Круглые тела

 Рассмотрите изображенные геометрические тела. Все точки Цилиндр имеет основания - круги одинокового радиуса, лежащие в параллельных плоскостях. Основание конуса - . равноудалены от одной точки, называемой с одной точкой вы сотой Радиус сферы - это отрезок, соединяющий сферы. Отрезок конуса. является высотой цилиндра, а отрезок 7 'Л Розьмите на заметк ♦ Образующей цилиндра называется отрезок, соединяющий любые две точки окружностей оснований цилиндра и параллельный прямой, проходящей через центры этих оснований. ♦ Образующей конуса называется любой отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой, принадлежащей окружности основания конуса. 226 Глава 5 С/% Рассмотрите развертки цилиндра и конуса. Развертка цилиндра К окружности Сектор А с с с Развертка конуса • Начертите развертку: а) цилиндра, высота которого равна 5 см, а радиус основания 3 см; б) конуса с образующей, равной 4 см, и радиусом основания 2,5 см. Найдите площадь поверхности развертки цилиндра, высота которого равна 10 см, а радиус основания 4 см. Решение: Развертка цилиндра (по условию задачи) состоит из прямоугольника с измерениями 2п • 4 см, 10 см и из двух окружностей радиуса 4 см. 10 см 4 см Следовательно, А = 2п- 4 -10 + 2 -к- 42 =п(80 + 32) = 112п (см2). Ответ: 112п см2. Элементы геометрии 227 Упражнения и задачи ■ ----------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Рассмотрите рисунок и сосчитайте, сколько ребер у геометрического тела: а) б) в) 2. Рассмотрите рисунок задания 1 и сосчитайте, сколько граней у каж дого из геометрических тел. 3. У становите, сколько верш ин у призмы: а) четырехугольной; б) пятиугольной; в) ш естиугольной. 4. Н айдите объем куба, р ебро котор ого равно: а) 10 см; 2 б) 2 -3 см; в) 4,(6) см. 5. Н айдите объем кубоида, измерения котор ого равны: а) 3 см, 5 см, 8 см; б) 4 см, 3-4 см, 8 см; в) 9 см, 6,(3) см, 7 см. 6. Н айдите площ адь полной поверхности куба, р ебро котор ого равно: а) 8 см; б) 5 1 см; 6 в) 2,1(3) см. 7. Н айдите площ адь полной поверхности кубоида, измерения которого: а) 6 см, 8 см, 10 см; б) 4 см, 6 см, 2 1 см; 6 в) 9,(4) см, 12 см, 9 см. 8. Н а рисунке изображ ен куб. Укажите: Д а) прямые, параллельные ЛБ; б) прямые, параллельные БС; в) прямые, пересекающ иеся в точке В; г) три неколлинеарны е точки; д) пары прямых, которы е не параллельны и не пересекаются. 9. Развертки каких геометрических тел изображ ены на рисунке? Сх С а) Глава 5 в) 228 10. Начертите развертку: а) куба, ребро которого равно 5 см; б) кубоида, измерения которого 4 см, 5 см, 6 см соответственно; в) треугольной призмы, ребра оснований которой равны 3 см, а боковые ребра - 5 см. 11. Начертите развертку цилиндра: а) с радиусом оснований, равным 4 см, и высотой 3 см; б) с диаметром оснований, равным 7 см, и высотой 4 см; в) высота которого конгруэнтна диаметру оснований и равна 5 см. 12. Найдите объем тел, изображенных на рисунке, которые состоят из кубоидов: 2 см а) 16 см 5 см б) 13. Бассейн имеет форму кубоида, длина и ширина которого равны 10 м и 15 м соответственно. Какова глубина бассейна, если его вместимость 352,5 м3? 14. Амбар имеет форму кубоида, измерения которого равны 20,5 м, 6 м и 5 м соответственно. Сколько сена можно в нем хранить, если 1 м3 сена весит 52 кг? 15. Миша вырезает кубики с ребром 2 см из бруска, имеющего форму кубоида, с измерениями 12 см, 16 см, 10 см. Какую длину будет иметь фигура, полученная из последовательно сложенных кубиков? 16. Найдите массу железного бруска, который имеет форму кубоида с измерениями, равными 6 см, 10 см, 15 см соответственно, если плотность железа 7,8 г/см3. Элементы геометрии 229 17. Зная, что плотность железа 7,8 г/см 3, найдите длину ребра ж елезного куба, если его масса: а) 975 г; б) 121 кг 875 г; в) 62,4 кг. 18. Деревянный к убоид имеет измерения 16 см, 10 см,12 см. К акой максимальный объем будет иметь куб, сделанный из данн ого кубоида? 19. М ыло имеет форму кубоида, измерения которого равны 8 см, 4 см и 2 см соответствен н о. П осл е 7 дней использования мыла все изм ерения уменьш ились в 2 раза. Н а сколько дней хватит оставш егося куска мыла? Задания для осмысления 1. Какие основны е геометрические понятия вы знаете? 2. Как обозначаю тся основны е геометрические понятия? 3. П риведите примеры из окруж аю щ ей среды ассоциаций с прямыми, точками, отрезками, параллельными прямыми, перпендикулярными прямыми, пересекающимися прямыми. 4. Какие отрезки называются конгруэнтными? Как они обозначаются? 5. Для чего использую т линейку с делениями? А угольник? Циркуль? 6. С каким новым измерительным инструментом вы познакомились в VI классе? Для чего он нужен? 7. Как классифицируются углы? 8. Какие единицы измерения углов вы знаете? 9. Какие углы называются конгруэнтными? Как они обозначаю тся? 10. Какие виды ломаны х линий вы знаете? 11. Ч то представляет собой многоугольник? 230 Глава 5 12. К акой многоугольник является самым простым? 13. Как классифицируются многоугольники? 14. Н азовите элементы многоугольника. 15. Как классифицируются четырехугольники? 16. Чем отличается параллелограмм от трапеции? 17. В чем сходство квадрата и ромба? 18. Как классифицируются параллелограммы? 19. Ч то значит найти периметр многоугольника? 20. Как найти площ адь квадрата? А площ адь прямоугольника? 21. Как строится окружность? Какие элементы окруж ности вы знаете? 22. Чем отличаются окружность и круг? 23. Как найти длину окружности? А площ адь круга? 24. Ч то вы знаете о числе п? 25. Какие геометрические тела вы знаете? 26. Какие элементы куба, кубоида, пирамиды вы знаете? 27. Н ачертите несколько вариантов развертки куба, кубоида, пирамиды. 28. Как вычислить объем куба? А кубоида? 29. Какие плоские геометрические фигуры являются элементами изученных геометрических тел? 30. К акой вид имею т развертки круглых тел? 31. Какие элементы изученны х круглых тел вы знаете? 32. Как вычисляются площ ади полны х поверхностей изученных г ео ­ метрических тел? 33. П риведите примеры строений, которы е представляю т собой изученные геометрические тела.

Упражнения и задачи на повторение 1. Постройте и обозначьте: а) две пересекающиеся прямые; б) два параллельных отрезка, пересеченные полупрямой; в) параллелограмм; г) ромб; д) трапецию, у которой боковые стороны конгруэнтны. 2. Прочитайте, а затем изобразите с помощью рисунка: а) М е [СО], СБ || АВ; б) {X , У, 2} с МЫ, МЫ П АВ = {У}; в) [ВА 1 [ВС, [КМ || [ВС, К е [ВА. г) АВ || СВ, КР П АВ = {М}, КР П СБ = {Ы}. 3. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и ВС. 9 см 4,6 см 3 [1 7 см- 18,8 см В С С В а) 4. Определите вид угла, зная, что его величина: а) 21°; б) 99°; в) 135°; г) 88°; б) д) 180°. 5. Угол какого вида описывает часовая стрелка часов, показывая: а) 3 часа; б) 6 часов; в) 2 часа; г) 5 часов? 6. Вычислите: а) 44°38/15" + 29°46/28"; б) 66°58/Ц// +17°24/43//; в) 100° 50/42//- 83° 55/28//; г) 108°12/14//-57°5Г16" 7. Рассмотрите рисунок и найдите значение х: V X 0-1 о □________ б) 232 Глава 5 8. П остройте: а) незамкнутую ломаную линию с 6-ю сторонами; б) замкнутую лом аную линию с 5-ю вершинами; в) замкнутую лом аную линию , которая не является м ногоугольником. 9. Н айдите длину стороны пятиугольника, если известно, что все его стороны конгруэнтны , а периметр - 1,8 дм. 10. Рассм отрите рисунок, затем вы берите точки, которые: а) п р и н а д л еж а т в н утр ен н ей о б л а ст и четы рехугольника и внеш ней области окружности; б) принадлеж ат окруж ности и внеш ней области четырехугольника; в) принадлеж ат внутренним областям обеих фигур; г) принадлеж ат внеш ним областям обеи х фигур. 11. Вычислите периметр: а) ром ба, стороны котор ого равны 8,3 см; б) прямоугольника, стороны котор ого равны 6 см и 2,4 см; в) параллелограмма, стороны к отор ого равны 7,5 см и 3,8 см; г) квадрата, сторона к отор ого равна 9,(2) см. 12. Вычислите площадь: а) квадрата со стороной 6,1 см; б) прямоугольника со сторонам и 5 см и 8,2 см; в) ром ба с диагоналями 0,75 см и 4 см; г) квадрата, периметр к отор ого равен 1 м. 13. Н айдите площ адь круга, радиус котор ого равен: а) — см; б) 14 см; в) ^ м. п 20 14. Н айдите объем кубоида, измерения котор ого равны: а) 10 см, 11 см, 12 см; б) 4 см, 1 см, 8 см. 8 15. Н айдите площ адь полной поверхности кубоида из задания 14. Элементы геометрии 233 16. Рассмотрите рисунок и вычислите площадь параллелограмма А В С Б : Указание: Сведите решение задачи к нахождению площади прямоугольника. 17. Рассмотрите рисунок и вычислите площадь треугольника АВС: В в) Указание: Сведите решение задачи к нахождению площади прямоугольника. 18. Найдите длины сторон прямоугольника, площадь которого равна 192 см2 , если известно, что они относятся как 3 : 4. 19. Докажите, что если точка М является серединой стороны А В треугольника АВС, то площади треугольников АМ С и ВМ С равны. С 20. Рассмотрите рисунок и объясните, как можно разделить прямоугольник АВСБ на две части, площади которых относятся как 2 : 3. В 4 см А 10 см С В 234 Глава 5 Итоговый тест Время выполнения работы: 45 минут В В С I вариант 1. Рассмотрите рисунок. Величина угла А на15°45' меньше величины угла АБЕ. А Допишите: а) Точки А, Б и С - ... б) Полупрямые ... и ... - противоположные. в) ш(АВБА) =... г) т(А А) =... 2. На рисунке АБСБ - прямоугольник, а точка М - середина стороны СБ. М Б 10 см 8 см 12 см а) Определите, на какую высоту поднимется уровень масла в сосуде, если оно занимает объем 864 см3? б) Сколько процентов объема кубоида занимает масло? в) Сколько весит масло, если 10 см3 масла весят 8 г? а) Вычислите диаметр круга, частью которого является полукруг, изображенный на рисунке, если х = 25,4 см. б) Найдите периметр фигуры. в) Вычислите площадь фигуры. 3. В сосуд, имеющий форму кубоида с измерениями 12 см, 8 см и 10 см залили масло (смотри рисунок). Л I I вариант Рассмотрите рисунок. С В Допишите: а) [СВ ^... = ВБ. б) АВ П СБ =... Б в) ш(ААСВ) + т(ААСБ) =... г) т(А АСВ) = т(А ВАС) +... На рисунке АБСБ - прямоугольник С О 3 4 В а) Вычислите диаметр круга, частью которого является полукруг, изображенный на рисунке, если х = 14,4 см. б) Найдите периметр фигуры. в) Вычислите площадь фигуры. Слой шоколада на торте, имеющего форму кубоида (смотри рисунок), занимает 15 % объема торта. 7 1 10 см 12 см 5 6 16,5 см а) Вычислите объем торта. б) Определите объем шоколада? в) Сколько весит шоколад, если 10 см3 шоколада весят 13 г? Схема оценивания теста О ц ен ка 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 С ум м а баллов 27-26 25-24 23-21 20-17 16-12 11-8 7-6 5-4 3-2 1-0