Пропорции

 Г осподин Копейкин решил купить сок из тропических фруктов и, как всегда, подешевле. Рассмотрите данные рисунка и помогите ему выбрать. Решение: 750 мл= 0,75 л Какая цена ниже? 2 л 0,75 л 24 лея 9 леев Цена = Стоимость Количество 24 лея > 2 ' ' 9 леев 2 л 0,75 л 1 * Г Ч 1 I леев/л Равенство ^ = - ± - является пропорцией. леев/л. й"Розьмите из ззметк ♦ Равенство двух отношений называется пропорцией. ♦ Четыре числа, образующие пропорцию, называются членами пропорции. ♦ Числа а и й пропорции а С называются крайними О (Л членами, а числа Ъ и с - средними. Читаем: „а так относится к Ъ, как с относится к й”. а Ь с а а : Ь = с : а Щ крайние средние Сравните произведение крайних и произведение средних членов пропорции: а) 18 = 1,2 . а) 6 = 0,4’ 3 1 ^ и О 1 ^ Решение: а) 18 1,2 18 } 6 0,4 6 о II II - 4 б) 2,5 б) Т = 10 158 Глава 4 возьмите на заметь 1/1 7 Основное свойство пропорции Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних, а с 1 то есть, если — = — , то а • а = Ь • с. ъ а ^ Найдите неизвестный член пропорции: ■003 = 40.. Решение: Используя основное свойство пропорции, получим: 0,3 • 40 = 0,2 • х. Отсюда: х = 0 ^ = 60. 0,2 Ответ: х = 60. 41 а) Можно ли из чисел 4, 36, 18, 8 составить пропорцию? б) А из чисел 16, 2, 4, 12? Решение: Расположим числа в порядке возрастания: а) 4, 8, 18, 36; б) 2, 4, 12, 16. ® Сравним произведение наибольшего и наименьшего числа с произведением двух других чисел: а) 4 ■ 36 \ 144 8 ■ 18] \ 144 б) 2 ■ 16 Ф \ 4 ■ 12] \ 32 Ф 48 Ответ: а) Да, можно составить. Напри- б) Нет, нельзя составить. 4 18 мер, пропорцию ^ = 3 6 . • Составьте и другие пропорции из чисел: 4, 8, 18, 36. 7 возьмите на заметк Из четырех чисел можно составить пропорцию тогда и только тогда, когда произведение наименьш его и наибольш его чисел равно произведению двух других чисел. Отношения и пропорции 159 Масштаб карты равен 1 : 25000000. Чему равно расстояние между Кишинэу и Варшавой, если на карте оно составляет 3,5 см? Решение: Пусть х - искомое расстояние. Составляем пропорцию: 1 = 3,5 25000000 х ♦ х = 3,5 • 25000000 (см) = 87500000 (см) = 875 (км). Ответ: 875 км. / Значит, если масш таб рисунка 1: а , то реальные размеры будут в а раз больше нарисованных. в Дана пропорция 2 7 _6 21. Что получится, если: а) поменять местами крайние члены; б) поменять местами средние члены; в) перевернуть отношения пропорции? Решение: 160 Глава 4 • Обратите внимание на правила и составьте производные пропорции, 5 10 которые можно получить из пропорции = . 4 8 Приравниваем одно из отношений к отношению, числитель которого равен сумме числителей отношений, а знаменатель - сумме знаменателей: а а + с Прибавляем числители к знаменателям: а = с Ъ + а ё + с Ъ Ъ + ё Прибавляем знаменатели к числителям: а + Ъ = с + ё ~ Ь ~ ~ ~ ё ~ Вычитаем из знаменателей Вычитаем из числителей числители а с знаменатели:: а - Ъ с - ё Ъ - а ё - с (а < Ъ) Ъ ё (а > Ъ) Упражнения и задачи I □ □ ■ 1. Назовите крайние и средние члены пропорции: , 4 _ 2 . 5 15. , 0,4 _ 2. а) 9 4, 5 ; б) 3 9 ; в) 0, 6 3 ; г) 7 21 ? 6 1,8 ' 2. Составьте пропорции из отношений: а) 1 , 0,3 , 6 , 0,5 4 0,3 , 10 , 1,5. 4 , 6 ’ 8 ’ 10 ' 9 , 1,2 , 22,5 , 2 1,4 7 , 1,8 0,09 0,63 6 2 0,2’ 0,28 , 6 0,3 , 0,09, 1,8, 0,08 30 9 ' 3. Запишите пропорцию, значение каждого отношения которой будет равно: а) 3; б) 5; в) 0,4; г) 1,5; д) 2. 3 ; е) 6. 5 ’ ж) 1. 4. Найдите неизвестный член пропорции: ч 2 8 х 2 ч 2 5 а) х = 4 ; б) 27 = 3 ; в) 5 = X • г) 0,8 х 1,6; х 3 д) 4 = 10' Отношения и пропорции 161 5. Р Т в А Ежик составляет пропорции, умножая или деля числитель и знаменатель отношения на любое ненулевое число. Составьте и вы пропорции, используя отношения: ) 1 б) 8 а) ТО’ б) 5 ' 2 • 0,5 2 / 5 • 0,5 5 ^ 2:0,4 5:0,4 в) 4. 9 ’ 2 1 г) 0 6 1,2' 6. Данные числа являются членами некоторой пропорции. Запишите эту пропорцию: • Сколько решений у этой задачи? 7. Используя равенство произведений, составьте пропорции: а) 6 16 = 48 • 2; б) 12 12 = 18 • 8; в) 2,4 • 5,8 = 3,48 • 4; г) 0,9 • 0,27 = 0,81 • 0,3. 8. Можно ли составить пропорцию из данных чисел? а) 6 18 15 5 ; б) 14 50 10 70 ; в) 16 20 30 1 4 ; г) 7,5 1,2 15 0,6 ; д) 8 6 15 18 . 9. Компания „ Роснефть “ за 24 часа продала 9 700 000 барелей нефти, получив при этом прибыль в 523 800 000 $, а компания „Парсойл“ продала за это же время 6 400 000 барелей нефти, получив 345 600 000 $. а) Впишите данные задачи, чтобы получить пропорцию: 523 800 000 б) Что представляет собой величина каждого соотношения пропорции? 162 Глава 4 10. Пусть й - расстояние на карте между населенными пунктами А и В. Найдите реальное расстояние АВ на местности, если: а) й = 15 см при масштабе 1 : 10000; б) й = 6,5 см при масштабе 1 : 20000; в) й = 8 см при масштабе 1 : 50000; г) й = 5,5 см при масштабе 1 : 30000. ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11. Составьте производные пропорции (состоящие из тех же членов) из пропорции: ч 4 1 18 9 а) 8 = 2 12. Вычислите: б) 12 6 ’ в) 0 4 = 1 2 . в) 1,6 4,8 ’ Ъс а с а) 15 + , если = . аа Ъ а б) ас и Ъй, если а с = 2 и а • Ъ • с ■ а = 900. Ъ а г) 52 = 4 65 5. 13. Значение отношения длины окружности к ее диа22 метру приблизительно равно — . Вычислите (приблизительно): а) длину окружности, диаметр которой 10 см; б) длину окружности, диаметр которой 1 см; в) диаметр окружности, длина которой 10 см; г) радиус окружности, длина которой 1 см. 14. Докажите, что если члены пропорции являются натуральными числами, то их произведение - это точный квадрат. 15. Измерьте соответствующую длину на рисунке и найдите эту длину в действительности: а) б) Масштаб 1 : 400 Масштаб 1 : 95 16. Нарисуйте окружающие вас предметы в масштабе 1 : 200. Отношения и пропорции 163