ELEM EN TE DE M O D ELARE
După studierea acestui capitol, veţi fi capabili să:
• descifraţi sensul termenilor model, modelare;
• clasificaţi modelele obiectelor, proceselor, fenomenelor;
• utilizaţi şi să elaboraţi modele matematice;
• distingeţi soluţiile analitice şi cele de simulare;
• explicaţi metodele de obţinere a soluţiilor analitice şi a celor de simulare;
• explicaţi interacţiunea dintre modelul matematic, algoritm şi program;
• planificaţi procesul de rezolvare a problemei la calculator.
1.1. Noţiune de model. Clasificarea modelelor
Imitarea unor procese, obiecte sau fenomene este caracteristică societăţii umane pe
tot parcursul istoriei sale. Primele desene, realizate de oamenii epocii de piatră pe pereţii
peşterilor, erau în acelaşi timp şi primele încercări de a reproduce obiectele şi fenomenele
reale prin imagini (fig. 1.1).
Globul-machetă al planetei noastre este şi el o imitaţie a unui corp real. El ne aduce
la cunoştinţă date despre forma şi mişcarea Terrei, amplasarea continentelor şi oceanelor,
a ţărilor şi oraşelor (fig. 1.2). Dar elementele machetei nu constituie în întregime obiectul
iniţial. Astfel, în cazul globului-machetă avem de-a face doar cu un corp sferic, prin
centrul căruia trece o axă, care permite rotirea, iar pe suprafaţă avînd imprimate diverse
informaţii despre planeta Pămînt. Globul-machetă redă anumite trăsături ale corpului
Fig. 1.1. Imagine zoomorfă din paleolitic Fig. 1.2. Globul-machetă al Pămîntului
5
cosmic real, dar se deosebeşte de el: diferă dimensiunile, proprietăţile fizice, structura
etc. Globul-machetă este o reprezentare simplificată a Terrei, care permite studierea doar
a anumitor particularităţi ale ei - este doar un model.
Modelul este un sistem material sau ideal, logico-matematic cu ajutorul căruia pot fi
studiate, prin analogie, proprietăţile şi operaţiile efectuate asupra sistemului iniţial,
care, în general, este mai complex.
Modelele sînt utilizate din cele mai vechi timpuri pentru examinarea fenomenelor
şi proceselor complexe, de exemplu, moleculele, atomii, sistemul solar, universul în
ansamblu, un reactor atomic, un zgîrie-nor etc. Un model reuşit este mai comod pentru
cercetări decît obiectul real. Mai mult chiar, anumite obiecte şi fenomene nici nu pot fi
studiate în original. De exemplu, sînt greu de efectuat experimente ce ţin de economia
unei ţări, sînt imposibile experienţele cu planetele sistemului solar, cele care presupun
revenirea în timp etc. Un alt aspect important al modelării îl constituie posibilitatea de
a pune în evidenţă doar acei factori, acele proprietăţi ale obiectului real, care sînt esenţiale
pentru obiectul studiat.
De asemenea, modelul permite instruirea în vederea utilizării corecte a obiectului
real, verificînd diferite moduri de a reacţiona pe modelul acestui obiect. Experienţele cu
obiectul real pot fi imposibile sau foarte periculoase (durata mare a procesului în timp,
riscul de a deteriora obiectul). În cazurile cercetării obiectelor dinamice, caracteristicile
cărora depind de timp, o importanţă primordială capătă problema prognozării stării
obiectului sub acţiunea unor anumiţi factori.
În general, un model bine construit permite obţinerea unor cunoştinţe noi despre
obiectul original supus cercetării.
Procesul de construire a modelului se numeşte modelare.
Există cîteva tipuri de modelare, ce pot fi unite în două grupe mari: modelarea materială şi modelarea ideală.
În cazul modelării materiale, cercetarea originalului se efectuează prin redarea cu
ajutorul unui alt obiect material, mai simplu decît cel real, denumit model, a caracteristicilor geometrice, fizice, dinamice, funcţionale de bază ale originalului. Exemple:
machetele clădirilor, avioanelor, automobilelor şi ale vehiculelor militare etc.
În cazul modelării ideale, cercetarea originalului se efectuează prin reprezentarea
proprietăţilor lui cu ajutorul anumitor concepte, scheme, planuri, structuri, care există
doar în imaginaţia omului.
În general, modelarea ideală se bazează pe o concepţie intuitivă despre obiectul cercetărilor. De exemplu, experienţa de viaţă a fiecărui om poate fi considerată drept un model
personificat al lumii înconjurătoare. Atunci cînd modelarea nu este intuitivă şi se folosesc
anumite simboluri, cum ar fi diverse scheme, grafice, formule, ea este numită simbolică.
În categoria modelelor simbolice un loc aparte îl ocupă modelarea matematică, în care
examinarea obiectului se realizează prin intermediul unui model formulat în termeni şi
noţiuni matematice, cu folosirea anumitor metode matematice. Un exemplu clasic al
modelării matematice îl constituie descrierea şi cercetarea legilor de bază ale mecanicii
lui Newton cu ajutorul instrumentelor matematice.
6
Pentru studierea unui proces sau fenomen nu este suficient să fie construit modelul
respectiv. În general, modelul descrie anumite legităţi, relaţii, caracteristici ale originalului, însă scopul modelării constă în obţinerea, în baza informaţiilor furnizate de model,
a unor date noi despre original.
Întrebări si exerciţii
O Explicaţi noţiunea de model. Daţi exemple de obiecte ale lumii înconjurătoare si modele ale
acestora. Pentru fiecare exemplu, indicaţi caracteristicile obiectului original, ce sînt redate de
model.
e Formulaţi definiţia noţiunii de model material. Daţi exemple de modele materiale. Argumentaţi
necesitatea utilizării modelării materiale în diferite domenii ale ştiinţei şi tehnicii.
e Formulaţi definiţia noţiunii de model ideal. Exemplificaţi. Motivaţi necesitatea utilizării modelelor ideale.
O În anul 1911, cercetătorul E. Rutherford a propus „modelul planetar (nuclear) al atomului". Explicaţi sensul cuvîntului„model" în contextul propunerii lui Rutherford,
precum şi motivul pentru care el este numit planetar.
© Explicaţi sensul următoarei afirmaţii:„Pictogramele interfeţei grafice a utilizatorului reprezintă
modele ale obiectelor prelucrate de produsele software".
1.2. Modelul matematic si modelarea matematică
Unul dintre scopurile de bază ale informaticii, ca ştiinţă interdisciplinară, constă în
elaborarea metodelor de rezolvare a problemelor complicate de cercetare şi de calcul cu
ajutorul tehnicii computaţionale. Iniţial, informatica se dezvolta ca o ramură a matematicii aplicate. Primele probleme, abordate în cadrul informaticii, erau, de asemenea,
pur matematice, iar soluţionarea lor se reducea la efectuarea unui volum mare de calcule
complexe. În prezent însă, informatica a devenit o ştiinţă independentă, cu propriile
metode şi obiecte de cercetare, care se bazează pe legităţile matematice. Informatica
studiază şi soluţionează probleme complexe din domeniul matematicii, fizicii, chimiei,
biologiei, economiei, ecologiei, filologiei şi al sociologiei. Dar, indiferent de domeniul
din care provine problema, în procesul de soluţionare a ei, informatica se bazează pe
matematică. În consecinţă, pentru a dezlega o anumită problemă, înainte de a utiliza
calculatorul propriu-zis, este necesară descrierea fenomenelor şi proceselor care apar în
problema supusă rezolvării cu ajutorul noţiunilor matematice. În particular, acestea pot
fi funcţii, ecuaţii, inecuaţii, sisteme de ecuaţii etc.
Modelul matematic reprezintă descrierea unui proces sau a unui fenomen cu ajutorul
noţiunilor matematice.
Exemplul 1: Se consideră două automobile. Unul dintre ele se mişcă rectiliniu, traiectoria respectivă fiind definită prin ecuaţia x = 1/2 . Al doilea automobil se deplasează
pe o traiectorie circulară, descrisă de o circumferinţă unitară cu centrul în originea
sistemului de coordonate. Se cere determinarea coordonatelor punctelor posibile de
impact ale automobilelor.
Abstractizînd problema, obţinem
următoarea formulare: un punct se mişcă
pe o traiectorie dată de ecuaţia x = 1/2 .
Al doilea punct se mişcă pe o traiectorie
dată de ecuaţia x2 + y2 = 1. Se cere să se
găsească soluţiile sistemului de ecuaţii:
' 1
x = — • 2
.
Grafic problema este reprezentată de
schema alăturată.
Algoritmul de rezolvare e următorul:
1. Se consideră x = 1/2 .
2. Din ecuaţia a doua a sistemului se calculează
yi =
f l J Ţ ) fl ^
Vz z Z 2’ 2 5 3. Soluţia problemei este
1 <N
1^
Exemplul 2: Pe o masă netedă se află o bilă metalică, fixată de un arc (fig. 1.3). Arcul
se comprimă, fără a-i deteriora elasticitatea, apoi se eliberează. Se cere determinarea
coordonatei bilei peste t secunde.
Dacă k - coeficientul de elasticitate a arcului, m - masa bilei, x - mărimea deformaţiei
arcului, atunci, în baza legii lui Hooke şi a legii 2 a lui Newton, modelul matematic al
sistemului bilă-arc va avea forma:
ma = -kx, unde a - acceleraţia.
Poziţia bilei după comprimarea arcului (deformaţia iniţială) se notează prin x0 (fig. 1.4).
Se cere determinarea poziţiei bilei (mărimea deformaţiei) peste t secunde. Pentru aceasta
modelul precedent se va transforma astfel încît să fie prezentată dependenţa valorii x
(a deformaţiei) de timp. Pentru deformări mici şi lipsa forţei de frecare se va folosi legea
deplasărilor armonice
= jc0 co s
Formula dată permite determinarea poziţiei bilei x (deformaţia arcului) în orice moment
de timp t, în situaţia în care sînt cunoscute valorile k, m şi x0.
0 *x
Fig. 1.3. Starea iniţială a sistemului
8
x0 ‘X
Fig. 1.4. Starea sistemului după comprimarea arcului
Folosind formula dedusă mai sus, se poate rezolva problema generală de determinare
a deformaţiei în orice moment de timp cu ajutorul următorului program:
program cn01;
var
t, x0,k,m,x: real;
begin
readln(x0,k,m,t);
x:=x0*cos(sqrt(k/m*t));
writeln('x=', x:0:6);
end.
Întrebări si exerciţii > >
O Definiţi noţiunea de model matematic. Este el oare un model material?
e Indicaţi cîteva domenii de utilizare a modelelor matematice. Argumentaţi necesitatea întrebuinţării lor.
e Motivaţi necesitatea transpunerii modelelor matematice în programe de calculator şi a folosirii
acestora din urmă.
O Scrieţi un program care, pentru problema din exemplul 2, va calcula deformaţia arcului x cu
intervale de o secundă, din momentul iniţial pînă în momentul t (t are o valoare întreagă).
Valorile x0, k, m, t se vor introduce de la tastatură.
© Izotopul radioactiv plutoniu-235 are perioada de înjumătăţire de 26 de minute. În această perioadă
jumătate din cantitatea iniţială a izotopului dispare prin descompunere în alte elemente chimice.
Descrieţi modelul matematic care permite calculul numărului ciclurilor de înjumătăţire necesare
pentru dispariţia a k procente din cantitatea iniţială a izotopului.
© Efectul unui medicament se calculează conform formulei rk = ark-1 + 0,4k, unde rk este concentraţia substanţelor active peste k ore după administrarea lui. Iniţial r0 = 1, iar 0 < a < 1.
Din formulă rezultă că rk atinge valoarea maximă rm după ce au trecut m ore, ulterior începînd
să scadă. Scrieţi un program ce va determina peste cîte ore efectul medicamentului în studiu va
atinge valoarea maximă. Numărul real a se citeşte de la tastatură.
1.3. Soluţii analitice si soluţii de simulare * » *
Mai întîi vom examina următoarea problemă:
Exemplul 1: Un bazin cu volumul 100 m \ care iniţial conţine
20 m3 de apă, se umple cu acelaşi lichid folosind pompa ce are
capacitatea de pompare de 15 mVoră. Totodată, din bazin în
dispozitivul de filtrare se scurg 5 mVoră. Se cere să se determine
peste cîte ore va fi umplut bazinul.
Desigur, există mai multe metode de rezolvare a acestei probleme. Una dintre cele mai simple este modelarea procesului de acumulare a apei în bazin peste fiecare oră, cu ajutorul unui tabel.
9
Timp (ore) Cantitatea de apă
ce a fost pompată
Cantitatea de apă
ce s-a scurs
Cantitatea de apă
din bazin
0 0 0 20
1 15 5 30
2 30 10 40
3 45 15 50
4 60 20 60
5 75 25 70
6 90 30 80
7 105 35 90
8 120 40 100
Soluţia problemei a fost obţinută printr-un număr relativ mare de calcule consecutive,
care au reconstruit dinamic volumul de apă în bazin peste fiecare oră. Sigur, nu este cea
mai eficientă metodă: se utilizează un număr considerabil de rezultate intermediare,
numărul de operaţii realizate este la fel nemotivat de mare.
O altă soluţie se bazează pe o formulă care permite calculul direct al rezultatului final.
Timpul necesar pentru umplerea bazinului este determinat de diferenţa dintre volumul
total al bazinului şi cantitatea de apă care se conţinea iniţial în el raportată la debitul apei
timp de o oră:
.
15-5
Prima dintre metodele efectuate utiliza un proces iterativ, care determina volumul de
apă după fiecare interval elementar de timp (1 oră) şi calcula rezultatele noi, folosind
datele obţinute la etapa precedentă. Cu alte cuvinte, a fost realizat procesul de modelare
a etapelor de umplere a bazinului. Acest proces se numeşte simulare.
Simularea este o tehnică de rezolvare a problemelor, bazată pe utilizarea unor modele
matematice şi logice ce descriu comportarea unui sistem real în spaţiu şi/sau în timp.
Model de simulare este modelul de rezolvare a problemei în baza tehnicii de simulare.
Soluţiile obţinute prin procesul de simulare se numesc soluţii de simulare.
De obicei, modelele de simulare se folosesc atunci cînd este necesară determinarea
stării sistemului cercetat atît în momentul cînd se obţine soluţia finală, cît şi în momentele
intermediare de timp.
Cea de a doua metodă din exemplul de mai sus a realizat calculul direct al soluţiei prin
utilizarea unei formule:
t =
V -V. bazin iniţial
Cpompă scurgere - -C
unde V, . - volumul total al bazinului, bazin
V - cantitatea iniţială de apă în bazin,
Cp o m p i - capacitatea de pompare a pompei,
C - capacitatea găurii de scurgere.
scurgere
Formula permite calculul timpului necesar pentru umplerea oricărui bazin, cu orice
cantitate iniţială de apă şi cu orice capacitate de pompare a pompei, depăşind capacitatea
de scurgere, care de asemenea poate varia.
10
Metoda de rezolvare a problemelor bazată pe utilizarea unor formule ce permit calculul
direct al rezultatului final, fără a cerceta stări şi rezultate intermediare, se numeşte metodă
analitică. Soluţiile obţinute cu ajutorul acestei metode sînt numite soluţii analitice.
Exemplul 2: Să se scrie un program care calculează suma primilor n termeni ai progresiei geometrice, avînd primul termen cu valoarea a1, (a1 > 0) şi raţia q, (q < 1).
Din matematică este cunoscută formula . -1 , care permite determinarea
directă a sumei, fără a calcula valoarea fiecărui termen al progresiei. Totodată se ştie că
termenul cu indicele n, (n > 2) poate fi calculat folosind formula recurentă an = q x an1.
Atunci rezultatul poate fi calculat iterativ, prin calculul recurent al termenilor progresiei
şi adunarea lor consecutivă S = a, + a, + n 1 2 + a . + a n-1 n
Calcul direct al sumei Calcul iterativ al sumei
program cn02; program cn03;
var S,a,q : real; var S,a,q : real;
n : integer; i, n : integer;
begin begin
readln(a, q, n); readln(a, q, n);
S:=a*(exp(n*ln(q))-1)/(q-1); S:=0;
writeln('S=', S:0:6); for i:=1 to n do
end. begin
S:=S+a;
a:=a*q;
end;
writeln('S=', S:0:6);
end.
Fiecare dintre metodele prezentate mai sus are avantajele şi neajunsurile sale. Pentru
unele probleme este foarte complicat sau practic imposibil de determinat formula analitică
(de exemplu, coordonatele unei comete sau ale unui asteroid în funcţie de timp), pentru
altele este destul de dificil de simulat un model adecvat, chiar şi folosind un număr foarte
mare de calcule intermediare.
Soluţia analitică permite calculul imediat al rezultatului final, dar nu permite cercetarea dinamicii construirii acestuia. Utilizarea unui proces iterativ (a soluţiei de simulare) permite construirea dinamică a rezultatului în funcţie de datele folosite în problemă
şi controlul soluţiei la fiecare iteraţie realizată. În acelaşi timp, pentru obţinerea soluţiilor de simulare este necesar un număr mai mare de operaţii decît în cazul soluţiilor
analitice.
Alegerea modului de determinare a soluţiei este influenţată de mai mulţi factori,
principalii dintre ei fiind:
• posibilitatea de determinare a soluţiei analitice;
• necesitatea cercetării soluţiilor (stărilor) intermediare;
• timpul necesar pentru realizarea calculelor (în cazul soluţiilor de simulare);
• eroarea soluţiei de simulare (diferenţa dintre mărimea calculată şi cea exactă).
Întrebări si exerciţii y >
O Definiţi noţiunea de simulare. Ce este o soluţie de simulare?
e Ce înţelegeţi prin metodă analitică de rezolvare a unei probleme? Ce reprezintă o soluţie
analitică? Care sînt proprietăţile soluţiilor analitice?
e Enumeraţi proprietăţile soluţiilor de simulare. Care dintre aceste proprietăţi implică utilizarea
calculatorului pentru a găsi astfel de soluţii?
O Determinaţi o metodă de simulare pentru calcularea elementului cu numărul n din şirul de
numere 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, ... . Există oare o metodă analitică pentru determinarea elementului
cu numărul n?
e Rezolvaţi problemele ce urmează prin metoda simulării:
a) În timpul zilei o buburuză urcă pe un stîlp 5 m, iar în timpul nopţii coboară 3 m. Ascensiunea
începe dimineaţa. Înălţimea stîlpului este de 15 m. Peste cîte zile va ajunge buburuza în
vîrful stîlpului?
b) În condiţiile punctului precedent, ascensiunea începe dimineaţa de la înălţimea de 6 m.
c) În condiţiile punctului precedent, ascensiunea începe odată cu căderea nopţii.
© Elaboraţi un program care calculează suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice, avînd
primul termen cu valoarea a , (a1 > 0) şi raţia r, (r > 0).
1.4. Etapele rezolvării problemei la calculator
Instrumentele informatice permit rezolvarea problemelor atît prin metode analitice,
cît şi prin metode de simulare. Indiferent de metoda aplicată, rezolvarea oricărei probleme
include mai multe etape, fiecare dintre ele avînd acelaşi grad de importanţă.
Analiza problemei. Este etapa de studiu al conţinutului problemei. Se stabileşte setul
de date iniţiale, se determină care este rezultatul ce urmează să fie obţinut, care sînt relaţiile
dintre datele iniţiale şi rezultat. Tot la această etapă sînt stabilite restricţiile suplimentare
asupra datelor iniţiale şi a rezultatului.
Elaborarea modelului matematic al problemei. La această etapă datele iniţiale sînt
descrise prin structuri matematice. Folosind limbajul matematic, se descriu relaţiile care
permit obţinerea rezultatului din datele iniţiale. În funcţie de problemă, aceste relaţii pot fi
recurente (este creat un model de simulare) sau să permită calculul direct al rezultatului
(model analitic). Tot aici are loc (dacă este necesar) divizarea problemei în subprobleme şi
elaborarea separată a modelelor matematice pentru fiecare din ele.
Elaborarea algoritmului. În cazul rezolvării informatice a unei probleme, algoritmul
conţine setul de instrucţiuni necesare pentru soluţionarea problemei, descrise într-o formă
prestabilită (pseudocod, schemă logică etc.), precum şi ordinea executării acestora (paşii
algoritmului). Dacă problema a fost divizată în subprobleme, algoritmul, suplimentar la
descrierea subalgoritmilor, stabileşte modul şi condiţiile de apel al acestora.
Scrierea programului. Pentru rezolvarea automatizată a problemei, cu ajutorul calculatorului algoritmul trebuie transpus într-o formă înţeleasă de calculator - program,
folosind un limbaj de programare. Paşii algoritmului sînt prezentaţi cu ajutorul instrucţiunilor limbajului de programare, iar ordinea executării lor - de consecutivitatea şi
structura instrucţiunilor limbajului. Datele iniţiale şi intermediare sînt descrise folosind
structurile de date, acceptate de limbajul de programare. În procesul de scriere a programului pot să apară erori sintactice şi/sau semantice. Procesul de corectare a lor este de
12
asemenea o parte a etapei de scriere a programului. Etapa se consideră încheiată atunci
cînd compilarea sau interpretarea programului finalizează fără erori.
Testarea programului. O compilare reuşită nu garantează rezolvarea corectă a problemei. Pentru verificarea corectitudinii programului se execută o serie de teste care stabilesc
corectitudinea rezultatelor generate de program în funcţie de seturi de date iniţiale simple,
medii şi extreme. Dacă pentru toate testele efectuate programul prezintă rezultate corecte,
se poate presupune că problema a fost rezolvată corect. Dacă în procesul de testare se
obţin rezultate care diferă de cele corecte, urmează ca rezolvarea problemei să fie reluată,
începînd cu etapa de analiză a problemei.
Procesul de rezolvare a unei probleme la calculator poate fi ilustrat cu ajutorul următoarei scheme:
Exemplu:
Problemă:
În condiţii de laborator, o populaţie de viruşi, formată iniţial din N unităţi şi plasată
într-un mediu steril, se micşorează în fiecare oră cu 50 de procente, dacă numărul
viruşilor la începutul orei este par, sau creşte cu o unitate, dacă numărul viruşilor la
începutul orei este impar. În momentul cînd numărul viruşilor devine mai mic decît
cantitatea critică de supravieţuire C, populaţia dispare integral.
Cerinţă: Scrieţi un program care va stabili timpul necesar, în ore, pentru distrugerea în laborator a unei populaţii din N (N < 32 000) viruşi, avînd cantitatea critică de
supravieţuire C (1 < C < N).
Analiza problemei
Populaţia formată dintr-un număr par de viruşi în fiecare oră se micşorează de două
ori. Populaţia formată dintr-un număr impar creşte cu o unitate şi se transformă într-o
populaţie pară. Creşterea repetată este imposibilă, înjumătăţirea se repetă însă cel puţin
o dată la două ore. Prin urmare, valoarea C (C > 1) va fi atinsă într-un număr finit de ore.
Modelul matematic
Numărul populaţiei în momentul de timp t = 0 este dat de numărul N0 = N.
Numărul populaţiei după t ore de sterilizare (t > 0) este dat de formula recurentă:
N, • 2 ’
A m +1,
dacă Nt_j este par
dacă Nt_j este impar
Algoritm
Pasul 0. Iniţializare: Se introduc valorile N, C. t ^ 0.*
* Aici şi în continuare expresia a ^ b semnifică: a primeşte valoarea lui b.
3
Pasul 1.
a) Trecerea unei ore: t ^ t+1.
b) Remodelarea populaţiei: dacă N mod 2 = 0, N ^ N div 2, altfel N ^ N+1.
Pasul 2. Verificarea condiţiei de supravieţuire: dacă N < C, se afişează valoarea t.
SFÎRŞIT. În caz contrar, se revine la pasul 1.
Program
program cn04;
var N,C,t: integer;
begin
readln(N, C); t:=0;
while (N>=C) do begin
t:=t+1;
if N mod 2 = 1 then N:=N+1 else N:= N div 2;
end;
writeln(t);
end.
Testare
Pentru verificarea corectitudinii rezolvării problemei au fost folosite următoarele
seturi de date:
Date
iniţiale Rezultat Date
iniţiale Rezultat Date
iniţiale Rezultat Date
iniţiale Rezultat
512 2 9 31999 16 15 331330 2 332 330 1
25768 235 10 31999 2 18 319972 19 3 2 3
Întrebări si exerciţii y >
O Enumeraţi etapele rezolvării unei probleme la calculator. Explicaţi necesitatea fiecărei etape.
e Care sînt metodele de descriere a algoritmului unei probleme? Exemplificaţi.
e Care este impactul divizării unei probleme în subprobleme elementare? Daţi exemple de
probleme ce pot fi divizate în subprobleme. Indicaţi două sau mai multe probleme ce conţin
subprobleme identice.
o Pentru următoarele probleme realizaţi modelul matematic:
a) Sînt cunoscute coordonatele a trei vîrfuri ale unui dreptunghi cu laturile paralele axelor de
coordonate. Se cere determinarea coordonatelor celui de-al patrulea vîrf.
b) În condiţiile punctului precedent, laturile dreptunghiului pot fi poziţionate arbitrar faţă de
axele de coordonate.
e Pentru următoarele probleme descrieţi un algoritm de rezolvare, folosind metodele de
descriere cunoscute:
a) Este dat un şir din cel mult 100 de numere întregi. Se cere să se aranjeze elementele şirului
în ordine crescătoare.
b) Este dat un şir din cel mult 100 de numere întregi. Se cere determinarea elementului cu valoare
maximă din şir şi a numărului de repetări ale lui printr-o singură parcurgere a şirului.
© Elaboraţi programe pentru rezolvarea problemelor din exerciţiile 4 şi 5.
© Alcătuiţi seturi de teste pentru programele realizate în exerciţiul 6.
14
Test de evaluare
| î Stabiliţi valoarea de adevăr a urm ătoarelor afirmaţii:
1. Modelul este o copie fidelă a originalului, care păstrează toate proprietăţile acestuia:
a) adevărat; b) fals.
2. Modelul matematic este un model ideal:
a) adevărat; b) fals.
3. Modelul matematic poate fi utilizat în exclusivitate pentru rezolvarea problemelor matematice:
a) adevărat; b) fals.
4. Soluţia de simulare a unei probleme permite calculul direct al rezultatului din datele iniţiale
ale problemei:
a) adevărat; b) fals.
5. În procesul de rezolvare a unei probleme la calculator, elaborarea modelului matematic al
problemei precede elaborarea algoritmului:
a) adevărat; b) fals.
6. Rezultatul corect, obţinut pentru un set de date de intrare, garantează corectitudinea
rezultatelor furnizate de program pentru orice alt set de date:
a) adevărat; b) fals.
E Selectaţi varianta corectă a definiţiei:
1. Modelarea este procesul de:
a) utilizare a modelului;
b) construcţie a modelului;
c) prezentare a modelului;
d) descompunere a originalului în componente elementare.
2. Modelul matematic este:
a) descrierea unei noţiuni matematice prin intermediul limbajului uman;
b) totalitatea de caracteristici geometrice ale unui model material;
c) descrierea unui proces sau fenomen prin intermediul noţiunilor matematice;
d) modelul material al unui corp sau figuri geometrice.
3. Metoda analitică de rezolvare a problemelor este metoda de rezolvare:
a) care permite calculul rezultatului final, prin cercetarea stărilor şi rezultatelor intermediare;
b) prin identificarea rezultatului corect dintr-o listă finită de soluţii posibile;
c) care permite calculul direct al rezultatului final, fără a cerceta stări şi rezultate intermediare;
d) prin selectarea aleatorie a unui rezultat posibil.
MM Descrieţi pe etape procesul de rezolvare la calculator a problem ei de determ inare
a valorii a b pentru 0 < a , b < 10, întregi.
După studierea acestui capitol, veţi fi capabili să:
• descifraţi sensul termenilor model, modelare;
• clasificaţi modelele obiectelor, proceselor, fenomenelor;
• utilizaţi şi să elaboraţi modele matematice;
• distingeţi soluţiile analitice şi cele de simulare;
• explicaţi metodele de obţinere a soluţiilor analitice şi a celor de simulare;
• explicaţi interacţiunea dintre modelul matematic, algoritm şi program;
• planificaţi procesul de rezolvare a problemei la calculator.
1.1. Noţiune de model. Clasificarea modelelor
Imitarea unor procese, obiecte sau fenomene este caracteristică societăţii umane pe
tot parcursul istoriei sale. Primele desene, realizate de oamenii epocii de piatră pe pereţii
peşterilor, erau în acelaşi timp şi primele încercări de a reproduce obiectele şi fenomenele
reale prin imagini (fig. 1.1).
Globul-machetă al planetei noastre este şi el o imitaţie a unui corp real. El ne aduce
la cunoştinţă date despre forma şi mişcarea Terrei, amplasarea continentelor şi oceanelor,
a ţărilor şi oraşelor (fig. 1.2). Dar elementele machetei nu constituie în întregime obiectul
iniţial. Astfel, în cazul globului-machetă avem de-a face doar cu un corp sferic, prin
centrul căruia trece o axă, care permite rotirea, iar pe suprafaţă avînd imprimate diverse
informaţii despre planeta Pămînt. Globul-machetă redă anumite trăsături ale corpului
Fig. 1.1. Imagine zoomorfă din paleolitic Fig. 1.2. Globul-machetă al Pămîntului
5
cosmic real, dar se deosebeşte de el: diferă dimensiunile, proprietăţile fizice, structura
etc. Globul-machetă este o reprezentare simplificată a Terrei, care permite studierea doar
a anumitor particularităţi ale ei - este doar un model.
Modelul este un sistem material sau ideal, logico-matematic cu ajutorul căruia pot fi
studiate, prin analogie, proprietăţile şi operaţiile efectuate asupra sistemului iniţial,
care, în general, este mai complex.
Modelele sînt utilizate din cele mai vechi timpuri pentru examinarea fenomenelor
şi proceselor complexe, de exemplu, moleculele, atomii, sistemul solar, universul în
ansamblu, un reactor atomic, un zgîrie-nor etc. Un model reuşit este mai comod pentru
cercetări decît obiectul real. Mai mult chiar, anumite obiecte şi fenomene nici nu pot fi
studiate în original. De exemplu, sînt greu de efectuat experimente ce ţin de economia
unei ţări, sînt imposibile experienţele cu planetele sistemului solar, cele care presupun
revenirea în timp etc. Un alt aspect important al modelării îl constituie posibilitatea de
a pune în evidenţă doar acei factori, acele proprietăţi ale obiectului real, care sînt esenţiale
pentru obiectul studiat.
De asemenea, modelul permite instruirea în vederea utilizării corecte a obiectului
real, verificînd diferite moduri de a reacţiona pe modelul acestui obiect. Experienţele cu
obiectul real pot fi imposibile sau foarte periculoase (durata mare a procesului în timp,
riscul de a deteriora obiectul). În cazurile cercetării obiectelor dinamice, caracteristicile
cărora depind de timp, o importanţă primordială capătă problema prognozării stării
obiectului sub acţiunea unor anumiţi factori.
În general, un model bine construit permite obţinerea unor cunoştinţe noi despre
obiectul original supus cercetării.
Procesul de construire a modelului se numeşte modelare.
Există cîteva tipuri de modelare, ce pot fi unite în două grupe mari: modelarea materială şi modelarea ideală.
În cazul modelării materiale, cercetarea originalului se efectuează prin redarea cu
ajutorul unui alt obiect material, mai simplu decît cel real, denumit model, a caracteristicilor geometrice, fizice, dinamice, funcţionale de bază ale originalului. Exemple:
machetele clădirilor, avioanelor, automobilelor şi ale vehiculelor militare etc.
În cazul modelării ideale, cercetarea originalului se efectuează prin reprezentarea
proprietăţilor lui cu ajutorul anumitor concepte, scheme, planuri, structuri, care există
doar în imaginaţia omului.
În general, modelarea ideală se bazează pe o concepţie intuitivă despre obiectul cercetărilor. De exemplu, experienţa de viaţă a fiecărui om poate fi considerată drept un model
personificat al lumii înconjurătoare. Atunci cînd modelarea nu este intuitivă şi se folosesc
anumite simboluri, cum ar fi diverse scheme, grafice, formule, ea este numită simbolică.
În categoria modelelor simbolice un loc aparte îl ocupă modelarea matematică, în care
examinarea obiectului se realizează prin intermediul unui model formulat în termeni şi
noţiuni matematice, cu folosirea anumitor metode matematice. Un exemplu clasic al
modelării matematice îl constituie descrierea şi cercetarea legilor de bază ale mecanicii
lui Newton cu ajutorul instrumentelor matematice.
6
Pentru studierea unui proces sau fenomen nu este suficient să fie construit modelul
respectiv. În general, modelul descrie anumite legităţi, relaţii, caracteristici ale originalului, însă scopul modelării constă în obţinerea, în baza informaţiilor furnizate de model,
a unor date noi despre original.
Întrebări si exerciţii
O Explicaţi noţiunea de model. Daţi exemple de obiecte ale lumii înconjurătoare si modele ale
acestora. Pentru fiecare exemplu, indicaţi caracteristicile obiectului original, ce sînt redate de
model.
e Formulaţi definiţia noţiunii de model material. Daţi exemple de modele materiale. Argumentaţi
necesitatea utilizării modelării materiale în diferite domenii ale ştiinţei şi tehnicii.
e Formulaţi definiţia noţiunii de model ideal. Exemplificaţi. Motivaţi necesitatea utilizării modelelor ideale.
O În anul 1911, cercetătorul E. Rutherford a propus „modelul planetar (nuclear) al atomului". Explicaţi sensul cuvîntului„model" în contextul propunerii lui Rutherford,
precum şi motivul pentru care el este numit planetar.
© Explicaţi sensul următoarei afirmaţii:„Pictogramele interfeţei grafice a utilizatorului reprezintă
modele ale obiectelor prelucrate de produsele software".
1.2. Modelul matematic si modelarea matematică
Unul dintre scopurile de bază ale informaticii, ca ştiinţă interdisciplinară, constă în
elaborarea metodelor de rezolvare a problemelor complicate de cercetare şi de calcul cu
ajutorul tehnicii computaţionale. Iniţial, informatica se dezvolta ca o ramură a matematicii aplicate. Primele probleme, abordate în cadrul informaticii, erau, de asemenea,
pur matematice, iar soluţionarea lor se reducea la efectuarea unui volum mare de calcule
complexe. În prezent însă, informatica a devenit o ştiinţă independentă, cu propriile
metode şi obiecte de cercetare, care se bazează pe legităţile matematice. Informatica
studiază şi soluţionează probleme complexe din domeniul matematicii, fizicii, chimiei,
biologiei, economiei, ecologiei, filologiei şi al sociologiei. Dar, indiferent de domeniul
din care provine problema, în procesul de soluţionare a ei, informatica se bazează pe
matematică. În consecinţă, pentru a dezlega o anumită problemă, înainte de a utiliza
calculatorul propriu-zis, este necesară descrierea fenomenelor şi proceselor care apar în
problema supusă rezolvării cu ajutorul noţiunilor matematice. În particular, acestea pot
fi funcţii, ecuaţii, inecuaţii, sisteme de ecuaţii etc.
Modelul matematic reprezintă descrierea unui proces sau a unui fenomen cu ajutorul
noţiunilor matematice.
Exemplul 1: Se consideră două automobile. Unul dintre ele se mişcă rectiliniu, traiectoria respectivă fiind definită prin ecuaţia x = 1/2 . Al doilea automobil se deplasează
pe o traiectorie circulară, descrisă de o circumferinţă unitară cu centrul în originea
sistemului de coordonate. Se cere determinarea coordonatelor punctelor posibile de
impact ale automobilelor.
Abstractizînd problema, obţinem
următoarea formulare: un punct se mişcă
pe o traiectorie dată de ecuaţia x = 1/2 .
Al doilea punct se mişcă pe o traiectorie
dată de ecuaţia x2 + y2 = 1. Se cere să se
găsească soluţiile sistemului de ecuaţii:
' 1
x = — • 2
.
Grafic problema este reprezentată de
schema alăturată.
Algoritmul de rezolvare e următorul:
1. Se consideră x = 1/2 .
2. Din ecuaţia a doua a sistemului se calculează
yi =
f l J Ţ ) fl ^
Vz z Z 2’ 2 5 3. Soluţia problemei este
1 <N
1^
Exemplul 2: Pe o masă netedă se află o bilă metalică, fixată de un arc (fig. 1.3). Arcul
se comprimă, fără a-i deteriora elasticitatea, apoi se eliberează. Se cere determinarea
coordonatei bilei peste t secunde.
Dacă k - coeficientul de elasticitate a arcului, m - masa bilei, x - mărimea deformaţiei
arcului, atunci, în baza legii lui Hooke şi a legii 2 a lui Newton, modelul matematic al
sistemului bilă-arc va avea forma:
ma = -kx, unde a - acceleraţia.
Poziţia bilei după comprimarea arcului (deformaţia iniţială) se notează prin x0 (fig. 1.4).
Se cere determinarea poziţiei bilei (mărimea deformaţiei) peste t secunde. Pentru aceasta
modelul precedent se va transforma astfel încît să fie prezentată dependenţa valorii x
(a deformaţiei) de timp. Pentru deformări mici şi lipsa forţei de frecare se va folosi legea
deplasărilor armonice
= jc0 co s
Formula dată permite determinarea poziţiei bilei x (deformaţia arcului) în orice moment
de timp t, în situaţia în care sînt cunoscute valorile k, m şi x0.
0 *x
Fig. 1.3. Starea iniţială a sistemului
8
x0 ‘X
Fig. 1.4. Starea sistemului după comprimarea arcului
Folosind formula dedusă mai sus, se poate rezolva problema generală de determinare
a deformaţiei în orice moment de timp cu ajutorul următorului program:
program cn01;
var
t, x0,k,m,x: real;
begin
readln(x0,k,m,t);
x:=x0*cos(sqrt(k/m*t));
writeln('x=', x:0:6);
end.
Întrebări si exerciţii > >
O Definiţi noţiunea de model matematic. Este el oare un model material?
e Indicaţi cîteva domenii de utilizare a modelelor matematice. Argumentaţi necesitatea întrebuinţării lor.
e Motivaţi necesitatea transpunerii modelelor matematice în programe de calculator şi a folosirii
acestora din urmă.
O Scrieţi un program care, pentru problema din exemplul 2, va calcula deformaţia arcului x cu
intervale de o secundă, din momentul iniţial pînă în momentul t (t are o valoare întreagă).
Valorile x0, k, m, t se vor introduce de la tastatură.
© Izotopul radioactiv plutoniu-235 are perioada de înjumătăţire de 26 de minute. În această perioadă
jumătate din cantitatea iniţială a izotopului dispare prin descompunere în alte elemente chimice.
Descrieţi modelul matematic care permite calculul numărului ciclurilor de înjumătăţire necesare
pentru dispariţia a k procente din cantitatea iniţială a izotopului.
© Efectul unui medicament se calculează conform formulei rk = ark-1 + 0,4k, unde rk este concentraţia substanţelor active peste k ore după administrarea lui. Iniţial r0 = 1, iar 0 < a < 1.
Din formulă rezultă că rk atinge valoarea maximă rm după ce au trecut m ore, ulterior începînd
să scadă. Scrieţi un program ce va determina peste cîte ore efectul medicamentului în studiu va
atinge valoarea maximă. Numărul real a se citeşte de la tastatură.
1.3. Soluţii analitice si soluţii de simulare * » *
Mai întîi vom examina următoarea problemă:
Exemplul 1: Un bazin cu volumul 100 m \ care iniţial conţine
20 m3 de apă, se umple cu acelaşi lichid folosind pompa ce are
capacitatea de pompare de 15 mVoră. Totodată, din bazin în
dispozitivul de filtrare se scurg 5 mVoră. Se cere să se determine
peste cîte ore va fi umplut bazinul.
Desigur, există mai multe metode de rezolvare a acestei probleme. Una dintre cele mai simple este modelarea procesului de acumulare a apei în bazin peste fiecare oră, cu ajutorul unui tabel.
9
Timp (ore) Cantitatea de apă
ce a fost pompată
Cantitatea de apă
ce s-a scurs
Cantitatea de apă
din bazin
0 0 0 20
1 15 5 30
2 30 10 40
3 45 15 50
4 60 20 60
5 75 25 70
6 90 30 80
7 105 35 90
8 120 40 100
Soluţia problemei a fost obţinută printr-un număr relativ mare de calcule consecutive,
care au reconstruit dinamic volumul de apă în bazin peste fiecare oră. Sigur, nu este cea
mai eficientă metodă: se utilizează un număr considerabil de rezultate intermediare,
numărul de operaţii realizate este la fel nemotivat de mare.
O altă soluţie se bazează pe o formulă care permite calculul direct al rezultatului final.
Timpul necesar pentru umplerea bazinului este determinat de diferenţa dintre volumul
total al bazinului şi cantitatea de apă care se conţinea iniţial în el raportată la debitul apei
timp de o oră:
.
15-5
Prima dintre metodele efectuate utiliza un proces iterativ, care determina volumul de
apă după fiecare interval elementar de timp (1 oră) şi calcula rezultatele noi, folosind
datele obţinute la etapa precedentă. Cu alte cuvinte, a fost realizat procesul de modelare
a etapelor de umplere a bazinului. Acest proces se numeşte simulare.
Simularea este o tehnică de rezolvare a problemelor, bazată pe utilizarea unor modele
matematice şi logice ce descriu comportarea unui sistem real în spaţiu şi/sau în timp.
Model de simulare este modelul de rezolvare a problemei în baza tehnicii de simulare.
Soluţiile obţinute prin procesul de simulare se numesc soluţii de simulare.
De obicei, modelele de simulare se folosesc atunci cînd este necesară determinarea
stării sistemului cercetat atît în momentul cînd se obţine soluţia finală, cît şi în momentele
intermediare de timp.
Cea de a doua metodă din exemplul de mai sus a realizat calculul direct al soluţiei prin
utilizarea unei formule:
t =
V -V. bazin iniţial
Cpompă scurgere - -C
unde V, . - volumul total al bazinului, bazin
V - cantitatea iniţială de apă în bazin,
Cp o m p i - capacitatea de pompare a pompei,
C - capacitatea găurii de scurgere.
scurgere
Formula permite calculul timpului necesar pentru umplerea oricărui bazin, cu orice
cantitate iniţială de apă şi cu orice capacitate de pompare a pompei, depăşind capacitatea
de scurgere, care de asemenea poate varia.
10
Metoda de rezolvare a problemelor bazată pe utilizarea unor formule ce permit calculul
direct al rezultatului final, fără a cerceta stări şi rezultate intermediare, se numeşte metodă
analitică. Soluţiile obţinute cu ajutorul acestei metode sînt numite soluţii analitice.
Exemplul 2: Să se scrie un program care calculează suma primilor n termeni ai progresiei geometrice, avînd primul termen cu valoarea a1, (a1 > 0) şi raţia q, (q < 1).
Din matematică este cunoscută formula . -1 , care permite determinarea
directă a sumei, fără a calcula valoarea fiecărui termen al progresiei. Totodată se ştie că
termenul cu indicele n, (n > 2) poate fi calculat folosind formula recurentă an = q x an1.
Atunci rezultatul poate fi calculat iterativ, prin calculul recurent al termenilor progresiei
şi adunarea lor consecutivă S = a, + a, + n 1 2 + a . + a n-1 n
Calcul direct al sumei Calcul iterativ al sumei
program cn02; program cn03;
var S,a,q : real; var S,a,q : real;
n : integer; i, n : integer;
begin begin
readln(a, q, n); readln(a, q, n);
S:=a*(exp(n*ln(q))-1)/(q-1); S:=0;
writeln('S=', S:0:6); for i:=1 to n do
end. begin
S:=S+a;
a:=a*q;
end;
writeln('S=', S:0:6);
end.
Fiecare dintre metodele prezentate mai sus are avantajele şi neajunsurile sale. Pentru
unele probleme este foarte complicat sau practic imposibil de determinat formula analitică
(de exemplu, coordonatele unei comete sau ale unui asteroid în funcţie de timp), pentru
altele este destul de dificil de simulat un model adecvat, chiar şi folosind un număr foarte
mare de calcule intermediare.
Soluţia analitică permite calculul imediat al rezultatului final, dar nu permite cercetarea dinamicii construirii acestuia. Utilizarea unui proces iterativ (a soluţiei de simulare) permite construirea dinamică a rezultatului în funcţie de datele folosite în problemă
şi controlul soluţiei la fiecare iteraţie realizată. În acelaşi timp, pentru obţinerea soluţiilor de simulare este necesar un număr mai mare de operaţii decît în cazul soluţiilor
analitice.
Alegerea modului de determinare a soluţiei este influenţată de mai mulţi factori,
principalii dintre ei fiind:
• posibilitatea de determinare a soluţiei analitice;
• necesitatea cercetării soluţiilor (stărilor) intermediare;
• timpul necesar pentru realizarea calculelor (în cazul soluţiilor de simulare);
• eroarea soluţiei de simulare (diferenţa dintre mărimea calculată şi cea exactă).
Întrebări si exerciţii y >
O Definiţi noţiunea de simulare. Ce este o soluţie de simulare?
e Ce înţelegeţi prin metodă analitică de rezolvare a unei probleme? Ce reprezintă o soluţie
analitică? Care sînt proprietăţile soluţiilor analitice?
e Enumeraţi proprietăţile soluţiilor de simulare. Care dintre aceste proprietăţi implică utilizarea
calculatorului pentru a găsi astfel de soluţii?
O Determinaţi o metodă de simulare pentru calcularea elementului cu numărul n din şirul de
numere 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, ... . Există oare o metodă analitică pentru determinarea elementului
cu numărul n?
e Rezolvaţi problemele ce urmează prin metoda simulării:
a) În timpul zilei o buburuză urcă pe un stîlp 5 m, iar în timpul nopţii coboară 3 m. Ascensiunea
începe dimineaţa. Înălţimea stîlpului este de 15 m. Peste cîte zile va ajunge buburuza în
vîrful stîlpului?
b) În condiţiile punctului precedent, ascensiunea începe dimineaţa de la înălţimea de 6 m.
c) În condiţiile punctului precedent, ascensiunea începe odată cu căderea nopţii.
© Elaboraţi un program care calculează suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice, avînd
primul termen cu valoarea a , (a1 > 0) şi raţia r, (r > 0).
1.4. Etapele rezolvării problemei la calculator
Instrumentele informatice permit rezolvarea problemelor atît prin metode analitice,
cît şi prin metode de simulare. Indiferent de metoda aplicată, rezolvarea oricărei probleme
include mai multe etape, fiecare dintre ele avînd acelaşi grad de importanţă.
Analiza problemei. Este etapa de studiu al conţinutului problemei. Se stabileşte setul
de date iniţiale, se determină care este rezultatul ce urmează să fie obţinut, care sînt relaţiile
dintre datele iniţiale şi rezultat. Tot la această etapă sînt stabilite restricţiile suplimentare
asupra datelor iniţiale şi a rezultatului.
Elaborarea modelului matematic al problemei. La această etapă datele iniţiale sînt
descrise prin structuri matematice. Folosind limbajul matematic, se descriu relaţiile care
permit obţinerea rezultatului din datele iniţiale. În funcţie de problemă, aceste relaţii pot fi
recurente (este creat un model de simulare) sau să permită calculul direct al rezultatului
(model analitic). Tot aici are loc (dacă este necesar) divizarea problemei în subprobleme şi
elaborarea separată a modelelor matematice pentru fiecare din ele.
Elaborarea algoritmului. În cazul rezolvării informatice a unei probleme, algoritmul
conţine setul de instrucţiuni necesare pentru soluţionarea problemei, descrise într-o formă
prestabilită (pseudocod, schemă logică etc.), precum şi ordinea executării acestora (paşii
algoritmului). Dacă problema a fost divizată în subprobleme, algoritmul, suplimentar la
descrierea subalgoritmilor, stabileşte modul şi condiţiile de apel al acestora.
Scrierea programului. Pentru rezolvarea automatizată a problemei, cu ajutorul calculatorului algoritmul trebuie transpus într-o formă înţeleasă de calculator - program,
folosind un limbaj de programare. Paşii algoritmului sînt prezentaţi cu ajutorul instrucţiunilor limbajului de programare, iar ordinea executării lor - de consecutivitatea şi
structura instrucţiunilor limbajului. Datele iniţiale şi intermediare sînt descrise folosind
structurile de date, acceptate de limbajul de programare. În procesul de scriere a programului pot să apară erori sintactice şi/sau semantice. Procesul de corectare a lor este de
12
asemenea o parte a etapei de scriere a programului. Etapa se consideră încheiată atunci
cînd compilarea sau interpretarea programului finalizează fără erori.
Testarea programului. O compilare reuşită nu garantează rezolvarea corectă a problemei. Pentru verificarea corectitudinii programului se execută o serie de teste care stabilesc
corectitudinea rezultatelor generate de program în funcţie de seturi de date iniţiale simple,
medii şi extreme. Dacă pentru toate testele efectuate programul prezintă rezultate corecte,
se poate presupune că problema a fost rezolvată corect. Dacă în procesul de testare se
obţin rezultate care diferă de cele corecte, urmează ca rezolvarea problemei să fie reluată,
începînd cu etapa de analiză a problemei.
Procesul de rezolvare a unei probleme la calculator poate fi ilustrat cu ajutorul următoarei scheme:
Exemplu:
Problemă:
În condiţii de laborator, o populaţie de viruşi, formată iniţial din N unităţi şi plasată
într-un mediu steril, se micşorează în fiecare oră cu 50 de procente, dacă numărul
viruşilor la începutul orei este par, sau creşte cu o unitate, dacă numărul viruşilor la
începutul orei este impar. În momentul cînd numărul viruşilor devine mai mic decît
cantitatea critică de supravieţuire C, populaţia dispare integral.
Cerinţă: Scrieţi un program care va stabili timpul necesar, în ore, pentru distrugerea în laborator a unei populaţii din N (N < 32 000) viruşi, avînd cantitatea critică de
supravieţuire C (1 < C < N).
Analiza problemei
Populaţia formată dintr-un număr par de viruşi în fiecare oră se micşorează de două
ori. Populaţia formată dintr-un număr impar creşte cu o unitate şi se transformă într-o
populaţie pară. Creşterea repetată este imposibilă, înjumătăţirea se repetă însă cel puţin
o dată la două ore. Prin urmare, valoarea C (C > 1) va fi atinsă într-un număr finit de ore.
Modelul matematic
Numărul populaţiei în momentul de timp t = 0 este dat de numărul N0 = N.
Numărul populaţiei după t ore de sterilizare (t > 0) este dat de formula recurentă:
N, • 2 ’
A m +1,
dacă Nt_j este par
dacă Nt_j este impar
Algoritm
Pasul 0. Iniţializare: Se introduc valorile N, C. t ^ 0.*
* Aici şi în continuare expresia a ^ b semnifică: a primeşte valoarea lui b.
3
Pasul 1.
a) Trecerea unei ore: t ^ t+1.
b) Remodelarea populaţiei: dacă N mod 2 = 0, N ^ N div 2, altfel N ^ N+1.
Pasul 2. Verificarea condiţiei de supravieţuire: dacă N < C, se afişează valoarea t.
SFÎRŞIT. În caz contrar, se revine la pasul 1.
Program
program cn04;
var N,C,t: integer;
begin
readln(N, C); t:=0;
while (N>=C) do begin
t:=t+1;
if N mod 2 = 1 then N:=N+1 else N:= N div 2;
end;
writeln(t);
end.
Testare
Pentru verificarea corectitudinii rezolvării problemei au fost folosite următoarele
seturi de date:
Date
iniţiale Rezultat Date
iniţiale Rezultat Date
iniţiale Rezultat Date
iniţiale Rezultat
512 2 9 31999 16 15 331330 2 332 330 1
25768 235 10 31999 2 18 319972 19 3 2 3
Întrebări si exerciţii y >
O Enumeraţi etapele rezolvării unei probleme la calculator. Explicaţi necesitatea fiecărei etape.
e Care sînt metodele de descriere a algoritmului unei probleme? Exemplificaţi.
e Care este impactul divizării unei probleme în subprobleme elementare? Daţi exemple de
probleme ce pot fi divizate în subprobleme. Indicaţi două sau mai multe probleme ce conţin
subprobleme identice.
o Pentru următoarele probleme realizaţi modelul matematic:
a) Sînt cunoscute coordonatele a trei vîrfuri ale unui dreptunghi cu laturile paralele axelor de
coordonate. Se cere determinarea coordonatelor celui de-al patrulea vîrf.
b) În condiţiile punctului precedent, laturile dreptunghiului pot fi poziţionate arbitrar faţă de
axele de coordonate.
e Pentru următoarele probleme descrieţi un algoritm de rezolvare, folosind metodele de
descriere cunoscute:
a) Este dat un şir din cel mult 100 de numere întregi. Se cere să se aranjeze elementele şirului
în ordine crescătoare.
b) Este dat un şir din cel mult 100 de numere întregi. Se cere determinarea elementului cu valoare
maximă din şir şi a numărului de repetări ale lui printr-o singură parcurgere a şirului.
© Elaboraţi programe pentru rezolvarea problemelor din exerciţiile 4 şi 5.
© Alcătuiţi seturi de teste pentru programele realizate în exerciţiul 6.
14
Test de evaluare
| î Stabiliţi valoarea de adevăr a urm ătoarelor afirmaţii:
1. Modelul este o copie fidelă a originalului, care păstrează toate proprietăţile acestuia:
a) adevărat; b) fals.
2. Modelul matematic este un model ideal:
a) adevărat; b) fals.
3. Modelul matematic poate fi utilizat în exclusivitate pentru rezolvarea problemelor matematice:
a) adevărat; b) fals.
4. Soluţia de simulare a unei probleme permite calculul direct al rezultatului din datele iniţiale
ale problemei:
a) adevărat; b) fals.
5. În procesul de rezolvare a unei probleme la calculator, elaborarea modelului matematic al
problemei precede elaborarea algoritmului:
a) adevărat; b) fals.
6. Rezultatul corect, obţinut pentru un set de date de intrare, garantează corectitudinea
rezultatelor furnizate de program pentru orice alt set de date:
a) adevărat; b) fals.
E Selectaţi varianta corectă a definiţiei:
1. Modelarea este procesul de:
a) utilizare a modelului;
b) construcţie a modelului;
c) prezentare a modelului;
d) descompunere a originalului în componente elementare.
2. Modelul matematic este:
a) descrierea unei noţiuni matematice prin intermediul limbajului uman;
b) totalitatea de caracteristici geometrice ale unui model material;
c) descrierea unui proces sau fenomen prin intermediul noţiunilor matematice;
d) modelul material al unui corp sau figuri geometrice.
3. Metoda analitică de rezolvare a problemelor este metoda de rezolvare:
a) care permite calculul rezultatului final, prin cercetarea stărilor şi rezultatelor intermediare;
b) prin identificarea rezultatului corect dintr-o listă finită de soluţii posibile;
c) care permite calculul direct al rezultatului final, fără a cerceta stări şi rezultate intermediare;
d) prin selectarea aleatorie a unui rezultat posibil.
MM Descrieţi pe etape procesul de rezolvare la calculator a problem ei de determ inare
a valorii a b pentru 0 < a , b < 10, întregi.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu