Задания для осмысления

 Что называют отношением двух чисел? 2. Приведите примеры отношений из повседневной жизни. 3. Спросите у родителей и укажите, чему равно отношение количества сахара к фруктам, использованным для приготовления варенья, компота. 4. Чем отличается отношение от дроби? 5. Сформулируйте примеры отношений из физики, экономики, геометрии, кулинарии. 6. Что представляет собой пропорция? 7. Запишите все пропорции, которые можно получить из пропорции а = С . 8. В каком случае из четырех ненулевых чисел можно получить верную пропорцию? 9. Приведите свои примеры пропорций из разных областей знания. 10. Какие величины называются прямо пропорциональными? 11. Приведите примеры прямо пропорциональных величин из разных областей знания. 12. Дополните предложения, чтобы получить истинные высказывания: а) „ Зарплата родителей прямо пропорциональна .. б) „Расстояние, пройденное автомобилем, прямо пропорционально . и . “ 13. Составьте задачу, которую можно решить, используя Простое правило трех. 14. Какие величины называются обратно пропорциональными? 15. Приведите примеры обратно пропорциональных величин из разных областей знания. 16. Что такое 1%? 3 17. Верно ли, что — = 75 % ? Обоснуйте ответ. 18. „Газ в Республике Молдова подорожал на 12%“. Объясните смысл этого высказывания. 19. Какие типы задач на проценты вы знаете? 20. Как найти процент р % от числа п? 21. Как найти число, зная, что число т составляетр % от искомого числа? Отношения и пропорции 193 22. Как найти д % от р %? 23. Составьте задачу по каждому типу задач на проценты. 24. Приведите примеры применения процентов в разных областях знания. 25. Для чего нужны проценты? 26. Приведите примеры событий: достоверных, невозможных, возможных. 27. Как можно представить статистические данные? Упражнения и задачи на повторение ■ -------------------------------------------------------------- 1. 2. Вычислите значение отношения: ч 2 а) 5 ; б) 2 в) 0,504, 1,4 : Запишите три отношения, равные отношению: ) 1 . б) 9. ) 1,2 . ) а) 7 . б) 4 . в) 0 4 ’ г) г) 4,35 2,9 • _01 11,1' 3. Сравните числа а и Ъ, если: а) » = 0,93. б) | = -2015.; в) а =1,6»; г) » = 0,99а. д) а > 1, е) а < 1 . 4. Найдите значение отношения между: а) количеством дней в январе и в августе; б) количеством дней недели и дней весенних месяцев; в) своим ростом и ростом соседа по парте; г) количеством страниц в учебниках по математике и физике. 5. Сравните с помощью отношения: а) возраст родителей; б) свой вес и вес соседа по парте; в) измерения учебника по математике; г) валютный курс доллара и евро. 6. Восстановите последовательность равных отношений: я) 5 = 20 = ■ = _10 = ■ . а) 6 ■ 36 9 ’ в) - 9 . = - ! - = Л = ■ . в) ■ ■ 16 2 2 ’ б) ■ = = ■ = 8,4 = ■ = 49. ) 0,5 ■ 2 ■ 9,6 7 ’ , 1 2 3 4 г) ■ ■ ■ ■ 194 Глава 4 7. Сравните цены. а) 3 кг пшеничной муки стоят 26 леев, а 2 кг кукурузной муки - 17 леев. б) 1,5 л томатного сока стоят 11,4 лея, а 2 л яблочного сока - 14,6 лея. в) 0,8 м2 керамической плитки стоят 65 леев, а 1,2 м2 паркета - 98 леев. г) 5 м железной трубы стоят 140 леев, а 3 м оцинкованной трубы - 100 леев. 8. Восстановите пропорцию: а) 8 _ _ . б) _ _ 5. а) 9 _ 1 8 ’ б) 6 _ 4 ’ в) 2,4 _4_ 1,6’ г) 10 _ _2_ 0,4 9. Определите, являются ли данные числа членами пропорции: а) 18 4 2 9 ; в) б) 1 7 3 21 ; г) I2 5 6 I0 . 10. Из 25 л молока получают 3 л сметаны. а) Сколько сметаны получится из 75 л молока? А из 180 л? А из 500 мл? б) Сколько молока потребуется, чтобы получить 4,5 л сметаны? А 600 мл? А 500 мл? 11. Фермер вскопал землю вокруг 5 деревьев за 30 минут. Если он будет продолжать работать в том же темпе, за какое время он вскопает землю вокруг 150 деревьев? 12. В таблице представлены данные о скорости и времени прохождения одного и того же расстояния разными видами транспорта. Перечертите и заполните таблицу: Скорость (км/ч) 40 90 120 50 10 200^ Время (ч) 3 2 4 6 8 Л 13. Девочки составляют 55% всех учеников школы. Чему равно отношение числа мальчиков к числу девочек? 14. Запишите в процентном отношении: 1 7 9 15 1 5 а) 4 ’ б) 2 5 ’ в) 1 0 ’ г) У ’ д) 0,91; е) 2,14; ж) 1 4 ’ з) 2 8 ' 15. Сколько процентов составляют: 4 2 1 1 а) 5 от 12; б) 9 от 3 ’ в) 25 от 40; г) 1^ от 2 9 ? 16. а) Уменьшите сумму в 180 леев на 15%. б) Уменьшите сумму в 240 леев на 20%. в) Увеличьте сумму в 2 100 леев на 25%. г) Увеличьте сумму в 1 480 леев на 30%. Отношения и пропорции 195 17. Из 2500 семян взошли 2175. Найдите процент всхожести семян. 18. Провели эксперимент: „Выбрали наугад одну цифру1“. Приведите два примера событий: а) достоверных; б) невозможных. 19. В коробке 16 зеленых и 14 синих карандашей. Какое из событий имеет больше шансов наступить: А: „Извлекли наугад зеленый карандаш“ или В: „Извлекли наугад синий карандаш”? ■ ----------------------------------------------------------------------------------------------- 20. Телевизор потребляет 180 ^ (читаем „ватт“) электроэнергии за 3 часа. Сколько электроэнергии будет израсходовано работающим телевизором за 5 часов? А за 8 часов? 21. Фотографию размером 5 см на 6 см пропорционально увеличили таким образом, что ее длина стала 108 мм. Какова теперь ширина фотографии? 22. В таблице указаны тарифы телефонных переговоров для двух пакетов. Пакет Включенные минуты Абонемент (леев) Тариф за дополнительные минуты (банов) Стандарт 300 24 9,6 Эконом 200 6 24 Господин Копейкин за месяц в среднем расходует 200 мин телефонного времени, а его квартирант Иван - 250 мин в среднем. а) Какой пакет более удобен для них? б) Какую сумму денег должен заплатить каждый из них за телефон? (Рассмотрите оба случая.) 23. Увидев персидский ковер размером 3 м на 4 м и стоимостью 4080 леев и индийский ковер размером 2,5 м на 4,5 м стоимостью 3 825 леев, господин Копейкин сделал вывод, что персидский ковер дороже индийского (хотя их периметры одинаковы!). Прав ли господин Копейкин? 24. Известно, что — = 3,4 и — = 17. Найдите У У 2 25. Отношение двух натуральных чисел - —, а их разность - 3. Найдите эти числа. 196 Глава 4 26. П рои зведен и е двух натуральны х чисел - 96, а значение их отн ош ения - 1,5. Н айдите эти числа. 27. Значение отнош ения двух чисел - 5,92, а их сумма - 17,3. Н айдите эти числа. 28. Величины х и у прямо пропорциональны . Зная, что если х = 8, то у = 3, найдите: а) значение у , если х = 12; б) значение у , если х = 2; в) значение х , если у = 30; г) значение х , если у = 0,9. 29. Величины и и V о б р а т н о п р оп ор ц и он ал ьн ы . Зная, что если и = 12, то V = 2 0 , найдите: а) значение V, если и = 5; б) значение V, если и = 8; в) значение и, если V = 60; г) значение и, если V = 3. 30. Зарплата рабочего составляла 1 600 леев. Сейчас он получает 2 320 леев. Н а сколько процентов вы росла зарплата рабочего? 31. Зарплата учителя составляла 1 800 леев. Ее повысили на 35%. К акова теперь зарплата учителя? 32. Практическая работа. П роведите экскурсию в ш кольной библиотеке и оп р едел и те число книг, и здан н ы х на разн ы х язы ках. П р едставьте полученны е данны е при помощ и: а) таблицы; б) круговой диаграммы; в) столбчатой диаграммы . 33. П риведите прим еры использования представления данн ы х ваш ими родителями в их проф ессиональной деятельности. 34. М иш а потратил 20% всей суммы своих денег. Н а сколько процентов он долж ен увеличить оставш ую ся сумму денег, чтобы получить первоначальную сумму? 35. О дно число составляет 80% от другого числа. Сколько процентов составляет второе число от: а) первого; б) их суммы? э х у 2 х + у + 2 36. Зная, что = = = 5, найдите: а) ; а Ъ с а + Ъ + с х 2 37. Д ана пропорция: — = 9 . Найдите: ч х + у х ч х + 2 а) ; б) ; в) б) 2 , 2 , 2 х + у + 2 а 2 + Ъ2 + с 2 у х + у у + 9 ’ г) 3х + 4 у 38. Д ана пропорция 4 = 5.. Н айдите каж дое из отнош ений пропорции, если а + Ъ = 27. Отношения и пропорции 197 Итоговый тест Время выполнения работы: 45 минут I вариант 1. В соревновании участвуют 80 спорт3 сменов, из которых 5 - девушки. а) Истинно или Ложно? 3 „ „ 5 - рациональное число. б) Определите, какой процент от всех спортсменов составляют девушки. в) Вычислите значение отношения между количеством юношей и количеством девушек, участвующих в одном из забегов, если в этом забеге участвовало на 12 девушек меньше, чем общее количество девушек. 2. Даны числа: 6; 0,4 и 1,6. Впишите такое число, чтобы полученное высказывание стало истинным: 6 = ” „ 0,4 16 ' Обоснуйте ответ! 3. Масштаб карты равен 1:5000000. Найдите расстояние от города Бричень до муниципия Кишинэу, если на карте оно равно 4,8 см. II вариант 1. В олимпиаде участвуют 60 учащих3 ся, из которых — - юноши. а) Истинно или Ложно? „60 - целое число.” б) Определите, какой процент от всех участников составляют юноши. в) Вычислите значение отношения между количеством юношей и количеством девушек, участвующих на одном из этапов олимпиады, если на этом этапе участвовало на 8 юношей меньше, чем общее количество юношей. 2. Даны числа: 8; 0,5 и 2,5. Впишите такое число, чтобы полученное высказывание стало истинным: _8_= 0 5 ” 2,5' Обоснуйте ответ! 3. Масштаб карты равен 1: 4000000. Найдите расстояние от муниципия Кишинэу до города Кахул, если на карте оно равно 4,3 см. 4. В V классе 30 учащихся, в VI - 28 учащихся, в VII - 32 учащихся, в VIII - 30 учащихся, а в IX классе - 36 учащихся. а) Представьте эти статистические данные в виде таблицы. б) Представьте в виде столбчатой диаграммы эти статистические данные. 3 4. В V классе 18 учащихся, в VI - 24 учащихся, в VII - 30 учащихся, в VIII - 18 учащихся, а в IX классе - 28 учащихся. а) Представьте эти статистические данные в виде таблицы. б) Представьте в виде столбчатой диаграммы эти статистические данные. Схема оценивания теста О ц ен ка 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 С ум м а баллов 27-26 25-24 23-21 20-17 16-12 11-8 7-6 5-4 3-2 1-0

Элементы теории вероятности и представление данных

 Бросают игральную кость. Каковы шансы (вероятность) выпадения грани с: а) 8 очками; б) 4 очками; в) количеством очков меньше 7? Решение: Бросание игральной кости - это эксперимент. В результате этого эксперимента могут наступить или не наступить события, связанные с этим экспериментом. а) Событие „Выпадет грань с 8 очками“ не имеет шансов (вероятности) наступить, так как на каждой грани игральной кости не больше 6 очков. Говорим, что это событие невозможное, а шанс (вероятность) наступления равен 0. б) Событие „Выпадет грань с 4 очками“ имеет шанс (вероятность) наступить. Говорим, что это событие возможно (или случайно). в) Событие „Выпадет грань с количеством очков меньше 7“ обязательно наступит, поэтому говорим, что это событие достоверно, а шанс (вероятность) наступления равен 1. возьмите на заметк В жизни встречаются разные эксперименты. Результат эксперимента называется событием. События могут быть: ♦ достоверными Шанс (вероятность) наступления равен 1. ♦ невозможными ♦ случайными Шанс (вероятность) наступления равен 0. Шанс (вероятность) наступления равен числу больше 0, но меньше 1. Решаем и поясняем В барабане одинаковое количество белых и черных шаров. Из барабана наугад извлекают один шар. Дополните предложения: 1) Событие „Извлечен белый ш ар“ является событием. Отношения и пропорции 187 2) Событие „Извлечен черный ш ар“ является событием. 3) Событие „Извлечен зеленый ш ар“ является событием. 3) Шансы (вероятность) наступления событий 1) и 2) равны . 7.2. Представление данных ^ сЭ уемТ у зизе^ Ученики VI класса получили следующие оценки за выполнение контрольной работы по математике: две „4“, шесть „5“, четыре „6“, четыре „7“,три „8“, две „9“ и четыре „ 10“. Представьте в виде таблицы данные об оценках за контрольную работу. Решение: Оценка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 К-во оценок 0 0 0 2 6 4 4 3 2 4 В таблице записаны результаты проведения контрольной работы по математике в VI классе. В этом случае говорят, что выполнен статистический анализ, сбор и регистрация данных. 7 возьмите на заметку М атематическая статистика - это наука, занимающаяся сбором, регистрацией, обработкой, анализом и интерпретацией данных, относящихся к некоторому явлению (из экономики, социальной жизни, метрологии, сельского хозяйства, биологии и др.). Статистические данные можно представить с помощью: • таблиц; • графиков (рис. 3); • диаграмм (квадратных, столбчатых, круговых и др.) (рис.1, рис.2, рис. 4). Решаем и поясняем • Представьте с помощью столбчатого графика результаты проведения контрольной работы по математике из задачи ^ . Решение: Графическое представление дано на рисунке 1. Проанализируйте этот рисунок. 7 К-во оценок 5 3 1 1 ------► 1 3 5 7 9 Оценка Рис. 1 188 Глава 4 В школьной библиотеке 50% книг на русском языке, 25% на румынском, 10% на английском и 15% книг на французском языке. Представьте эти данные с помощью круговой диаграммы. Решение: Графическое представление дано на рисунке 2. П роанализируйте этот ри ­ сунок. На графике, изображенном на рисунке 3, представлено помесячное количество сока, изготовленного на заводе за первое полугодие 2017 года. Проанализируйте этот график. Прокомментируйте создавшуюся ситуацию на заводе в первом полугодии. Какие рекомендации вы можете дать администрации завода? Книги на английском языке Рис. 2 Упражнения и задачи ■ ------------------------------------------------------------------------------------------------ 1. Приведите по два примера экспериментов и событий, связанных с этими экспериментами (достоверных, невозможных, случайных). 2. Провели эксперимент „Бросание баскетбольного мяча в корзину“. а) Сформулируйте события, связанные с этим экспериментом. б) Являются ли эти события достоверными? Невозможными? Случайными? в) Каковы шансы наступления сформулированных событий. 3. В коробке 12 красных и 12 синих карандашей. Наугад взяли один карандаш из коробки. а) Сформулируйте события, связанные с этим экспериментом. б) Определите шансы наступления каждого события. Сделайте выводы. 4. Приведите примеры экспериментов и определите возможные события, связанные с этими экспериментами. Отношения и пропорции 189 5. В коробке с леденцами красного, желтого и зеленого цвета половина конфет красного цвета, четверть - желтого цвета, а остальные - зеленого. Наугад извлекается одна конфета. а) Какой из этих цветов более вероятен при извлечении одного леденца? б) У конфет какого цвета одинаковые шансы быть извлеченными? 6. Соберите статистические данные относительно роста учащихся вашего класса. Представьте полученные данные: а) в виде таблицы; б) в виде столбчатого графика. 7. На рисунке 4 представлены в виде столбчатой диаграммы продажи учебников в книжном магазине за неделю. а) Сколько всего было продано учебников? б) Найдите процент проданных учебников за каждый день. в) В какой день было продано больше всего учебников? 8. В таблице представлено количество пациентов поликлиники за один день. а) Представьте в виде столбчатой диаграммы эти статистические данные. б) Вычислите процент пациентов за каждый период времени. в) В какой период времени поликлинику посетила большая часть пациентов: до обеда (до 13 часов) или после него? На сколько процентов больше? Период времени К-во пациентов с 9 до 10 88 с 10 до 11 102 с 11 до 12 185 с 12 до 13 80 с 13 до 14 110 с 14 до 15 164 с 15 до 16 76 с 16 до 17 58 190 Глава 4 ■ ------------------------------------------------------------------------------------------------ 9. Монету бросают 20 раз. а) Определите события, связанные с выпадением орла или решки при бросании монеты. б) Каковы шансы наступления данных событий? в) Повторите этот эксперимент еще 20 раз. Сделайте вывод. 10. Бросают игральную кость. а) Сформулируйте хотя бы 6 случайных событий этого эксперимента. б) Сформулируйте хотя бы 3 достоверных события этого эксперимента. в) Сформулируйте хотя бы 2 невозможных события этого эксперимента. 11. Из 24 сыгранных матчей футбольным клубом „У дача“ 11 матчей выиграно и 8 ничьих. Из 24 сыгранных матчей футбольным клубом „ Успех “ 14 матчей выиграно и 5 ничьих. За каждую победу команда получает 3 очка, а за ничью - 1 очко. Осталось сыграть 5 матчей. Какой из двух футбольных клубов имеет больше шансов занять первое место в чемпионате? 12. Имеют ли равные шансы наступления следующие события, связанные с экспериментом „Бросание игральной кости “: а) „выпадут 8 очков“ и „ выпадут 12 очков“; б) „выпадет 2 очка“ и „выпадут 6 очков “; в) „выпадет четное число очков“ и „выпадет нечетное число очков“? 13. В коттеджном поселке 350 домов: 210 из них - одноэтажные дома, 120 - двухэтажные дома и 20 - трехэтажные. а) Представьте эти данные в виде таблицы. б) Представьте эти данные с помощью столбчатой диаграммы. 14. Практическая работа. Определите количество разноуровневых домов вашего квартала и представьте полученные данные с помощью столбчатой диаграммы. 15. Практическая работа. Представьте в виде круговой диаграммы в процентах наличие в вашей домаш ней 50 % библиотеке книг, 40 % изданных на разных языках. 16. На диаграммах, изображенных на рисунке 5, допущены ошибки. ________________ Найдите их и по- Учебники Художественные Словари стройте правиль- книги ные диаграммы. а) Р и с . 5 б) Отношения и пропорции 191 17. Представьте в виде столбчатой диаграммы следующие данные: - расстояние от Солнца до планеты Меркурий ~ 58 миллионов км; - расстояние от Солнца до планеты Венера ~ 108 миллионов км; - расстояние от Солнца до планеты Земля ~ 150 миллионов км; - расстояние от Солнца до планеты Марс ~ 228 миллионов км. (Возьмите за 1 см 10 миллионов км.) 18. а) Представьте в виде столбчатой диаграммы следующие данные: - длина реки Днестр - 1 400 км; - длина реки Днепр - 2200 км; - длина реки Дон - 1 900 км; - длина реки Волга - 3 500 км. б) Определите, по территории каких стран протекает каждая река. в) Найдите, округлив до десятых, во сколько раз Днестр короче Днепра. г) Определите, округлив до десятых, во сколько раз Волга длиннее Днепра. 19. Представьте следующие данные в виде круговой диаграммы, а затем в виде столбчатой: а) В селе 120 домов, из которых 25 - покрыты шифером, 35 - черепицей, а у 60 домоы крыши дощатые. б) В коробке с цветными карандашами 12 красных, 8 синих, 5 черных и 15 желтых карандашей. 20. В урне 50 шаров, пронумерованных числами 1,2,3,_,50. Выбирают наугад один шар. Какое из событий имеет больше шансов наступить: 1) „Выбрали шар с числом, которое при делении на 5 дает в остатке 1“; 2) „Выбрали шар с числом, которое является точным квадратом “. 21. Приведите три примера экспериментов, события которых имеют равные шансы произойти. 22. Представьте в виде столбчатой диаграммы количество учащихся во всех классах вашей школы. 23. Проведите какое-либо исследование с одноклассниками и представьте полученные данные наиболее удобным способом.

Решение задач на проценты

 При производстве муки из пш еницы получаю т 80% муки, остальное - отруби. Сколько муки получится из 200 кг пшеницы? Решение: 80% от 200 кг пшеницы составляют Ответ: кг. - 9 кг 80% 80 • 200 = ^ 15е ежемесячного дохода семьи составляют 900 леев. Каков месячный доход семьи? Решение: 1 способ Метод приведения к единице: Если 15% дохода составляют 900 леев, то1% дохода составляют: 900 леев : 15 = 60 леев. Значит, доход: 100 ■ леев = леев. 2 способ Простое правило трех: 15% ---- 900 леев 100% ---- х леев 15 _ Ш 100 _ ' 100 х _ ■ (леев). Ответ: леев. Как найти число, зная, что число т составляет р% от искомого числа? Нужно найти число 100 • т. Р 182 Глава 4 Гонорар исполнителя поп-музыки Дореми составляет 20% доходов от продаж его дисков. 15% гонорара облагаются налогом. Какой процент от общей прибыли составляет налог? Решение: Гонорар Налог 20% = 15% = 20 100 15 100 общей прибыли. гонорара, то есть 15 20 100‘ 100 % прибыли. Ответ: % Как найти д% от р%? Нужно найти Ч • Р 100 %. С 1 апреля зарплата господина Чернова выросла на 20 %. Какова сейчас его зарплата, если до 1 апреля она составляла 2400 леев? Решение: На сколько выросла зарплата? 20 -• 2400 леев = 100 Какова новая зарплата? 2400 + = леев. Ответ: леев. 2400 + Можно и так: 20 ____ (100 + 20 Л 100 -• 2400 = V 100 • 2400. Как увеличить или уменьшить значение п на р%? „ 100 + р Если увеличить, то нужно найти • п. Е й 100 - р Если уменьшить, то нужно найти — • п. Отношения и пропорции 183 Упражнения и задачи ■ ------------------------------ 1. Вычислите: а) 1% от 200; г) 75% от 64; ж) 9% от 200 долларов; к) 160% от 160; 2. Найдите число, если: а) 25% от него равны 60; б) 50% от него равны 100; в) 75% от него равны 96; г) 90% от него равны 720; д) 15% от него равны 12; е) 175% от него равны 140; ж) 125% от него равны 250; з) 4,8% от него равны 6; и) 3,6% от него равны 8,1. 3. Выполните вычисления: а) увеличьте 200 леев на 50%; в) увеличьте 80 м на 75%; д) увеличьте 10 000 леев на 3%; ж) уменьшите 1 м на 0,1%; в) 25% от 80; е) 4% от 150 см; и) 95% от 360; м) 140% от 99 леев б) уменьшите 160 леев на 25%; г) уменьшите 120 см на 40%; е) уменьшите 15 000 леев на 8%; з) уменьшите 2 л на 0,5%. б) 10% от 40; д) 50% от 3 леев; з) 120% от 120; л) 77% от 500 леев; 4. Сравните: а) 70% от 150 см ф б) 25% от 10 кг ф в) 15% от 800 леев ф г) 50% от 1 дам ф д) 125% от 2 часов ф е) 6% от 240 л ф 5. Вычислите: а) 10% от 50%; б) 25% от 40%; 60% от 2 м; 40% от 6000 г; 24% от 600 леев; 75% от 0,2 гм; 10% от одного дня; 96% от 15000 мл. в) 50% от 50%; г) 10% от 90%. 184 Глава 4 6. Впишите соответствующий знак сравнения: а) 25% от 50 • 50% от 25; > Л ,Г' б) 15% от 36 • 36% от 15; в) 20% от 40 • 40% от 20; г) 1% от 101 • 101% от 1. 7. Истинно или Ложно? получим то а) Если число увеличить на 20%, затем получившееся число уменьшить на 20%, то в результате получим первоначальное число. б) Если число сначала увеличить на 20%, затем на 40%, то же число, которое сначала увеличили на 40%, затем на 20%. в) Если число уменьшить сначала на 30%, затем на 40%, то получим то же число, которое уменьшили сразу на 70%. г) 150% от 200 равно 200% от 150. д) В Республике Молдова 28% населения составляют дети, 31% - люди пенсионного возраста, 42% - остальное население. 8. В прошлом году рост Миши составил 1 м 40 см. С тех пор он вырос на 5%. Каков его рост сейчас? 9. Из 3 473 900 жителей Республики Молдова 28% составляют дети. Сколько детей в нашей стране? 10. Во время выборов в парламент на избирательные участки пришли 1 641 600 избирателей, что составило 60% от числа жителей, имеющих право голоса. Сколько жителей Молдовы имеют право голоса? ■ ------------------------------------------------------------------------------------------------ 11. При замерзании объем воды увеличивается на 9%. На сколько процентов меньше получим воды, если разморозить лед? 12. Цена на мясо увеличилась на 25%. Сколько килограммов мяса можно купить сейчас на ту сумму денег, на которую раньше можно было приобрести 1 кг мяса? 13. После стирки ширина покрывала уменьшилась на 0,5%, а его длина - на 1%. На сколько процентов уменьшилась площадь покрывала? 14. Цена на товар сначала поднялась на 30%, затем еще на 20%. На сколько процентов от первоначальной цены подорожал товар? Отношения и пропорции 185 15. Из 1 000 учащихся школы одну четверть составляют мальчики. Во вторую смену учатся 300 учащихся, из которых 60% - мальчики. Сколько процентов от всех мальчиков составляют мальчики, обучающиеся во вторую смену? 16. Зарплата господина Морару повысилась на 225 леев, то есть на 15%. Какая зарплата была у господина Морару до повышения? 17. Цена пылесоса уменьшилась на 210 леев, то есть на 35%. Какой была цена пылесоса до скидки? 18. 70% учащихся класса посещают кружок математики, 85% - танцевальный кружок. Каков минимальный процент учащихся, посещающих оба кружка? 2 1 1 19. Вычислите: а) 6 6 3 % от 66,6. б) 33 —% от 33 — . 20. Банк принимает деньги на хранение и в конце года обновляет счет соответствующими годовыми процентами. Заполните таблицу: Владелец счета Первоначальная сумма (леев) Г одовой процент Период хранения (год) Окончательная сумма на счету Иван Чернов 20 000 10% 2 24200 Роман Белов 15 000 14% ? 22223,16 Анна Петрова 200 000 ? 4 243101,25 Влад Сидоров 64 000 8% 2 ? Сергей Борисов 120 000 12% ? 150 528 Артем Смирнов ? 10% 5 644204 21. а) Если х составляет 40% от у, то сколько процентов составляет у от х? б) Если х составляет 120% от у, то сколько процентов составляет у от х? 2 в) Если х составляет 25% от — у , то сколько процентов составляет у от х? 1 3 г) Если — х составляет 125% от — у, то сколько процентов составляет у от х? пг ’ 22. Олег и Дима одновременно вышли из одного дома по направлению к школе. Ш аг у Олега шире на 20%, а у Димы количество шагов за тот же интервал времени на 20% больше. Кто из них первым придет в школу?

Проценты

 Кто лучше всех? В нашем классе 8 отличников, а в вашем - 7. Значит, мы лучшие! Ты неправ! В вашем классе всего 25 учеников, а в нашем только 20! О о Скажите, кто прав: Степа или Даша? ® Какую часть от всех учеников составляют отличники? 8 из 25 7 из 20 ♦ 4 А А 25 20 В каком классе отличники составляют большую часть? 4) _8_ 25 _8_ 25 ч >2/ ' '< Т < 100 100 7 20 5)А 20 Так как — Ю ) ’ то следует, что 2 - ф 20. Значит, права. Отношение 32 100 еще записывают как 32% и читают „32 процента" возьмите из ззметк (или „32 к ста“) # , Отношение вида еще записывают как р%, читают: „р процентов “ (или „р к ста“) и называют процентным отношением. Слово „процент" происходит от латинского словарго сепШт, означающего „поделить на сотню“. Значит, один про- .1% цент это „сотая часть “: 1% 1 100 100% Пример: Один процент от 10 леев составляют 10 банов. 176 Глава 4 Любое число процентов можно записать в виде отношения или десятичного числа, и наоборот. Пример: 25% = 25 1 100 4 40 40% = ш = ° '4 Можно проще: 8 = 8-100% = 12,5%, 0,18 = 0,18 100 % = 18%. 1 = 12,5 8 100 °’18 = ш = 18% = 12,5% возьмите на заметк Чтобы выразить отношение (или десятичное число) в процентах, надо его значение умножить на 100%. /X Сколько процентов составляют 40 см от 2 м? Решение: Выразим сначала длины одной единицей измерения: 2 м 40 см. •100% = %. Ответ: 40 см составляют % от 2 м. 7 ■Л. возьмите на заметк Для того чтобы найти, сколько процентов (р) составляет число п от п другого числа т, надо умножить значение отношения — на 100%: р = — -100%. т Проценты использовали индусы еще в V веке. И это К * * естественно, так как в Индии уже тогда была известна десятичная система счисления. В Европе десятичные числа, а вместе с ними и проценты, стали использоваться только в XVI веке, благодаря нидерландскому математику Симону Стивену (1548-1620). Иногда, если необходимы более точные измерения, применяют тысячные доли, вместо процентов. Тысячная доля - это дробь 1 обозначается 1 %о . Таким образом, 0,1 % = 1 "% и читается: „промилле”. Проценты чаще всего используют в бизнесе, банковских и финансовых операциях и т. д. Промилле применяют в фармацевтике и в других областях, где ^ ^ ■ нужны более точные расчеты. Отношения и пропорции Упражнения и задачи 1. Прочитайте: 11%, 4,8%, 2. Запишите цифрами: а) пятьдесят к ста; в) два, запятая, три к ста; 5 100’ М 100' б) шестьдесят процентов; г) три десятых процента. 3. Сколько процентов от всего рисунка составляет закрашенная часть? 4. Нарисуйте в тетради квадрат со стороной в 10 клеточек. Закрасьте: а) 25% квадрата; б) 6,5% квадрата; в) 12% квадрата; г) 100% квадрата. 5. Сколько процентов составляет: а) половина; б) четверть; в) три четверти; г) одна десятая; д) половина одной сотой; е) одна тысячная? 6. а) Мальчики составляют 38% учащихся класса. Какой процент составляют девочки этого класса? б) Пчелиный мед содержит 17% воды. Сколько процентов составляет сухая часть меда? в) Если 1,11% детей не любят мороженое, то сколько процентов детей любят эту сладость? 7. Переведите в проценты: а) 2 ; б) 4; в) 4 ; г) 2 д) 2 5 ; е) 2 0 ; ж) 200; ч 27 з) 50; ч 3 и) 400; к) ^ ; л) Ф м) 3 178 Глава 4 8. Переведите десятичные числа в проценты: а) 0,04; б) 0,5; в) 0,25; г) 0,97; д) 1,01; е) 2,23; ж) 0,204; з) 6,791; и) 0,(3); к) 0,(6); л) 5,123; м) 1. 9. Запишите в виде несократимых дробей проценты: а) 75%; б) 40%; в) 24%; г) 100%; д) 50%; е) 60%; ж) 15%; з) 5%; и) 150%; к) 2% ; л) 4 %; 3 м) 4 %; н) 220%. Переведите проценты в десятичные числа: а) 3%; б) 7 %; Образец: в) 18%; г) 44%; 14 14% = 100 = 0,14; д) 0,9%; е) 0,25%; 100 16,5% = Ц 5 = 0,165; ж) 39,4%; з) 62,1%; и) 41,59%; Перечертите и к) 56,48%. заполните таблицу: 301,19% = 3,0119. 12. Сколько процентов составляют: а) 22 кг от 100 кг; в) 15 мин от часа; д) 6 мм от 12 м; ж) 0,4 кг от 500 г; и) 6 с от часа? б) 20 м от 50 м; г) 75 банов от 2 леев; е) 3 л от 300 л; з) 120 мин от 2 ч; Отношения и пропорции 179 ■ --------------------------------------------------------------- 13. Расшифруйте имя одного из самых известных античных философов. Код 1 Л С Р Т А О И Е Ь 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 5 10 20 25 50 100 10% 25% 4% С 50% 20% 5% 20% 2% 14. Округлите до целого числа процентов: а) г) 1 . 6 ’ 3 5 8 б) 1 3 ’ 2 д) 6,6 в) е) 2. 9 ’ 5 7 ' 15. Сколько процентов составляет длина стороны квадрата от его периметра? 16. Сколько процентов от всей площади фигуры закрашено? □и . в) =5— 17. Перечертите фигуру и закрасьте 16% ее площади. 180 Глава 4 18. Расположите в порядке возрастания: а) 0,76; 34%; 4 ; 74%; 0,36; 4 1 б) 133%; 3 ; 1,34; 1± ; 124%. 19. Цена проезда в маршрутке выросла с 2 до 3 леев. На сколько процентов увеличилась цена проезда? 20. Месячный доход семьи был израсходован согласно данным диаграммы. | | коммунальные услуги | | продукты питания О одежда | | другие расходы а) Сколько процентов от общего дохода составляют расходы на коммунальные услуги? б) Сколько процентов от расходов на продукты питания составляют расходы на коммунальные услуги? А на одежду? 21. На выборах председателя „Детского парламента“ школы 112 учащихся проголосовали за Колю Иванова, 336 учащихся - за Витю Петрова, а остальные 224 учащихся - за Лену Сидорову. Выборы считаются состоявшимися, если за одного кандидата проголосует не меньше 40%. а) Определите, состоялись ли выборы? б) Представьте полученные результаты в виде круговой диаграммы (см. задание ).

Обратно пропорциональные величины

 Скаковая лошадь проходит расстояние в 40 км за час. Это же расстояние спортсмен преодолевает за 2 часа, мотоциклист - за 30 мин, а автомобилист - за 20 мин. Вычислите скорость каждого. • Как изменится скорость, если время: увеличить в 2 раза; уменьшить в 2 раза; уменьшить в 3 раза? • Как изменится произведение I • V? Две взаимосвязанные величины а и Ъ называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) а в несколько раз, другая величина Ъ уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Значение произведения аЪ не изменяется. Следовательно, время и скорость являются обратно пропорциональными величинами (при постоянном расстоянии). Решение: 8 = 40 км Время (ч) Скорость (км/ч) 80 км/ч Глава 4 Фермер решил оградить сеткой участок прямоугольной формы (вдоль водного канала). Сначала он хотел сделать его подлинней, взяв Участок длину 50 м и ширину 10 м. Увидев, что сетки ему не хватает, он решил уменьшить длину до Водный канал 40 м, при этом периметр участка ум ен ьш и лся______ _____________ достаточно, чтобы хватило сетки. Какой теперь будет ширина участка, если его площадь не изменилась? Решение: ® Запишем кратко условие задачи в виде схемы: Длина (Ь) Ш ирина (/) 50 м -------- 10 м 40 м -------- х м 1 способ ® Простое правило трех (для обратно пропорциональных величин): Длины (I) ня ширину (/) равно площади (./) являющейся постоянной*11 м ч и т ,/, и /-о б р а т н о про- _ 11И|1а^лаимсис.|пл;пп|. 2 способ ® Вычислим площадь: А = м ■ м = м2. 50 _ х 40 _ 10 ■ (м) 1 Вычислим ширину: , А м2 I _ — _ ---------_ м . Ь м • Насколько уменьшилась длина забора из сетки? Х *Т Т 3На Т ( Бв ЬШе .......................................... Первая бригада рабочих выполняет работу за 2 дня, вторая бригада выполняет эту же работу за 3 дня, а третья - за 4 дня. Сколько человек в каждой бригаде, если всего 156 рабочих, и все они работают с одинаковой производительностью? Решение: I бригада - х рабочих II бригада - у рабочих 156 рабочих III бригада - 2 рабочих Тогда один рабочий выполняет работу за 2х дней (или 3у дней, или 4г дней). Отношения и пропорции 171 Получим: 2 х = 3 у = 4 г. Делим каждое равенство на [2,3,4], т. е. на 12: Получим: х = у = г = х + у + г 6 4 3 6 + 4 + 3 X = 12 6 х = 72 (м) : = - У = (м) : - г = (м) 13 = 12. Ответ: 72 рабочих в I бригаде, во II бригаде, - в III бригаде. Заметим, что 2 • 72 = 3 • 48 = 4 • 36 = 144. Говорим, что числовая последовательность 2, 3, 4 обратно пропорциональна числовой последовательности 72, 48, 36. Ф возьмите на заметк Числовые последовательности а1, а2, ..., ап и Ъ1, Ъ2, ..., Ъп являются обратно пропорциональными, если а1Ъ1 = а2Ъ2 =... = апЪп. Замечаем Если последовательности а1, а2, ..., ап и Ъ1, Ъ2, ..., Ъп прямо (обратно) 1 1 1 пропорциональны, то последовательности ах, а2, ..., ап и — , — , — обратно (прямо) пропорциональны. 1 2 п Упражнения и задачи 1. Определите, являются ли величины а и Ъ, данные в таблицах, обратно пропорциональными: а) в) а 1 4 2 10 7 4 3 3 , 6 Ъ 12 0,8 24 42 5 а 0,2 0,4 0 , 8 1,6 3,2 Ъ 32 16 8 4 2 б) г) а 1 3 5 7 9 Ъ 11 9 7 5 3 а 3 2 2 3 0,5 ОО I 1,25 Ъ 5 6 15 8 2,5 2 1 172 Глава 4 2. Заполните таблицу: а) в) Сумма: 2520 леев Количество Сумма денег б) Сумма: 87,5 лея человек на человека Цена Количество 5 504 (леев/кг) (кг) 8 7,5 25 630 5 360 15 14 3,75 28 3 31,25 Масса: 800 кг Плотность Объем г) Количество бензина: 20 л (кг/м3) (м3) Расход (л) Расстояние 1000 0,8 на 1 км (км) 125 0,1 200 160 0,05 400 1,6 0,16 250 у 1,28 50 0,25 ... г 3. Истинно или Ложно? а) Количество одинаковых кранов, наполняющих водой бассейн обратно пропорционально времени наполнения бассейна. б) Количество отличников класса обратно пропорционально остальному количеству учащихся этого класса. в) В произведении двух чисел обратно пропорциональными являются множители. г) Количество сока, взятого из банки, обратно пропорционально количеству оставшегося сока. 4. Велосипедист проехал некоторое расстояние за 4 ч со средней скоростью 24 км/ч. С какой средней скоростью должен ехать велосипедист, чтобы преодолеть это расстояние за 3 ч? 5. 8 комбайнов могут убрать с поля пшеницу за 6 дней. За сколько дней уберут ту же пшеницу 12 комбайнов? 6. 10 рабочих выполняют работу за 9 дней. Сколько рабочих понадобится, чтобы выполнить работу за 6 дней? Отношения и пропорции 173 7. 6 человек могут выкопать ров за 8 ч. а) За сколько часов могут выкопать этот ров 4 человека? А 12 человек? Один человек? б) Сколько человек могут выкопать этот ров за 3 ч? За 16 ч? За час? 8. Водой из одного крана можно наполнить 1000-литровый бассейн за 40 мин. За сколько минут наполнится бассейн: а) водой из 4 кранов; б) водой из 6 кранов? ■ ---------------------------------------------------- 9. Пасечник Золотомед разлил мед в 60 банок, по 250 мл каждая. Сколько банок понадобится пасечнику, если он захочет разлить мед в банки по: а) 200 мл; б) 750 мл; в) 300 мл? 750 мл 300 мл 200 мл 10. В сутках 24 часа, а в часе - 60 минут. Учитывая общее количество таких же минут, подсчитайте, сколько минут было бы в сутках, если бы они длились: а) 30 часов? б) 32 часа? в) 20 часов? 11. Маша разложила книги своей библиотеки на 24 полках, по 30 книг на каждой. Сколько полок понадобится, если Маша будет раскладывать по 36 книг на каждой полке? 12. Насос мощностью 12 л/мин наполняет емкость водой за 4 мин. За какое время наполнит водой эту емкость насос мощностью 10 л/мин? 13. Составьте и решите задачу по каждой схеме: а) 9 леев/кг - 10 кг 6 леев/кг - ? кг ? леев/кг - 18 кг б) 40 км/ч - 9 ч 60 км/ч - ? ч ? км/ч - 12 ч 30 мешков - 60 кг/мешок ? мешков - 45 кг/мешок г) 30 шагов - 20 см/шаг. 12 мешков - ? кг/мешок ? шагов - 25 см/шаг. 15 шагов - ? см/шаг. 174 Глава 4 14. Трактор, автобус и автомобиль проехали по 180 км каждый. а) Заполните таблицу: Трактор Автобус Автомобиль Скорость 30 км/ч Время 3 часа 2 часа б) Являются ли скорость и время обратно пропорциональными? в) Приведите другие примеры обратно пропорциональных величин из различных областей знаний. 15. Данный рисунок показывает зависимость между величинами х и у. Например, если х = 3, то у = 4. а) Запишите формулу, выражающую эту зависимость. б) Какими величинами являются х и у? в) Запишите данные рисунка в виде таблицы: х 1 2 3 4 у 12 ? 4 ? 16. Постройте рисунок, как в задании 14, для зависимости у = ■ 17. Одно и то же расстояние Денис проходит за 3 ч, а Никита за 2 ч. Отправившись навстречу друг другу, они встретились в момент, когда Никита уже прошел 7 км 200 м. Какое расстояние до встречи преодолел Денис?

Прямо пропорциональные величины

 Литр бензина стоит 15,3 лея. Сколько стоят: 10 л; 20 л; 15 л; 25 л бензина? Решение: Количество бензина (л) Стоимость (леев) а ъ х10 10 х 2 х15 Х 2 20 15 25 .1 5 ,3 . х10 153 Х 2 Х15 Х 2 306 229,5 Улитка ползет со средней скоростью 0,15 м/мин. Какое расстояние преодолеет улитка за: 3 мин; 4 мин; 5 мин; 7 мин? Решение: • 1 способ 2 способ V = 0,15 м/мин Время Расстояние (мин) (м) 1 Ц 0,15 х 3 х 3 3 0,45 4 • Допишите решение задачи по схеме. 164 Глава 4 • Какое расстояние проползет улитка за 6 мин? А за 3,5 мин? • Как изменится расстояние, пройденное улиткой, если увеличить время: в 3 раза; в 4 раза; в 6 раз? • Как изменится значение отношения ? Л. 1 7 возьмите на заметк Две взаимосвязанные величины а и Ъ называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) а в несколько раз другая величина Ъ увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Значение отношения — не изменится. а Следовательно, количество бензина и его стоимость являются прямо пропорциональными величинами (при постоянной цене). Время и пройденное расстояние являются прямо пропорциональными величинами (при постоянной скорости). ^ Принтер печатает за 3 мин 21 страницу. Сколько страниц напечатает принтер за 10 мин? Решение: Ф Запишем кратко условие задачи в виде схемы: 3 мин ---- 21 страница 10 мин ---- х страниц ® 1 способ 2 способ Простое правило трех (для прямо пропорциональных величин): Метод приведения к единице: 21 1 мин страниц 10 мин — • 10 страниц Отношения и пропорции х « т Т 3 М а т б « ЬШ е р " -------- Три друга - Роман Рублев, Дмитрий Полушкин и Андрей Полонидей - решили открыть свой бизнес. При этом каждый вложил в дело соответствующую сумму денег (капитал): 1 600 леев, 2000 леев, 1 800 леев. Прибыль от их бизнеса составила 16 200 леев. Как им поделить эти деньги между собой? Решение: Подсчитаем весь капитал: 1 600 + 2000 + 1 800 = 5400 (леев). Подсчитаем, во сколько раз прибыль больше вложенной суммы: 16200 : 5400 = 3 (раза). Значит, 1 600 ■ 3 = 4 800 (леев)------ ► Роман 2000 ■ 3 = 6000 (леев)-------► Дмитрий 1 800 ■ 3 = 5 400 (леев)-------► Андрей Замечаем 4800 6000 5 400 = = - последовательность равных отношений. 1600 2000 1800 Р 3 = 4800 = 6000 = 54000 = 4800+6000+54000 = 16200 1600 2000 1800 1600+2000+1800 5 4 0 0 ' 4 Розьмите на заметк Если а - ^''2 К ап Ъп ■ к, где к ф 0, то говорим, что между последовательностями а1, а 2, '.', ап и Ъ1з Ъ2, Ъп сущпропорциональность и а1 + а 2 +... + ап Ъ1 + Ъ2 + ''' + Ъп ■ к. Следовательно, между последовательностью суммы денег, вложенной в бизнес (1 600 леев, 2000 леев, 1 800 леев), и последовательностью суммы денег прибыли, полученной каждым (4800 леев, 6000 леев, 5400 леев), существует прямая пропорциональность. (Ц Разделите отрезок в 18 см на три части, прямо пропорциональные числам: 2, 3, 4. Решение: Пусть х, у, г - последовательность искомых длин (х + у + 2 = 18). 166 Глава 4 Тогда между последовательностями х, у, г и 2, 3, 4 существует прямая пропорциональность. „ х у г х + у + г 18 _ Значит, = = = = = 2. 2 3 4 2 + 3 + 4 9 Получим: х = 4 (см), у = 6 (см), г = 8 (см). х у 4 см 6 см 8 см Упражнения и задачи I □ □ ■ 1. Определите, являются ли величины а и Ъ, данные в таблице, прямо пропорциональными. а) в) а 2 4 6 1 0 12 Ъ 3 6 9 15 18 а 1 3 2 3 3 4 4 5 Ъ 20 40 45 48 б) г) а 0,2 0,6 1,8 3,2 Ъ 5 15 50 80 а 8 4,2 66 1 Ъ 4 3 0,7 11 1 6 2. Заполните таблицу а) Коли ч ество Ве с мешков с мукой (кг) 1 60 3 5 480 9 660 б) Количество Стоимость батонов (леев) 1 2,5 4 15 7 27,5 9 в) Р асстоя ни е (км) Кол и ч е с тв о бензина (л) г) Площадь (м2) Количество краски (кг) 100 7 8 1 50 10 150 15 17,5 2,5 350 7,5 / € 22,75 30 ... А Отношения и пропорции 167 3. Истинно или Ложно? а) Площадь прямоугольника прямо пропорциональна длине каждой из его сторон. б) Периметр прямоугольника прямо пропорционален длине каждой из его сторон. в) Площадь и периметр прямоугольника - прямо пропорциональные величины. г) Площадь и длина стороны квадрата - прямо пропорциональные величины. шV I 4. Тракторист вспахивает 49 гектаров пашни за 4 дня. За сколько дней тракторист вспашет: а) 73,5 гектара; б) 122,5 гектара? 5. 5 л масла весят 4 кг. а) Сколько килограммов масла вместится в 12-литровое ведро? А в 180 л бочку? А 250 мл стакан? б) Какова вместимость 700-граммовой банки масла? А 3-килограммового бидона с маслом? 6. Электронасос выкачивает из колодца 30 л воды за 12 с. а) За какое время наполнится водой 800-литровая бочка? А 1000-литровая бочка? б) Сколько воды выкачивает насос за 10 с? А за 18 с? А за 2 мин? 7. Дина выписала из кулинарной книги список продуктов, необходимых для приготовления 4 порций салата „ Нежность “. Какое количество продуктов понадобится Дине для приготовления 6 порций салата? А для 10 порций? 300 г капусты 100 г колбасы 6 яиц 100 г ветчины 80 г майонеза 2луковицы 8. а) В 100 г черной смородины содержится 250 мг витамина С. Сколько граммов витамина С содержится в 2 кг черной смородины? б) Суточная норма витамина С для взрослого человека составляет 0, 05 г. Какое количество черной смородины надо съесть взрослому человеку, чтобы получить суточную норму витамина С? 9. Проба сплава нескольких драгоценных металлов - это количество граммов драгоценного металла в килограмме сплава. Какое количество чистого золота содержится в 16 г золотого браслета, если его проба: а) 585; б) 958? 168 Глава 4 ■ ------------------------------------------------ 10. Составьте и решите задачу по схеме: а) 3,5 кг - 44,8 лея б) 12 костюмов - 44 м 14,5 кг - ? леев 25 костюмов - ? м ? кг - 160 леев ? костюмов - 110 м 11. Из 40 л молока получается 15 кг творога. а) Сколько творога получится из 100 л молока? А из 60 л? б) Сколько необходимо молока, чтобы получить 112,5 кг творога? А 22,5 кг? 12. Составьте задачу для каждой из таблиц задания 2. 13. Разделите отрезок АВ на 3 части, прямо пропорциональные числам: а) 6, 2, 4; б) 10, 9, 5. А1 В 3 14. а) Разделите число 4960 на части, прямо пропорциональные числам 8, 15, 17. б) Разделите число 9 200 на части, прямо пропорциональные числам 1,75; 2,75; 31 . 6 15. Найдите числа х, у, 2, зная, что они прямо пропорциональны числам 3,4 и 5, а х + у = 35. 16. Три брата получили в наследство 90 000 долларов, которые по завещанию надо разделить следующим образом: первому - половину того, что получит второй, третьему - -2 того, что получит второй. Какую сумму денег получит каждый из братьев? ЗА Д А Ч V Д А ЧЕМ и * * 17. Среднее арифметическое четырех чисел - 34. Найдите эти числа, если известно, что они прямо пропорциональны четырем простым натуральным числам? Отношения и пропорции 169

Пропорции

 Г осподин Копейкин решил купить сок из тропических фруктов и, как всегда, подешевле. Рассмотрите данные рисунка и помогите ему выбрать. Решение: 750 мл= 0,75 л Какая цена ниже? 2 л 0,75 л 24 лея 9 леев Цена = Стоимость Количество 24 лея > 2 ' ' 9 леев 2 л 0,75 л 1 * Г Ч 1 I леев/л Равенство ^ = - ± - является пропорцией. леев/л. й"Розьмите из ззметк ♦ Равенство двух отношений называется пропорцией. ♦ Четыре числа, образующие пропорцию, называются членами пропорции. ♦ Числа а и й пропорции а С называются крайними О (Л членами, а числа Ъ и с - средними. Читаем: „а так относится к Ъ, как с относится к й”. а Ь с а а : Ь = с : а Щ крайние средние Сравните произведение крайних и произведение средних членов пропорции: а) 18 = 1,2 . а) 6 = 0,4’ 3 1 ^ и О 1 ^ Решение: а) 18 1,2 18 } 6 0,4 6 о II II - 4 б) 2,5 б) Т = 10 158 Глава 4 возьмите на заметь 1/1 7 Основное свойство пропорции Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних, а с 1 то есть, если — = — , то а • а = Ь • с. ъ а ^ Найдите неизвестный член пропорции: ■003 = 40.. Решение: Используя основное свойство пропорции, получим: 0,3 • 40 = 0,2 • х. Отсюда: х = 0 ^ = 60. 0,2 Ответ: х = 60. 41 а) Можно ли из чисел 4, 36, 18, 8 составить пропорцию? б) А из чисел 16, 2, 4, 12? Решение: Расположим числа в порядке возрастания: а) 4, 8, 18, 36; б) 2, 4, 12, 16. ® Сравним произведение наибольшего и наименьшего числа с произведением двух других чисел: а) 4 ■ 36 \ 144 8 ■ 18] \ 144 б) 2 ■ 16 Ф \ 4 ■ 12] \ 32 Ф 48 Ответ: а) Да, можно составить. Напри- б) Нет, нельзя составить. 4 18 мер, пропорцию ^ = 3 6 . • Составьте и другие пропорции из чисел: 4, 8, 18, 36. 7 возьмите на заметк Из четырех чисел можно составить пропорцию тогда и только тогда, когда произведение наименьш его и наибольш его чисел равно произведению двух других чисел. Отношения и пропорции 159 Масштаб карты равен 1 : 25000000. Чему равно расстояние между Кишинэу и Варшавой, если на карте оно составляет 3,5 см? Решение: Пусть х - искомое расстояние. Составляем пропорцию: 1 = 3,5 25000000 х ♦ х = 3,5 • 25000000 (см) = 87500000 (см) = 875 (км). Ответ: 875 км. / Значит, если масш таб рисунка 1: а , то реальные размеры будут в а раз больше нарисованных. в Дана пропорция 2 7 _6 21. Что получится, если: а) поменять местами крайние члены; б) поменять местами средние члены; в) перевернуть отношения пропорции? Решение: 160 Глава 4 • Обратите внимание на правила и составьте производные пропорции, 5 10 которые можно получить из пропорции = . 4 8 Приравниваем одно из отношений к отношению, числитель которого равен сумме числителей отношений, а знаменатель - сумме знаменателей: а а + с Прибавляем числители к знаменателям: а = с Ъ + а ё + с Ъ Ъ + ё Прибавляем знаменатели к числителям: а + Ъ = с + ё ~ Ь ~ ~ ~ ё ~ Вычитаем из знаменателей Вычитаем из числителей числители а с знаменатели:: а - Ъ с - ё Ъ - а ё - с (а < Ъ) Ъ ё (а > Ъ) Упражнения и задачи I □ □ ■ 1. Назовите крайние и средние члены пропорции: , 4 _ 2 . 5 15. , 0,4 _ 2. а) 9 4, 5 ; б) 3 9 ; в) 0, 6 3 ; г) 7 21 ? 6 1,8 ' 2. Составьте пропорции из отношений: а) 1 , 0,3 , 6 , 0,5 4 0,3 , 10 , 1,5. 4 , 6 ’ 8 ’ 10 ' 9 , 1,2 , 22,5 , 2 1,4 7 , 1,8 0,09 0,63 6 2 0,2’ 0,28 , 6 0,3 , 0,09, 1,8, 0,08 30 9 ' 3. Запишите пропорцию, значение каждого отношения которой будет равно: а) 3; б) 5; в) 0,4; г) 1,5; д) 2. 3 ; е) 6. 5 ’ ж) 1. 4. Найдите неизвестный член пропорции: ч 2 8 х 2 ч 2 5 а) х = 4 ; б) 27 = 3 ; в) 5 = X • г) 0,8 х 1,6; х 3 д) 4 = 10' Отношения и пропорции 161 5. Р Т в А Ежик составляет пропорции, умножая или деля числитель и знаменатель отношения на любое ненулевое число. Составьте и вы пропорции, используя отношения: ) 1 б) 8 а) ТО’ б) 5 ' 2 • 0,5 2 / 5 • 0,5 5 ^ 2:0,4 5:0,4 в) 4. 9 ’ 2 1 г) 0 6 1,2' 6. Данные числа являются членами некоторой пропорции. Запишите эту пропорцию: • Сколько решений у этой задачи? 7. Используя равенство произведений, составьте пропорции: а) 6 16 = 48 • 2; б) 12 12 = 18 • 8; в) 2,4 • 5,8 = 3,48 • 4; г) 0,9 • 0,27 = 0,81 • 0,3. 8. Можно ли составить пропорцию из данных чисел? а) 6 18 15 5 ; б) 14 50 10 70 ; в) 16 20 30 1 4 ; г) 7,5 1,2 15 0,6 ; д) 8 6 15 18 . 9. Компания „ Роснефть “ за 24 часа продала 9 700 000 барелей нефти, получив при этом прибыль в 523 800 000 $, а компания „Парсойл“ продала за это же время 6 400 000 барелей нефти, получив 345 600 000 $. а) Впишите данные задачи, чтобы получить пропорцию: 523 800 000 б) Что представляет собой величина каждого соотношения пропорции? 162 Глава 4 10. Пусть й - расстояние на карте между населенными пунктами А и В. Найдите реальное расстояние АВ на местности, если: а) й = 15 см при масштабе 1 : 10000; б) й = 6,5 см при масштабе 1 : 20000; в) й = 8 см при масштабе 1 : 50000; г) й = 5,5 см при масштабе 1 : 30000. ■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11. Составьте производные пропорции (состоящие из тех же членов) из пропорции: ч 4 1 18 9 а) 8 = 2 12. Вычислите: б) 12 6 ’ в) 0 4 = 1 2 . в) 1,6 4,8 ’ Ъс а с а) 15 + , если = . аа Ъ а б) ас и Ъй, если а с = 2 и а • Ъ • с ■ а = 900. Ъ а г) 52 = 4 65 5. 13. Значение отношения длины окружности к ее диа22 метру приблизительно равно — . Вычислите (приблизительно): а) длину окружности, диаметр которой 10 см; б) длину окружности, диаметр которой 1 см; в) диаметр окружности, длина которой 10 см; г) радиус окружности, длина которой 1 см. 14. Докажите, что если члены пропорции являются натуральными числами, то их произведение - это точный квадрат. 15. Измерьте соответствующую длину на рисунке и найдите эту длину в действительности: а) б) Масштаб 1 : 400 Масштаб 1 : 95 16. Нарисуйте окружающие вас предметы в масштабе 1 : 200. Отношения и пропорции 163