diFraCţia luminii a. studiul calitativ al difracţiei luminii
să ne amintim Este cunoscut (din clasa a X-a) că fenomenul de difracţie a undelor mecanice reprezintă pătrunderea lor în regiunea de umbră a diferitor obstacole întâlnite în calea de propagare. Vom descrie succint esenţa acestui fenomen în cazul undelor de pe suprafaţa apei. Fenomenul de difracţie se observă atunci când dimensiunile obstacolelor aflate în calea propagării undelor sunt comparabile sau mai mici decât lungimea de undă. Propagarea undelor în apropierea obstacolelor se explică în baza principiului Huygens: orice punct al mediului până la care a ajuns unda la momentul dat devine sursă de unde sferice secundare, iar înfășurătoarea lor geometrică la un moment ulterior reprezintă noul front de undă. În figura 3.15 este ilustrat fenomenul de difracţie realizat de undele de pe suprafaţa apei dintr-o cuvă. Se observă că în cazul dimensiunilor fantei comparabile cu lungimea de undă, difracţia începe chiar în imediata apropiere a fantei (fig. 3.15, a). Pentru obstacole de dimensiuni mari (fig. 3.15, b) efectele fenomenului de difracţie se pot observa, dar numai la distanţe mari de la acestea. Cu cât obstacolul este mai departe de la punctul analizat, cu atât denaturarea frontului de undă devine mai evidentă. Dacă lumina reprezintă un proces ondulatoriu, atunci trebuie să existe și fenomenul de difracţie a ei, iar condiţiile de observare a acestuia trebuie să fie similare cu cele din cazul undelor mecanice. Cu alte cuvinte, pentru observarea difracţiei luminii în apropierea obstacolului este nevoie ca acesta să fie de dimensiuni comparabile cu lungimea de undă a luminii, adică de ordinul micrometrilor (10–6 m). Să analizăm procesul de propagare a luminii de la o sursă punctiformă când în calea ei este situat un paravan P, prevăzut cu o diafragmă, care limi tează o deschidere circulară regla bilă (fig. 3.16). Dacă deschiderea diaf ragmei este mare, pe ecranul E se obser vă o pată luminoasă cu un contur distinct, urmată de regiunea de umbră (fig. 3.16, a). Dimensiunile petei luminoase se deter mină ușor prin metode geomet rice, consid erând razele de lumină niște linii drepte. Prin analogie cu undele de pe suprafaţa apei, dacă vom îndepărta ecranul de paravan la o distan ţă mult mai mare decât diametrul diafrag mei, vom remarca o ușoară pătrundere a luminii în regiunea de um bră, adică dispariţia conturului distinct al petei luminoase. Efectul fenomenului de difracţie este mai pronunţat în cazul obstacolelor de dimensiuni mult mai mici decât distanţa până la ecran. La micșorarea considerabilă a diametrului diafragmei din paravanul P, pe ecranul E se formează o serie de inele alternativ luminoase și întunecate (fig. 3.16, b). Imaginea obţinută pe ecran în asemenea situaţie este numită tablou de difracţie. Acesta demonstrează că în apro pierea obstacolelor lumina nu se propagă rectiliniu, ea poate pătrunde și în regiunea de um
Fig. 3.15
Fig. 3.16
a)
b)
a)
b)
61
bră. Tabloul de difracţie depinde de forma și dimensiunile obsta colului. Dacă vom varia dimen siunile diafragmei, menţinându-le, totodată, compa ra bile cu lungimea de undă, vom observa că în tabloul de difracţie inelele luminoase devin întunecate și, invers, cele întunecate – lumi noase. Forma tabloului de difracţie întotdeauna o repetă pe cea a obstacolului. Tabloul de difracţie se observă uneori și în condiţii obișnuite. De exemplu, inelele colorate care se observă în jurul surselor de lumină, privite în condiţii de ceaţă sau prin geamuri aburite, apar din cauza difracţiei lumi nii pe particu lele foarte mici de apă, care constituie obstacole de dimensiuni comparabile cu lungimea de undă. Fenomenul difracţiei luminii a fost observat pentru prima dată de către savantul italian Francesco Grimaldi (1618–1663), însă a fost explicat abia în 1818 de către fizicianul francez A.J. Fresnel (1788–1827). Pentru aceasta, el a completat principiul lui Huygens cu noţiunea despre interferenţa undelor secundare (numit ulterior prin cipiul Huygens–Fresnel). Orice punct al mediului până la care ajunge unda luminoasă la momentul dat devine sursă de unde sferice secundare coerente, care apoi interferează, iar rezultatul interferenţei reprezintă noul front de undă. În baza acestui principiu, Fresnel a demonstrat, din punct de vedere teoretic, redistribuirea intensităţii luminoase sub formă de maxime și minime și propagarea rectilinie a luminii, chiar dacă aceasta este o undă. Astfel, teoria lui Fresnel a constituit cel mai convingător argument la confirmarea naturii ondulatorii a luminii. b. difracţia luminii de la o fantă. reţeaua de difracţie Principiul Huygens–Fresnel permite a înţelege cum are loc formarea tabloului de difracţie. Admitem că sursa de lumină se află în focarul lentilei convergente L1 (fig. 3.17). Atunci la paravanul P ajunge frontul unei unde plane, care nimerește pe o fantă îngustă de lăţime comparabilă cu lungimea de undă. Conform principiului Huygens–Fresnel, fiecare punct de pe supra faţa fantei devine sursă de unde sferice secundare coerente. (În figura 3.17, din infi nitatea de puncte ale frontului de undă sunt indicate doar trei.) De la acestea se propagă unde coerente de-a lungul unor raze situate sub diferite unghiuri faţă de normala la planul fantei.
Evident, de la fiecare punct-sursă de unde secundare, din multi tudinea de direc ţii se va găsi câte o rază, situată sub unul și același unghi: de exemplu, razele (1) sub unghiul ϕ = 0 și razele (2) sub un unghi arbitrar ϕ. Întrucât undele luminoase ce se propagă de la fantă sunt coerente și parcurg distanţe diferite, ele sunt caracterizate de o anumită diferenţă de drum optic și, în funcţie de condiţia maximal sau minimal înde plinită, în punctul de observaţie se va forma o franjă luminoasă sau întunecată. Deoarece razele cercetate sunt paralele, pentru observarea tablou lui de difracţie este utilizată lentila L2 în focarul căreia este așezat ecranul E (fig. 3.17). În figura III (planșa color, p. 162) este reprezentat tabloul de difracţie obţinut la iluminarea unei fante înguste cu lumină roșie. Observarea difracţiei luminii de la o singură fantă este însoţită de dificultăţi legate de intensitatea lu mi noasă destul de redusă a franjelor. S-a constatat că pen tru obţinerea unui tablou de difracţie mai pronunţat, lumina trebuie transmisă printr-un sistem de fante. Într-ade văr, cu cât numărul de fante este mai mare, cu atât mai multă lumină pătrunde prin ele. Totodată, o franjă luminoasă observată pe ecran este rezulta tul nu numai al difracţiei, adică al interferenţei undelor sferice secundare, dar și al interferenţei undelor ce sosesc în acel punct al ecranului de la diferite fante. Cu alte cuvinte, intensitatea luminoasă a franjei obţinute de la o fantă este amplificată de acţiunea celorlalte.
Fig. 3.17
62
bile, de-a lungul unor raze sub formă de unde coerente, iar interferenţa lor amplifică in ten sitatea luminoasă numai pe anumite direcţii. Aceste direcţii se determină respectându-se condiţia că diferenţa de drum optic dintre undele coerente provenite de la două fante consecutive trebuie să constituie un număr par de semilungimi de undă (condiţia maximelor de interferenţă (3.12)), adică:
.
Totodată, din figura 3.18 se observă că diferenţa de drum optic ∆ se exprimă prin constanta reţe- lei d. Într-adevăr, din triunghiul dreptunghic ABC avem:
și din ultimele două relaţii obţinem: , (3.28) numită formula reţelei de difracţie. Ea exprimă condiţia de obţinere a franjelor luminoase (maximelor principale) în urma transmiterii luminii printr-o reţea de difracţie. În formula (3.28) unghiul ϕ este numit unghi de difracţie, iar m = 1, 2, 3, … . Pentru m = 0 se obţine o franjă caracterizată de cea mai mare intensitate luminoasă. Acestei franje i se mai spune maxim central sau maxim de ordinul zero. Dacă m ≥ 1, pe ecran se vor observa câte două maxime principale de aceeași intensitate dispuse simetric faţă de maximul central și numite maxime de ordinul m. În figura IV, a și b (planșa color, p. 162) sunt prezentate spectrele obţinute cu o reţea de difracţie iluminată cu lumină violetă și, respectiv, roșie. După cum se constată din experienţe, odată cu creșterea ordinului maximelor intensitatea lor luminoasă se micșorează, iar mărirea nu mă rului de fante (micșorarea perioadei d) conduce la creșterea distanţei dintre franjele luminoase. Dacă reţeaua de difracţie este iluminată cu lumină albă, atunci tabloul de difracţie apare colorat, obţinându-se câte un spectru pentru fiecare ordin al tabloului (fig. IV, c). Menţionăm că în acest caz s-a folosit o reţea de difracţie mai performantă decât cea utilizată la obţinerea spectrelor din figura IV, a și b.
Această metodă de amplificare a intensităţii lumi noase a tabloului de difracţie stă la baza dispozitivului numit reţea de difracţie. Ea este alcătuită dintr-un număr mare de fante înguste paralele, rectilinii, egale, echidistante și foarte apropiate una de alta. Reţelele de difracţie sunt confecţionate din
plăci transparente sau reflectătoare (oglinzi plane). În ambele cazuri pe suprafaţa materialului sunt trasate un număr N de linii (zgârieturi) echidistante. În pre zent se confecţionează reţele de difracţie, care conţin mai mult de 1 000 de linii (zgârieturi) pe fiecare milimetru de lungime, numărul total N ajungând până la sute de mii. Liniile reprezintă suprafeţe cu multe asperităţi, de aceea împrăștie lumina incidentă pe reţea, iar spaţiile dintre ele, rămânând transparente sau reflectătoare, îndeplinesc rolul fantelor reţelei. O caracteristică importantă a reţelei de difracţie este constanta reţelei sau perioada ei, care reprezintă suma dintre lăţimile unei fante și a unui spaţiu opac (fig. 3.18): d = a + b, unde a este lăţimea unei fante, iar b – a unei zgârieturi. Dacă se cunoaște numărul de trăsături (fante) pe o unitate de lungime l, adică n = N/l, atunci pentru perioada reţelei putem scrie:
. (3.27)
Fig. 3.18
Să cercetăm procesul de formare a tabloului de difracţie. Presupunem că pe suprafaţa unei reţele de difracţie cade normal un fascicul de raze paralele de lumină monocromatică, având lungimea de undă λ. După trecerea prin reţea, în urma feno menului de difracţie, lumina se propagă în toate direcţiile posi
63
Un fascicul de lumină monocromatică de lungime de undă λ = 0,6 µm cade normal pe suprafaţa unei reţele de difracţie. Tabloul de difracţie este proiectat pe un ecran, situat la distanţa D = 1 m de la reţea. Se constată că distanţa dintre maximele central şi principal de ordinul m = 1 este l = 15 cm. Determinaţi: a) perioada reţelei de difracţie; b) numărul total de maxime principale, obţinut cu această reţea; c) unghiul de difracţie ce corespunde direcţiei în care se formează ultimul maxim principal. rezolvare: a) Perioada reţelei de difrac ţie se determină din formula (3.28): . Din figura 3.19 se observă că . Deoarece
D >> l, unghiul ϕ este mic şi . Atunci pentru perioada reţelei obţinem: . b) Întrucât maximele principale sunt dispuse simetric în stânga şi în dreapta de la cel central, rezultă că numărul lor total este:
unde mmax este ordinul ultimului maxim, care poate fi observat cu această reţea. Lumina transmisă de o reţea de difracţie se propagă de la aceasta sub unghiuri cuprinse între 0 şi ±π/2. Atunci din (3.28), când sin ϕ = 1, avem:
.
se dă: SI: λ = 0,6 µm, 6 · 10–7 m D = 1 m, m = 1, l = 15 cm 0,15 m d – ?, N – ?, ϕm – ?
Aşa cum ordinul maximelor trebuie să fie un număr întreg, rezultă că mmax = 6, iar numărul total de maxime N = 13. c) Unghiul de difracţie ce determină direcţia în care se formează ultimul maxim se calculează tot din (3.28),
dar scrisă pentru această direcţie: . Exprimând unghiul ϕm din expresia de mai sus, obţinem: , din care numeric avem ϕm ≈ 64o.
Verificaţi-vă cunoştinţele 1. Care este esenţa fenomenului de difracţie a undelor mecanice? 2. Care trebuie să fie ordinul dimensiunilor obstacolelor întâlnite în calea undelor de lumină pentru a observa fenomenul de difracţie? De ce? 3. Ce reprezintă tabloul de difracţie a luminii? Explicaţi modul de formare a lui la difracţia pe diferite obstacole. 4. Formulaţi principiul Huygens–Fresnel. Ce explică acest principiu? 5. Cum se explică, din punct de vedere calitativ, formarea tabloului de difracţie pe o fantă îngustă? 6. Ce reprezintă o reţea de difracţie? Cu ce este egală perioada ei? 7. Care este formula reţelei de difracţie şi ce exprimă ea?
8. Caracterizaţi tabloul de difracţie, obţinut cu o reţea. Cum se modifică acesta în funcţie de valoarea perioadei reţelei de difracţie? 9. Lumina cu lungimea de undă λ = 0,6 µm cade normal pe o reţea de difracţie transparentă. Determinaţi perioada reţelei şi unghiul maxim de difracţie, dacă se cunoaşte că maximul de ordinul 4 se formează pentru unghiul de difracţie de 30o, iar ordinul ultimului ma xim este mmax = 7. 10.* Pe o reţea de difracţie cade normal lumină monocromatică cu lungimea de undă λ = 0,41 µm. Unghiul Δφ dintre direcţiile spre maximele principale de ordinele 1 şi 2 este de 2,35o. Determinaţi numărul de fante pe milimetru al reţelei de difracţie.
Problemă rezolvată
Fig. 3.19
64
Lucrare de laborator determinarea lungimii de undă a luminii cu ajutorul reţelei de difracţie Scopul lucrării: Determinarea limitelor lungimii de undă ale spectrului vizibil. Aparate şi materiale necesare: Un stativ, o reţea de difracţie, un dispozitiv pentru determinarea lungimii de undă a luminii, o sursă de lumină albă.
Consideraţii teoretice Dispozitivul folosit în această lucrare de laborator pentru determinarea lungimii de undă a luminii reprezintă o riglă gradată în milimetri, având la unul din capete o ramă, în care se montează reţeaua de difracţie. La celălalt capăt se află un ecran, situat perpendicular pe riglă, care se poate deplasa de-a lungul ei. Ecranul are o fantă îngustă la mijloc și este înzestrat cu o scală milimetrică cu zero la centrul fantei. Privind la sursa de lumină prin reţea și fantă conco mitent (fig. 3.20), observatorul va vedea pe ecran de ambele părţi ale fantei spectrele colorate de difracţie de ordinele 1, 2 ș.a.m.d. În figură este reprezentat sche matic modul de formare a maximelor (spectrelor) cu ajutorul acestui dispozitiv. Fiecare maxim reprezintă un spectru, marginile căruia se află la distanţele lυ și lr de la centrul fantei. Poziţia maximului principal de ordinul m = 1 se determină din relaţia (3.28), în care λ este lungimea de undă a luminii de culoarea cercetată a spectrului, d perioada reţelei de difracţie, iar ϕ unghiul sub care este observat maximul respectiv. Întrucât pentru maximul principal de ordinul 1 unghiul ϕ este întotdeauna mic (ϕ < 5o), atunci sin ϕ ≈ tgϕ = l/L (fig. 3.20). Așadar, pentru determinarea lungimii de undă a luminii, obţinem relaţia: (3.29) unde L este distanţa dintre reţeaua de difracţie și ecran.
Fig. 3.20
mod de lucru: 1. Montaţi reţeaua de difracţie în rama dispo zi tivului și fixaţi-l de cleștele stativului (fig. 3.21). 2. Privind prin reţeaua de difracţie, orientaţi dis pozitivul spre sursa de lu mi nă, astfel încât ea să fie văzută prin fanta îngustă a ecranului. Pe ecran, de o parte și de alta a fantei, veţi observa spectrele de di frac ţie de câteva ordine. 3. Citiţi de pe scala ecranului, privit prin reţea, pozi ţiile marginilor roșie lr și violetă lυ ale spectrului de ordinul 1 de pe ambele părţi ale fantei. Determinaţi valorile medii ale distanţelor lr și lυ pentru fiecare culoare și introduceţi-le în tabelul de mai jos. 4. De pe rigla gradată în milimetri a dispozitivului notaţi distanţa L dintre reţea și ecran, introducând-o, de asemenea, în tabel. 5. Repetaţi măsurătorile din sarcinile 3 și 4 pentru alte două poziţii ale ecranului faţă de reţeaua de difracţie și introduceţi rezultatele în același tabel. Nr. d L lr lυ λr λυ (10–5 m) (m) (cm) (cm) (10–6 m) (10–6 m) 1 2 3 Valoarea medie 6. În baza relaţiei (3.29), calculaţi lungimile de undă λr și λυ, ce constituie limitele spectrului vizibil, apoi valorile lor medii. 7. Estimaţi erorile absolută și relativă la determi narea lungimii de undă a luminii pentru cele două culori, folosind următoarele relaţii:
În calcule, pentru Δl și ΔL se va lua eroarea aparatului de măsură. 8. Prezentaţi rezultatul final sub forma:
9. Formulaţi
să ne amintim Este cunoscut (din clasa a X-a) că fenomenul de difracţie a undelor mecanice reprezintă pătrunderea lor în regiunea de umbră a diferitor obstacole întâlnite în calea de propagare. Vom descrie succint esenţa acestui fenomen în cazul undelor de pe suprafaţa apei. Fenomenul de difracţie se observă atunci când dimensiunile obstacolelor aflate în calea propagării undelor sunt comparabile sau mai mici decât lungimea de undă. Propagarea undelor în apropierea obstacolelor se explică în baza principiului Huygens: orice punct al mediului până la care a ajuns unda la momentul dat devine sursă de unde sferice secundare, iar înfășurătoarea lor geometrică la un moment ulterior reprezintă noul front de undă. În figura 3.15 este ilustrat fenomenul de difracţie realizat de undele de pe suprafaţa apei dintr-o cuvă. Se observă că în cazul dimensiunilor fantei comparabile cu lungimea de undă, difracţia începe chiar în imediata apropiere a fantei (fig. 3.15, a). Pentru obstacole de dimensiuni mari (fig. 3.15, b) efectele fenomenului de difracţie se pot observa, dar numai la distanţe mari de la acestea. Cu cât obstacolul este mai departe de la punctul analizat, cu atât denaturarea frontului de undă devine mai evidentă. Dacă lumina reprezintă un proces ondulatoriu, atunci trebuie să existe și fenomenul de difracţie a ei, iar condiţiile de observare a acestuia trebuie să fie similare cu cele din cazul undelor mecanice. Cu alte cuvinte, pentru observarea difracţiei luminii în apropierea obstacolului este nevoie ca acesta să fie de dimensiuni comparabile cu lungimea de undă a luminii, adică de ordinul micrometrilor (10–6 m). Să analizăm procesul de propagare a luminii de la o sursă punctiformă când în calea ei este situat un paravan P, prevăzut cu o diafragmă, care limi tează o deschidere circulară regla bilă (fig. 3.16). Dacă deschiderea diaf ragmei este mare, pe ecranul E se obser vă o pată luminoasă cu un contur distinct, urmată de regiunea de umbră (fig. 3.16, a). Dimensiunile petei luminoase se deter mină ușor prin metode geomet rice, consid erând razele de lumină niște linii drepte. Prin analogie cu undele de pe suprafaţa apei, dacă vom îndepărta ecranul de paravan la o distan ţă mult mai mare decât diametrul diafrag mei, vom remarca o ușoară pătrundere a luminii în regiunea de um bră, adică dispariţia conturului distinct al petei luminoase. Efectul fenomenului de difracţie este mai pronunţat în cazul obstacolelor de dimensiuni mult mai mici decât distanţa până la ecran. La micșorarea considerabilă a diametrului diafragmei din paravanul P, pe ecranul E se formează o serie de inele alternativ luminoase și întunecate (fig. 3.16, b). Imaginea obţinută pe ecran în asemenea situaţie este numită tablou de difracţie. Acesta demonstrează că în apro pierea obstacolelor lumina nu se propagă rectiliniu, ea poate pătrunde și în regiunea de um
Fig. 3.15
Fig. 3.16
a)
b)
a)
b)
61
bră. Tabloul de difracţie depinde de forma și dimensiunile obsta colului. Dacă vom varia dimen siunile diafragmei, menţinându-le, totodată, compa ra bile cu lungimea de undă, vom observa că în tabloul de difracţie inelele luminoase devin întunecate și, invers, cele întunecate – lumi noase. Forma tabloului de difracţie întotdeauna o repetă pe cea a obstacolului. Tabloul de difracţie se observă uneori și în condiţii obișnuite. De exemplu, inelele colorate care se observă în jurul surselor de lumină, privite în condiţii de ceaţă sau prin geamuri aburite, apar din cauza difracţiei lumi nii pe particu lele foarte mici de apă, care constituie obstacole de dimensiuni comparabile cu lungimea de undă. Fenomenul difracţiei luminii a fost observat pentru prima dată de către savantul italian Francesco Grimaldi (1618–1663), însă a fost explicat abia în 1818 de către fizicianul francez A.J. Fresnel (1788–1827). Pentru aceasta, el a completat principiul lui Huygens cu noţiunea despre interferenţa undelor secundare (numit ulterior prin cipiul Huygens–Fresnel). Orice punct al mediului până la care ajunge unda luminoasă la momentul dat devine sursă de unde sferice secundare coerente, care apoi interferează, iar rezultatul interferenţei reprezintă noul front de undă. În baza acestui principiu, Fresnel a demonstrat, din punct de vedere teoretic, redistribuirea intensităţii luminoase sub formă de maxime și minime și propagarea rectilinie a luminii, chiar dacă aceasta este o undă. Astfel, teoria lui Fresnel a constituit cel mai convingător argument la confirmarea naturii ondulatorii a luminii. b. difracţia luminii de la o fantă. reţeaua de difracţie Principiul Huygens–Fresnel permite a înţelege cum are loc formarea tabloului de difracţie. Admitem că sursa de lumină se află în focarul lentilei convergente L1 (fig. 3.17). Atunci la paravanul P ajunge frontul unei unde plane, care nimerește pe o fantă îngustă de lăţime comparabilă cu lungimea de undă. Conform principiului Huygens–Fresnel, fiecare punct de pe supra faţa fantei devine sursă de unde sferice secundare coerente. (În figura 3.17, din infi nitatea de puncte ale frontului de undă sunt indicate doar trei.) De la acestea se propagă unde coerente de-a lungul unor raze situate sub diferite unghiuri faţă de normala la planul fantei.
Evident, de la fiecare punct-sursă de unde secundare, din multi tudinea de direc ţii se va găsi câte o rază, situată sub unul și același unghi: de exemplu, razele (1) sub unghiul ϕ = 0 și razele (2) sub un unghi arbitrar ϕ. Întrucât undele luminoase ce se propagă de la fantă sunt coerente și parcurg distanţe diferite, ele sunt caracterizate de o anumită diferenţă de drum optic și, în funcţie de condiţia maximal sau minimal înde plinită, în punctul de observaţie se va forma o franjă luminoasă sau întunecată. Deoarece razele cercetate sunt paralele, pentru observarea tablou lui de difracţie este utilizată lentila L2 în focarul căreia este așezat ecranul E (fig. 3.17). În figura III (planșa color, p. 162) este reprezentat tabloul de difracţie obţinut la iluminarea unei fante înguste cu lumină roșie. Observarea difracţiei luminii de la o singură fantă este însoţită de dificultăţi legate de intensitatea lu mi noasă destul de redusă a franjelor. S-a constatat că pen tru obţinerea unui tablou de difracţie mai pronunţat, lumina trebuie transmisă printr-un sistem de fante. Într-ade văr, cu cât numărul de fante este mai mare, cu atât mai multă lumină pătrunde prin ele. Totodată, o franjă luminoasă observată pe ecran este rezulta tul nu numai al difracţiei, adică al interferenţei undelor sferice secundare, dar și al interferenţei undelor ce sosesc în acel punct al ecranului de la diferite fante. Cu alte cuvinte, intensitatea luminoasă a franjei obţinute de la o fantă este amplificată de acţiunea celorlalte.
Fig. 3.17
62
bile, de-a lungul unor raze sub formă de unde coerente, iar interferenţa lor amplifică in ten sitatea luminoasă numai pe anumite direcţii. Aceste direcţii se determină respectându-se condiţia că diferenţa de drum optic dintre undele coerente provenite de la două fante consecutive trebuie să constituie un număr par de semilungimi de undă (condiţia maximelor de interferenţă (3.12)), adică:
.
Totodată, din figura 3.18 se observă că diferenţa de drum optic ∆ se exprimă prin constanta reţe- lei d. Într-adevăr, din triunghiul dreptunghic ABC avem:
și din ultimele două relaţii obţinem: , (3.28) numită formula reţelei de difracţie. Ea exprimă condiţia de obţinere a franjelor luminoase (maximelor principale) în urma transmiterii luminii printr-o reţea de difracţie. În formula (3.28) unghiul ϕ este numit unghi de difracţie, iar m = 1, 2, 3, … . Pentru m = 0 se obţine o franjă caracterizată de cea mai mare intensitate luminoasă. Acestei franje i se mai spune maxim central sau maxim de ordinul zero. Dacă m ≥ 1, pe ecran se vor observa câte două maxime principale de aceeași intensitate dispuse simetric faţă de maximul central și numite maxime de ordinul m. În figura IV, a și b (planșa color, p. 162) sunt prezentate spectrele obţinute cu o reţea de difracţie iluminată cu lumină violetă și, respectiv, roșie. După cum se constată din experienţe, odată cu creșterea ordinului maximelor intensitatea lor luminoasă se micșorează, iar mărirea nu mă rului de fante (micșorarea perioadei d) conduce la creșterea distanţei dintre franjele luminoase. Dacă reţeaua de difracţie este iluminată cu lumină albă, atunci tabloul de difracţie apare colorat, obţinându-se câte un spectru pentru fiecare ordin al tabloului (fig. IV, c). Menţionăm că în acest caz s-a folosit o reţea de difracţie mai performantă decât cea utilizată la obţinerea spectrelor din figura IV, a și b.
Această metodă de amplificare a intensităţii lumi noase a tabloului de difracţie stă la baza dispozitivului numit reţea de difracţie. Ea este alcătuită dintr-un număr mare de fante înguste paralele, rectilinii, egale, echidistante și foarte apropiate una de alta. Reţelele de difracţie sunt confecţionate din
plăci transparente sau reflectătoare (oglinzi plane). În ambele cazuri pe suprafaţa materialului sunt trasate un număr N de linii (zgârieturi) echidistante. În pre zent se confecţionează reţele de difracţie, care conţin mai mult de 1 000 de linii (zgârieturi) pe fiecare milimetru de lungime, numărul total N ajungând până la sute de mii. Liniile reprezintă suprafeţe cu multe asperităţi, de aceea împrăștie lumina incidentă pe reţea, iar spaţiile dintre ele, rămânând transparente sau reflectătoare, îndeplinesc rolul fantelor reţelei. O caracteristică importantă a reţelei de difracţie este constanta reţelei sau perioada ei, care reprezintă suma dintre lăţimile unei fante și a unui spaţiu opac (fig. 3.18): d = a + b, unde a este lăţimea unei fante, iar b – a unei zgârieturi. Dacă se cunoaște numărul de trăsături (fante) pe o unitate de lungime l, adică n = N/l, atunci pentru perioada reţelei putem scrie:
. (3.27)
Fig. 3.18
Să cercetăm procesul de formare a tabloului de difracţie. Presupunem că pe suprafaţa unei reţele de difracţie cade normal un fascicul de raze paralele de lumină monocromatică, având lungimea de undă λ. După trecerea prin reţea, în urma feno menului de difracţie, lumina se propagă în toate direcţiile posi
63
Un fascicul de lumină monocromatică de lungime de undă λ = 0,6 µm cade normal pe suprafaţa unei reţele de difracţie. Tabloul de difracţie este proiectat pe un ecran, situat la distanţa D = 1 m de la reţea. Se constată că distanţa dintre maximele central şi principal de ordinul m = 1 este l = 15 cm. Determinaţi: a) perioada reţelei de difracţie; b) numărul total de maxime principale, obţinut cu această reţea; c) unghiul de difracţie ce corespunde direcţiei în care se formează ultimul maxim principal. rezolvare: a) Perioada reţelei de difrac ţie se determină din formula (3.28): . Din figura 3.19 se observă că . Deoarece
D >> l, unghiul ϕ este mic şi . Atunci pentru perioada reţelei obţinem: . b) Întrucât maximele principale sunt dispuse simetric în stânga şi în dreapta de la cel central, rezultă că numărul lor total este:
unde mmax este ordinul ultimului maxim, care poate fi observat cu această reţea. Lumina transmisă de o reţea de difracţie se propagă de la aceasta sub unghiuri cuprinse între 0 şi ±π/2. Atunci din (3.28), când sin ϕ = 1, avem:
.
se dă: SI: λ = 0,6 µm, 6 · 10–7 m D = 1 m, m = 1, l = 15 cm 0,15 m d – ?, N – ?, ϕm – ?
Aşa cum ordinul maximelor trebuie să fie un număr întreg, rezultă că mmax = 6, iar numărul total de maxime N = 13. c) Unghiul de difracţie ce determină direcţia în care se formează ultimul maxim se calculează tot din (3.28),
dar scrisă pentru această direcţie: . Exprimând unghiul ϕm din expresia de mai sus, obţinem: , din care numeric avem ϕm ≈ 64o.
Verificaţi-vă cunoştinţele 1. Care este esenţa fenomenului de difracţie a undelor mecanice? 2. Care trebuie să fie ordinul dimensiunilor obstacolelor întâlnite în calea undelor de lumină pentru a observa fenomenul de difracţie? De ce? 3. Ce reprezintă tabloul de difracţie a luminii? Explicaţi modul de formare a lui la difracţia pe diferite obstacole. 4. Formulaţi principiul Huygens–Fresnel. Ce explică acest principiu? 5. Cum se explică, din punct de vedere calitativ, formarea tabloului de difracţie pe o fantă îngustă? 6. Ce reprezintă o reţea de difracţie? Cu ce este egală perioada ei? 7. Care este formula reţelei de difracţie şi ce exprimă ea?
8. Caracterizaţi tabloul de difracţie, obţinut cu o reţea. Cum se modifică acesta în funcţie de valoarea perioadei reţelei de difracţie? 9. Lumina cu lungimea de undă λ = 0,6 µm cade normal pe o reţea de difracţie transparentă. Determinaţi perioada reţelei şi unghiul maxim de difracţie, dacă se cunoaşte că maximul de ordinul 4 se formează pentru unghiul de difracţie de 30o, iar ordinul ultimului ma xim este mmax = 7. 10.* Pe o reţea de difracţie cade normal lumină monocromatică cu lungimea de undă λ = 0,41 µm. Unghiul Δφ dintre direcţiile spre maximele principale de ordinele 1 şi 2 este de 2,35o. Determinaţi numărul de fante pe milimetru al reţelei de difracţie.
Problemă rezolvată
Fig. 3.19
64
Lucrare de laborator determinarea lungimii de undă a luminii cu ajutorul reţelei de difracţie Scopul lucrării: Determinarea limitelor lungimii de undă ale spectrului vizibil. Aparate şi materiale necesare: Un stativ, o reţea de difracţie, un dispozitiv pentru determinarea lungimii de undă a luminii, o sursă de lumină albă.
Consideraţii teoretice Dispozitivul folosit în această lucrare de laborator pentru determinarea lungimii de undă a luminii reprezintă o riglă gradată în milimetri, având la unul din capete o ramă, în care se montează reţeaua de difracţie. La celălalt capăt se află un ecran, situat perpendicular pe riglă, care se poate deplasa de-a lungul ei. Ecranul are o fantă îngustă la mijloc și este înzestrat cu o scală milimetrică cu zero la centrul fantei. Privind la sursa de lumină prin reţea și fantă conco mitent (fig. 3.20), observatorul va vedea pe ecran de ambele părţi ale fantei spectrele colorate de difracţie de ordinele 1, 2 ș.a.m.d. În figură este reprezentat sche matic modul de formare a maximelor (spectrelor) cu ajutorul acestui dispozitiv. Fiecare maxim reprezintă un spectru, marginile căruia se află la distanţele lυ și lr de la centrul fantei. Poziţia maximului principal de ordinul m = 1 se determină din relaţia (3.28), în care λ este lungimea de undă a luminii de culoarea cercetată a spectrului, d perioada reţelei de difracţie, iar ϕ unghiul sub care este observat maximul respectiv. Întrucât pentru maximul principal de ordinul 1 unghiul ϕ este întotdeauna mic (ϕ < 5o), atunci sin ϕ ≈ tgϕ = l/L (fig. 3.20). Așadar, pentru determinarea lungimii de undă a luminii, obţinem relaţia: (3.29) unde L este distanţa dintre reţeaua de difracţie și ecran.
Fig. 3.20
mod de lucru: 1. Montaţi reţeaua de difracţie în rama dispo zi tivului și fixaţi-l de cleștele stativului (fig. 3.21). 2. Privind prin reţeaua de difracţie, orientaţi dis pozitivul spre sursa de lu mi nă, astfel încât ea să fie văzută prin fanta îngustă a ecranului. Pe ecran, de o parte și de alta a fantei, veţi observa spectrele de di frac ţie de câteva ordine. 3. Citiţi de pe scala ecranului, privit prin reţea, pozi ţiile marginilor roșie lr și violetă lυ ale spectrului de ordinul 1 de pe ambele părţi ale fantei. Determinaţi valorile medii ale distanţelor lr și lυ pentru fiecare culoare și introduceţi-le în tabelul de mai jos. 4. De pe rigla gradată în milimetri a dispozitivului notaţi distanţa L dintre reţea și ecran, introducând-o, de asemenea, în tabel. 5. Repetaţi măsurătorile din sarcinile 3 și 4 pentru alte două poziţii ale ecranului faţă de reţeaua de difracţie și introduceţi rezultatele în același tabel. Nr. d L lr lυ λr λυ (10–5 m) (m) (cm) (cm) (10–6 m) (10–6 m) 1 2 3 Valoarea medie 6. În baza relaţiei (3.29), calculaţi lungimile de undă λr și λυ, ce constituie limitele spectrului vizibil, apoi valorile lor medii. 7. Estimaţi erorile absolută și relativă la determi narea lungimii de undă a luminii pentru cele două culori, folosind următoarele relaţii:
În calcule, pentru Δl și ΔL se va lua eroarea aparatului de măsură. 8. Prezentaţi rezultatul final sub forma:
9. Formulaţi
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu