ERORI ÎN CALCULUL NUMERIC

ERORI ÎN CALCULUL NUMERIC După studierea acestui capitol, veţi fi capabili să: • identificaţi mărimile exacte şi cele aproximative; • calculaţi erorile absolute şi relative; • determinaţi sursele de erori în problemele de modelare; • identificaţi tipurile de erori posibile în funcţie de natura problemei rezolvate. 2.1. Numere aproximative. Eroarea absolută si relativă » Numărul a se numeşte aproximare a numărului A dacă valorile lor se deosebesc neînsemnat şi a poate înlocui A în calcule numerice. Dacă este adevărată relaţia a < A, a este numit aproximare prin lipsă, dacă a > A - aproximare prin adaos. De exemplu, pentru n numărul 3,14 va fi aproximare prin lipsă, iar 3,142 - aproximare prin adaos. Într-adevăr 3,14 < n < 3,142. Valorile aproximative apar în procesul măsurărilor realizate, iar diferenţa valorii aproximative de cea exactă se poate datora unei varietăţi de factori: condiţiilor de temperatură, presiunii, umidităţii, calităţii instrumentelor de măsurare, calificării persoanei care execută măsurarea etc. Prin eroare Aa se înţelege diferenţa A-a (uneori şi a-A). În funcţie de valorile a şi A, Aa poate fi negativă sau pozitivă. Pentru a obţine numărul exact A, se adaugă la a valoarea erorii Aa: A = a + Aa. De multe ori este cunoscută valoarea aproximativă a fără a se cunoaşte semnul erorii. În aceste cazuri se utilizează eroarea absolută, care se defineşte în felul următor: Eroare absolută A a valorii aproximative a se consideră modulul diferenţei dintre valoarea exactă A si valoarea aproximativă a: A = |A - a\ . Eroarea absolută nu este un indice suficient pentru estimarea exactităţii calculelor sau a măsu16 Info+ Reprezentarea numerelor în calculator implică utilizarea numerelor aproximative cu un număr finit de cifre. Cifrele reţinute se numesc cifre semnificative, prima fiind obligatoriu diferită de 0. Exemplu:0,04708 are patru cifre semnificative. Primele două zerouri doar fixează poziţia virgulei zecimale. Aproximarea a (anan_xan_2-■ ■ a0) a numărului exact A are k cifre semnificative exacte ax ai_1—ai_k+1 dacă: . 2 rarilor. Fie că în urma măsurării lungimii a două bare, cu lungimi de 20 m şi 6 m, respectiv, au fost obţinute rezultatele de măsurare 20,5 m şi 6,2 m. Cu toate că valoarea absolută a erorii în primul caz este mai mare, este evident că prima măsurare a fost realizată mult mai exact decît a doua. Pentru a determina calitatea măsurării (a calculului), se raportează mărimea erorii absolute la o unitate de lungime (sau, în caz general, la o unitate de măsură respectivă). Eroare relativă 8 a valorii aproximative se consideră raportul dintre eroarea absolută A si modulul numărului exact A (A ^ 0): ' A_ A E x e m p lu : O bară are lungimea de 100 cm. În urma unei măsurări a fost stabilită o valoare a lungimii egală cu 101 cm. Distanţa dintre punctele A şi B este de 3 000 m. Ca rezultat al măsurării s-a obţinut distanţa de 2 997 m. Se cere determinarea erorii relative a fiecărei măsurări şi măsurarea mai exactă. Rezolvare: ^ pentru prima măsurare ; i i 3 pentru măsurarea a doua . F l l ’ 3000 ’ Deoarece eroarea relativă a celei de-a doua măsurări este mai mică, această măsurare este mai exactă. Întrebări si exerciţii > > O Explicaţi noţiunea de eroare. Daţi exemple de apariţie a erorilor în situaţii reale. e Definiţi noţiunea de eroare absolută. Exemplificaţi. e Definiţi noţiunea de eroare relativă. Exemplificaţi. Cum se va modifica formula de calcul a erorii relative, dacă eroarea trebuie indicată în % de la valoarea exactă a mărimii cercetate? O Lungimea traseului dintre două localităţi, afişată pe indicatorul de drum, este de 230 km. Parcurgînd acest traseu cu autovehiculul, aţi fixat variaţia indicaţiilor dispozitivului de măsurare a distanţei - 230,7 km. Considerînd datele indicatorului ca fiind exacte, determinaţi eroarea absolută şi eroarea relativă a măsurării. e O bară cu lungimea exactă de 100 cm a fost măsurată cu o eroare absolută de 2 cm. Care sînt valorile posibile, obţinute în procesul de măsurare? © Volumul exact al unui vas este de 20 l. Măsurările de volum au fost efectuate cu o eroare relativă de 0,001. Care sînt valorile posibile ale volumului măsurat? 2.2. Sursele erorilor de calcul Erorile care apar în timpul rezolvării problemelor pot proveni din diferite surse. Cunoaşterea surselor de apariţie a erorilor permite ocolirea lor şi minimizarea efectului cumulativ al erorilor. Cele mai des întîlnite tipuri de erori sînt: a) erori de problemă; 17 b) erori de metodă; c) erori ale datelor de intrare; d) erori de aproximare; e) erori de rotunjire. Erori de problemă. Această categorie de erori apare în situaţiile cînd modelul matematic ales pentru rezolvarea problemei nu descrie complet procesul real cercetat. Astfel, în exemplul 2 (1.2. Modelul matematic şi modelarea matematică), pentru a construi modelul matematic al sistemului bilă-arc, s-a utilizat ecuaţia oscilaţiilor armonice pentru deformaţii mici şi în lipsa forţei de frecare. Prin urmare, rezultatul obţinut prin utilizarea formulei va fi diferit de cel exact, diferenţa fiind cu atît mai semnificativă, cu cît e mai mare forţa de frecare şi deformarea arcului în sistemul real. Erori de metodă. Este o categorie de erori generată de imposibilitatea determinării unei metode exacte de rezolvare a problemei sau de restricţiile care impun utilizarea unei metode mai puţin exacte. În acest caz problema iniţială este rezolvată printr-o metodă euristică, care poate genera diferenţe esenţiale între rezultatul calculat şi cel exact. Un exemplu elocvent este utilizarea metodei Greedy pentru rezolvarea problemei rucsacului. Erori ale datelor de intrare. Deseori procesul de modelare matematică se bazează pe rezultatele unor experienţe, adică pe nişte seturi de mărimi numerice, obţinute în urma măsurărilor. Aceste mărimi nu sînt exacte (ex.: distanţa, masa, viteza). Fie că un corp se mişcă pe o traiectorie descrisă pe segmentul [0,1] de funcţiaf (x) = x2+x + 1. Se ştie că valoarea argumentului x se calculează cu o eroare absolută care nu depăşeşte 0,01. Prin urmare, dacă z este valoarea exactă a argumentului, atunci |z - x| < 0,01. În condiţiile date se poate stabili în ce măsură eroarea la măsurarea valorilor lui x influenţează rezultatul calculului: |/ (x) - / (z)| = |jc2 + x +1 - z2 - z - 1| = = |x2 + x - z2 - z| = |(x - z)(x + z + 1)|. Deoarece x + z+ 1< 3 şi |z —x| < 0,01, rezultă . ’ Diferenţa dintre valoarea funcţiei de argument exact (z) şi valoarea funcţiei de argument măsurat (x) este o mărime constantă. De aici reiese că erorile de calcul nu depind de x, ci numai de exactitatea cu care acesta este măsurat, iar funcţia este stabilă la erori. Erori de aproximare. Este o categorie de erori generate de anumite definiţii şi noţiuni matematice. Prezenţa lor este acceptată în special în problemele care folosesc noţiunea de limită, convergenţă etc. Apariţia acestui tip de erori este motivată de însăşi structura definiţiei care conţine elemente de aproximare. Ne amintim! Problema rucsacului: Fie un rucsac de volum x S şi n obiecte de volume vh i = 1...n şi costuri c;, i = 1...n. Se cere să se pună în rucsac obiecte din setul propus astfel, încît costul total al obiectelor puse în rucsac să fie maxim posibil. Dacă pentru rezolvare este folosită metoda Greedy, în majoritatea cazurilor soluţia obţinută va fi diferită de cea optimă. Astfel, pentru un set din cinci obiecte cu volumele 5, 7, 13, 20, 10, costurile respective de 4, 8, 15, 23, 5 şi un rucsac cu volumul de 30 de unităţi va genera soluţia cu valoarea 27 (obiectele 3, 2, 1). (Sortarea obiectelor este realizată în descreşterea raportului cost/volum.) În realitate soluţia optimă are valoarea 31 (obiectele 2 şi 4). 18 Exemplu: Şirul {xn} este convergent şi are limita x dacă pentru orice e > 0, e A 0, există un rang n(ne), astfel încît Vn > ne, |jc- jcb| < e. Din punctul de vedere al analizei numerice, e indică precizia cu care xn aproximează x. În procesul de calcul al limitei se utilizează o aproximare consecutivă, care se apropie tot mai mult de limita exactă, fără a o atinge. Stoparea procesului de calcul are loc atunci cînd deviaţia (eroarea) devine mai mică decît eroarea maximă admisibilă (e). De reţinut că rezultatele obţinute prin calcul numeric sînt acceptate doar ca rezultate cantitative şi nu pot servi drept demonstraţie pentru anumite afirmaţii matematice. Erori de rotunjire. Este un tip aparte de erori, generate de faptul că în procesul prelucrării mărimilor numerice în calculator ele pot fi păstrate doar cu un anumit număr de semne zecimale după virgulă. Drept exemplu poate servi constanta n, valorile funcţiilor trigonometrice etc. Fie A = {a1, a2, a3, ..., an,} mulţimea tuturor numerelor care pot fi reprezentate în calculator. (Se consideră că a1 < a2 < a3 < ... < an) Oricare din numerele ~^a,+1 lipseşte în mulţimea iniţială A. În cazul apariţiei unei asemenea situaţii de calcul, apare eroarea legată de înlocuirea rezultatului real prin numărul cel mai apropiat de el din mulţimea A. Această procedură este numită rotunjire. Funcţia de rotunjire aplicată la calculatoare se defineşte în felul următor: VxeR, ateA, aMeA xe(ai, a.+d rd(x) = ai dacă X( rd{x) = ai+l dacă x < i+i f „ \ <*t> V a i + ° i + l J > a i + Utilizarea funcţiei de rotunjire generează abateri de la legile de bază ale operaţiilor aritmetice, care nu mai sînt asociative, distributive. Ne amintim! Se consideră că funcţia f(x): I -> R posedă proprietatea Lipschits dacă există o constantă m > 0, astfel încît: f(x) - f(z)\ < m* \z-x\, V x, z e I. Se consideră că determinarea valorilor funcţiei f(x) este stabilă la erori, dacă f(x) posedă proprietatea Lipschits. În alţi termeni, stabilitatea funcţiei la erori presupune variaţii mici ale valorilor funcţiei la variaţii mici ale argumentului. Info+ Apropierea valorilor termenilor şirului 1/n de limita şirului - 0. n = 1 1/n = 1 n = 2 1/n = 0,5 n = 501 1/n = 0,001996 n = 502 1/n = 0,001992 n = 503 1/n = 0,001988 n = 999 1/n = 0,001001 n = 1000 1/n = 0,001000 n = 1001 1/n = 0,000999 Exemplu: Fie că în procesul de calcul se poate opera cu cel mult 3 cifre după virgulă. În acest caz pentru numerele a = 0,2334, b = 0,2331, c = 0,233 se obţine rd(rd(a+b)+c) = = rd(rd(0,4665)+0,233) = = rd(0,467+0,233) = 0,7; rd(a+rd(b+c)) = = rd(0,2334+rd(0,4661)) = = rd(0,2334+0,466) = = rd(0,6994) = 0,699. 19 În cazul rotunjirii rezultatelor de calcul, erorile nu depăşesc după modul valoarea de 0,5 x 10 " (aceste erori se numesc erori de rotunjire absolute), unde n este numărul de semne semnificative (care pot fi percepute) în procedura de calcul. Erorile de rotunjire pot fi atît pozitive, cît şi negative. În cazul alternării lor, are loc procesul de compensare, ca rezultat eroarea finală nu creşte odată cu numărul de calcule. Întrebări si exerciţii * j O Identificaţi principalele surse de erori. Exemplificaţi. e Daţi exemple de erori generate de imposibilitatea formulării exacte a problemei. Motivaţi imposibilitatea formulării exacte. e Care funcţii posedă proprietatea de stabilitate a calculului valorilor faţă de erori? O Este oare stabil faţă de erori calculul valorilor funcţiei liniare? Dar al funcţiei y = V ^ [ l > 2 ] ? © Explicaţi esenţa erorilor de aproximare. © Soluţia unei probleme se calculează iterativ după formula: x0 = 0, xj+l — ^2 + xt. Va atinge oare şirul soluţiilor calculate valoarea soluţiei exacte? Stabiliţi experimental sau analitic soluţia exactă. După cîte iteraţii eroarea absolută a soluţiei calculate va deveni mai mică de 0,0001? © Din care motiv rezultatele obţinute prin metode numerice nu pot servi drept demonstraţii ale afirmaţiilor matematice? © Care este cauza apariţiei erorilor de rotunjire? Exemplificaţi. © Scrieţi un program care determină produsul şi cîtul numerelor 1,00000001 şi 0,999999999. Valorile vor fi stocate în variabile, avînd tipul real. Analizaţi rezultatele obţinute. Explicaţi cauzele apariţiei erorii. 20 Test de evaluare 1. Eroarea absolută A a mărimii aproximative a pentru valoarea exactă A este dată de formula: a) A = |A - a|; c) b) A = |A| - |a|; d) 2. Frecvenţa pe care emite un post de radio este de 105,2 MHz. În procesul de scanare a frecvenţelor, staţia de radio a stabilit pentru postul dat frecvenţa de 105,25 MHz. Determinaţi eroarea absolută şi eroarea relativă cu care a fost stabilită frecvenţa de staţia de radio. Care este efectul real al erorii, observat în procesul de lucru al staţiei? 3. Determinaţi cîte cifre semnificative are fiecare din următoarele numere: a) 0,375; d) -0,0022222; b) 0,000672; e) 0,010101. c) -0,1233; 4. Erorile de aproximare sînt erorile care apar din cauza: a) modelului matematic incomplet; b) insuficienţei datelor de intrare; c) specificului reprezentării numerelor în calculator; d) metodei aproximative de rezolvare; e) definiţiilor şi noţiunilor matematice care conţin elemente de aproximare. 5. În rezultatele calculelor realizate pentru procesarea tranzacţiilor financiare se poate opera cu cel mult 2 cifre după virgulă. Pentru numerele a = 0,113, b = 0,162, c = 0,21 calculaţi: a) rd(rd(a+b)+c); b) rd(a+rd(b+c)). Care tip de erori este cauza diferenţelor rezultatelor obţinute? Studiu de caz Fie un container cu volum de 250 de unităţi şi 5 obiecte avînd volumele de 120, 40, 40, 100, 150 de unităţi şi costurile respective de 150, 60, 80, 120, 180. Se cere să se pună în container obiecte din setul propus astfel, încît costul total al obiectelor puse în container să fie maxim posibil. a) Determinaţi soluţia problemei, utilizînd metoda Greedy. (Ordonarea obiectelor va fi realizată după descreşterea raportului cost/volum.) b) Determinaţi soluţia exactă a problemei, folosind metoda trierii. c) Determinaţi eroarea absolută şi eroarea relativă ale soluţiei particulare, obţinute prin metoda Greedy. d) Explicaţi cauzele apariţie