Делимость

 2.1. Делитель. Кратное 1||| Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф хотят купить яблоки. Общая масса яблок в обоих ящиках одинаковая. Какой ящик надо выбрать поросятам, чтобы каждому из них досталось одинаковое количество яблок? Решение: 1 15 яблок можно поделить поровну между 3 поросятами. Обозначаем: 15 : 3 или 3 | 15 Читаем: 15 кратно 3 3 делит 15 20 яблок нельзя поделить поровну между 3 поросятами. Обозначаем: 20/ 3 или 3 /2 0 Читаем: 20 не кратно 3 3 не делит 20 • Натуральное число а делится на натуральное число Ъ, если существует натуральное число с такое, что а = Ъ • с. Обозначаем: а : Ъ. Говорят: Ъ делитель числа а, или Ъ делит число а. Обозначаем: Ъ | а. • Натуральное число а кратно натуральному числу Ъ, если а делится без остатка на Ъ. Очевидно, что если Ъ делит а, то а кратно Ъ. •Применяем и объясняем ь |а ^ ) делитель кратно числа а числу Ъ Сколько делителей и сколько кратных у числа 12? Решение: Так как 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12, то число 12 имеет шесть делителей. Каждое из чисел 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... делится без остатка на 12. Заметим, что любое число вида 12 • п, где п е Ы, делится без остатка на 12. Следовательно, число 12 имеет бесконечно много кратных. Ответ: 6 делителей и бесконечно много кратных. Натуральные числа. Повторение и дополнения 13 к Возьмите на заметк ♦ Множество делителей натурального числа п конечно и обозначается Б п. ♦ Множество кратных натурального числа п бесконечно и обозначается М п. Значит, Д 2 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, М 12 = {0,12, 24,36, 48, ...}. Замечание. Любое натуральное число п делится на 1 и на п. Числа 1 и п называются несобственными делителями числа п, остальные делители этого числа называются собственными. 2.2. Признаки делимости ‘Ц Для каждой корзины выберите соответствующие числа. 12 30 21 80 56 100 370 48 35 64 90 Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6 или 8. Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 0 или 5. Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 0. *3 ИййдеЭуем и узнаем с?%, Какой цифрой может оканчиваться запись числа, делящегося на 3? Решение: Рассмотрим несколько чисел, кратных числу 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, .... Ответ: Любой цифрой. 14 Глава 1 7 Рассмотрите и заполните пропуски: 81, 268, 873, 100, 108, 78, 95 Числа, делящиеся на 3 81 Числа, сумма цифр которых делится на 3 81 А Сделайте вывод. Решите задачу (Ц , исследуя делимость на 9. Сделайте вывод. возьмите на заметк ♦ Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3. ♦ Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9. применяем и объясняем ф/ Используя признаки делимости, выберите числа, которые делятся на: а) 3; б) 9. 8883) С3456] 384 567 4 2 ' 1234 288 234 Определите истинностное значение высказывания: а) Все числа, делящиеся на 9, делятся на 3. б) Все числа, делящиеся на 3, делятся на 9. в) Некоторые числа, делящиеся на 3, делятся и на 9. Образец: 168М 3, так как 1 + 6 + 8 = 15, а 15 М 3. 2.3. Простые числа. Составные числа. Разложение чисел на простые множители Ц Рассмотрите числа. Помогите Наф-Нафу выбрать числа, которые не имеют собственных делителей (то есть числа, которые делятся только сами „а себя и на 1): ( я ) ( З Г ) ^ 42 71 81 43 19 Решение: Числа 53, 71, 43, 19 делятся только сами на себя и на 1. Такие числа называют простыми числами. Каждое из чисел 42, 38, 81, 27, 39 имеет более 2 делителей. Например, 42 делится на 1,2, 3, 6, 7, 14, 21,42. Такие числа называют составными числами. Натуральные числа. Повторение и дополнения 15 фвозьмите на заметк ♦ Натуральное число п называется простым числом, если оно имеет только два делителя: 1 и п. ♦ Натуральное число п называется составным числом, если оно имеет более двух делителей. Замечание. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам, так как оно делится только на 1. 'Применяем и объясняем • Дополните последовательность такими числами, чтобы получить ряд первых десяти простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, , , . Обратите внимание, как Всезнайка и Многознайка разложили на простые множители число 300. 1 способ 2 способ 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 3 10 2 5 / Л 300= 22•3•52 М н о го зн а й к а ® Число, записанное слева, делим на самое маленькое возможное простое число и под делимым записываем полученное частное. ® Повторяем шаг ® до тех пор, пока не получим в частном 1. 300= 22•3•52 Задания для понимания Разложите на простые множители число: а) 420; б) 1200. 2 5 2.4. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное Исследуем и узнаем Ц В период зимних праздников один из магазинов приготовил одинаковые подарки, состоящие из конфет „М етеорит“ и „ До-ре-ми“. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 120 конфет „ Метеорит “ и 144 конфет „ До-ре-ми “? Решение: Каждое из чисел 120 и 144 должно делиться на число подарков. Поэтому выпишем все делители каждого из чисел. 16 Глава 1 Д 20 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 60, 120}. А 44 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 72, 144}. Видим, что наибольшим числом, которое делит числа 120 и 144, является 24. Значит, можно составить не больше 24 подарков. Говорим, что число 24 является наибольшим общим делителем чисел 120 и 144. Ответ: 24 подарка. 7 возьмите на заметк ♦ Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и Ъ называется наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и Ъ. Обозначаем: (а, Ъ). ♦ Если (а, Ъ) = 1, то числа а и Ъ называют взаимно простыми. Найдите НОД чисел 450 и 1050. Решение: ® Разложим на простые множители каждое число: 450 = 2•32 • 52 450 2 225 3 75 3 25 5 5 5 1 1050 2 525 3 175 5 35 5 7 7 1 1050 = 2•3•52 • 7 ® Найдем произведение общих простых делителей с наименьшими показателями степени. (450, 1050) = 2 • 3 • 52 = 150. Замечание. Если Ъ делит а, то (а, Ъ) = (Ъ, а) = Ъ. Иссдеэуемиузнаем Какое наименьшее количество уток может быть в стае, если на пруд они идут по 8 в ряду, а назад возвращаются по 6 в ряду? Решение: Число уток должно делиться на 6 и на 8. Запишем несколько чисел, кратных 6 и 8. М 6 = {0, 6, 12,18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}, М 8={0, 8,16, 24, 32, 40, 48,...}. Заметим, что наименьшим числом, кратным числам 6 и 8, является 24. Значит, в стае не меньше 24 уток. Ответ: 24 утки. Натуральные числа. Повторение и дополнения 17 Говорим, что число 24 является наименьшим общим кратным чисел 6 и 8. Обозначаем: [6, 8] = 24. возьмите на заметк Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ъ называется наименьшее ненулевое натуральное число, которое делится на числа а и Ъ. Обозначаем: [а, Ъ]. ^ Найдите НОК чисел 144 и 150. Решение: ® Разложим на простые множители каждое число. 144 72 36 18 9 3 1 144 = 24•32 150 75 25 5 1 150 = 2 • 3 • 52 ® Найдем произведение всех простых делителей данных чисел с наибольшими показателями степени: 24 • 32 • 52 = 3600 , или [144, 150] = 3 600. Ответ: [144, 150] = 3600. Замечание. Можно показать, что [а, Ъ] = а • Ъ (а, Ъ) для любых ненулевых чисел. 144• 150 Действительно, (144, 150) = 6 и = 3 600. / \ (144, 150) [144, 150] Запомните [а, Ъ] • (а, Ъ) = а • Ъ Л Упражнения и задачи 1. Выберите числа, которые делятся на: а) 2; б) 5; в) 10. 421 ( 500 ( 36 С 970 1 4000 ( ( 360 995 ( 59 45 ( 2615 70225 18 Глава 1 2. Запишите все двузначные натуральные числа: а) которые делятся на 2 и на 5; б) которые делятся на 10; в) которые делятся на 5, но не делятся на 10. 3. Найдите частное и остаток от деления: а) 2456 : 5; б) 3149 : 2; в) 2783 : 10; г) 1234 : 3; д) 43 210 : 9. 4. Найдите числа меньше 30, каждое из которых равно сумме всех своих делителей, не считая самого числа. 5. Применив соответствующий признак делимости, выберите числа, которые делятся на: а) 3; б) 9. 436 199 11211 2880 6666 7728 91917 46438 5423 6485 6. Найдите собственные делители числа: а) 36; б) 48; в) 126; г) 416; д) 500. 7. Найдите все двузначные числа, кратные: а) 21; б) 18; в) 35; г) 19. 8. Выберите простые числа: 9. Разложите на простые множители числа: а) 36; б) 80; в) 100; г) 136; д) 240. 10. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 12 и 20; б) 27 и 72; в) 60 и 64; г) 96 и 36; д) 360 и 840; е) 84 и 112. 11. Сократите дробь: а) 315. 320’ б) 48 . 124’ в) 360. 420’ 12. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 5 и 8; б) 45 и 9; в) 27 и 45; г) 12 и 18; г) 312 390' д) 33 и 39; е) 64 и 48. 13. Не выполняя деление, найдите остаток от деления числа 123456789 на: а) 2; б) 5; в) 10; г) 3; д) 9. 14. Найдите все числа вида: а) 123а, делящиеся на 3; б) 25аЬ, делящиеся на 9; в) 63Ьс, делящиеся и на 9, и на 10. ■ ------------------------------------------------------------------ 15. Найдите три числа, запись которых состоит: а) из цифр 1 и 0 и которые делятся на 3; б) из цифр 2 и 3 и которые делятся на 3; в) из цифры 3 и которые делятся на 9; г) из цифр 1 и 4 и которые делятся на 9. Натуральные числа. Повторение и дополнения 19 16. Истинно или Ложно? а) Произведение двух нечетных чисел является нечетным числом. б) Квадрат четного числа - нечетное число. в) Куб нечетного числа - четное число. г) Куб четного числа - четное число. * 17. Две маршрутки отправляются в 6:00 с одной и той же остановки. Первая марш рутка возвращ ается на эту остановку через каждые 45 минут, а вторая - через каждый час. Во сколько снова встретятся эти две маршрутки на той же остановке? 18. Чему равен остаток от деления числа п на 6, если число п + 4 кратно 6? 19. Истинно или Ложно? а) Сумма двух четных чисел является четным числом. б) Разность двух нечетных чисел является нечетным числом. в) Если с | а и с | Ъ, то с | (а + Ъ), для любых а, Ъ, с е N. г) Если натуральное число делится на 5, то оно делится и на 10. д) Если натуральное число делится на 2 и на 5, то оно делится и на 10. е) Если с | (а + Ъ), то с | а и с | Ъ, для любых а, Ъ, с е N. Я! 20. Перечертите диаграммы и впишите в соответствующие места числа: 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 21, 25, 30. 21. Найдите натуральные числа т и п, зная, что: а) т + п = 24 и (т, п) = 8; б) т + п = 45 и (т, п) = 9. 3 22. Даны множества: А = (х е N | х : 6 и х < 50}, В = (х е N х : 3 и х < 50}, С = (х е N х : 2 и х < 50}. Определите истинностное значение высказывания: а) В с А; б) А с С; в) В ^ С = А; г) В П С = А; д) {2,3,6} с В ^ С. 23. 10 мая одновременно из одного порта вышли три теплохода. Первый теплоход возвращается в порт через каждые 4 недели, второй - через каждые 6 недель, третий - через каждые 3 недели. Какого числа они снова встретятся в этом порту? 24. Докажите, что натуральное число делится на: а) 4, если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4; б) 8, если число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 8. 25. Найдите наименьшее натуральное число, которое поочередно при делении на 7, 8, 9 дает в остатке 5, 6, 7 соответственно.