Обратно пропорциональные величины

 Скаковая лошадь проходит расстояние в 40 км за час. Это же расстояние спортсмен преодолевает за 2 часа, мотоциклист - за 30 мин, а автомобилист - за 20 мин. Вычислите скорость каждого. • Как изменится скорость, если время: увеличить в 2 раза; уменьшить в 2 раза; уменьшить в 3 раза? • Как изменится произведение I • V? Две взаимосвязанные величины а и Ъ называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) а в несколько раз, другая величина Ъ уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Значение произведения аЪ не изменяется. Следовательно, время и скорость являются обратно пропорциональными величинами (при постоянном расстоянии). Решение: 8 = 40 км Время (ч) Скорость (км/ч) 80 км/ч Глава 4 Фермер решил оградить сеткой участок прямоугольной формы (вдоль водного канала). Сначала он хотел сделать его подлинней, взяв Участок длину 50 м и ширину 10 м. Увидев, что сетки ему не хватает, он решил уменьшить длину до Водный канал 40 м, при этом периметр участка ум ен ьш и лся______ _____________ достаточно, чтобы хватило сетки. Какой теперь будет ширина участка, если его площадь не изменилась? Решение: ® Запишем кратко условие задачи в виде схемы: Длина (Ь) Ш ирина (/) 50 м -------- 10 м 40 м -------- х м 1 способ ® Простое правило трех (для обратно пропорциональных величин): Длины (I) ня ширину (/) равно площади (./) являющейся постоянной*11 м ч и т ,/, и /-о б р а т н о про- _ 11И|1а^лаимсис.|пл;пп|. 2 способ ® Вычислим площадь: А = м ■ м = м2. 50 _ х 40 _ 10 ■ (м) 1 Вычислим ширину: , А м2 I _ — _ ---------_ м . Ь м • Насколько уменьшилась длина забора из сетки? Х *Т Т 3На Т ( Бв ЬШе .......................................... Первая бригада рабочих выполняет работу за 2 дня, вторая бригада выполняет эту же работу за 3 дня, а третья - за 4 дня. Сколько человек в каждой бригаде, если всего 156 рабочих, и все они работают с одинаковой производительностью? Решение: I бригада - х рабочих II бригада - у рабочих 156 рабочих III бригада - 2 рабочих Тогда один рабочий выполняет работу за 2х дней (или 3у дней, или 4г дней). Отношения и пропорции 171 Получим: 2 х = 3 у = 4 г. Делим каждое равенство на [2,3,4], т. е. на 12: Получим: х = у = г = х + у + г 6 4 3 6 + 4 + 3 X = 12 6 х = 72 (м) : = - У = (м) : - г = (м) 13 = 12. Ответ: 72 рабочих в I бригаде, во II бригаде, - в III бригаде. Заметим, что 2 • 72 = 3 • 48 = 4 • 36 = 144. Говорим, что числовая последовательность 2, 3, 4 обратно пропорциональна числовой последовательности 72, 48, 36. Ф возьмите на заметк Числовые последовательности а1, а2, ..., ап и Ъ1, Ъ2, ..., Ъп являются обратно пропорциональными, если а1Ъ1 = а2Ъ2 =... = апЪп. Замечаем Если последовательности а1, а2, ..., ап и Ъ1, Ъ2, ..., Ъп прямо (обратно) 1 1 1 пропорциональны, то последовательности ах, а2, ..., ап и — , — , — обратно (прямо) пропорциональны. 1 2 п Упражнения и задачи 1. Определите, являются ли величины а и Ъ, данные в таблицах, обратно пропорциональными: а) в) а 1 4 2 10 7 4 3 3 , 6 Ъ 12 0,8 24 42 5 а 0,2 0,4 0 , 8 1,6 3,2 Ъ 32 16 8 4 2 б) г) а 1 3 5 7 9 Ъ 11 9 7 5 3 а 3 2 2 3 0,5 ОО I 1,25 Ъ 5 6 15 8 2,5 2 1 172 Глава 4 2. Заполните таблицу: а) в) Сумма: 2520 леев Количество Сумма денег б) Сумма: 87,5 лея человек на человека Цена Количество 5 504 (леев/кг) (кг) 8 7,5 25 630 5 360 15 14 3,75 28 3 31,25 Масса: 800 кг Плотность Объем г) Количество бензина: 20 л (кг/м3) (м3) Расход (л) Расстояние 1000 0,8 на 1 км (км) 125 0,1 200 160 0,05 400 1,6 0,16 250 у 1,28 50 0,25 ... г 3. Истинно или Ложно? а) Количество одинаковых кранов, наполняющих водой бассейн обратно пропорционально времени наполнения бассейна. б) Количество отличников класса обратно пропорционально остальному количеству учащихся этого класса. в) В произведении двух чисел обратно пропорциональными являются множители. г) Количество сока, взятого из банки, обратно пропорционально количеству оставшегося сока. 4. Велосипедист проехал некоторое расстояние за 4 ч со средней скоростью 24 км/ч. С какой средней скоростью должен ехать велосипедист, чтобы преодолеть это расстояние за 3 ч? 5. 8 комбайнов могут убрать с поля пшеницу за 6 дней. За сколько дней уберут ту же пшеницу 12 комбайнов? 6. 10 рабочих выполняют работу за 9 дней. Сколько рабочих понадобится, чтобы выполнить работу за 6 дней? Отношения и пропорции 173 7. 6 человек могут выкопать ров за 8 ч. а) За сколько часов могут выкопать этот ров 4 человека? А 12 человек? Один человек? б) Сколько человек могут выкопать этот ров за 3 ч? За 16 ч? За час? 8. Водой из одного крана можно наполнить 1000-литровый бассейн за 40 мин. За сколько минут наполнится бассейн: а) водой из 4 кранов; б) водой из 6 кранов? ■ ---------------------------------------------------- 9. Пасечник Золотомед разлил мед в 60 банок, по 250 мл каждая. Сколько банок понадобится пасечнику, если он захочет разлить мед в банки по: а) 200 мл; б) 750 мл; в) 300 мл? 750 мл 300 мл 200 мл 10. В сутках 24 часа, а в часе - 60 минут. Учитывая общее количество таких же минут, подсчитайте, сколько минут было бы в сутках, если бы они длились: а) 30 часов? б) 32 часа? в) 20 часов? 11. Маша разложила книги своей библиотеки на 24 полках, по 30 книг на каждой. Сколько полок понадобится, если Маша будет раскладывать по 36 книг на каждой полке? 12. Насос мощностью 12 л/мин наполняет емкость водой за 4 мин. За какое время наполнит водой эту емкость насос мощностью 10 л/мин? 13. Составьте и решите задачу по каждой схеме: а) 9 леев/кг - 10 кг 6 леев/кг - ? кг ? леев/кг - 18 кг б) 40 км/ч - 9 ч 60 км/ч - ? ч ? км/ч - 12 ч 30 мешков - 60 кг/мешок ? мешков - 45 кг/мешок г) 30 шагов - 20 см/шаг. 12 мешков - ? кг/мешок ? шагов - 25 см/шаг. 15 шагов - ? см/шаг. 174 Глава 4 14. Трактор, автобус и автомобиль проехали по 180 км каждый. а) Заполните таблицу: Трактор Автобус Автомобиль Скорость 30 км/ч Время 3 часа 2 часа б) Являются ли скорость и время обратно пропорциональными? в) Приведите другие примеры обратно пропорциональных величин из различных областей знаний. 15. Данный рисунок показывает зависимость между величинами х и у. Например, если х = 3, то у = 4. а) Запишите формулу, выражающую эту зависимость. б) Какими величинами являются х и у? в) Запишите данные рисунка в виде таблицы: х 1 2 3 4 у 12 ? 4 ? 16. Постройте рисунок, как в задании 14, для зависимости у = ■ 17. Одно и то же расстояние Денис проходит за 3 ч, а Никита за 2 ч. Отправившись навстречу друг другу, они встретились в момент, когда Никита уже прошел 7 км 200 м. Какое расстояние до встречи преодолел Денис?