transFormările lui lorentz şi ConseCinţele aCestora a. transformările lui lorentz Rezultatele obţinute în tema precedentă permit a stabili relaţiile dintre coordonatele locului și timpul unui eveniment (x, y, z, t) în sistemul de referinţă inerţial S, cunoscând mărimile respective (x′, y′, z′, t′) ale aceluiași eveniment în sistemul inerţial S′ (fig. 4.8). Sistemele S și S′ sunt definite: sistemul S′ se mișcă faţă de sistemul inerţial S, considerat imobil, cu viteză constantă u, paralelă cu axa Ox, iar la momentul iniţial de timp originea lui O′ coincide cu originea O. Coordonatele y′ și z′ sunt dimensiuni transversale, care, după cum s-a menţionat, sunt aceleași în ambele sisteme de referinţă, adică y = y′ și z = z′. Segmentul O′M2 în sistemul de referinţă S′ are lungimea x′. Lungimea acestui segment în sistemul S are, potrivit formulei (4.10), valoarea egală cu Astfel, după cum se vede din figu ra 4.8, pentru coordonata x putem scrie: (4.11) de unde rezultă: (4.12)
Această formulă permite a calcula coor do nata x′ în sistemul S′, fiind cunoscută coordonata x și timpul t în sistemul S. Să obţinem relaţia inversă, adică expresia pentru coordonata x. Dacă considerăm sistemul S′ imobil, atunci sistemul S se mișcă în raport cu el cu vite- za (–u). Coordonata x se obţine din formula (4.12), înlocuind mărimile x, t cu x′, t′ și invers, precum și schimbând în opus semnul vitezei u. Obţinem: (4.13)
76
Egalând expresiile din partea dreaptă a formulelor (4.11) și (4.13), pentru timpul t în sistemul imo- bil S avem: (4.14)
Totalizăm rezultatele obţinute: . (4.15) Aceste relaţii au fost numite transformările lui lorentz. Ele au fost deduse în anul 1904, înainte de publicarea lucrării lui Einstein, ca relaţii ce nu modifică ecuaţiile electrodinamicii la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la alt sistem inerţial. Ecuaţiile fundamentale ale electrodinamicii (ecua ţiile lui Maxwell) sunt invariante în raport cu transfor mările lui Lorentz. Acest fapt este în conformitate cu primul postulat al lui Einstein. Din formulele (4.15) observăm că în teoria relativităţii restrânse spaţiul și timpul nu sunt independente. La viteze u mult mai mici decât viteza luminii în vid c, adică la u << c, termenii care conţin raportul u/c pot fi neglijaţi și transformările lui Lorentz (4.15) trec în transformările lui Galilei (4.1). Astfel, a fost stabilită limita aplicabilităţii transformărilor lui Galilei, a conceptelor și a legilor mecanicii clasice: viteze mult mai mici decât viteza luminii în vid. Legea fundamentală a mecanicii clasice (newtoniene) este invariantă în raport cu trans for mările lui Galilei (4.1), deci nu este invariantă în raport cu transformările lui Lorentz. Rezultă că în domeniul relativist, când vitezele obiectelor devin comparabile cu viteza luminii în vid c, în mecanică sunt valabile alte legităţi, care la viteze u << c trec în legităţile mecanicii clasice. b. Compunerea relativistă a vitezelor Să stabilim relaţia dintre vitezele punctului material în raport cu cele două sisteme de referinţă
inerţiale, S și S′. Vitezele se exprimă prin coordona tele și timpul din sistemele respective. Astfel, în siste mele S și S′ proiecţiile vitezei pe axele Ox și O′x′ sunt: și Ţinând seama de faptul că viteza u este constantă, din relaţiile (4.15) avem: (4.16) Facem raportul respectiv:
Împărţind numărătorul și numitorul la dt′ și având în vedere că , obţinem relaţia căutată:
(4.17) Aceasta este legea relativistă a compunerii vitezelor. În mod similar pot fi obţinute expresiile pentru υy și υz. Să analizăm câteva exemple. Fie că în sistemul S′ o rază de lumină se propagă în sensul pozitiv al axei O′x′, adică viteza . Viteza de propagare a acestei raze de lumină în raport cu sistemul S este: , ceea ce corespunde principiului al doilea al lui Einstein. Admitem că o particulă elementară se propagă în raport cu sistemul S′ cu viteza υx′ = 0,9 c, iar viteza sistemului S′ în raport cu S este u = 0,8 c. Substituind aceste valori în legea (4.17), pentru viteza particulei în raport cu sistemul imobil S obţinem υx ≈ 0,988 c. Înlocuind aceleași valori pentru υx′ și u în legea cla sică a compunerii vitezelor (4.3), avem υx = υx′+ u = 1,7 c, valoare ce depășește viteza luminii în vid. La viteze mult mai mici decât viteza luminii în vid u << c relaţiile relativiste trec în relaţiile mecanicii clasice. În acest caz din (4.17) obţinem υx = υx′+ u, adică legea clasică a compunerii vitezelor (4.3).
Verificaţi-vă cunoştinţele 1. Un eveniment sa produs în sistemul mobil S′ în punctul cu coordonatele x′ = 3 ∙ 104 m, y′ = 2 ∙ 104 m, z′ = 0 la momentul de timp t′ = 7 · 10–5 s. Viteza sistemului mobil în raport cu sistemul fix S este egală cu 0,8 c, fiind orientată dea lungul axei Ox. Determinaţi coordo natele evenimen tului şi timpul când acesta sa produs în sistemul S.
2. Dintro navă cosmică, a cărei viteză este egală cu 0,6 c în raport cu o staţiune radar, sunt lansaţi elec troni cu viteza de 0,9 c în raport cu nava, în direcţia vitezei acesteia. Să se calculeze viteza electronilor în raport cu staţiunea radar după f
Această formulă permite a calcula coor do nata x′ în sistemul S′, fiind cunoscută coordonata x și timpul t în sistemul S. Să obţinem relaţia inversă, adică expresia pentru coordonata x. Dacă considerăm sistemul S′ imobil, atunci sistemul S se mișcă în raport cu el cu vite- za (–u). Coordonata x se obţine din formula (4.12), înlocuind mărimile x, t cu x′, t′ și invers, precum și schimbând în opus semnul vitezei u. Obţinem: (4.13)
76
Egalând expresiile din partea dreaptă a formulelor (4.11) și (4.13), pentru timpul t în sistemul imo- bil S avem: (4.14)
Totalizăm rezultatele obţinute: . (4.15) Aceste relaţii au fost numite transformările lui lorentz. Ele au fost deduse în anul 1904, înainte de publicarea lucrării lui Einstein, ca relaţii ce nu modifică ecuaţiile electrodinamicii la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la alt sistem inerţial. Ecuaţiile fundamentale ale electrodinamicii (ecua ţiile lui Maxwell) sunt invariante în raport cu transfor mările lui Lorentz. Acest fapt este în conformitate cu primul postulat al lui Einstein. Din formulele (4.15) observăm că în teoria relativităţii restrânse spaţiul și timpul nu sunt independente. La viteze u mult mai mici decât viteza luminii în vid c, adică la u << c, termenii care conţin raportul u/c pot fi neglijaţi și transformările lui Lorentz (4.15) trec în transformările lui Galilei (4.1). Astfel, a fost stabilită limita aplicabilităţii transformărilor lui Galilei, a conceptelor și a legilor mecanicii clasice: viteze mult mai mici decât viteza luminii în vid. Legea fundamentală a mecanicii clasice (newtoniene) este invariantă în raport cu trans for mările lui Galilei (4.1), deci nu este invariantă în raport cu transformările lui Lorentz. Rezultă că în domeniul relativist, când vitezele obiectelor devin comparabile cu viteza luminii în vid c, în mecanică sunt valabile alte legităţi, care la viteze u << c trec în legităţile mecanicii clasice. b. Compunerea relativistă a vitezelor Să stabilim relaţia dintre vitezele punctului material în raport cu cele două sisteme de referinţă
inerţiale, S și S′. Vitezele se exprimă prin coordona tele și timpul din sistemele respective. Astfel, în siste mele S și S′ proiecţiile vitezei pe axele Ox și O′x′ sunt: și Ţinând seama de faptul că viteza u este constantă, din relaţiile (4.15) avem: (4.16) Facem raportul respectiv:
Împărţind numărătorul și numitorul la dt′ și având în vedere că , obţinem relaţia căutată:
(4.17) Aceasta este legea relativistă a compunerii vitezelor. În mod similar pot fi obţinute expresiile pentru υy și υz. Să analizăm câteva exemple. Fie că în sistemul S′ o rază de lumină se propagă în sensul pozitiv al axei O′x′, adică viteza . Viteza de propagare a acestei raze de lumină în raport cu sistemul S este: , ceea ce corespunde principiului al doilea al lui Einstein. Admitem că o particulă elementară se propagă în raport cu sistemul S′ cu viteza υx′ = 0,9 c, iar viteza sistemului S′ în raport cu S este u = 0,8 c. Substituind aceste valori în legea (4.17), pentru viteza particulei în raport cu sistemul imobil S obţinem υx ≈ 0,988 c. Înlocuind aceleași valori pentru υx′ și u în legea cla sică a compunerii vitezelor (4.3), avem υx = υx′+ u = 1,7 c, valoare ce depășește viteza luminii în vid. La viteze mult mai mici decât viteza luminii în vid u << c relaţiile relativiste trec în relaţiile mecanicii clasice. În acest caz din (4.17) obţinem υx = υx′+ u, adică legea clasică a compunerii vitezelor (4.3).
Verificaţi-vă cunoştinţele 1. Un eveniment sa produs în sistemul mobil S′ în punctul cu coordonatele x′ = 3 ∙ 104 m, y′ = 2 ∙ 104 m, z′ = 0 la momentul de timp t′ = 7 · 10–5 s. Viteza sistemului mobil în raport cu sistemul fix S este egală cu 0,8 c, fiind orientată dea lungul axei Ox. Determinaţi coordo natele evenimen tului şi timpul când acesta sa produs în sistemul S.
2. Dintro navă cosmică, a cărei viteză este egală cu 0,6 c în raport cu o staţiune radar, sunt lansaţi elec troni cu viteza de 0,9 c în raport cu nava, în direcţia vitezei acesteia. Să se calculeze viteza electronilor în raport cu staţiunea radar după f
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu