CirCuite în Curent alternativ Elementele de bază ale oricărui circuit electric sunt rezistorul, condensatorul și bobina, caracterizate, respectiv, de rezistenţa R, capacitatea C și inductanţa L. În realitate, fiecare dintre aceste elemente întotdeauna este caracterizat de combinaţia acestor mărimi, însă de multe ori ele pot fi considerate ideale. În acest caz, fiecare element este definit exclusiv printr-o singură mărime R, L sau C. Pentru simplitate, în cele ce urmează, vom considera circuitele în curent alter nativ compuse din elemente ideale.
a. particularităţile circuitelor în curent alternativ Spre deosebire de circuitele de curent continuu, în cele de curent alternativ se evidenţiază anumite particu larităţi importante specifice acestora. Vom menţiona, în primul rând, că cir cuitele în curent alternativ repre zintă sisteme oscilatorii. Tensiunea sinusoidală , (2.9) aplicată la bornele circuitului, constituie sursa de energie care întreţine oscilaţiile de pulsaţie ω ale intensităţii curentului și tensiunii din circuit.
Fig. 2.4
28
Cu toate că legea lui Ohm a fost stabilită pentru curentul continuu, ea este valabilă și pentru valorile instantanee ale tensiunii și intensităţii curentului alternativ. Pentru aceasta este necesar ca intensitatea curentului să rămână aproximativ aceeași în orice secţiune a conductorului. Curentul electric de frecvenţă industrială (ν = 50 Hz) îndepli neș te condiţia dată cu un grad de precizie foarte înalt și de aceea se spune că este cvasistaţionar. Comportamentul condensatoarelor și al bobi nelor în curent alternativ este calitativ di fe rit de cel în curent continuu. Dacă într-un circuit de curent continuu condensatorul are un rol simplu de întrerupere a circuitului, atunci în curent alternativ el suportă un proces de încărcare-descărcare cu atât mai intens, cu cât este mai mare frecvenţa ν. Din această cauză în circuit se stabilește un curent alterna tiv de aceeași frecvenţă. În curent continuu bobina se comportă ca un rezistor, în care se degajă prin efect Joule o cantitate de căldură proporţională cu rezistenţa ei, iar în curent alternativ ea determină apariţia unei t.e.m. de autoinducţie, care modifică intensitatea curentului din acest circuit. Întrucât procesele și legile care au loc în circuitele de curent alternativ sunt mai complicate decât cele din curent continuu, vom începe cu analiza celor mai simple circuite, compuse din elemente indivi duale considerate ideale. Menţionăm că în cazul circui telor mai complicate este foarte comodă repre zentarea mărimilor fizice oscilatorii ale circuitului prin fazori în cadrul unor diagrame. să ne amintim La studiul oscilaţiilor mecanice (în clasa a X-a) s-a definit noţiunea de fazor. Acesta este un vector rotitor atribuit oscilaţiei descrise de ecuaţia (2.1) și caracterizat de urmă toa rele pro prie tăţi: are modulul egal cu ampli tudinea oscilaţiei repre zen ta- te A; este orientat astfel încât unghiul format cu o direcţie aleasă arbitrar (de exe mp lu, axa Ox), la momentul iniţial de timp t = 0, este egal cu faza iniţială a oscilaţiei φ0 (fig. 2.5). Deoarece un ghiul dintre fazor și axa Ox crește liniar în timp, fazorul se rotește în planul xOy în sens trigo nometric, având viteza un ghiu lară egală cu pulsaţia ω a oscilaţiei reprezentate.
b. rezistor ideal în curent alternativ Cel mai simplu circuit electric se obţine la aplica rea unei tensiuni la bornele rezistorului de rezistenţă R (fig. 2.6, a). Dacă tensiunea aplicată este continuă, atunci în circuit se stabilește un curent staţionar determinat de legea lui Ohm: , (2.10) iar în rezistor se degajă o anumită cantitate de căldură. Dacă însă se aplică tensiunea alternativă de forma (2.9), atunci prin rezistor circulă un curent alternativ (cvasistaţionar), valoarea instantanee a căruia se determină tot din legea lui Ohm: , unde . Folosind relaţiile (2.7) și (2.8) pentru valorile efective, avem: . (2.11) Relaţia (2.11) coincide după formă cu legea lui Ohm (2.10), însă tensiunea și intensitatea repre zintă valorile efective ale mărimilor alternative res pective. În figura 2.6, b sunt prezentate graficele tensiunii și intensităţii curen tului alternativ în funcţie de faza ωt. Se observă că aceste mărimi oscilează în aceeași fază, adică defazajul lor este nul. Atât intensi tatea curentu lui, cât și tensiunea ating valorile lor maxi me la aceleași momente. Diagrama fazorială în acest caz este foarte simplă (fig. 2.6, c). Se alege o direcţie arbitrară (linia în trerup tă), de-a lungul căreia se depune vecto rul intensităţii curentului de modúl egal cu valoarea maximă Im. Întrucât tensiunea u și intensitatea curentului i oscilează în fază (fig. 2.6, b), vectorul tensiunii de modúl egal cu valoarea maximă Um, R trebuie orientat de-a lungul aceleiași direcţii. c. bobină ideală în curent alternativ Considerăm o bobină ideală de inductanţă L, conectată la sursa de tensiune alternativă u de forma (2.9). Circuitul format (fig. 2.7, a) este parcurs de un curent i de asemenea alternativ, descris de relaţia (2.6). La trece rea acestui curent prin bobină se produce feno menul de autoinducţie. Astfel, de rând cu tensiunea de alimentare u, în circuit mai acţionează și t.e.m. de autoinducţie (1.22), adică: .Fig. 2.5
29
Aici di dt este derivata intensităţii curentului i în raport cu timpul t. Menţionăm că notaţia y´ folosită la matematică este echivalentă cu dy dx și semnifică derivata funcţiei y în raport cu coordonata x. După derivarea expresiei (2.6) în raport cu timpul și folosind relaţia matematică cos ωt = sin(ωt + π 2), avem: . (2.12) Din relaţiile (2.9) și (2.12) rezultă: în circuitul de curent alternativ bobina se comportă ca un generator de tensiune, faza căreia este în avans cu π/2 faţă de cea de alimentare. Prin analogie cu (2.10), legea lui Ohm pentru circuitul cercetat poate fi scrisă sub forma: sau u + ea = iR. Deoarece rezistenţa bobinei se neglijează (ea este considerată ideală), rezultă că u + ea = 0. (2.13) Introducând (2.12) în (2.13), obţinem tensiunea instantanee din circuit și, totodată, de la bornele bobinei: , (2.14) unde
și semnifică valoarea maximă sau de amplitudine a tensiunii la bornele bobi nei, care poate fi prezentată prin valorile efective sub forma: . (2.15) Din comparaţia relaţiei (2.15) cu legea lui Ohm pentru curentul continuu (2.10), rezultă că produsul dintre inductanţă și pulsaţie are semnificaţia unei rezistenţe. Într-adevăr, în SI avem: . Bobina introduce în circuitul de curent alter na tiv o rezistenţă aparentă XL, numită reactanţă inductivă: XL = ωL. (2.16) Din (2.15) și (2.16) rezultă . (2.17) Aceasta este legea lui Ohm pentru circuitul com pus dintr-o bobină ideală în curent alter na tiv. Din relaţiile (2.14), (2.6) și din repre zentarea lor grafică (fig. 2.7, b) se observă că faza tensiunii ϕu o avansează pe cea a intensităţii ϕi cu π/2. Deci . În circuitul de curent alternativ bobina creează un defazaj al tensiunii în avans cu π/2 faţă de intensitate.
Fig. 2.6
a)
c)
b)
Fig. 2.7
c)
b)
a)
30
În figura 2.7, c este reprezentată diagrama fa zorială a acestui circuit. Pe direcţia aleasă arbitrar (linia întreruptă) este depus fazorul intensităţii curentului Im, iar fazorul ten siunii Um, L este orientat sub un unghi de 90o, luat în sens trigonometric faţă de inten si ta tea curentului. d. Condensator ideal în curent alternativ Să analizăm circuitul reprezentat în figura 2.8, a. S-a menţionat deja că unicul efect al tensiunii continue aplicate la bornele condensatorului este încărcarea acestuia până la o diferenţă de potenţial egală cu tensiunea sursei. Evident, în decursul încărcării (descărcării) condensatorului, în circuit există un curent de foarte scurtă durată care însă dispare odată cu terminarea procesului de încărcare (descărcare). Rezultă că, pentru men ţi nerea unui anumit curent în circuitul studiat, trebuie să asigurăm un proces continuu de încărcare-descărcare a con den satoru lui, adică de variaţie a sarcinii de pe armăturile lui. Cu cât acest proces se desfășoară mai rapid, cu atât intensitatea curentului din circuit este mai mare. Fie q sarcina de pe armăturile condensatorului la un moment oarecare al procesului de încărcare (descărcare) a lui. Luând în considerare că sarcina ce se acumu lează pe armăturile condensatorului este egală cu produsul dintre tensiunea de încăr care și capacitatea lui (q = uC), pentru intensitatea curentului obţinem: . (2.18) Intensitatea curentului care parcurge circuitul format dintrun condensator ideal este egală cu produsul dintre capacitatea lui şi viteza de variaţie a tensiunii alternative aplicate. Din (2.18) reiese că în cazul tensiunii constante la bornele condensatorului derivata este nulă, iar odată cu ea și intensitatea curentului i = 0, adică condensatorul întrerupe circuitul de curent continuu. Dacă însă circuitul este alimentat cu o tensiune variabilă în timp, de exemplu alternativă, de forma (2.9), atunci, după cum rezultă din (2.18), intensita tea curentului din circuit este:
(2.19)
unde
și prezintă valoarea maximă sau de amplitudine a inten sităţii curentului alternativ din circuit. Exprimând valorile maxime prin cele efective, relaţia precedentă se poate prezenta sub forma: , (2.20) din care rezultă că mărimea inversă produsului dintre pulsaţia tensiunii alternative și capacitatea condensa torului are semnificaţia unei rezistenţe. Într-adevăr, în SI avem: .
Condensatorul introduce în circuitul de curent alternativ o rezistenţă aparentă XC, numită reactanţă capacitivă: XC . (2.21)
Legea lui Ohm pentru circuitul de curent alternativ care conţine numai un condensator ideal are același aspect ca și în cazul curentului continuu (2.10), dar cu altă semnificaţie a mărimilor respective: . (2.22) Din relaţiile (2.9), (2.19) și figura 2.8, b, unde acestea sunt reprezentate grafic, se observă că tensiu nea și intensitatea curentului din circuitul cu con densator de asemenea sunt defazate una faţă de alta, și anume: .
În circuitul de curent alternativ condensatorul creează un defazaj al tensiunii în devans cu π/2 faţă de intensitatea curentului. Astfel, dacă în circuitul din figura 2.8, a circulă un curent i = Im sin ωt, atunci tensiunea la bornele lui și, totodată, la bornele condensatorului, fiind defazată cu π/2 în urmă faţă de intensitate, va avea aspectul u = uC = Um sin (ωt – ) = sin (ωt – ). Diagrama fazorială, reprezentată în figura 2.8, c pentru circuitul cu condensator ideal, se deosebește de cea cu bobină ideală numai prin sensul fazorului tensiunii Um, C. În acest caz el se construiește tot sub un unghi de 90o faţă de fazorul intensităţii curentului Im, dar în sens opus celui trigonometric.
31
e. Circuite RLC serie în curent alternativ. legea lui ohm Elementele de circuit, analizate anterior, în mod individual pot forma diferite combinaţii prin legarea lor în serie, în paralel sau mixt. Considerăm circuitul serie în curent alternativ reprezentat în figura 2.9, care este format din rezistorul de rezistenţă R, bobina de inductanţă L și con densa torul de capacitate C. Dacă la bornele acestui cir cuit se aplică o tensiune alterna tivă de pulsaţie ω, atunci prin elementele circuitului se stabilește un curent alternativ de aceeași pulsaţie i = Im sinωt. Pe fiecare element al circuitului se produce o cădere de tensiune proporţională cu rezistenţa sau reactanţa lor. În circuitul serie, suma acestora trebuie să fie egală cu tensiunea de la bornele lui. Astfel, la orice moment de timp, pentru valorile instantanee ale tensiunilor are loc relaţia , (2.23) unde uR, uL și uC sunt tensiunile pe elemente respective de circuit, care, după cum reiese din temele precedente, au valorile:
(2.24)
reprezentate grafic, respectiv, în figurile 2.6, b, 2.7, b și 2.8, b. Deoarece fazele acestor tensiuni sunt diferite, între tensiunea de la bornele circuitului și intensitatea curentului stabilit prin el va exista un defazaj ϕ, care poate lua valori atât pozitive și negative, cât și zero. Dacă faza intensităţii curentului se ia ca referinţă, atunci tensiunea este caracterizată de faza ωt + φ, adică . (2.25) Folosind definiţiile reactanţelor inductivă și capacitivă, după introducerea relaţiilor (2.24) și (2.25) în (2.23) obţinem: (2.26) sau , (2.27) unde (2.28) sunt, respectiv, tensiunile maxime pe rezistor, bobină și condensator. Pentru adunarea termenilor din partea dreaptă a ecuaţiei (2.26) sau (2.27) se poate folosi metoda analitică, însă mult mai simplă este metoda diagramelor fazoriale. De-a lungul direcţiei de referinţă, aleasă arbitrar (linia întreruptă), se depune fazorul intensităţii curentului Im și cel al tensiunii pe rezistor Um, R. Fazorii Um, L și Um, C se depun din aceeași ori gine pe direcţia luată sub un unghi de π/2 faţă de cea de referinţă în sens trigonometric și, respectiv,
Fig. 2.8
a)
b)
c)
Fig. 2.9
uR uL uС
32
în sens opus (fig. 2.10). Întrucât fazorii Um,L și Um, C au faze opuse, modulele lor reprezintă doi termeni concurenţi, care determină aspectul diagramei fazoriale. Sunt posibile trei situaţii: 1) Um, L > Um, C, adică . În acest caz se spune că circuitul este pre pon de rent inductiv. Pe diagrama fazorială, din figura 2.10, a, se observă că tensiunea Um, care reprezintă fazorul rezultant, este în avans de fază cu unghiul ϕ faţă de intensitatea curentului Im, adică ϕ > 0. 2) Um, C > Um, L, adică – circuitul este preponderent capacitiv. Diagra ma fazorială este reprezentată în figura 2.10, b. În acest caz, tensiunea Um este în devans de fază cu unghiul ϕ faţă de intensitatea curentului I, adică ϕ < 0. Din ∆AOB al diagramelor fazoriale reprezentate în figura 2.10, numit și triunghiul tensiunilor, rezultă: . Folosind relaţiile (2.28) și trecând la valorile efective ale intensităţii curentului I (2.7) și tensiunii U (2.8), avem: sau . (2.29)
Relaţiile (2.29) reprezintă legea lui Ohm pentru circuitul de curent alternativ RLC serie. Expresia din numitorul acestor relaţii constituie rezistenţa totală a circuitului în curent alternativ și este numită impedanţă. Notând impedanţa cu
sau , (2.30) legea lui Ohm astfel capătă un aspect simplu: . (2.31) Defazajul dintre tensiune și intensitatea curentului din circuit se determină ușor din același triunghi al tensiunilor (fig. 2.10):
sau, înlocuind tensiunile din (2.28), obţinem: . (2.32) 3) UL = UC, adică ωL = 1/ωC. În această situaţie efectele inductiv și capa ci tiv se com pensează reciproc, iar defazajul dintre tensiune și intensitatea curentului ϕ = 0 (fig. 2.10, c). Prin eliminarea sau adăugarea (vezi problema rezolvată nr. 3, p. 34) de elemente în circuitul din figura 2.9 se obţin și alte circuite serie. Astfel, din (2.29) și (2.32) obţinem următoarele cazuri particulare: pentru circuitul RL (XC = 0): , (2.33)
Fig. 2.11
a)
b)
c)
Fig. 2.10
a)
b)
c)
33
pentru circuitul RC (XL = 0): , (2.34)
pentru circuitul LC (R = 0):
(2.35) Diagramele fazoriale pentru aceste circuite serie sunt reprezentate în figura 2.11, a, b, c, corespunzător. Dacă în diagramele din figura 2.10 a fost folosită regula paralelogramului pentru adunarea vectori lor, atunci în cele din figu ra 2.11 s-a aplicat regula triunghiului. f. rezonanţa tensiunilor. Factorul de calitate Să analizăm legea lui Ohm (2.29) din punctul de vedere al variaţiei pulsaţiei ω sau al frecvenţei ν = ω/2π. Indiferent de valorile inductanţei L și capacităţii C, întotdeauna se poate găsi o astfel de pulsaţie (frecvenţă), pentru care reactanţele inductivă și capacitivă vor fi egale. În figura 2.12 este reprezentată intensitatea curentului I (2.29) în funcţie de pulsa- ţia ω. Se observă că în vecinătatea unei pulsaţii ωr inten sitatea cu ren tului crește brusc și pentru ω = ωr devine maximă. Acest fenomen este numit rezonanţă, iar frecvenţa la care acesta se produce este numită frec venţă de rezonanţă. Din egalitatea reactanţelor capacitivă și inductivă XL = XC rezultă că ω2 = 1/LC, de unde pentru pulsaţia și frec venţa de rezonanţă obţinem: sau . (2.36) Înlocuind în legea lui Ohm (2.29) pulsaţia ω cu cea de rezonanţă ωr din relaţia (2.36), obţinem valoarea curentului de rezonanţă: . (2.37) Astfel, cu cât este mai mică rezistenţa cir cuitului R, numită și rezistenţă activă, cu atât curba de rezo nanţă este mai ascuţită, iar intensitatea curentului la rezonanţă – mai mare. Din figura 2.10, c se observă că pentru realizarea rezonanţei este nece sară egalitatea tensiunilor pe bobină și condensator, oricare ar fi valorile lor.
Să determinăm aceste tensiuni în condiţii de rezonanţă. Introducând (2.36) și (2.37) în (2.28) pentru cele două tensiuni, obţinem:
Fig. 2.12
(2.38)
Observăm că tensiunile de la bornele bobinei și de la cele ale condensa torului devin maxime, iar valorile lor sunt cu atât mai mari, cu cât rezistenţa circuitului este mai mică. Din această cauză, rezo nanţa în circuitele serie mai este numită rezonanţa tensiunilor. Raportul (2.39) arată de câte ori tensiunea de la bornele bobinei sau con densatorului este mai mare decât tensiunea de alimen ta re a unui circuit serie în regim de rezonanţă și se nu mește factor de calitate sau factor de supra tensiune. Fenomenul de rezonanţă în circuitele RLC serie are o importanţă deosebită în radiotehnică. Dacă în circuit se utilizează un condensator de capacitate variabilă sau/și o bobină de inductanţă variabilă, atunci din (2.36) rezultă că circuitul poate fi acordat la diferite frecvenţe de rezonanţă. Astfel, de exemplu, se realizează acordarea aparatelor de radio și a televi zoa relor la frecvenţa staţiei preferate. Există însă și situaţii când sunt necesare măsuri pentru înlăturarea rezonanţei. De exem plu, în instalaţiile pentru transportarea și utilizarea curentului electric alter na tiv, apariţia supra tensiunilor poate genera descărcări electrice între spirele bobi ne lor din transfor ma toare sau între armăturile condensatoa relor și, prin urmare, defectarea acestora.
34
Fig. 2.13
a)
b)
La o sursă de tensiune alternativă este conectată o bobi nă. Intensitatea curentului prin cir cuitul format este . Determinaţi: a) frecvenţa şi defazajul dintre curent şi tensiune, precum şi valorile efective ale curentului şi tensiunii din circuit; b) rezistenţa şi inductanţa bobinei. rezolvare: a) Comparând ten siu nea şi intensitatea in stan ta nee a curentu lui din problema dată cu cele de formă gene rală, obţinem: . Valorile maxime Um şi Im se exprimă prin cele efective conform relaţiilor (2.7) şi (2.8), iar ω = 2πν. Aşadar,
.
b) Din diagrama fazorială a circuitului cu rezistor şi bobină (fig. 2.11, a) rezultă şi . Întrucât UR = IR, iar UL = IωL, din relaţia precedentă avem: şi . Înlocuind valorile numerice, se obţine R ≈ 8,6 Ω și L ≈ 27,3 mH. Un circuit serie, alcătuit dintrun rezistor R şi un condensator de capacitate egală cu 100 μF, este alimentat cu un curent alternativ de frecvenţă ν = 50 Hz şi este carac terizat de un defazaj ϕ = –600. Determinaţi: a) reactanţa capacitivă; b) valoarea rezistenţei R; c) valoarea inductanţei unei bobine ce trebuie intro dusă în serie pentru a înlătura defazajul existent. rezolvare: a) Deoarece ω = 2πν, din definiţia reactanţei capacitive obţinem: . b) Pentru circuitul RC serie, defazajul dintre tensiune şi curent este determinat de relaţia (2.34), din care avem: .
c) La introducerea bobinei în circuit, defazajul dintre ten siunea de alimentare şi intensitatea curentului se modi fică. Deoarece circuitul devine de tipul RLC serie, defazajul este determinat de relaţia (2.32). Întrucât după introducerea în circuit a bobinei defazajul trebuie să fie egal cu zero, din (2.32) reiese că XL = XC sau 2πνL = XC. Din această relaţie obţinem: .
În figura 2.13, a este reprezentată schema unui circuit serie în curent alter nativ. Reac tanţele şi rezistenţele ele mentelor de circuit sunt: XL = 60 Ω, XC1 = 30 Ω, R1 = 120 Ω, XC2 = 90 Ω, R2 = 60 Ω, iar tensiunea pe rezistorul R2 este de 90 V. Constru iţi diagrama fazorială a circuitului şi deter minaţi: a) impedanţa circuitului; b) in ten sitatea curentului şi tensiu nea de alimentare; c) defazajul dintre intensitate şi ten siu ne. rezolvare: Pentru construirea diagramei fazoriale se ia o direcţie arbit rară, dea lungul căreia din originea O este depus fazorul intensi tăţii curentului. Din aceeaşi ori gine (fig. 2.13, b) se depun mai întâi fazorii corespunzători fiecărui element indivi dual de circuit, luând în considerare şi de fazajul introdus de bobină (în avans cu π/2) şi condensator (în devans cu π/2). Însu mând vectorial fazorii situaţi dea lungul aceloraşi direcţii, obţinem dia gra ma fazorială a circuitului analizat. a) Din diagrama fazorială (fig. 2.13, b) rezultă: . Întrucât circuitul este în serie, intensitatea curentului este aceeaşi prin toate elementele. Atunci din relaţia prece dentă obţinem: . Aşadar 190 Ω. b) Tensiunea pe rezistorul R2 este cunoscută. Atunci inten sitatea curentului prin acest rezistor şi deci prin întreg circuitul este: 1,5 A, iar tensiunea de alimentare U = IZ ≈ 285 V. c) Tot din diagrama fazorială avem: 1 3. Atunci .
a. particularităţile circuitelor în curent alternativ Spre deosebire de circuitele de curent continuu, în cele de curent alternativ se evidenţiază anumite particu larităţi importante specifice acestora. Vom menţiona, în primul rând, că cir cuitele în curent alternativ repre zintă sisteme oscilatorii. Tensiunea sinusoidală , (2.9) aplicată la bornele circuitului, constituie sursa de energie care întreţine oscilaţiile de pulsaţie ω ale intensităţii curentului și tensiunii din circuit.
Fig. 2.4
28
Cu toate că legea lui Ohm a fost stabilită pentru curentul continuu, ea este valabilă și pentru valorile instantanee ale tensiunii și intensităţii curentului alternativ. Pentru aceasta este necesar ca intensitatea curentului să rămână aproximativ aceeași în orice secţiune a conductorului. Curentul electric de frecvenţă industrială (ν = 50 Hz) îndepli neș te condiţia dată cu un grad de precizie foarte înalt și de aceea se spune că este cvasistaţionar. Comportamentul condensatoarelor și al bobi nelor în curent alternativ este calitativ di fe rit de cel în curent continuu. Dacă într-un circuit de curent continuu condensatorul are un rol simplu de întrerupere a circuitului, atunci în curent alternativ el suportă un proces de încărcare-descărcare cu atât mai intens, cu cât este mai mare frecvenţa ν. Din această cauză în circuit se stabilește un curent alterna tiv de aceeași frecvenţă. În curent continuu bobina se comportă ca un rezistor, în care se degajă prin efect Joule o cantitate de căldură proporţională cu rezistenţa ei, iar în curent alternativ ea determină apariţia unei t.e.m. de autoinducţie, care modifică intensitatea curentului din acest circuit. Întrucât procesele și legile care au loc în circuitele de curent alternativ sunt mai complicate decât cele din curent continuu, vom începe cu analiza celor mai simple circuite, compuse din elemente indivi duale considerate ideale. Menţionăm că în cazul circui telor mai complicate este foarte comodă repre zentarea mărimilor fizice oscilatorii ale circuitului prin fazori în cadrul unor diagrame. să ne amintim La studiul oscilaţiilor mecanice (în clasa a X-a) s-a definit noţiunea de fazor. Acesta este un vector rotitor atribuit oscilaţiei descrise de ecuaţia (2.1) și caracterizat de urmă toa rele pro prie tăţi: are modulul egal cu ampli tudinea oscilaţiei repre zen ta- te A; este orientat astfel încât unghiul format cu o direcţie aleasă arbitrar (de exe mp lu, axa Ox), la momentul iniţial de timp t = 0, este egal cu faza iniţială a oscilaţiei φ0 (fig. 2.5). Deoarece un ghiul dintre fazor și axa Ox crește liniar în timp, fazorul se rotește în planul xOy în sens trigo nometric, având viteza un ghiu lară egală cu pulsaţia ω a oscilaţiei reprezentate.
b. rezistor ideal în curent alternativ Cel mai simplu circuit electric se obţine la aplica rea unei tensiuni la bornele rezistorului de rezistenţă R (fig. 2.6, a). Dacă tensiunea aplicată este continuă, atunci în circuit se stabilește un curent staţionar determinat de legea lui Ohm: , (2.10) iar în rezistor se degajă o anumită cantitate de căldură. Dacă însă se aplică tensiunea alternativă de forma (2.9), atunci prin rezistor circulă un curent alternativ (cvasistaţionar), valoarea instantanee a căruia se determină tot din legea lui Ohm: , unde . Folosind relaţiile (2.7) și (2.8) pentru valorile efective, avem: . (2.11) Relaţia (2.11) coincide după formă cu legea lui Ohm (2.10), însă tensiunea și intensitatea repre zintă valorile efective ale mărimilor alternative res pective. În figura 2.6, b sunt prezentate graficele tensiunii și intensităţii curen tului alternativ în funcţie de faza ωt. Se observă că aceste mărimi oscilează în aceeași fază, adică defazajul lor este nul. Atât intensi tatea curentu lui, cât și tensiunea ating valorile lor maxi me la aceleași momente. Diagrama fazorială în acest caz este foarte simplă (fig. 2.6, c). Se alege o direcţie arbitrară (linia în trerup tă), de-a lungul căreia se depune vecto rul intensităţii curentului de modúl egal cu valoarea maximă Im. Întrucât tensiunea u și intensitatea curentului i oscilează în fază (fig. 2.6, b), vectorul tensiunii de modúl egal cu valoarea maximă Um, R trebuie orientat de-a lungul aceleiași direcţii. c. bobină ideală în curent alternativ Considerăm o bobină ideală de inductanţă L, conectată la sursa de tensiune alternativă u de forma (2.9). Circuitul format (fig. 2.7, a) este parcurs de un curent i de asemenea alternativ, descris de relaţia (2.6). La trece rea acestui curent prin bobină se produce feno menul de autoinducţie. Astfel, de rând cu tensiunea de alimentare u, în circuit mai acţionează și t.e.m. de autoinducţie (1.22), adică: .Fig. 2.5
29
Aici di dt este derivata intensităţii curentului i în raport cu timpul t. Menţionăm că notaţia y´ folosită la matematică este echivalentă cu dy dx și semnifică derivata funcţiei y în raport cu coordonata x. După derivarea expresiei (2.6) în raport cu timpul și folosind relaţia matematică cos ωt = sin(ωt + π 2), avem: . (2.12) Din relaţiile (2.9) și (2.12) rezultă: în circuitul de curent alternativ bobina se comportă ca un generator de tensiune, faza căreia este în avans cu π/2 faţă de cea de alimentare. Prin analogie cu (2.10), legea lui Ohm pentru circuitul cercetat poate fi scrisă sub forma: sau u + ea = iR. Deoarece rezistenţa bobinei se neglijează (ea este considerată ideală), rezultă că u + ea = 0. (2.13) Introducând (2.12) în (2.13), obţinem tensiunea instantanee din circuit și, totodată, de la bornele bobinei: , (2.14) unde
și semnifică valoarea maximă sau de amplitudine a tensiunii la bornele bobi nei, care poate fi prezentată prin valorile efective sub forma: . (2.15) Din comparaţia relaţiei (2.15) cu legea lui Ohm pentru curentul continuu (2.10), rezultă că produsul dintre inductanţă și pulsaţie are semnificaţia unei rezistenţe. Într-adevăr, în SI avem: . Bobina introduce în circuitul de curent alter na tiv o rezistenţă aparentă XL, numită reactanţă inductivă: XL = ωL. (2.16) Din (2.15) și (2.16) rezultă . (2.17) Aceasta este legea lui Ohm pentru circuitul com pus dintr-o bobină ideală în curent alter na tiv. Din relaţiile (2.14), (2.6) și din repre zentarea lor grafică (fig. 2.7, b) se observă că faza tensiunii ϕu o avansează pe cea a intensităţii ϕi cu π/2. Deci . În circuitul de curent alternativ bobina creează un defazaj al tensiunii în avans cu π/2 faţă de intensitate.
Fig. 2.6
a)
c)
b)
Fig. 2.7
c)
b)
a)
30
În figura 2.7, c este reprezentată diagrama fa zorială a acestui circuit. Pe direcţia aleasă arbitrar (linia întreruptă) este depus fazorul intensităţii curentului Im, iar fazorul ten siunii Um, L este orientat sub un unghi de 90o, luat în sens trigonometric faţă de inten si ta tea curentului. d. Condensator ideal în curent alternativ Să analizăm circuitul reprezentat în figura 2.8, a. S-a menţionat deja că unicul efect al tensiunii continue aplicate la bornele condensatorului este încărcarea acestuia până la o diferenţă de potenţial egală cu tensiunea sursei. Evident, în decursul încărcării (descărcării) condensatorului, în circuit există un curent de foarte scurtă durată care însă dispare odată cu terminarea procesului de încărcare (descărcare). Rezultă că, pentru men ţi nerea unui anumit curent în circuitul studiat, trebuie să asigurăm un proces continuu de încărcare-descărcare a con den satoru lui, adică de variaţie a sarcinii de pe armăturile lui. Cu cât acest proces se desfășoară mai rapid, cu atât intensitatea curentului din circuit este mai mare. Fie q sarcina de pe armăturile condensatorului la un moment oarecare al procesului de încărcare (descărcare) a lui. Luând în considerare că sarcina ce se acumu lează pe armăturile condensatorului este egală cu produsul dintre tensiunea de încăr care și capacitatea lui (q = uC), pentru intensitatea curentului obţinem: . (2.18) Intensitatea curentului care parcurge circuitul format dintrun condensator ideal este egală cu produsul dintre capacitatea lui şi viteza de variaţie a tensiunii alternative aplicate. Din (2.18) reiese că în cazul tensiunii constante la bornele condensatorului derivata este nulă, iar odată cu ea și intensitatea curentului i = 0, adică condensatorul întrerupe circuitul de curent continuu. Dacă însă circuitul este alimentat cu o tensiune variabilă în timp, de exemplu alternativă, de forma (2.9), atunci, după cum rezultă din (2.18), intensita tea curentului din circuit este:
(2.19)
unde
și prezintă valoarea maximă sau de amplitudine a inten sităţii curentului alternativ din circuit. Exprimând valorile maxime prin cele efective, relaţia precedentă se poate prezenta sub forma: , (2.20) din care rezultă că mărimea inversă produsului dintre pulsaţia tensiunii alternative și capacitatea condensa torului are semnificaţia unei rezistenţe. Într-adevăr, în SI avem: .
Condensatorul introduce în circuitul de curent alternativ o rezistenţă aparentă XC, numită reactanţă capacitivă: XC . (2.21)
Legea lui Ohm pentru circuitul de curent alternativ care conţine numai un condensator ideal are același aspect ca și în cazul curentului continuu (2.10), dar cu altă semnificaţie a mărimilor respective: . (2.22) Din relaţiile (2.9), (2.19) și figura 2.8, b, unde acestea sunt reprezentate grafic, se observă că tensiu nea și intensitatea curentului din circuitul cu con densator de asemenea sunt defazate una faţă de alta, și anume: .
În circuitul de curent alternativ condensatorul creează un defazaj al tensiunii în devans cu π/2 faţă de intensitatea curentului. Astfel, dacă în circuitul din figura 2.8, a circulă un curent i = Im sin ωt, atunci tensiunea la bornele lui și, totodată, la bornele condensatorului, fiind defazată cu π/2 în urmă faţă de intensitate, va avea aspectul u = uC = Um sin (ωt – ) = sin (ωt – ). Diagrama fazorială, reprezentată în figura 2.8, c pentru circuitul cu condensator ideal, se deosebește de cea cu bobină ideală numai prin sensul fazorului tensiunii Um, C. În acest caz el se construiește tot sub un unghi de 90o faţă de fazorul intensităţii curentului Im, dar în sens opus celui trigonometric.
31
e. Circuite RLC serie în curent alternativ. legea lui ohm Elementele de circuit, analizate anterior, în mod individual pot forma diferite combinaţii prin legarea lor în serie, în paralel sau mixt. Considerăm circuitul serie în curent alternativ reprezentat în figura 2.9, care este format din rezistorul de rezistenţă R, bobina de inductanţă L și con densa torul de capacitate C. Dacă la bornele acestui cir cuit se aplică o tensiune alterna tivă de pulsaţie ω, atunci prin elementele circuitului se stabilește un curent alternativ de aceeași pulsaţie i = Im sinωt. Pe fiecare element al circuitului se produce o cădere de tensiune proporţională cu rezistenţa sau reactanţa lor. În circuitul serie, suma acestora trebuie să fie egală cu tensiunea de la bornele lui. Astfel, la orice moment de timp, pentru valorile instantanee ale tensiunilor are loc relaţia , (2.23) unde uR, uL și uC sunt tensiunile pe elemente respective de circuit, care, după cum reiese din temele precedente, au valorile:
(2.24)
reprezentate grafic, respectiv, în figurile 2.6, b, 2.7, b și 2.8, b. Deoarece fazele acestor tensiuni sunt diferite, între tensiunea de la bornele circuitului și intensitatea curentului stabilit prin el va exista un defazaj ϕ, care poate lua valori atât pozitive și negative, cât și zero. Dacă faza intensităţii curentului se ia ca referinţă, atunci tensiunea este caracterizată de faza ωt + φ, adică . (2.25) Folosind definiţiile reactanţelor inductivă și capacitivă, după introducerea relaţiilor (2.24) și (2.25) în (2.23) obţinem: (2.26) sau , (2.27) unde (2.28) sunt, respectiv, tensiunile maxime pe rezistor, bobină și condensator. Pentru adunarea termenilor din partea dreaptă a ecuaţiei (2.26) sau (2.27) se poate folosi metoda analitică, însă mult mai simplă este metoda diagramelor fazoriale. De-a lungul direcţiei de referinţă, aleasă arbitrar (linia întreruptă), se depune fazorul intensităţii curentului Im și cel al tensiunii pe rezistor Um, R. Fazorii Um, L și Um, C se depun din aceeași ori gine pe direcţia luată sub un unghi de π/2 faţă de cea de referinţă în sens trigonometric și, respectiv,
Fig. 2.8
a)
b)
c)
Fig. 2.9
uR uL uС
32
în sens opus (fig. 2.10). Întrucât fazorii Um,L și Um, C au faze opuse, modulele lor reprezintă doi termeni concurenţi, care determină aspectul diagramei fazoriale. Sunt posibile trei situaţii: 1) Um, L > Um, C, adică . În acest caz se spune că circuitul este pre pon de rent inductiv. Pe diagrama fazorială, din figura 2.10, a, se observă că tensiunea Um, care reprezintă fazorul rezultant, este în avans de fază cu unghiul ϕ faţă de intensitatea curentului Im, adică ϕ > 0. 2) Um, C > Um, L, adică – circuitul este preponderent capacitiv. Diagra ma fazorială este reprezentată în figura 2.10, b. În acest caz, tensiunea Um este în devans de fază cu unghiul ϕ faţă de intensitatea curentului I, adică ϕ < 0. Din ∆AOB al diagramelor fazoriale reprezentate în figura 2.10, numit și triunghiul tensiunilor, rezultă: . Folosind relaţiile (2.28) și trecând la valorile efective ale intensităţii curentului I (2.7) și tensiunii U (2.8), avem: sau . (2.29)
Relaţiile (2.29) reprezintă legea lui Ohm pentru circuitul de curent alternativ RLC serie. Expresia din numitorul acestor relaţii constituie rezistenţa totală a circuitului în curent alternativ și este numită impedanţă. Notând impedanţa cu
sau , (2.30) legea lui Ohm astfel capătă un aspect simplu: . (2.31) Defazajul dintre tensiune și intensitatea curentului din circuit se determină ușor din același triunghi al tensiunilor (fig. 2.10):
sau, înlocuind tensiunile din (2.28), obţinem: . (2.32) 3) UL = UC, adică ωL = 1/ωC. În această situaţie efectele inductiv și capa ci tiv se com pensează reciproc, iar defazajul dintre tensiune și intensitatea curentului ϕ = 0 (fig. 2.10, c). Prin eliminarea sau adăugarea (vezi problema rezolvată nr. 3, p. 34) de elemente în circuitul din figura 2.9 se obţin și alte circuite serie. Astfel, din (2.29) și (2.32) obţinem următoarele cazuri particulare: pentru circuitul RL (XC = 0): , (2.33)
Fig. 2.11
a)
b)
c)
Fig. 2.10
a)
b)
c)
33
pentru circuitul RC (XL = 0): , (2.34)
pentru circuitul LC (R = 0):
(2.35) Diagramele fazoriale pentru aceste circuite serie sunt reprezentate în figura 2.11, a, b, c, corespunzător. Dacă în diagramele din figura 2.10 a fost folosită regula paralelogramului pentru adunarea vectori lor, atunci în cele din figu ra 2.11 s-a aplicat regula triunghiului. f. rezonanţa tensiunilor. Factorul de calitate Să analizăm legea lui Ohm (2.29) din punctul de vedere al variaţiei pulsaţiei ω sau al frecvenţei ν = ω/2π. Indiferent de valorile inductanţei L și capacităţii C, întotdeauna se poate găsi o astfel de pulsaţie (frecvenţă), pentru care reactanţele inductivă și capacitivă vor fi egale. În figura 2.12 este reprezentată intensitatea curentului I (2.29) în funcţie de pulsa- ţia ω. Se observă că în vecinătatea unei pulsaţii ωr inten sitatea cu ren tului crește brusc și pentru ω = ωr devine maximă. Acest fenomen este numit rezonanţă, iar frecvenţa la care acesta se produce este numită frec venţă de rezonanţă. Din egalitatea reactanţelor capacitivă și inductivă XL = XC rezultă că ω2 = 1/LC, de unde pentru pulsaţia și frec venţa de rezonanţă obţinem: sau . (2.36) Înlocuind în legea lui Ohm (2.29) pulsaţia ω cu cea de rezonanţă ωr din relaţia (2.36), obţinem valoarea curentului de rezonanţă: . (2.37) Astfel, cu cât este mai mică rezistenţa cir cuitului R, numită și rezistenţă activă, cu atât curba de rezo nanţă este mai ascuţită, iar intensitatea curentului la rezonanţă – mai mare. Din figura 2.10, c se observă că pentru realizarea rezonanţei este nece sară egalitatea tensiunilor pe bobină și condensator, oricare ar fi valorile lor.
Să determinăm aceste tensiuni în condiţii de rezonanţă. Introducând (2.36) și (2.37) în (2.28) pentru cele două tensiuni, obţinem:
Fig. 2.12
(2.38)
Observăm că tensiunile de la bornele bobinei și de la cele ale condensa torului devin maxime, iar valorile lor sunt cu atât mai mari, cu cât rezistenţa circuitului este mai mică. Din această cauză, rezo nanţa în circuitele serie mai este numită rezonanţa tensiunilor. Raportul (2.39) arată de câte ori tensiunea de la bornele bobinei sau con densatorului este mai mare decât tensiunea de alimen ta re a unui circuit serie în regim de rezonanţă și se nu mește factor de calitate sau factor de supra tensiune. Fenomenul de rezonanţă în circuitele RLC serie are o importanţă deosebită în radiotehnică. Dacă în circuit se utilizează un condensator de capacitate variabilă sau/și o bobină de inductanţă variabilă, atunci din (2.36) rezultă că circuitul poate fi acordat la diferite frecvenţe de rezonanţă. Astfel, de exemplu, se realizează acordarea aparatelor de radio și a televi zoa relor la frecvenţa staţiei preferate. Există însă și situaţii când sunt necesare măsuri pentru înlăturarea rezonanţei. De exem plu, în instalaţiile pentru transportarea și utilizarea curentului electric alter na tiv, apariţia supra tensiunilor poate genera descărcări electrice între spirele bobi ne lor din transfor ma toare sau între armăturile condensatoa relor și, prin urmare, defectarea acestora.
34
Fig. 2.13
a)
b)
La o sursă de tensiune alternativă este conectată o bobi nă. Intensitatea curentului prin cir cuitul format este . Determinaţi: a) frecvenţa şi defazajul dintre curent şi tensiune, precum şi valorile efective ale curentului şi tensiunii din circuit; b) rezistenţa şi inductanţa bobinei. rezolvare: a) Comparând ten siu nea şi intensitatea in stan ta nee a curentu lui din problema dată cu cele de formă gene rală, obţinem: . Valorile maxime Um şi Im se exprimă prin cele efective conform relaţiilor (2.7) şi (2.8), iar ω = 2πν. Aşadar,
.
b) Din diagrama fazorială a circuitului cu rezistor şi bobină (fig. 2.11, a) rezultă şi . Întrucât UR = IR, iar UL = IωL, din relaţia precedentă avem: şi . Înlocuind valorile numerice, se obţine R ≈ 8,6 Ω și L ≈ 27,3 mH. Un circuit serie, alcătuit dintrun rezistor R şi un condensator de capacitate egală cu 100 μF, este alimentat cu un curent alternativ de frecvenţă ν = 50 Hz şi este carac terizat de un defazaj ϕ = –600. Determinaţi: a) reactanţa capacitivă; b) valoarea rezistenţei R; c) valoarea inductanţei unei bobine ce trebuie intro dusă în serie pentru a înlătura defazajul existent. rezolvare: a) Deoarece ω = 2πν, din definiţia reactanţei capacitive obţinem: . b) Pentru circuitul RC serie, defazajul dintre tensiune şi curent este determinat de relaţia (2.34), din care avem: .
c) La introducerea bobinei în circuit, defazajul dintre ten siunea de alimentare şi intensitatea curentului se modi fică. Deoarece circuitul devine de tipul RLC serie, defazajul este determinat de relaţia (2.32). Întrucât după introducerea în circuit a bobinei defazajul trebuie să fie egal cu zero, din (2.32) reiese că XL = XC sau 2πνL = XC. Din această relaţie obţinem: .
În figura 2.13, a este reprezentată schema unui circuit serie în curent alter nativ. Reac tanţele şi rezistenţele ele mentelor de circuit sunt: XL = 60 Ω, XC1 = 30 Ω, R1 = 120 Ω, XC2 = 90 Ω, R2 = 60 Ω, iar tensiunea pe rezistorul R2 este de 90 V. Constru iţi diagrama fazorială a circuitului şi deter minaţi: a) impedanţa circuitului; b) in ten sitatea curentului şi tensiu nea de alimentare; c) defazajul dintre intensitate şi ten siu ne. rezolvare: Pentru construirea diagramei fazoriale se ia o direcţie arbit rară, dea lungul căreia din originea O este depus fazorul intensi tăţii curentului. Din aceeaşi ori gine (fig. 2.13, b) se depun mai întâi fazorii corespunzători fiecărui element indivi dual de circuit, luând în considerare şi de fazajul introdus de bobină (în avans cu π/2) şi condensator (în devans cu π/2). Însu mând vectorial fazorii situaţi dea lungul aceloraşi direcţii, obţinem dia gra ma fazorială a circuitului analizat. a) Din diagrama fazorială (fig. 2.13, b) rezultă: . Întrucât circuitul este în serie, intensitatea curentului este aceeaşi prin toate elementele. Atunci din relaţia prece dentă obţinem: . Aşadar 190 Ω. b) Tensiunea pe rezistorul R2 este cunoscută. Atunci inten sitatea curentului prin acest rezistor şi deci prin întreg circuitul este: 1,5 A, iar tensiunea de alimentare U = IZ ≈ 285 V. c) Tot din diagrama fazorială avem: 1 3. Atunci .
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu