osCilaţii eleCtromagnetiCe a. Circuitul oscilant ideal Studiind oscilaţiile mecanice, s-a constatat că ele sunt însoţite de un continuu proces de transformare a energiei potenţiale a oscilatorului în energie cinetică și invers. După cum vom vedea în continuare, circuitul închis compus dintr-un condensator și o bobină, numit circuit oscilant, de asemenea reprezintă o sursă de oscilaţii, dar însoţite de transformarea energiei câmpului electric în cea a câmpului magnetic și invers. De aceea asemenea oscilaţii au fost numite oscilaţii electromagnetice libere. Menţionăm că în realitate toate circuitele oscilante posedă și o anumită rezistenţă electrică. Pentru simplitate vom cerceta cazul unui circuit oscilant ideal, elementele căruia au rezistenţe foarte mici și acestea pot fi neglijate. Să urmărim procesul de apariţie a oscilaţiilor electromagnetice într-un circuit oscilant ideal, compa rându-l cu cel de apariţie a oscilaţiilor mecanice în cazul unui pendul elastic (fig. 3.1). Dacă în circuitul oscilant condensatorul nu este încărcat, atunci sistemul se află în stare de echilibru. Admitem că, la momentul de timp t = 0, condensatorul de capacitate C, încărcat prealabil până la o tensiune Um, are pe armături o sarcină qm = CUm și este legat la bornele unei bobine de inductanţă L. Astfel, circuitului oscilant i s-a transmis o energie egală cu energia câmpului electric dintre armăturile condensa torului q2m /(2C). Această stare a circuitului oscilant este echivalentă cu cea a pendulului elastic, scos din Oscilaţii şi unde electrOmagnetice Capitolul 3 poziţia de echilibru la distanţa –xm , fiindu-i transmisă energia potenţială kx2 m /2 , unde k este constanta de elasticitate a resortului (fig. 3.1, a). Odată cu începe rea descărcării condensatorului (micșorării sarcinii de pe armăturile lui), prin bobină circulă un curent, a cărui intensitate crește treptat, precum în cazul pendulului elastic se mărește viteza corpului. Micșo ra rea sarcinii și, respec tiv, creșterea curentului nu se produce instanta neu din cauza fenomenului de auto inducţie provocat de variaţia în timp a curen tului prin bobină. Într-ade văr, creșterea curentului prin bobină determină apariţia unui câmp magnetic va ria bil în timp. La rândul său, acest câmp magnetic generează un curent indus și, respectiv, un câmp electric. Conform regulii lui Lenz, curentul indus are un astfel de sens, încât fluxul magnetic produs de acesta se opune crește rii fluxului magnetic inductor, ceea ce împie dică descăr carea instantanee a conden sa torului. La momentul t = T/4 (fig. 3.1, b) pendulul elastic revine la poziţia de echilibru, unde viteza corpului este maximă, iar energia potenţială a resortului se transformă complet în energie cinetică mυ2 m /2 . Analogic, în același moment, condensatorul este complet descăr cat (sarcina de pe armături și tensiu nea sunt nule), intensitatea curen tului în bobină este maximă i = Im, iar ener gia câmpului electric al condensatorului se transfor mă complet în energia câmpului magnetic al bobinei LI2 m /2 . Continuând analogia cu pendulul elastic, observăm că în intervalul de timp de la T/4 până la T/2 corpul pendulului, mișcându-se după inerţie, com primă resortul până la o deformaţie egală cu cea iniţială, dar în sens opus, adică cu xm. Respectiv, energia
43
cinetică a pendulului se transformă în energie potenţială. În circuitul oscilant, micșorarea intensităţii curentului în acest interval de timp, conduce la apariţia unui curent indus, al cărui flux magnetic, conform regulii lui Lenz, se opune micșorării fluxului magnetic inductor. În consecinţă, ten siu nea electromotoare de autoinducţie ea = –L∆i/∆t de la bornele bobinei încarcă conden satorul cu sarcini de semne opuse faţă de cum a fost încărcat iniţial. La momentul t = T/2, în circuitul oscilant tensiunea atinge valoarea maximă negativă –Um, iar intensitatea curentului i = 0 (fig. 3.1, c). În intervalul (T/2, T) atât în cazul pen dulului elastic, cât și în circuitul osci lant se produc în aceeași ordine feno mene ce au avut loc în intervalul
(0, T/2), însă în sens contrar. Începând cu momentul t = T/2, condensatorul se descarcă și energia câmpului elec tric din circuitul oscilant egală cu q2 m/(2C) descrește. Tensiunea și, respectiv, sarcina de pe armăturile condensatorului se micșorează, iar intensitatea curentului prin bobină crește.
La momentul t = 3T/4 sarcina și tensiunea sunt nule,
iar i = –Im, adică curen tul este maxim, dar de sens opus celui care circula prin circuit în primul sfert de perioadă. Energia circui tului oscilant este egală cu cea a câmpului magnetic LI2 m/2 (fig. 3.1, d). După reîncărcarea condensatoru lui în intervalul de timp (3T/4, T), energia câmpului magnetic iarăși se transformă complet în energia câmpului electric și circuitul oscilant revine la starea iniţială (fig. 3.1, e), reluându-se apoi aceeași succe siune de fenomene. Din analiza făcută mai sus rezultă că procesul de încărcare-descărcare a condensatorului este periodic, iar mărimile q, i, u ce caracterizează acest proces sunt oscilatorii. Din figura 3.1 observăm că depen den ţele de timp ale tensiunii u și intensităţii curen tului i din circuitul oscilant ideal se descriu cu funcţiile „sinus” sau „cosinus”, adică sunt funcţii armonice. Aceasta ne permite să afirmăm că în acest circuit, ca și în cazul pendulului elastic, se produc oscilaţii armonice libere. Așadar, circuitul oscilant ideal reprezintă echivalentul electro magnetic al oscilatorului liniar armonic.
b.* analogia dintre oscilaţiile mecanice şi electromagnetice. perioada şi frecvenţa oscilaţiilor electromagnetice Asemănarea dintre oscilaţiile electromagnetice și cele mecanice constă în caracterul unic al modului de variaţie a mărimilor ce le caracterizează și se expli că prin analogia condiţiilor ce le provoacă. Revenirea la poziţia de echilibru în cazul pendulului elastic este determinată de forţa de elasticitate Fx = –kx dependentă liniar de deplasarea x de la această poziţie. În circuitul oscilant revenirea la starea de echilibru corespunde procesului de descăr care a condensatorului determinat de tensiunea u = q/C, dependentă liniar de sarcina q. Așadar, coeficientului de elasticitate k, în cazul oscilaţiilor mecanice, îi corespunde mărimea inversă a capacităţii condensatorului 1/C în cazul oscilaţiilor electromagnetice. Precum inerţia corpului de masă m a pendulului elastic împiedică creșterea bruscă a vitezei acestuia, curentul electric în circuitul oscilant se mărește treptat datorită fenomenului de auto in ducţie din bobina de inductanţă L. Rezultă că inductanţa L în cazul oscilaţiilor electromagnetice are același rol ca și masa m în cazul celor mecanice. Asemenea analogie poate fi stabilită și pentru alte mărimi fizice. În tabelul 1 sunt prezentate mărimile fizice mecanice și electrice, precum și corespondenţa dintre ele la studiul oscilaţiilor. Fig. 3.1
44
Tabelul 1 oscilaţii mecanice oscilaţii electromagnetice Elongaţia x = A cos ωt Sarcina q = qm cos ωt Viteza υ = ∆x ∆t Intensitatea curentului i = ∆q ∆t Acceleraţia a = ∆υ ∆t Viteza de variaţie a intensităţii curentului ∆i ∆t Forţa F Tensiunea U Masa m Inductanţa L Constanta de elasticitate k Mărimea inversă capacităţii 1/C Energia potenţială kx2/2 Energia câmpului electric q2/(2C) Energia cinetică mυ2/2 Energia câmpului magnetic Li2/2 Folosind tabelul 1, orice relaţie (obţinută la studiul oscilaţiilor mecanice) poate fi scrisă în limbajul oscilaţiilor electromagnetice. De exemplu, relaţia care exprimă legea conservării energiei mecanice în cazul oscilatorului liniar armonic: kA2 2 = mυ2 m 2 = kx2 2 + mυ2 2 , pentru circuitul oscilant ideal are aspectul:
q2 m 2C = LI2 m 2 = q2 2C + Li2 2 . (3.1) Întrucât în circuitul oscilant ideal nu există pierderi de energie, oscilaţiile electromagnetice se produc numai în baza transformărilor energetice reciproce din interiorul lui și sunt numite proprii. Relaţia pentru pulsaţia proprie a acestor oscilaţii se poate demonstra teoretic, însă este mai simplu să folosim tabelul 1 și formula ω = k/m pentru pulsaţia proprie a pendulului elastic. Așadar, pentru pulsaţia proprie a oscilaţiilor electromagnetice avem: ω = 1 LC , (3.2) iar pentru valorile perioadei și frecvenţei proprii obţinem: T = 2π ω = 2π LC (3.3)ș i ν = 1 T = 1 2π LC . (3.4) Relaţia (3.3) a fost demonstrată pentru prima dată în anul 1853 de către fizicianul englez William Thomson (1824–1907) și este numită formula lui Thomson.
Frecvenţa (perioada) proprie a oscilaţiilor din circuitul oscilant de pinde numai de parametrii acestuia și pentru va lori mici ale capacităţii și inductanţei se pot realiza oscilaţii de frecvenţă foarte înaltă. c.* oscilaţii electromagnetice amortizate şi forţate Studiul circuitului oscilant ideal demonstrează că procesul de transformare a energiei câmpului electric al condensatorului în cea a câmpului magnetic al bobinei și invers poate continua la nesfârșit. Deoarece elementele circuitului ideal nu posedă rezi stenţă, nu există nici pierderi de energie prin efect Joule. De regulă însă, orice circuit oscilant real întotdeauna este caracterizat și de o anumită rezis tenţă. Din această cauză energia acumulată iniţial în conden sator se transformă parţial în energia câm pu lui magnetic și parţial, datorită efectului termic al curentului, – în energie internă, ce se degajă sub formă de căldură. După fiecare perioadă, sarcina de pe armăturile condensatorului devine mai mică decât în cea precedentă, adică amplitudinea oscilaţiilor electromagnetice se micșorează și în decursul unui număr oarecare de perioade ele se sting. Astfel de oscilaţii sunt numite amortizate (fig. 3.2). Prin urmare, întrun circuit oscilant real sunt posibile doar osci laţii electromagnetice amortizate. Pentru menţinerea procesului oscilatoriu al mări milor electrice în circuitul oscilant este nevoie să compensăm pierderile de energie prin alimentarea lui la o sursă exterioară. Dacă compen sarea se face periodic, atunci în circuit se stabilesc oscilaţii ale curentului și tensiunii, caracte rizate de amplitudine constantă și frecvenţă egală cu cea a sursei de alimen tare. Astfel, periodic se realizează un transfer de energie din exterior spre circuitul oscilant. În asemenea ca zuri oscilaţiile sunt numite oscilaţii electromagne tice forţate.
Fig. 3.2
45
Problemă rezolvată
Verificaţi-vă cunoştinţele 1. Ce se numeşte circuit oscilant? 2. Care sunt transformările energetice posibile întrun circuit oscilant şi ce reprezintă oscilaţiile electro magnetice? 3. În baza cărui fenomen este posibilă reîncărcarea con densatorului din circuitul oscilant? Descrieţi procesele care au loc în acest circuit, comparândule cu cele ce se produc în cazul pendulului elastic. 4.* Care este corespondenţa dintre mărimile fizice ce descriu oscilaţiile mecanice şi cele electro magnetice? 5.* Care este formula lui Thomson pentru perioada proprie a oscilaţiilor electromagnetice? 6.* Cum se numesc oscilaţiile electromagnetice care se produc întrun circuit oscilant real?
7.* Când oscilaţiile dintrun circuit oscilant sunt numite oscilaţii forţate? 8.* Determinaţi capacitatea condensatorului dintrun circuit oscilant ideal, dacă bobina lui are inductanţa L = = 10 mH, iar perioada oscilaţiilor electromagnetice este de 4 ms. 9.* Cum şi de câte ori se modifică frecvenţa oscilaţiilor electromagnetice dintrun circuit oscilant, dacă bobina lui este înlocuită cu alta, având inductanţa de 16 ori mai mare?
10.* O bobină de inductanţă L = 5 mH şi un condensator plan cu aer, având armăturile de arie S = 100 cm2, formează un circuit oscilant. Determinaţi distanţa dintre armăturile condensatorului, dacă perioada osci laţiilor electromagnetice este de 3 µs.
Intensitatea curentului din circuitul oscilant ideal, alcă tuit dintro bobină de inductanţă L = 10 H şi un con densator, variază în timp conform legii: i = 0,1sin100 πt (A). Determinaţi: a) perioada oscilaţiilor electromagnetice; b) capacitatea electrică a condensatorului; c) energiile maxime ale câmpurilor electric şi magnetic. rezolvare: a) Din comparaţia legii de variaţie a curentului, dată în condiţiile problemei, cu forma generală a legii armo nice i = Imsinωt, rezultă Im = 0,1 A şi ω = 2πν =
= 100π, deci frecvenţa ν = 50 Hz. Atunci T = 1/ν = 0,02 s.
b) Capacitatea electrică a condensatorului se deter mină uşor din formula lui Thomson (3.3). Avem: C = T2 4π2L ≈ 10–6 F = 1 μF. c) Deoarece circuitul oscilant este ideal, conform legii conservării energiei (3.1), valo rile maxime ale energiilor câmpuri lor electric şi magnetic sunt
43
cinetică a pendulului se transformă în energie potenţială. În circuitul oscilant, micșorarea intensităţii curentului în acest interval de timp, conduce la apariţia unui curent indus, al cărui flux magnetic, conform regulii lui Lenz, se opune micșorării fluxului magnetic inductor. În consecinţă, ten siu nea electromotoare de autoinducţie ea = –L∆i/∆t de la bornele bobinei încarcă conden satorul cu sarcini de semne opuse faţă de cum a fost încărcat iniţial. La momentul t = T/2, în circuitul oscilant tensiunea atinge valoarea maximă negativă –Um, iar intensitatea curentului i = 0 (fig. 3.1, c). În intervalul (T/2, T) atât în cazul pen dulului elastic, cât și în circuitul osci lant se produc în aceeași ordine feno mene ce au avut loc în intervalul
(0, T/2), însă în sens contrar. Începând cu momentul t = T/2, condensatorul se descarcă și energia câmpului elec tric din circuitul oscilant egală cu q2 m/(2C) descrește. Tensiunea și, respectiv, sarcina de pe armăturile condensatorului se micșorează, iar intensitatea curentului prin bobină crește.
La momentul t = 3T/4 sarcina și tensiunea sunt nule,
iar i = –Im, adică curen tul este maxim, dar de sens opus celui care circula prin circuit în primul sfert de perioadă. Energia circui tului oscilant este egală cu cea a câmpului magnetic LI2 m/2 (fig. 3.1, d). După reîncărcarea condensatoru lui în intervalul de timp (3T/4, T), energia câmpului magnetic iarăși se transformă complet în energia câmpului electric și circuitul oscilant revine la starea iniţială (fig. 3.1, e), reluându-se apoi aceeași succe siune de fenomene. Din analiza făcută mai sus rezultă că procesul de încărcare-descărcare a condensatorului este periodic, iar mărimile q, i, u ce caracterizează acest proces sunt oscilatorii. Din figura 3.1 observăm că depen den ţele de timp ale tensiunii u și intensităţii curen tului i din circuitul oscilant ideal se descriu cu funcţiile „sinus” sau „cosinus”, adică sunt funcţii armonice. Aceasta ne permite să afirmăm că în acest circuit, ca și în cazul pendulului elastic, se produc oscilaţii armonice libere. Așadar, circuitul oscilant ideal reprezintă echivalentul electro magnetic al oscilatorului liniar armonic.
b.* analogia dintre oscilaţiile mecanice şi electromagnetice. perioada şi frecvenţa oscilaţiilor electromagnetice Asemănarea dintre oscilaţiile electromagnetice și cele mecanice constă în caracterul unic al modului de variaţie a mărimilor ce le caracterizează și se expli că prin analogia condiţiilor ce le provoacă. Revenirea la poziţia de echilibru în cazul pendulului elastic este determinată de forţa de elasticitate Fx = –kx dependentă liniar de deplasarea x de la această poziţie. În circuitul oscilant revenirea la starea de echilibru corespunde procesului de descăr care a condensatorului determinat de tensiunea u = q/C, dependentă liniar de sarcina q. Așadar, coeficientului de elasticitate k, în cazul oscilaţiilor mecanice, îi corespunde mărimea inversă a capacităţii condensatorului 1/C în cazul oscilaţiilor electromagnetice. Precum inerţia corpului de masă m a pendulului elastic împiedică creșterea bruscă a vitezei acestuia, curentul electric în circuitul oscilant se mărește treptat datorită fenomenului de auto in ducţie din bobina de inductanţă L. Rezultă că inductanţa L în cazul oscilaţiilor electromagnetice are același rol ca și masa m în cazul celor mecanice. Asemenea analogie poate fi stabilită și pentru alte mărimi fizice. În tabelul 1 sunt prezentate mărimile fizice mecanice și electrice, precum și corespondenţa dintre ele la studiul oscilaţiilor. Fig. 3.1
44
Tabelul 1 oscilaţii mecanice oscilaţii electromagnetice Elongaţia x = A cos ωt Sarcina q = qm cos ωt Viteza υ = ∆x ∆t Intensitatea curentului i = ∆q ∆t Acceleraţia a = ∆υ ∆t Viteza de variaţie a intensităţii curentului ∆i ∆t Forţa F Tensiunea U Masa m Inductanţa L Constanta de elasticitate k Mărimea inversă capacităţii 1/C Energia potenţială kx2/2 Energia câmpului electric q2/(2C) Energia cinetică mυ2/2 Energia câmpului magnetic Li2/2 Folosind tabelul 1, orice relaţie (obţinută la studiul oscilaţiilor mecanice) poate fi scrisă în limbajul oscilaţiilor electromagnetice. De exemplu, relaţia care exprimă legea conservării energiei mecanice în cazul oscilatorului liniar armonic: kA2 2 = mυ2 m 2 = kx2 2 + mυ2 2 , pentru circuitul oscilant ideal are aspectul:
q2 m 2C = LI2 m 2 = q2 2C + Li2 2 . (3.1) Întrucât în circuitul oscilant ideal nu există pierderi de energie, oscilaţiile electromagnetice se produc numai în baza transformărilor energetice reciproce din interiorul lui și sunt numite proprii. Relaţia pentru pulsaţia proprie a acestor oscilaţii se poate demonstra teoretic, însă este mai simplu să folosim tabelul 1 și formula ω = k/m pentru pulsaţia proprie a pendulului elastic. Așadar, pentru pulsaţia proprie a oscilaţiilor electromagnetice avem: ω = 1 LC , (3.2) iar pentru valorile perioadei și frecvenţei proprii obţinem: T = 2π ω = 2π LC (3.3)ș i ν = 1 T = 1 2π LC . (3.4) Relaţia (3.3) a fost demonstrată pentru prima dată în anul 1853 de către fizicianul englez William Thomson (1824–1907) și este numită formula lui Thomson.
Frecvenţa (perioada) proprie a oscilaţiilor din circuitul oscilant de pinde numai de parametrii acestuia și pentru va lori mici ale capacităţii și inductanţei se pot realiza oscilaţii de frecvenţă foarte înaltă. c.* oscilaţii electromagnetice amortizate şi forţate Studiul circuitului oscilant ideal demonstrează că procesul de transformare a energiei câmpului electric al condensatorului în cea a câmpului magnetic al bobinei și invers poate continua la nesfârșit. Deoarece elementele circuitului ideal nu posedă rezi stenţă, nu există nici pierderi de energie prin efect Joule. De regulă însă, orice circuit oscilant real întotdeauna este caracterizat și de o anumită rezis tenţă. Din această cauză energia acumulată iniţial în conden sator se transformă parţial în energia câm pu lui magnetic și parţial, datorită efectului termic al curentului, – în energie internă, ce se degajă sub formă de căldură. După fiecare perioadă, sarcina de pe armăturile condensatorului devine mai mică decât în cea precedentă, adică amplitudinea oscilaţiilor electromagnetice se micșorează și în decursul unui număr oarecare de perioade ele se sting. Astfel de oscilaţii sunt numite amortizate (fig. 3.2). Prin urmare, întrun circuit oscilant real sunt posibile doar osci laţii electromagnetice amortizate. Pentru menţinerea procesului oscilatoriu al mări milor electrice în circuitul oscilant este nevoie să compensăm pierderile de energie prin alimentarea lui la o sursă exterioară. Dacă compen sarea se face periodic, atunci în circuit se stabilesc oscilaţii ale curentului și tensiunii, caracte rizate de amplitudine constantă și frecvenţă egală cu cea a sursei de alimen tare. Astfel, periodic se realizează un transfer de energie din exterior spre circuitul oscilant. În asemenea ca zuri oscilaţiile sunt numite oscilaţii electromagne tice forţate.
Fig. 3.2
45
Problemă rezolvată
Verificaţi-vă cunoştinţele 1. Ce se numeşte circuit oscilant? 2. Care sunt transformările energetice posibile întrun circuit oscilant şi ce reprezintă oscilaţiile electro magnetice? 3. În baza cărui fenomen este posibilă reîncărcarea con densatorului din circuitul oscilant? Descrieţi procesele care au loc în acest circuit, comparândule cu cele ce se produc în cazul pendulului elastic. 4.* Care este corespondenţa dintre mărimile fizice ce descriu oscilaţiile mecanice şi cele electro magnetice? 5.* Care este formula lui Thomson pentru perioada proprie a oscilaţiilor electromagnetice? 6.* Cum se numesc oscilaţiile electromagnetice care se produc întrun circuit oscilant real?
7.* Când oscilaţiile dintrun circuit oscilant sunt numite oscilaţii forţate? 8.* Determinaţi capacitatea condensatorului dintrun circuit oscilant ideal, dacă bobina lui are inductanţa L = = 10 mH, iar perioada oscilaţiilor electromagnetice este de 4 ms. 9.* Cum şi de câte ori se modifică frecvenţa oscilaţiilor electromagnetice dintrun circuit oscilant, dacă bobina lui este înlocuită cu alta, având inductanţa de 16 ori mai mare?
10.* O bobină de inductanţă L = 5 mH şi un condensator plan cu aer, având armăturile de arie S = 100 cm2, formează un circuit oscilant. Determinaţi distanţa dintre armăturile condensatorului, dacă perioada osci laţiilor electromagnetice este de 3 µs.
Intensitatea curentului din circuitul oscilant ideal, alcă tuit dintro bobină de inductanţă L = 10 H şi un con densator, variază în timp conform legii: i = 0,1sin100 πt (A). Determinaţi: a) perioada oscilaţiilor electromagnetice; b) capacitatea electrică a condensatorului; c) energiile maxime ale câmpurilor electric şi magnetic. rezolvare: a) Din comparaţia legii de variaţie a curentului, dată în condiţiile problemei, cu forma generală a legii armo nice i = Imsinωt, rezultă Im = 0,1 A şi ω = 2πν =
= 100π, deci frecvenţa ν = 50 Hz. Atunci T = 1/ν = 0,02 s.
b) Capacitatea electrică a condensatorului se deter mină uşor din formula lui Thomson (3.3). Avem: C = T2 4π2L ≈ 10–6 F = 1 μF. c) Deoarece circuitul oscilant este ideal, conform legii conservării energiei (3.1), valo rile maxime ale energiilor câmpuri lor electric şi magnetic sunt
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu