Прямо пропорциональные величины

 Литр бензина стоит 15,3 лея. Сколько стоят: 10 л; 20 л; 15 л; 25 л бензина? Решение: Количество бензина (л) Стоимость (леев) а ъ х10 10 х 2 х15 Х 2 20 15 25 .1 5 ,3 . х10 153 Х 2 Х15 Х 2 306 229,5 Улитка ползет со средней скоростью 0,15 м/мин. Какое расстояние преодолеет улитка за: 3 мин; 4 мин; 5 мин; 7 мин? Решение: • 1 способ 2 способ V = 0,15 м/мин Время Расстояние (мин) (м) 1 Ц 0,15 х 3 х 3 3 0,45 4 • Допишите решение задачи по схеме. 164 Глава 4 • Какое расстояние проползет улитка за 6 мин? А за 3,5 мин? • Как изменится расстояние, пройденное улиткой, если увеличить время: в 3 раза; в 4 раза; в 6 раз? • Как изменится значение отношения ? Л. 1 7 возьмите на заметк Две взаимосвязанные величины а и Ъ называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) а в несколько раз другая величина Ъ увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Значение отношения — не изменится. а Следовательно, количество бензина и его стоимость являются прямо пропорциональными величинами (при постоянной цене). Время и пройденное расстояние являются прямо пропорциональными величинами (при постоянной скорости). ^ Принтер печатает за 3 мин 21 страницу. Сколько страниц напечатает принтер за 10 мин? Решение: Ф Запишем кратко условие задачи в виде схемы: 3 мин ---- 21 страница 10 мин ---- х страниц ® 1 способ 2 способ Простое правило трех (для прямо пропорциональных величин): Метод приведения к единице: 21 1 мин страниц 10 мин — • 10 страниц Отношения и пропорции х « т Т 3 М а т б « ЬШ е р " -------- Три друга - Роман Рублев, Дмитрий Полушкин и Андрей Полонидей - решили открыть свой бизнес. При этом каждый вложил в дело соответствующую сумму денег (капитал): 1 600 леев, 2000 леев, 1 800 леев. Прибыль от их бизнеса составила 16 200 леев. Как им поделить эти деньги между собой? Решение: Подсчитаем весь капитал: 1 600 + 2000 + 1 800 = 5400 (леев). Подсчитаем, во сколько раз прибыль больше вложенной суммы: 16200 : 5400 = 3 (раза). Значит, 1 600 ■ 3 = 4 800 (леев)------ ► Роман 2000 ■ 3 = 6000 (леев)-------► Дмитрий 1 800 ■ 3 = 5 400 (леев)-------► Андрей Замечаем 4800 6000 5 400 = = - последовательность равных отношений. 1600 2000 1800 Р 3 = 4800 = 6000 = 54000 = 4800+6000+54000 = 16200 1600 2000 1800 1600+2000+1800 5 4 0 0 ' 4 Розьмите на заметк Если а - ^''2 К ап Ъп ■ к, где к ф 0, то говорим, что между последовательностями а1, а 2, '.', ап и Ъ1з Ъ2, Ъп сущпропорциональность и а1 + а 2 +... + ап Ъ1 + Ъ2 + ''' + Ъп ■ к. Следовательно, между последовательностью суммы денег, вложенной в бизнес (1 600 леев, 2000 леев, 1 800 леев), и последовательностью суммы денег прибыли, полученной каждым (4800 леев, 6000 леев, 5400 леев), существует прямая пропорциональность. (Ц Разделите отрезок в 18 см на три части, прямо пропорциональные числам: 2, 3, 4. Решение: Пусть х, у, г - последовательность искомых длин (х + у + 2 = 18). 166 Глава 4 Тогда между последовательностями х, у, г и 2, 3, 4 существует прямая пропорциональность. „ х у г х + у + г 18 _ Значит, = = = = = 2. 2 3 4 2 + 3 + 4 9 Получим: х = 4 (см), у = 6 (см), г = 8 (см). х у 4 см 6 см 8 см Упражнения и задачи I □ □ ■ 1. Определите, являются ли величины а и Ъ, данные в таблице, прямо пропорциональными. а) в) а 2 4 6 1 0 12 Ъ 3 6 9 15 18 а 1 3 2 3 3 4 4 5 Ъ 20 40 45 48 б) г) а 0,2 0,6 1,8 3,2 Ъ 5 15 50 80 а 8 4,2 66 1 Ъ 4 3 0,7 11 1 6 2. Заполните таблицу а) Коли ч ество Ве с мешков с мукой (кг) 1 60 3 5 480 9 660 б) Количество Стоимость батонов (леев) 1 2,5 4 15 7 27,5 9 в) Р асстоя ни е (км) Кол и ч е с тв о бензина (л) г) Площадь (м2) Количество краски (кг) 100 7 8 1 50 10 150 15 17,5 2,5 350 7,5 / € 22,75 30 ... А Отношения и пропорции 167 3. Истинно или Ложно? а) Площадь прямоугольника прямо пропорциональна длине каждой из его сторон. б) Периметр прямоугольника прямо пропорционален длине каждой из его сторон. в) Площадь и периметр прямоугольника - прямо пропорциональные величины. г) Площадь и длина стороны квадрата - прямо пропорциональные величины. шV I 4. Тракторист вспахивает 49 гектаров пашни за 4 дня. За сколько дней тракторист вспашет: а) 73,5 гектара; б) 122,5 гектара? 5. 5 л масла весят 4 кг. а) Сколько килограммов масла вместится в 12-литровое ведро? А в 180 л бочку? А 250 мл стакан? б) Какова вместимость 700-граммовой банки масла? А 3-килограммового бидона с маслом? 6. Электронасос выкачивает из колодца 30 л воды за 12 с. а) За какое время наполнится водой 800-литровая бочка? А 1000-литровая бочка? б) Сколько воды выкачивает насос за 10 с? А за 18 с? А за 2 мин? 7. Дина выписала из кулинарной книги список продуктов, необходимых для приготовления 4 порций салата „ Нежность “. Какое количество продуктов понадобится Дине для приготовления 6 порций салата? А для 10 порций? 300 г капусты 100 г колбасы 6 яиц 100 г ветчины 80 г майонеза 2луковицы 8. а) В 100 г черной смородины содержится 250 мг витамина С. Сколько граммов витамина С содержится в 2 кг черной смородины? б) Суточная норма витамина С для взрослого человека составляет 0, 05 г. Какое количество черной смородины надо съесть взрослому человеку, чтобы получить суточную норму витамина С? 9. Проба сплава нескольких драгоценных металлов - это количество граммов драгоценного металла в килограмме сплава. Какое количество чистого золота содержится в 16 г золотого браслета, если его проба: а) 585; б) 958? 168 Глава 4 ■ ------------------------------------------------ 10. Составьте и решите задачу по схеме: а) 3,5 кг - 44,8 лея б) 12 костюмов - 44 м 14,5 кг - ? леев 25 костюмов - ? м ? кг - 160 леев ? костюмов - 110 м 11. Из 40 л молока получается 15 кг творога. а) Сколько творога получится из 100 л молока? А из 60 л? б) Сколько необходимо молока, чтобы получить 112,5 кг творога? А 22,5 кг? 12. Составьте задачу для каждой из таблиц задания 2. 13. Разделите отрезок АВ на 3 части, прямо пропорциональные числам: а) 6, 2, 4; б) 10, 9, 5. А1 В 3 14. а) Разделите число 4960 на части, прямо пропорциональные числам 8, 15, 17. б) Разделите число 9 200 на части, прямо пропорциональные числам 1,75; 2,75; 31 . 6 15. Найдите числа х, у, 2, зная, что они прямо пропорциональны числам 3,4 и 5, а х + у = 35. 16. Три брата получили в наследство 90 000 долларов, которые по завещанию надо разделить следующим образом: первому - половину того, что получит второй, третьему - -2 того, что получит второй. Какую сумму денег получит каждый из братьев? ЗА Д А Ч V Д А ЧЕМ и * * 17. Среднее арифметическое четырех чисел - 34. Найдите эти числа, если известно, что они прямо пропорциональны четырем простым натуральным числам? Отношения и пропорции 169