Основные геометрические понятия

 Рассмотрите рисунки и обратите внимание на ассоциации, проведенные Всезнайкой. «ь м я к - Линия горизонта прямая - Населенные пункты на карте точки - Луч света полупрямая - Траектория полета Кишинэу-Бухарест - Рельсы параллельные прямые • Объясните понятие геометрическая фигура. Какая геометрическая фигура является самой простой? отрезок ♦ Геометрическая фигура - это множество точек. ♦ Точка - самая простая геометрическая фигура. Изображаем: А В • или X ♦ Прямая не имеет ограничений. или Изображаем: А В М N или Три и более точки, лежащие на одной прямой, называются коллинеарными. Две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными прямыми. Две прямые называются пересекающимися прямыми, если у них есть одна общая точка. Глава 5 а 200 С/% Рассмотрите рисунок и заполните пропуски: Р С а Б Е В А а) Точка А расположена между точками и . б) Точки А и С расположены по разные стороны от точки . в) Точки А, В, Е, В расположены по одну сторону от точки . г) Точки расположены по одну сторону от точки В. д) Часть прямой а, ограниченная точкой В и состоящая из всех точек прямой а, расположенных по одну сторону с точкой А, называется Ф возьмите на заметк Полупрямая - это часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от некоторой точки, которая называется началом этой полупрямой. Изображаем: Читаем: Обозначаем: М N Полупрямая ММ [ММ ♦ Точка О, принадлежащая прямой, делит эту прямую на две противоположные полупрямые. Данная точка является началом этих полупрямых. Изображаем: Читаем: А О В Полупрямые [ОА и [ОВ противоположны ♦ Отрезком называется часть прямой, заключенная между двумя точками. Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами. Изображаем: Читаем: Обозначаем: А______________В Отрезок АВ [АВ] С какой геометрической фигурой ассоциируется поверхность воды озера в безветренный день? 'Поясняем Поверхность воды озера (без волн) похожа на часть плоскости. Розьмите на заметк Плоскость не имеет ограничений. Изображаем плоскость а (альфа) Если прямая лежит в плоскости, то она разбивает эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Элементы геометрии 201 ^§1 Истинно или Ложно? Одно из высказываний ложно. Найдите его и объясните свой выбор с помощью рисунка. а) Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых. б) Через две различные точки можно провести только одну прямую. в) Конгруэнтные отрезки имеют равные длины. г) Если каждая из прямых а и Ь параллельна прямой с, то прямые а и Ь параллельны. д) Если каждая из прямых а и Ь пересекает прямую с, то ^ 1 прямые а и Ь тоже пересекаются. 1.2. Обозначения и изображения 2 сс5 уемТ у з«зе^ ^ И Ц Обратите внимание, как читаются обозначения. Обозначаем: Читаем: Изображаем: А е 1 Точка А принадлежит прямой й. ____А 1 А ё 1 Точка А не принадлежит прямой й. " • А ' {А, В, С} с 1 Точки А, В, С принадлежат прямой й. 1 А В С А е а Точка А принадлежит плоскости а. / а а с а Прямая а принадлежит плоскости а. А У / [ ВС Полупрямая ВС с началом в точке В. с В а || Ъ Прямые а и Ь параллельны. а___________ а%Ь Прямые а и Ь не параллельны. а Ъ а I Ъ = {М} Прямые а и Ь пересекаются в точке М . а ± Ъ Прямые а и Ь перпендикулярны. а Ъ 202 Глава 5 Обозначаем: Читаем: Изображаем: [ АВ ] = [СБ ] Отрезки АВ и СБ конгруэнтны. А В С Б АВ > СБ Длина отрезка АВ больше длины отрезка СБ. А В С ~Ъ А = В Точки А и В совпадают. А. В 'Применяем и объясняем Прочтите, затем изобразите рисунком: а) [МЫ ] П [ КР ] = {Е}; б) в) С ё Аб. 3 Задача для чемпионов Как при помощи математических символов можно записать высказывание: „Точки М, N и К коллинеарны“? Упражнения и задачи *1 ■ -------------------------------------------- 1. Рассмотрите рисунок и определите: а) точки; б) прямые; в) полупрямые; г) отрезки. 2. Рассмотрите рисунок задания 1 и заполните пропуски: а) Прямую В можно обозначить и как . б) Полупрямые и противоположны. в) Точки коллинеарны. г) Точка принадлежит прямой , а точки не принадлежат этой прямой. д) Прямые и пересекаются в точке . Элементы геометрии 203 3. Постройте и обозначьте: а) прямую и точку, принадлежащую ей; б) отрезок и точку, не принадлежащую ему; в) полупрямую и параллельный ей отрезок; г) пять точек, каждые три из которых неколлинеарные. 4. Обозначьте множество всех точек прямой: а) расположенных между точками А и В этой прямой; б) расположенных по ту сторону от точки А (этой прямой), что и точка В (этой прямой). 5. Прочтите: а) М е [АВ]; б) N € [ЕВ; в) А I [МЫ] = {К}; г) Ъ || ВС; д) АВЕ1; е) М € а; ж) Ъ с в . 6. Рассмотрите рисунок и выберите отрезки, длина которых: а) не больше 6 см; б) не меньше 3 см; 1 в) от 3 см до 6 см; г) не больше 4 ^ см. 4 У3 ( "Т 0 У В ( 7. Рассмотрите рисунок задания 6 и определите: а) [АС ] П [ВБ]; б) [ВС ] ^ [СЕ ]; в) [АБ ]\[ ВЕ ]; г) [ВС П [ЕЕ; д) [АВ ^ [Б С ; е) [В Е] П [СВ. 8. Точки А, В и С коллинеарны и расположены в данном порядке. Найдите длину отрезка: а) АВ, если АС = 20 см, ВС = 0,12 дм; б) АС, если АВ = 9 см, ВС = 1,5 дм; в) ВС, если АВ = 1,4 см, АС = 4,1 дм; г) АС, если АВ = 2ВС = 10,8 см. ■ ----------------------------------------------------------------------------------------------- 9. Перечертите рисунок. Используя линейку и угольник, проведите через точку М одну прямую, параллельную прямой А, а другую - перпендикулярную прямой А. 204 Глава 5 10. Сравните длины отрезков при помощи циркуля: а) АВ и СВ; б) МЫ и КР; в) РС и ЕН; г) и Т 0. 8 б 11. Сколькими способами можно обозначить прямую, изображенную на рисунке? У3 ( /3 12. Точки А, В и С коллинеарны и расположены в данном порядке. Вычислите расстояние между серединами отрезков А В и ВС, если АВ = 24 см и ВС = 16 см. 13. Отрезки АВ и ВС лежат на одной прямой. Найдите ВС, если АВ = 16 см, а расстояние между серединами данных отрезков 14 см. 14. Точки А, В и С неколлинеарны. Через каждые две из них провели прямую. На сколько частей делят плоскость проведенные прямые? 15*. Числовые оси Ох и Оу перпендикулярны (см. рисунок). Обозначение А(4; - 1) читается как: „Точка А имеет координаты 4 и - 1 ” . Это означает, что прямая, параллельная Оу и проходящая через точку А , пересекает ось Ох в точке деления 4, а прямая, параллельная Ох и проходящая через точку А, пересекает ось Оу в точке деления -1. Аналогично определите координаты других точек, отмеченных на рисунке. Образец: В (2,5; 1). У> ' 4 ь 3 . С Р в А2 . н 1 . В К 1 - з 1 О 2 3 4 X 1 АА 2 Е с Элементы