Виды многоугольников

 Как называется многоугольник с 3-мя сторонами? Какие многоугольники с 4-мя сторонами вам известны? Решение: Треугольник - это многоугольник с 3-мя сторонами. В предыдущих классах были рассмотрены квадраты и прямоугольники, которые являются многоугольниками с 4-мя сторонами. Существуют и другие виды многоугольников с 4-мя сторонами. 7 'Л возьмите на заметк ♦ Многоугольники классифицируются по количеству сторон или углов: треугольники - это многоугольники с 3-мя сторонами; четырехугольники - это многоугольники с 4-мя сторонами; пятиугольники - это многоугольники с 5-ю сторонами; шестиугольники - это многоугольники с 6-ю сторонами. Постройте четырехугольник с двумя параллельными и конгруэнтными сторонами. Измерьте длины других двух сторон, затем определите взаимное расположение прямых, которые содержат эти стороны. Решение: У четырехугольника АВСВ стороны АВ и СВ параллельны. Измерив их, получим, что АБ = ВС = 5 см. При помощи двух линеек убеждаемся, что прямые А В и ВС не пересекаются. Следовательно, пара сторон А В и ВС обладает теми же свойствами, что и пара сторон АВ и СВ: они конгруэнтны и параллельны. А В В С 7 Л Возьмите на заметк Четырехугольник, у которого две стороны параллельны и конгруэнтны, называется параллелограммом. У параллелограмма две пары параллельных и конгруэнтных сторон. Ромб - это параллелограмм, у которого стороны р0мб конгруэнтны. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией. Параллельные стороны трапеции называются основаниями. основания 214 Глава 5 Рассмотрите схему и обратите внимание на виды параллелограммов: • Как называется параллелограмм, который одновременно является и ромбом и прямоугольником? 3.3. Периметр многоугольника ф Рассмотрите рисунки. Вычислите периметр каждого многоугольника. 4 В с ь М 3 / (1 2 5 2 2 О О А-3 А- А. 3 3 к 3 /л г о к N У 3 3 5 / 2 5 А аЕ) V 2,5 ТВ 1,5 ТТ \ Е Н г7 X & X Решение: 4 • АВ = 4 - 3 = 12(см). = 2ЕР + 2РО = 2 - 3 + 2-1,5 = 9(см). : 2 КР + 2ЬМ = 2 - 2,5 + 2 - 3 = 11(см). РХТ2 = ХУ + У2 + Х 2 = 2,5 + 2,5 + 4 = 9 (см). Р АВСЭ РЕРОВ РКВМЫ Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон. 1 т ь I 1 1 □____ □________ I Ь Ь Р — 4 ■ I Р — 2(Х + I) Р — 2(Ь + I) Р — а + Ь + с I Элементы геометрии 215

Многоугольники

  Ломаные линии. Многоугольники ^ ссд[?уем? у знае^ ^ ^ Н | СЦ| Рассмотрите рисунок. С какой геометрической фигурой можно ассоциировать траекторию полета: а) Ларнака, Стамбул, Афины, Мадрид, Лиссабон; б) Кишинэу, Бухарест, Рим, Милан, Мюнхен, Кишинэу? Решение: а) Траектория полета по курсу Ларнака, Стамбул, Афины, Мадрид, Лиссабон описывает незамкнутую ломаную линию с вершинами в указанных городах. б) Траектория полета по курсу Кишинэу, Бухарест, Рим, Милан, Мюнхен, Кишинэу описывает замкнутую ломаную линию. Возьмите на заметк ♦ Отрезки, из которых образована ло- в маная линия, называются сторонами (или звеньями), а концы отрезков - вершинами этой ломаной. ♦ Любые три последовательные вершины ломаной линии неколлинеарны. ♦ Незамкнутая ломаная линия имеет лишь две вершины, из которых исходят по одной стороне. Б С 212 Глава 5 ♦ Из всех вершин замкнутой ломаной линии исходят по две стороны. ♦ Ломаную линию обозначают, указав ее вершины в порядке их следования. На рисунках изображены: незамкнутая ломаная линия АБС Б и замкнутая ломаная линия КЬМИ. С?Х Постройте замкнутую ломаную линию: а) с 4-мя сторонами, две из которых не имеют общих вершин, а две другие пересекаются; б) с 4-мя сторонами, которые пересекаются лишь в вершинах линии. Решение: а) Строим ломаную линию АБСБ. б) Строим ломаную линию КЬМИ. В Ь ♦ Замкнутая ломаная, стороны которой не имеют других общих точек, кроме ее вершин, называется многоугольником. Ломаная линия КЬМЫ, построенная в пункте б) (задание ), является многоугольником с 4-мя сторонами. Точки К, Ь, М, N являются вершинами данного многоугольника. ♦ Диагональю выпуклого многоугольника называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной и той же стороне. ♦ Часть плоскости, ограниченной сторонами многоугольника, называется внутренней областью многоугольника. Остальная часть плоскости называется внешней областью многоугольника. ], [ЬМ - диагонали многоугольника К ^М N - внутренняя область многоугольника К ^М N - внешняя область многоугольника К^М N. Элементы геометрии 213

. Г радусная мера углов

 Если учесть, что два различных отрезка отличаются друг от друга длинами, то в действительности при сравнении этих отрезков мы сравниваем их длины. А как сравнить два угла? Из V класса знаем, что „раскрытие“ угла соответствует его величине. Значит, чем больше „раскрытие“ угла, тем больше его величина. Следовательно, из всех углов развернутый угол имеет наибольшую величину. 7 возьмите на заметк Величину угла А обозначаем т(АА). Два угла называются конгруэнтными, если у них равные величины. Если углы А и В конгруэнтны, то обозначаем АА = АВ. *• Замечание. Конгруэнтные углы при наложении совпадают. • Во сколько раз величина прямого угла меньше величины развернутого угла? Обоснуйте. Маше надо сравнить величины углов АВС и БЕГ. Прочитайте следующее правило и помогите Маше справиться с заданием. 7 возьмите на заметк ♦ Чтобы получить единицу измерения углов, развернутый угол „разделили “ на 180 равных частей и посчитали, что одна часть (из 180) имеет величину, равную одному градусу, и обозначили как 1° (см. рисунок). у у у ; 180о А О В • Значит, величина развернутого угла равна 180°. • Величина прямого угла равна 90° (читаем: „90 градусов “). Элементы геометрии 207 ♦ Чтобы определить величину произвольного угла, надо найти, сколько углов 1° „вмещаются” в этот угол. Наиболее используемым инструментом для измерения углов является транспортир. Чтобы измерить С величину угла, располагаем транспортир так, чтобы вершина угла совпала с центром полуокружности транспортира, а одна из сторон угла проходила через деление 0. Таким образом, другая сторона угла пройдет через деление, показывающее величину угла. Величина угла ПМО, изображенного на рисунке, равна 120°. Обозначаем: т(АЦМО) = 120°. Практическая работа • Используйте транспортир для решения задачи Маши. ^ Как с помощью транспортира построить угол 60°? Решение: ® Строим полупрямую [N0. ® Располагаем транспортир так, чтобы центр его полуокружности совпал с точкой N, а полупрямая [N 0 проходила через деление 0. ® Отмечаем точку В напротив деления 60. ® Угол ^ N 0 равен 60°. N С С Практическая работа • Аналогично постройте угол: а) в 45°; б) в 110°. ^§1 Полупрямая [ОБ делит угол АОВ на два конгруэнтных угла. Чему равна величина угла АОВ, если т(АЛОВ) = 71°? Решение: О В Очевидно, можно посчитать, что ш (^А О ^) = 71°: 2 = 30,5°. Но что означает 0,5°? 208 Глава 5 'Поясняем Для того чтобы более точно измерять углы, используют единицы измерения меньше одного градуса. Таким образом, -6 - градуса называется минутой (обозначается ), а б - минуты называется секундой (обозначается "). Следовательно, 1° = 60', 1' = 60''. Таким образом, 30,5° = 30°30'. Ответ: т(ЕЛОО) = 30°30'. б) 61°32'43'' + 47°36'58''. Вычислите: а) 24°52'48'' + 33°49'27''; Решение: а) 24°52'48'' + 33°49'27'' = 57°101' 75'' = 57°102'15'' = 58°42'15''. 75'' = 60'' +15'' = 1' 15'' 102' = 60' + 42' = 1 °42' б) 61 °32'43'' - 47°36'58'' = 61 °31' 103'' - 47°36'58'' = 32' = 31' + 60'' 61° = 60° + 60' = 60°91' 103''- 47°36'58'' = 13°55'45''. Упражнения и задачи ■ ----------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Рассмотрите рисунок и определите углы: а) острые; б) тупые; в) развернутые; г) прямые. Б С Е О А 17 Элементы геометрии 209 2. Постройте углы: а) АВС и СВБ так, чтобы полупрямые ВБ и ВА были противоположными; б) АВС и Б В Е так, чтобы каждая из пар полупрямых ВЕ и ВС, ВА и ВБ образовывала противоположные полупрямые. 3. Постройте два угла, у которых: а) общая вершина, но разные стороны; б) одна сторона общая, а две другие - противоположные полупрямые. в) одна сторона общая, а две другие - взаимно перпендикулярные. 4. Определите вид угла, если известно, что его величина равна: а) 90°; б) 180°; в) 60°; г) 135°; д) 0°; е) 87°. 5. Постройте угол, равный: а) 40°; б) 135°; в) 80°; г) 155°. 6. Угол какого вида описывает минутная стрелка часов за: а) 15 мин; б) 30 мин; в) 25 мин; г) 10 мин? 7. Рассмотрите рисунок и найдите величину угла АОВ: а) б) в) 8. За какое время минутная стрелка часов описывает угол величиной в: а) 30°; б) 60°; в) 135°; г) 1°? 9. Вычислите: а) 39°24' + 25°43'; б) 67° 18' + 15°24'; в) 51°40'- 27°33'; г) 1 2 0 °-116°52'. 10. Развернутый угол АОВ, изображенный на рисунке, разделили четырьмя полупрямыми на 5 конгруэнтных углов. Найдите: а) ш(ААОС); б) т(АСОЕ); в) т(АБОС); г) т (^ Т О С ). 11. Постройте с помощью линейки и карандаша угол: а) больше 90°; б) меньше 90°. Найдите величину построенного угла. 210 Глава 5 ■ -------------------------------------------------------------------------------------------- 12. Вычислите: а) 45° : 2; б) 97° : 2; в) 2• 75°38'; г) 2 • 67°29'. 13. Переведите в градусы, минуты и секунды: а) 40,15°; б) 34,45°; в) 89,22°; г) 76,18°. Образец: 54,26° = 54° + 0,26° = 54° + (60 • 0,26)' = 54° +15,6' = = 54° 15' + (60 • 0,6)'' = 54° 15' + 36'' = 54° 15'3 6''. 14. Рассмотрите рисунок и найдите значение х: 15. Рассмотрите рисунок и найдите величины неизвестных углов. Сделайте вывод. В С б) 16. Прямые АВ и СБ, изображенные на рисунке, параллельны. Найдите неизвестные величины углов. Сделайте вывод. Элементы геометрии 211

Углы

 1. Классификация углов Что знаем? Что узнаем? ^§1 Прочитайте загадку Многознайки и отгадайте, о какой геометрической фигуре идет речь. У человека два плеча, А в сутках - день и ночка. Как назвали два луча С началом в общей точке? • Как называется инструмент в руках у Многознайки и что можно с его помощью построить? ♦ Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя полупрямыми (стороны угла) с общим началом (вершина угла). Угол, образованный полупрямыми [АВ и [АС обозначается как АВАС. ♦ Внутренняя область угла - это множество точек, заключенных между сторонами угла. Остальные точки образуют внешнюю область угла. С внутренняя область угла ВА С - внешняя область угла ВАС Рассмотрите рисунок и впишите одно из слов: нулевой, развернутый, острый, прямой, тупой. А I в 1 г К в С Е 1 С М Угол ААВС . Угол АБРО Угол А ПРЕ . Угол АЕРО Угол АКЬМ . • Запишите упомянутые углы в порядке возрастания их величин

Основные геометрические понятия

 Рассмотрите рисунки и обратите внимание на ассоциации, проведенные Всезнайкой. «ь м я к - Линия горизонта прямая - Населенные пункты на карте точки - Луч света полупрямая - Траектория полета Кишинэу-Бухарест - Рельсы параллельные прямые • Объясните понятие геометрическая фигура. Какая геометрическая фигура является самой простой? отрезок ♦ Геометрическая фигура - это множество точек. ♦ Точка - самая простая геометрическая фигура. Изображаем: А В • или X ♦ Прямая не имеет ограничений. или Изображаем: А В М N или Три и более точки, лежащие на одной прямой, называются коллинеарными. Две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными прямыми. Две прямые называются пересекающимися прямыми, если у них есть одна общая точка. Глава 5 а 200 С/% Рассмотрите рисунок и заполните пропуски: Р С а Б Е В А а) Точка А расположена между точками и . б) Точки А и С расположены по разные стороны от точки . в) Точки А, В, Е, В расположены по одну сторону от точки . г) Точки расположены по одну сторону от точки В. д) Часть прямой а, ограниченная точкой В и состоящая из всех точек прямой а, расположенных по одну сторону с точкой А, называется Ф возьмите на заметк Полупрямая - это часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от некоторой точки, которая называется началом этой полупрямой. Изображаем: Читаем: Обозначаем: М N Полупрямая ММ [ММ ♦ Точка О, принадлежащая прямой, делит эту прямую на две противоположные полупрямые. Данная точка является началом этих полупрямых. Изображаем: Читаем: А О В Полупрямые [ОА и [ОВ противоположны ♦ Отрезком называется часть прямой, заключенная между двумя точками. Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами. Изображаем: Читаем: Обозначаем: А______________В Отрезок АВ [АВ] С какой геометрической фигурой ассоциируется поверхность воды озера в безветренный день? 'Поясняем Поверхность воды озера (без волн) похожа на часть плоскости. Розьмите на заметк Плоскость не имеет ограничений. Изображаем плоскость а (альфа) Если прямая лежит в плоскости, то она разбивает эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Элементы геометрии 201 ^§1 Истинно или Ложно? Одно из высказываний ложно. Найдите его и объясните свой выбор с помощью рисунка. а) Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых. б) Через две различные точки можно провести только одну прямую. в) Конгруэнтные отрезки имеют равные длины. г) Если каждая из прямых а и Ь параллельна прямой с, то прямые а и Ь параллельны. д) Если каждая из прямых а и Ь пересекает прямую с, то ^ 1 прямые а и Ь тоже пересекаются. 1.2. Обозначения и изображения 2 сс5 уемТ у з«зе^ ^ И Ц Обратите внимание, как читаются обозначения. Обозначаем: Читаем: Изображаем: А е 1 Точка А принадлежит прямой й. ____А 1 А ё 1 Точка А не принадлежит прямой й. " • А ' {А, В, С} с 1 Точки А, В, С принадлежат прямой й. 1 А В С А е а Точка А принадлежит плоскости а. / а а с а Прямая а принадлежит плоскости а. А У / [ ВС Полупрямая ВС с началом в точке В. с В а || Ъ Прямые а и Ь параллельны. а___________ а%Ь Прямые а и Ь не параллельны. а Ъ а I Ъ = {М} Прямые а и Ь пересекаются в точке М . а ± Ъ Прямые а и Ь перпендикулярны. а Ъ 202 Глава 5 Обозначаем: Читаем: Изображаем: [ АВ ] = [СБ ] Отрезки АВ и СБ конгруэнтны. А В С Б АВ > СБ Длина отрезка АВ больше длины отрезка СБ. А В С ~Ъ А = В Точки А и В совпадают. А. В 'Применяем и объясняем Прочтите, затем изобразите рисунком: а) [МЫ ] П [ КР ] = {Е}; б) в) С ё Аб. 3 Задача для чемпионов Как при помощи математических символов можно записать высказывание: „Точки М, N и К коллинеарны“? Упражнения и задачи *1 ■ -------------------------------------------- 1. Рассмотрите рисунок и определите: а) точки; б) прямые; в) полупрямые; г) отрезки. 2. Рассмотрите рисунок задания 1 и заполните пропуски: а) Прямую В можно обозначить и как . б) Полупрямые и противоположны. в) Точки коллинеарны. г) Точка принадлежит прямой , а точки не принадлежат этой прямой. д) Прямые и пересекаются в точке . Элементы геометрии 203 3. Постройте и обозначьте: а) прямую и точку, принадлежащую ей; б) отрезок и точку, не принадлежащую ему; в) полупрямую и параллельный ей отрезок; г) пять точек, каждые три из которых неколлинеарные. 4. Обозначьте множество всех точек прямой: а) расположенных между точками А и В этой прямой; б) расположенных по ту сторону от точки А (этой прямой), что и точка В (этой прямой). 5. Прочтите: а) М е [АВ]; б) N € [ЕВ; в) А I [МЫ] = {К}; г) Ъ || ВС; д) АВЕ1; е) М € а; ж) Ъ с в . 6. Рассмотрите рисунок и выберите отрезки, длина которых: а) не больше 6 см; б) не меньше 3 см; 1 в) от 3 см до 6 см; г) не больше 4 ^ см. 4 У3 ( "Т 0 У В ( 7. Рассмотрите рисунок задания 6 и определите: а) [АС ] П [ВБ]; б) [ВС ] ^ [СЕ ]; в) [АБ ]\[ ВЕ ]; г) [ВС П [ЕЕ; д) [АВ ^ [Б С ; е) [В Е] П [СВ. 8. Точки А, В и С коллинеарны и расположены в данном порядке. Найдите длину отрезка: а) АВ, если АС = 20 см, ВС = 0,12 дм; б) АС, если АВ = 9 см, ВС = 1,5 дм; в) ВС, если АВ = 1,4 см, АС = 4,1 дм; г) АС, если АВ = 2ВС = 10,8 см. ■ ----------------------------------------------------------------------------------------------- 9. Перечертите рисунок. Используя линейку и угольник, проведите через точку М одну прямую, параллельную прямой А, а другую - перпендикулярную прямой А. 204 Глава 5 10. Сравните длины отрезков при помощи циркуля: а) АВ и СВ; б) МЫ и КР; в) РС и ЕН; г) и Т 0. 8 б 11. Сколькими способами можно обозначить прямую, изображенную на рисунке? У3 ( /3 12. Точки А, В и С коллинеарны и расположены в данном порядке. Вычислите расстояние между серединами отрезков А В и ВС, если АВ = 24 см и ВС = 16 см. 13. Отрезки АВ и ВС лежат на одной прямой. Найдите ВС, если АВ = 16 см, а расстояние между серединами данных отрезков 14 см. 14. Точки А, В и С неколлинеарны. Через каждые две из них провели прямую. На сколько частей делят плоскость проведенные прямые? 15*. Числовые оси Ох и Оу перпендикулярны (см. рисунок). Обозначение А(4; - 1) читается как: „Точка А имеет координаты 4 и - 1 ” . Это означает, что прямая, параллельная Оу и проходящая через точку А , пересекает ось Ох в точке деления 4, а прямая, параллельная Ох и проходящая через точку А, пересекает ось Оу в точке деления -1. Аналогично определите координаты других точек, отмеченных на рисунке. Образец: В (2,5; 1). У> ' 4 ь 3 . С Р в А2 . н 1 . В К 1 - з 1 О 2 3 4 X 1 АА 2 Е с Элементы

Задания для осмысления

 Что называют отношением двух чисел? 2. Приведите примеры отношений из повседневной жизни. 3. Спросите у родителей и укажите, чему равно отношение количества сахара к фруктам, использованным для приготовления варенья, компота. 4. Чем отличается отношение от дроби? 5. Сформулируйте примеры отношений из физики, экономики, геометрии, кулинарии. 6. Что представляет собой пропорция? 7. Запишите все пропорции, которые можно получить из пропорции а = С . 8. В каком случае из четырех ненулевых чисел можно получить верную пропорцию? 9. Приведите свои примеры пропорций из разных областей знания. 10. Какие величины называются прямо пропорциональными? 11. Приведите примеры прямо пропорциональных величин из разных областей знания. 12. Дополните предложения, чтобы получить истинные высказывания: а) „ Зарплата родителей прямо пропорциональна .. б) „Расстояние, пройденное автомобилем, прямо пропорционально . и . “ 13. Составьте задачу, которую можно решить, используя Простое правило трех. 14. Какие величины называются обратно пропорциональными? 15. Приведите примеры обратно пропорциональных величин из разных областей знания. 16. Что такое 1%? 3 17. Верно ли, что — = 75 % ? Обоснуйте ответ. 18. „Газ в Республике Молдова подорожал на 12%“. Объясните смысл этого высказывания. 19. Какие типы задач на проценты вы знаете? 20. Как найти процент р % от числа п? 21. Как найти число, зная, что число т составляетр % от искомого числа? Отношения и пропорции 193 22. Как найти д % от р %? 23. Составьте задачу по каждому типу задач на проценты. 24. Приведите примеры применения процентов в разных областях знания. 25. Для чего нужны проценты? 26. Приведите примеры событий: достоверных, невозможных, возможных. 27. Как можно представить статистические данные? Упражнения и задачи на повторение ■ -------------------------------------------------------------- 1. 2. Вычислите значение отношения: ч 2 а) 5 ; б) 2 в) 0,504, 1,4 : Запишите три отношения, равные отношению: ) 1 . б) 9. ) 1,2 . ) а) 7 . б) 4 . в) 0 4 ’ г) г) 4,35 2,9 • _01 11,1' 3. Сравните числа а и Ъ, если: а) » = 0,93. б) | = -2015.; в) а =1,6»; г) » = 0,99а. д) а > 1, е) а < 1 . 4. Найдите значение отношения между: а) количеством дней в январе и в августе; б) количеством дней недели и дней весенних месяцев; в) своим ростом и ростом соседа по парте; г) количеством страниц в учебниках по математике и физике. 5. Сравните с помощью отношения: а) возраст родителей; б) свой вес и вес соседа по парте; в) измерения учебника по математике; г) валютный курс доллара и евро. 6. Восстановите последовательность равных отношений: я) 5 = 20 = ■ = _10 = ■ . а) 6 ■ 36 9 ’ в) - 9 . = - ! - = Л = ■ . в) ■ ■ 16 2 2 ’ б) ■ = = ■ = 8,4 = ■ = 49. ) 0,5 ■ 2 ■ 9,6 7 ’ , 1 2 3 4 г) ■ ■ ■ ■ 194 Глава 4 7. Сравните цены. а) 3 кг пшеничной муки стоят 26 леев, а 2 кг кукурузной муки - 17 леев. б) 1,5 л томатного сока стоят 11,4 лея, а 2 л яблочного сока - 14,6 лея. в) 0,8 м2 керамической плитки стоят 65 леев, а 1,2 м2 паркета - 98 леев. г) 5 м железной трубы стоят 140 леев, а 3 м оцинкованной трубы - 100 леев. 8. Восстановите пропорцию: а) 8 _ _ . б) _ _ 5. а) 9 _ 1 8 ’ б) 6 _ 4 ’ в) 2,4 _4_ 1,6’ г) 10 _ _2_ 0,4 9. Определите, являются ли данные числа членами пропорции: а) 18 4 2 9 ; в) б) 1 7 3 21 ; г) I2 5 6 I0 . 10. Из 25 л молока получают 3 л сметаны. а) Сколько сметаны получится из 75 л молока? А из 180 л? А из 500 мл? б) Сколько молока потребуется, чтобы получить 4,5 л сметаны? А 600 мл? А 500 мл? 11. Фермер вскопал землю вокруг 5 деревьев за 30 минут. Если он будет продолжать работать в том же темпе, за какое время он вскопает землю вокруг 150 деревьев? 12. В таблице представлены данные о скорости и времени прохождения одного и того же расстояния разными видами транспорта. Перечертите и заполните таблицу: Скорость (км/ч) 40 90 120 50 10 200^ Время (ч) 3 2 4 6 8 Л 13. Девочки составляют 55% всех учеников школы. Чему равно отношение числа мальчиков к числу девочек? 14. Запишите в процентном отношении: 1 7 9 15 1 5 а) 4 ’ б) 2 5 ’ в) 1 0 ’ г) У ’ д) 0,91; е) 2,14; ж) 1 4 ’ з) 2 8 ' 15. Сколько процентов составляют: 4 2 1 1 а) 5 от 12; б) 9 от 3 ’ в) 25 от 40; г) 1^ от 2 9 ? 16. а) Уменьшите сумму в 180 леев на 15%. б) Уменьшите сумму в 240 леев на 20%. в) Увеличьте сумму в 2 100 леев на 25%. г) Увеличьте сумму в 1 480 леев на 30%. Отношения и пропорции 195 17. Из 2500 семян взошли 2175. Найдите процент всхожести семян. 18. Провели эксперимент: „Выбрали наугад одну цифру1“. Приведите два примера событий: а) достоверных; б) невозможных. 19. В коробке 16 зеленых и 14 синих карандашей. Какое из событий имеет больше шансов наступить: А: „Извлекли наугад зеленый карандаш“ или В: „Извлекли наугад синий карандаш”? ■ ----------------------------------------------------------------------------------------------- 20. Телевизор потребляет 180 ^ (читаем „ватт“) электроэнергии за 3 часа. Сколько электроэнергии будет израсходовано работающим телевизором за 5 часов? А за 8 часов? 21. Фотографию размером 5 см на 6 см пропорционально увеличили таким образом, что ее длина стала 108 мм. Какова теперь ширина фотографии? 22. В таблице указаны тарифы телефонных переговоров для двух пакетов. Пакет Включенные минуты Абонемент (леев) Тариф за дополнительные минуты (банов) Стандарт 300 24 9,6 Эконом 200 6 24 Господин Копейкин за месяц в среднем расходует 200 мин телефонного времени, а его квартирант Иван - 250 мин в среднем. а) Какой пакет более удобен для них? б) Какую сумму денег должен заплатить каждый из них за телефон? (Рассмотрите оба случая.) 23. Увидев персидский ковер размером 3 м на 4 м и стоимостью 4080 леев и индийский ковер размером 2,5 м на 4,5 м стоимостью 3 825 леев, господин Копейкин сделал вывод, что персидский ковер дороже индийского (хотя их периметры одинаковы!). Прав ли господин Копейкин? 24. Известно, что — = 3,4 и — = 17. Найдите У У 2 25. Отношение двух натуральных чисел - —, а их разность - 3. Найдите эти числа. 196 Глава 4 26. П рои зведен и е двух натуральны х чисел - 96, а значение их отн ош ения - 1,5. Н айдите эти числа. 27. Значение отнош ения двух чисел - 5,92, а их сумма - 17,3. Н айдите эти числа. 28. Величины х и у прямо пропорциональны . Зная, что если х = 8, то у = 3, найдите: а) значение у , если х = 12; б) значение у , если х = 2; в) значение х , если у = 30; г) значение х , если у = 0,9. 29. Величины и и V о б р а т н о п р оп ор ц и он ал ьн ы . Зная, что если и = 12, то V = 2 0 , найдите: а) значение V, если и = 5; б) значение V, если и = 8; в) значение и, если V = 60; г) значение и, если V = 3. 30. Зарплата рабочего составляла 1 600 леев. Сейчас он получает 2 320 леев. Н а сколько процентов вы росла зарплата рабочего? 31. Зарплата учителя составляла 1 800 леев. Ее повысили на 35%. К акова теперь зарплата учителя? 32. Практическая работа. П роведите экскурсию в ш кольной библиотеке и оп р едел и те число книг, и здан н ы х на разн ы х язы ках. П р едставьте полученны е данны е при помощ и: а) таблицы; б) круговой диаграммы; в) столбчатой диаграммы . 33. П риведите прим еры использования представления данн ы х ваш ими родителями в их проф ессиональной деятельности. 34. М иш а потратил 20% всей суммы своих денег. Н а сколько процентов он долж ен увеличить оставш ую ся сумму денег, чтобы получить первоначальную сумму? 35. О дно число составляет 80% от другого числа. Сколько процентов составляет второе число от: а) первого; б) их суммы? э х у 2 х + у + 2 36. Зная, что = = = 5, найдите: а) ; а Ъ с а + Ъ + с х 2 37. Д ана пропорция: — = 9 . Найдите: ч х + у х ч х + 2 а) ; б) ; в) б) 2 , 2 , 2 х + у + 2 а 2 + Ъ2 + с 2 у х + у у + 9 ’ г) 3х + 4 у 38. Д ана пропорция 4 = 5.. Н айдите каж дое из отнош ений пропорции, если а + Ъ = 27. Отношения и пропорции 197 Итоговый тест Время выполнения работы: 45 минут I вариант 1. В соревновании участвуют 80 спорт3 сменов, из которых 5 - девушки. а) Истинно или Ложно? 3 „ „ 5 - рациональное число. б) Определите, какой процент от всех спортсменов составляют девушки. в) Вычислите значение отношения между количеством юношей и количеством девушек, участвующих в одном из забегов, если в этом забеге участвовало на 12 девушек меньше, чем общее количество девушек. 2. Даны числа: 6; 0,4 и 1,6. Впишите такое число, чтобы полученное высказывание стало истинным: 6 = ” „ 0,4 16 ' Обоснуйте ответ! 3. Масштаб карты равен 1:5000000. Найдите расстояние от города Бричень до муниципия Кишинэу, если на карте оно равно 4,8 см. II вариант 1. В олимпиаде участвуют 60 учащих3 ся, из которых — - юноши. а) Истинно или Ложно? „60 - целое число.” б) Определите, какой процент от всех участников составляют юноши. в) Вычислите значение отношения между количеством юношей и количеством девушек, участвующих на одном из этапов олимпиады, если на этом этапе участвовало на 8 юношей меньше, чем общее количество юношей. 2. Даны числа: 8; 0,5 и 2,5. Впишите такое число, чтобы полученное высказывание стало истинным: _8_= 0 5 ” 2,5' Обоснуйте ответ! 3. Масштаб карты равен 1: 4000000. Найдите расстояние от муниципия Кишинэу до города Кахул, если на карте оно равно 4,3 см. 4. В V классе 30 учащихся, в VI - 28 учащихся, в VII - 32 учащихся, в VIII - 30 учащихся, а в IX классе - 36 учащихся. а) Представьте эти статистические данные в виде таблицы. б) Представьте в виде столбчатой диаграммы эти статистические данные. 3 4. В V классе 18 учащихся, в VI - 24 учащихся, в VII - 30 учащихся, в VIII - 18 учащихся, а в IX классе - 28 учащихся. а) Представьте эти статистические данные в виде таблицы. б) Представьте в виде столбчатой диаграммы эти статистические данные. Схема оценивания теста О ц ен ка 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 С ум м а баллов 27-26 25-24 23-21 20-17 16-12 11-8 7-6 5-4 3-2 1-0

Элементы теории вероятности и представление данных

 Бросают игральную кость. Каковы шансы (вероятность) выпадения грани с: а) 8 очками; б) 4 очками; в) количеством очков меньше 7? Решение: Бросание игральной кости - это эксперимент. В результате этого эксперимента могут наступить или не наступить события, связанные с этим экспериментом. а) Событие „Выпадет грань с 8 очками“ не имеет шансов (вероятности) наступить, так как на каждой грани игральной кости не больше 6 очков. Говорим, что это событие невозможное, а шанс (вероятность) наступления равен 0. б) Событие „Выпадет грань с 4 очками“ имеет шанс (вероятность) наступить. Говорим, что это событие возможно (или случайно). в) Событие „Выпадет грань с количеством очков меньше 7“ обязательно наступит, поэтому говорим, что это событие достоверно, а шанс (вероятность) наступления равен 1. возьмите на заметк В жизни встречаются разные эксперименты. Результат эксперимента называется событием. События могут быть: ♦ достоверными Шанс (вероятность) наступления равен 1. ♦ невозможными ♦ случайными Шанс (вероятность) наступления равен 0. Шанс (вероятность) наступления равен числу больше 0, но меньше 1. Решаем и поясняем В барабане одинаковое количество белых и черных шаров. Из барабана наугад извлекают один шар. Дополните предложения: 1) Событие „Извлечен белый ш ар“ является событием. Отношения и пропорции 187 2) Событие „Извлечен черный ш ар“ является событием. 3) Событие „Извлечен зеленый ш ар“ является событием. 3) Шансы (вероятность) наступления событий 1) и 2) равны . 7.2. Представление данных ^ сЭ уемТ у зизе^ Ученики VI класса получили следующие оценки за выполнение контрольной работы по математике: две „4“, шесть „5“, четыре „6“, четыре „7“,три „8“, две „9“ и четыре „ 10“. Представьте в виде таблицы данные об оценках за контрольную работу. Решение: Оценка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 К-во оценок 0 0 0 2 6 4 4 3 2 4 В таблице записаны результаты проведения контрольной работы по математике в VI классе. В этом случае говорят, что выполнен статистический анализ, сбор и регистрация данных. 7 возьмите на заметку М атематическая статистика - это наука, занимающаяся сбором, регистрацией, обработкой, анализом и интерпретацией данных, относящихся к некоторому явлению (из экономики, социальной жизни, метрологии, сельского хозяйства, биологии и др.). Статистические данные можно представить с помощью: • таблиц; • графиков (рис. 3); • диаграмм (квадратных, столбчатых, круговых и др.) (рис.1, рис.2, рис. 4). Решаем и поясняем • Представьте с помощью столбчатого графика результаты проведения контрольной работы по математике из задачи ^ . Решение: Графическое представление дано на рисунке 1. Проанализируйте этот рисунок. 7 К-во оценок 5 3 1 1 ------► 1 3 5 7 9 Оценка Рис. 1 188 Глава 4 В школьной библиотеке 50% книг на русском языке, 25% на румынском, 10% на английском и 15% книг на французском языке. Представьте эти данные с помощью круговой диаграммы. Решение: Графическое представление дано на рисунке 2. П роанализируйте этот ри ­ сунок. На графике, изображенном на рисунке 3, представлено помесячное количество сока, изготовленного на заводе за первое полугодие 2017 года. Проанализируйте этот график. Прокомментируйте создавшуюся ситуацию на заводе в первом полугодии. Какие рекомендации вы можете дать администрации завода? Книги на английском языке Рис. 2 Упражнения и задачи ■ ------------------------------------------------------------------------------------------------ 1. Приведите по два примера экспериментов и событий, связанных с этими экспериментами (достоверных, невозможных, случайных). 2. Провели эксперимент „Бросание баскетбольного мяча в корзину“. а) Сформулируйте события, связанные с этим экспериментом. б) Являются ли эти события достоверными? Невозможными? Случайными? в) Каковы шансы наступления сформулированных событий. 3. В коробке 12 красных и 12 синих карандашей. Наугад взяли один карандаш из коробки. а) Сформулируйте события, связанные с этим экспериментом. б) Определите шансы наступления каждого события. Сделайте выводы. 4. Приведите примеры экспериментов и определите возможные события, связанные с этими экспериментами. Отношения и пропорции 189 5. В коробке с леденцами красного, желтого и зеленого цвета половина конфет красного цвета, четверть - желтого цвета, а остальные - зеленого. Наугад извлекается одна конфета. а) Какой из этих цветов более вероятен при извлечении одного леденца? б) У конфет какого цвета одинаковые шансы быть извлеченными? 6. Соберите статистические данные относительно роста учащихся вашего класса. Представьте полученные данные: а) в виде таблицы; б) в виде столбчатого графика. 7. На рисунке 4 представлены в виде столбчатой диаграммы продажи учебников в книжном магазине за неделю. а) Сколько всего было продано учебников? б) Найдите процент проданных учебников за каждый день. в) В какой день было продано больше всего учебников? 8. В таблице представлено количество пациентов поликлиники за один день. а) Представьте в виде столбчатой диаграммы эти статистические данные. б) Вычислите процент пациентов за каждый период времени. в) В какой период времени поликлинику посетила большая часть пациентов: до обеда (до 13 часов) или после него? На сколько процентов больше? Период времени К-во пациентов с 9 до 10 88 с 10 до 11 102 с 11 до 12 185 с 12 до 13 80 с 13 до 14 110 с 14 до 15 164 с 15 до 16 76 с 16 до 17 58 190 Глава 4 ■ ------------------------------------------------------------------------------------------------ 9. Монету бросают 20 раз. а) Определите события, связанные с выпадением орла или решки при бросании монеты. б) Каковы шансы наступления данных событий? в) Повторите этот эксперимент еще 20 раз. Сделайте вывод. 10. Бросают игральную кость. а) Сформулируйте хотя бы 6 случайных событий этого эксперимента. б) Сформулируйте хотя бы 3 достоверных события этого эксперимента. в) Сформулируйте хотя бы 2 невозможных события этого эксперимента. 11. Из 24 сыгранных матчей футбольным клубом „У дача“ 11 матчей выиграно и 8 ничьих. Из 24 сыгранных матчей футбольным клубом „ Успех “ 14 матчей выиграно и 5 ничьих. За каждую победу команда получает 3 очка, а за ничью - 1 очко. Осталось сыграть 5 матчей. Какой из двух футбольных клубов имеет больше шансов занять первое место в чемпионате? 12. Имеют ли равные шансы наступления следующие события, связанные с экспериментом „Бросание игральной кости “: а) „выпадут 8 очков“ и „ выпадут 12 очков“; б) „выпадет 2 очка“ и „выпадут 6 очков “; в) „выпадет четное число очков“ и „выпадет нечетное число очков“? 13. В коттеджном поселке 350 домов: 210 из них - одноэтажные дома, 120 - двухэтажные дома и 20 - трехэтажные. а) Представьте эти данные в виде таблицы. б) Представьте эти данные с помощью столбчатой диаграммы. 14. Практическая работа. Определите количество разноуровневых домов вашего квартала и представьте полученные данные с помощью столбчатой диаграммы. 15. Практическая работа. Представьте в виде круговой диаграммы в процентах наличие в вашей домаш ней 50 % библиотеке книг, 40 % изданных на разных языках. 16. На диаграммах, изображенных на рисунке 5, допущены ошибки. ________________ Найдите их и по- Учебники Художественные Словари стройте правиль- книги ные диаграммы. а) Р и с . 5 б) Отношения и пропорции 191 17. Представьте в виде столбчатой диаграммы следующие данные: - расстояние от Солнца до планеты Меркурий ~ 58 миллионов км; - расстояние от Солнца до планеты Венера ~ 108 миллионов км; - расстояние от Солнца до планеты Земля ~ 150 миллионов км; - расстояние от Солнца до планеты Марс ~ 228 миллионов км. (Возьмите за 1 см 10 миллионов км.) 18. а) Представьте в виде столбчатой диаграммы следующие данные: - длина реки Днестр - 1 400 км; - длина реки Днепр - 2200 км; - длина реки Дон - 1 900 км; - длина реки Волга - 3 500 км. б) Определите, по территории каких стран протекает каждая река. в) Найдите, округлив до десятых, во сколько раз Днестр короче Днепра. г) Определите, округлив до десятых, во сколько раз Волга длиннее Днепра. 19. Представьте следующие данные в виде круговой диаграммы, а затем в виде столбчатой: а) В селе 120 домов, из которых 25 - покрыты шифером, 35 - черепицей, а у 60 домоы крыши дощатые. б) В коробке с цветными карандашами 12 красных, 8 синих, 5 черных и 15 желтых карандашей. 20. В урне 50 шаров, пронумерованных числами 1,2,3,_,50. Выбирают наугад один шар. Какое из событий имеет больше шансов наступить: 1) „Выбрали шар с числом, которое при делении на 5 дает в остатке 1“; 2) „Выбрали шар с числом, которое является точным квадратом “. 21. Приведите три примера экспериментов, события которых имеют равные шансы произойти. 22. Представьте в виде столбчатой диаграммы количество учащихся во всех классах вашей школы. 23. Проведите какое-либо исследование с одноклассниками и представьте полученные данные наиболее удобным способом.