему, что высказывание не истинно. 2 60. Запишите каждое из чисел - 3 и -7,8 в виде суммы: а) двух отрицательных чисел; б) чисел с разными знаками. 61. Вычислите, переведя слагаемые в десятичные числа: 1 3 2 5 а) - 2-2 - 0,254; б) - 3 + 0,35; в) - 4,39 + 4 | ; г) 5 -1,1. 62. Подставьте вместо знак плюс (+) или минус (-), чтобы получить истинное высказывание: а) ( 0 , 9 ) + ( 3 , 7 ) = -2,8; б) ( 7 2 1 ^= - 2 . 63. Впишите пропущенное слагаемое, чтобы получить истинное высказывание: а) - 2,3 + (-7,7) + Ш = 0; б) 12 + ( - 3 1+ = 0. Рациональные числа 141 64. Найдите значение выражения, если известно, что а = -3,2 и Ъ = 1,8 : а) а + Ъ; б) | а | + Ъ; в) а + 1 Ъ |; г) | а + Ъ |; д) | а | + 1 Ъ |. 65. Сравните значения выражений | а | + 1 Ъ | и | а + Ъ |, если: 3 1 а) а = -2,8, Ъ = 1,3; б) а = - - , Ъ = - в) а = 7,1, Ъ = 4,8. Какими должны быть числа а и Ь, чтобы | а + Ъ |= | а | + 1 Ъ |? 66. Используя числовую ось, найдите расстояние между точками А и В, если: а) Д -3 ,7 ), Д -2 ,8 ); б) | я ( - - ± ^ ; в) А(-0,3), В(7,1). 67. Вычислите рациональным способом: а) А - 1 1 - А + А . ) 16 42 16 4 2 ’ б) - 4 + 1 3 + 2! - 4 в) -1,23 + 2,14 + 7,38 - 5,77 +1,62; г) - 9,39 + 0,74 -10,61 + 3,26 + 6,25. 68. Раскройте скобки и выполните действия: 5 Л ( 3 Л ( 4 а) 5 — 10,8 - 8 4 ; б) - ' 4 - - 8 + 7,6 8 V 7 5 \ 5 - - 6 9 12 V У + в) V4,8 - 5134 Н - 4 + 4 Л г) I 1- 1 1 - 2 - 3 - - 9 - ( 2 - 3 Л- 5 - 4 69. М агия чисел! 5 + 4 = 5 • -5; 4 4 3,5 +1,4 = 3,5-1,4; 3 +1,5 = 3-1,5. Найдите другие пары таких чисел. 70. Вынесите общий множитель за скобки и найдите значение выражения: а) - 4,8 • 8,9 + 8,9 • (-5,2); 6) -1,2 ( - 7 13 У- ( - 1’2) • 4 ; в) - 4 • 4 + V - 4 )• 4 5 10 3 г) - 32,3 • 7-10 + 213 • ( - 32,3). 2 71. Два муравья передвигаются по числовой оси. Первый муравей прошел расстояние от точки А(-7,2) до точки В(2,8) за 5 секунд, а второй муравей - от точки С(-10,1) до точки Д -4 ,1 ) за 2 секунды. Какой муравей двигался с большей скоростью? * * * % ----- ч----- -----------н-------------------1----------------------------------------1--------------- ► С А Б В 142 Глава 3 72. Выполните действия: а) б 33 - 2 3 К - 3 ! ] ■ б) 151 - 4 1:1 ■3! )• в) А +А 73. Найдите значение выражения: а) 2 6,75 - 4,5-1-3- ■13 V 6) А _ А 12 20 V ( в) \ _ 18+ ( - 2 V V 2 Л 9 _ 113 32 \3 (_0,2) •(_1,2). 74. В школьной секции по волейболу двум игрокам по 11 лет, трем - по 12 лет и одному игроку 14 лет. Какой средний возраст игроков волейбольной секции? 75. Масса четырех цыплят равна 5,5 кг, а шести - 7,4 кг. Найдите средний вес одного цыпленка. 76. Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22 года. Во время матча один из игроков был удален с поля. После этого средний возраст оставшихся игроков снизился до 21 года. Сколько лет выбывшему игроку? 77. Зная, что а и Ъ - рациональные числа, определите истинностное значение высказываний: а) Если а = Ъ, то | а | = | Ъ |. б) Если | а | = | Ъ |, то а = Ъ. в) Если а = -Ъ, то | а | = | Ъ | . г) Если а = Ъ, то | а | = Ъ. 78. Впишите такое число, чтобы получить истинное высказывание: а) 3 < б) - 4 < < 1 3 . 79. Запишите выражение а + Ъ - с - ^ в виде: а) суммы, где а + Ъ - первое слагаемое; б) разности, где а + Ъ - уменьшаемое. Рациональные числа 143 80. Известно, что а, Ъ, с - ненулевые отрицательные рациональные числа. Каким будет знак значения выражения аЪ — 100с ? 81. Частное двух чисел равно -1. Чему равна сумма этих чисел? 85. Семь гномов сидят вокруг костра. Известно, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому ростов двух гномов, сидящих рядом. Докажите, что все гномы одного роста. 83. Расположите в порядке возрастания значения выражений: 84. Чему равно минимальное значение выражения: а) (а — 0,5)2 — 7,2; б) 4,3 + (л + 1,1)4 ? 86. В баскетбольной команде 5 человек. Их средний рост 2,04 м. После того как одного члена команды заменили новым игроком, средний рост игроков команды вырос до 2,08 м. Какой рост у нового игрока, если рост выбывшего равен среднему арифметическому ростов игроков команды? 87 87. В Стране Лилипутов Гулливер выше лилипута в 12 раз, а в Стране Великанов Гулливер ниже великана в 12 раз. Можно ли утверждать, что рост Гулливера равен среднему арифметическому ростов лилипута и великана?

Десятичные числа. 5 Действия с десятичными числами

 2.1. Десятичные числа. Сравнение десятичных чисел 2 7 = 3 2 7 3 1 0 0 3 , 2 7 десятичное число 1 1 Пишем: целая часть 12 7 3 5 , 7 3 5 десятые сотые тысячные дробная часть Читаем: Двенадцать целых и семьсот тридцать пять тысячных, или: Двенадцать, запятая, семьсот тридцать пять. 5,2 = 5 ,2 0 = 5 ,2 0 0 В конце десятичного числа можно приписывать любое количество нулей. ф/ На соревнованиях по плаванию немецкий спортсмен проплыл 100 м за 52,8 с, а испанский - за 52,87 с. У кого из спортсменов результат лучше? Решение: Результат лучше у того спортсмена, который проплыл данное расстояние за более короткое время. Чтобы сравнить два десятичных числа: ® сначала сравниваем их целые части: а) больше то число, у которого целая часть больше; б) если целые части равны, то: © сравниваем десятые: а) больше то десятичное число, у которого число десятых больше; б) если десятые равны, то: © сравниваем сотые и т. д. Получаем: 52,87 > 52,8. Значит, результат немецкого спортсмена лучше. 52,87 52,8 52,87 52, 52,8 7 52, И 7 > 0 102 Глава 3 Запишите названия рек в порядке возрастания их длин. Название реки Длина реки (тыс./км) Днепр 2,201 Днестр ‘ •352 А Дунай 2,857 2.2. Сложение десятичных чисел ф Заяц Барни в феврале съел 28,7 кг моркови, а в марте - 32,46 кг. Сколько килограммов моркови съел Барни за эти два месяца? Решение: 28,7 кг + 32,46 кг = кг 28,70 + 32,46 ■ I , I Ответ: кг. Чтобы сложить два десятичных числа, надо: ® записать одно число под другим следующим образом: целая часть под целой частью, запятая под запятой, дробная часть под дробной частью и дописать нули в дробной части, чтобы уравнять количество знаков после запятой в обоих числах; ® выполнить сложение, не обращая внимания на запятую; ® поставить в ответе запятую под запятыми. 125,80 + 1 2 , 0 3 — 137,83 Рациональные числа 103 2.3. Вычитание десятичных чисел ф Среднемесячная прибыль с первой фирмы Скруджа Макдака составляет 483,86 тысячи долларов, а со второй - на 16,4 тысячи долларов меньше. Какова среднемесячная прибыль со второй фирмы? Решение: 438,86 -16,4: - 438,86 - 16,40 Ответ: тысячи долларов тысячи долларов. Чтобы выполнить вычитание двух десятичных чисел, надо ® записать одно число под другим следующим образом: целая часть - под целой частью, запятая - под запятой, дробная часть - под дробной частью; ® дописать, если это необходимо, нули в дробной части, чтобы уравнять количество знаков после запятой в обоих числах; ® выполнить вычитание, не обращая внимания на запятую; ® поставить в ответе запятую под запятыми. 1 1 1 , 1 4 1,21 - 30,80 — 110,41 2.4. Умножение десятичных чисел Ц В январе семья Ботнару израсходовала 225 кВт электроэнергии. 1кВт электроэнергии стоит 1,33 лея. Сколько леев должна заплатить семья Ботнару за использованную электроэнергию в январе? Решение: 1,33 • 225 = лея. Ответ: лея. х 1Ш ^ -----2 2 2 5 десятичных 6 6 5 знака 26 6 ■ ■ ■ / ■I , 2 5 104 Глава 3 6,2| 8; в) 5,4| 8 > 5,49; г) 3 М > 3,78; д) 1,1| 8 > 1,192; е) 1,895 < 1,И 957. 34. Из села Албинуца до села Фрумушика можно проехать по разным дорогам. Какой путь самый короткий? 35. Впишите такие числа, чтобы сумма чисел по горизонтали, по вертикали и по диагонали была равна 3: 36. Впишите соответствующие цифры: б) 1 ,5 3 ,5 Ц + 6, 9 18 1 0 5 ,2 3 2 0 , 27 0 ,0 4 1 а) + 17, 4 37. Впишите соответствующие цифры: а) _ 7 2 , | | б) _ 9 , 7 | 5 3 7 5 9 0 4 .1 6 2 ,6 9 3 4 ,8 4 1 Рациональные числа 113 38. Восстановите цепочку действий: 2,4 + 0,8 _ 0 -О,О6^ ^ +1Д 1 +1,78 -5,14 39. Впишите соответствующий знак сравнения: а) 49,41 + 0,0009 49,42 - 0,001; б) 0,7001 + 0,0039 0,7431 - 0,039; в) 67,002 - 56,003 10,0999 + 0,8991. > 2 ' ' *ГЧ 40. М агия ч и сел! Числа 2,75 и 8 обладают следующим свойством: их произведение равно сумме их цифр. 2,75 • 8 = 2 + 7 + 5 + 8 = 22. Найдите хотя бы еще одну пару чисел, обладающих таким же свойством. 41. Вычислите: а) 5,6 • 0,08 + 2,23 • 2,4; б) (46 - 34,17) • 0,09; в) (3,126 -1,7) • (0,15 + 7,4); г) (9,38 + 5,12) • (8,4 - 3,24). 42. Хозяйка продала 15,8 кг вишни по цене 8,5 лея/кг и 20,6 кг слив по цене 7,5 лея/кг. За какие фрукты хозяйка выручила больше денег и на сколько? 43. Составьте и решите задачу, используя данные рисунка. 3 ч с— 5 ч 48,4 км/ч 56,6 км/ч 44. В таблице приведены суточные нормы белков, жиров и углеводов на 1 килограмм веса ребенка в возрасте 11-15 лет. Белки Жиры Углеводы 2,6 г 2,3 г 10,4 г Вычислите, сколько белков, жиров и углеводов: а) необходимо в день ребенку, вес которого 36,9 кг; б) необходимо в день вам. 114 Глава 3 45. Впишите знаки арифметических действий: 1.8 0,5 0,2 = 2,5; 1,8 0,5 0,2 = 1,5; 1.8 0,5 0,2 = 0,26; 1,8 0,5 0,2 = 0,46; 1,8 0,5 0,2 = 1,9. 46. Найдите значение выражения: а) 40 - (2,0592:0,072 -19,63); б) 50 - (2,3256:0,068 - 9,38); в) 7,67 : 0,65 - (0,394 + 0,7688): 0,57; г) 6,63:0,85 - (34 - 30,9248):0,62. 47. Восстановите цепочку вычислений: а^ 9^ _ ■ — < 5 ^ — ! ■ б>( ^ — •— - 6 7 3 6 + в) 48. 49. Основанием пирамиды Хеопса является квадрат со стороной 230 м. Восхищенные туристы двигаются со скоростью 0,32 м/с. Успеют ли они обойти всю пирамиду за один час? Из отрезка проволоки сделали треугольник со сторонами 7,5 см, 8,3 см и 9,4 см. Если из того же отрезка проволоки сделать квадрат, какой длины будет его сторона? 50. Какая из кошечек, белая или черная, раньше разбудит собаку? На сколько минут раньше? V = 3,8 км/ч у2 = 3,5 км/ч --------------- 5! = 380 м 5 2 = 1 7 5 м Рациональные числа 115 51. На рисунке указаны измерения комнаты Даши. Учитывая, что пол комнаты прямоугольный, и используя данные рисунка, определите: а) сколько квадратных метров ковролина необходимо, чтобы покрыть весь пол; б) сколько рулонов обоев понадобится, чтобы оклеить три стены комнаты (без стены с окном и дверью), если длина одного рулона обоев 10 м, а ширина 0,55 м? 52. Запишите периодическое десятичное число в виде дроби: а) 123,(18); б) 6,02(78); в) 2,(135); г) 16,2(14); д) 6,25(8); е) 30,02(78). 534 53. Составьте задание, подобное заданию 19 (с. 112), используя умножение десятичных чисел. 54. а) Ювелир поделил золотую проволоку на две части одинаковой массы. Из одной части он изготовил цепочку из 80 одинаковых звеньев, а из другой - цепочку из 100 одинаковых звеньев. Масса одного звена первой цепочки 0,12 г. Какова масса одного звена второй цепочки? б) Составьте и решите задачу, подобную задаче пункта а), в которой надо найти число звеньев первой цепочки. 55. Из одного улья одновременно вылетели в противоположных направлениях две пчелы. Через 0,15 часа расстояние между ними составило 6,3 км. Скорость одной из пчел 21,6 км/ч. Найдите скорость второй пчелы.