noţiune de dinamiCă relativistă Majoritatea problemelor de dinamică clasică se rezolvă în baza principiului fundamental al dinamicii sub forma: . Această relaţie este în contra dicţie cu al doilea postulat al teoriei relativităţii restrânse. Într-adevăr, corpul de masă m, asupra căruia acţionează forţa constantă , se mișcă uniform accelerat cu acceleraţia a = const. Viteza corpului crește odată cu timpul și poate atinge valori mai mari decât viteza luminii în vid c, ceea ce nu concordă cu teoria relativităţii restrânse. În mecanica clasică este cunoscută și o altă formă a principiului funda mental al dinamicii. Dacă se introduce noţiunea de impuls al corpului , (4.18) se folosește definiţia acceleraţiei și se ţine seama de faptul că în mecanica clasică masa corpului este constantă, se obţine legea variaţiei impulsului: . (4.19) În cadrul mecanicii clasice formulările și (4.19) sunt echivalente, dar în teoria relativităţii restrânse prima dintre ele nu este valabilă. Einstein a stabilit că legea de bază a dinamicii relativiste este exprimată de relaţia (4.19), în care impulsul corpului este definit prin formula (4.18), dar cu o deosebire esenţială de cea din dinamica clasică: Masa corpului nu mai este constantă, ci dependentă de viteză. Această dependenţă are forma: (4.20) unde m0 este masa de repaus a corpului (masa în sistemul de referinţă în care corpul se află în repaus). Masa m este numită masă relativistă1. Substituind (4.20) în (4.18), obţinem expresia pentru impulsul relativist: , (4.21) iar introducând (4.21) în (4.19), stabilim legea fundamentală a dinamicii relativiste: . (4.22)
În baza acestei legi se demonstrează că viteza parti culei cu masa de repaus m0 poate fi mărită până la valori destul de apropiate de viteza luminii în vid c, dar ea nu poate deveni egală cu c, masa m crescând nelimitat. La viteze mici: υ << c, neglijând termenul υ2/c2 în com paraţie cu unitatea din (4.20), obţinem m = m0, adică la astfel de viteze masa corpului este constantă și legea relativistă (4.22) trece în expresia obișnuită a principiului fundamental al dinamicii clasice. Einstein a stabilit, de asemenea, relaţia uni ver sală dintre energia totală a corpului E și masa lui m, interdependenţa dintre masă și energie: E = mc2. (4.23) În cazul corpului aflat în repaus, energia lui E0 = m0c2 (4.24) este numită energie de repaus. Aceste relaţii denotă faptul că variaţiei masei ∆m îi corespunde neapărat variaţia de energie ∆E, determinată de relaţia: (4.25) Importanţa deosebită a relaţiei respective va fi ilustrată ulterior prin aplicări în fizica nucleului atomic și a particulelor elementare. Din formulele (4.18) și (4.23), prin exclu derea masei, obţinem o relaţie importantă dintre impulsul relativist și energia totală: . (4.26) Viteza corpului, energia totală și impulsul relativist sunt mărimi relative, se modifică la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul. Să demonstrăm însă existenţa unei mărimi absolute (invariante), aceeași în toate sistemele de referinţă inerţiale. Ridicând expresia (4.20) la pătrat, obţinem:
După înmulţirea la c4, căpătăm:
, iar ţinând seama de relaţiile (4.23) și (4.18), obţinem: . (4.27) 1 În prezent, în fizica teoretică se manifestă tendinţa de a nu se utiliza noţiunea de masă relativistă m, ci de a se numi masă a corpului masa lui de repaus m0, una și aceeași în toate sistemele de referinţă inerţiale.
78
Mărimea din partea dreaptă a egalităţii este o constantă, adică nu depinde de sistemul de referinţă ales. Deci mărimea din partea stângă a egalităţii este aceeași în orice sistem de referinţă inerţial și este o mărime invariantă: . (4.28) Să analizăm următorul caz: mișcarea cu viteza υ = c, adică având viteza egală cu viteza luminii în vid. Din (4.26) avem . Substituind această valoare în relaţia (4.27), obţinem , de unde rezultă m0 = 0. Prin urmare, cu viteză egală cu c se pot mișca doar particule având masa de repaus nulă. Ulterior vom lua cunoștinţă de asemenea particule. Să deducem expresia relativistă pentru energia cinetică. Particula aflată în repaus posedă energia de repaus E0 = m0c2, iar în mișcare – energia totală E = mc2. Așadar, energia cinetică a ei este egală cu diferenţa acestor energii: (4.29) Să demonstrăm că la viteze mici expresia pentru energia cinetică relativistă (4.29) trece în expresia bine cunoscută . În acest scop vom folosi formule ale calculului aproximativ:
pentru x <<1.
De justeţea acestei formule aproximative ne convingem ridicând la pătrat și neglijând termenul de ordinul x2, care este mult mai mic decât unitatea. O altă formulă este
pentru x <<1. Aducând la numitor comun și neglijând termenul de ordinul x2, ne convingem de justeţea formulei. Folosind aceste formule de calcul aproximativ, obţinem: .
Substituind această valoare aproximativă în formula (4.29), avem , ceea ce trebuia de de monstrat. Astfel, am stabilit că la viteze υ << c formulele teoriei relativităţii restrânse, care sunt mai generale, trec în formulele respective ale mecanicii clasice. Cu alte cuvinte, mecanica clasică este un caz particular al mecanicii relativiste. Acest exemplu ilustrează principiul de corespondenţă, în conformitate cu care orice teorie nouă, considerată mai profundă, mai generală, cu un domeniu mai larg de aplicabilitate decât teoria veche, trebuie să o includă pe aceasta, ca un caz limită, particular. În final menţionăm o proprietate deosebită a sarcinii electrice: valoarea ei nu se modifică la trecerea de la un sistem de referinţă la altul, ea nu depinde de viteză. Astfel, sarcina electrică este mărime in variantă.
Verificaţi-vă cunoştinţele 1. Principiul fundamental al dinamicii clasice este exprimat de două relaţii echivalente: şi . Care dintre acestea nu corespunde postulatelor lui Einstein? Argumentaţi răspunsul. 2. Impulsul relativist este mai mare sau mai mic decât impulsul aceleiaşi particule, calculat conform definiţiei din mecanica clasică? (În ambele cazuri viteza particulei ia una şi aceeaşi valoare.) 3. Care este relaţia universală dintre masă şi energie? 4. Cum se defineşte energia cinetică în cadrul teoriei relativităţii restrânse?
5. Care este esenţa principiului de corespondenţă? 6. Ce cantitate de cărbune, care are puterea calorică egală cu 2·107 J/kg, trebuie arsă pentru a obţine o cantitate de căldură egală cu energia ce corespunde masei de repaus, egale cu 1 g? 7. Ce cantitate de apă poate fi încălzită de la 20 până la 100 oC, consumând în acest scop cantitatea de căl dură egală cu energia de repaus a corpului cu masa de 1 mg? Căldura specifică a apei este egală cu 4200 J/(kg · K). 8. La ce valoare a vitezei unei particule ener
În baza acestei legi se demonstrează că viteza parti culei cu masa de repaus m0 poate fi mărită până la valori destul de apropiate de viteza luminii în vid c, dar ea nu poate deveni egală cu c, masa m crescând nelimitat. La viteze mici: υ << c, neglijând termenul υ2/c2 în com paraţie cu unitatea din (4.20), obţinem m = m0, adică la astfel de viteze masa corpului este constantă și legea relativistă (4.22) trece în expresia obișnuită a principiului fundamental al dinamicii clasice. Einstein a stabilit, de asemenea, relaţia uni ver sală dintre energia totală a corpului E și masa lui m, interdependenţa dintre masă și energie: E = mc2. (4.23) În cazul corpului aflat în repaus, energia lui E0 = m0c2 (4.24) este numită energie de repaus. Aceste relaţii denotă faptul că variaţiei masei ∆m îi corespunde neapărat variaţia de energie ∆E, determinată de relaţia: (4.25) Importanţa deosebită a relaţiei respective va fi ilustrată ulterior prin aplicări în fizica nucleului atomic și a particulelor elementare. Din formulele (4.18) și (4.23), prin exclu derea masei, obţinem o relaţie importantă dintre impulsul relativist și energia totală: . (4.26) Viteza corpului, energia totală și impulsul relativist sunt mărimi relative, se modifică la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul. Să demonstrăm însă existenţa unei mărimi absolute (invariante), aceeași în toate sistemele de referinţă inerţiale. Ridicând expresia (4.20) la pătrat, obţinem:
După înmulţirea la c4, căpătăm:
, iar ţinând seama de relaţiile (4.23) și (4.18), obţinem: . (4.27) 1 În prezent, în fizica teoretică se manifestă tendinţa de a nu se utiliza noţiunea de masă relativistă m, ci de a se numi masă a corpului masa lui de repaus m0, una și aceeași în toate sistemele de referinţă inerţiale.
78
Mărimea din partea dreaptă a egalităţii este o constantă, adică nu depinde de sistemul de referinţă ales. Deci mărimea din partea stângă a egalităţii este aceeași în orice sistem de referinţă inerţial și este o mărime invariantă: . (4.28) Să analizăm următorul caz: mișcarea cu viteza υ = c, adică având viteza egală cu viteza luminii în vid. Din (4.26) avem . Substituind această valoare în relaţia (4.27), obţinem , de unde rezultă m0 = 0. Prin urmare, cu viteză egală cu c se pot mișca doar particule având masa de repaus nulă. Ulterior vom lua cunoștinţă de asemenea particule. Să deducem expresia relativistă pentru energia cinetică. Particula aflată în repaus posedă energia de repaus E0 = m0c2, iar în mișcare – energia totală E = mc2. Așadar, energia cinetică a ei este egală cu diferenţa acestor energii: (4.29) Să demonstrăm că la viteze mici expresia pentru energia cinetică relativistă (4.29) trece în expresia bine cunoscută . În acest scop vom folosi formule ale calculului aproximativ:
pentru x <<1.
De justeţea acestei formule aproximative ne convingem ridicând la pătrat și neglijând termenul de ordinul x2, care este mult mai mic decât unitatea. O altă formulă este
pentru x <<1. Aducând la numitor comun și neglijând termenul de ordinul x2, ne convingem de justeţea formulei. Folosind aceste formule de calcul aproximativ, obţinem: .
Substituind această valoare aproximativă în formula (4.29), avem , ceea ce trebuia de de monstrat. Astfel, am stabilit că la viteze υ << c formulele teoriei relativităţii restrânse, care sunt mai generale, trec în formulele respective ale mecanicii clasice. Cu alte cuvinte, mecanica clasică este un caz particular al mecanicii relativiste. Acest exemplu ilustrează principiul de corespondenţă, în conformitate cu care orice teorie nouă, considerată mai profundă, mai generală, cu un domeniu mai larg de aplicabilitate decât teoria veche, trebuie să o includă pe aceasta, ca un caz limită, particular. În final menţionăm o proprietate deosebită a sarcinii electrice: valoarea ei nu se modifică la trecerea de la un sistem de referinţă la altul, ea nu depinde de viteză. Astfel, sarcina electrică este mărime in variantă.
Verificaţi-vă cunoştinţele 1. Principiul fundamental al dinamicii clasice este exprimat de două relaţii echivalente: şi . Care dintre acestea nu corespunde postulatelor lui Einstein? Argumentaţi răspunsul. 2. Impulsul relativist este mai mare sau mai mic decât impulsul aceleiaşi particule, calculat conform definiţiei din mecanica clasică? (În ambele cazuri viteza particulei ia una şi aceeaşi valoare.) 3. Care este relaţia universală dintre masă şi energie? 4. Cum se defineşte energia cinetică în cadrul teoriei relativităţii restrânse?
5. Care este esenţa principiului de corespondenţă? 6. Ce cantitate de cărbune, care are puterea calorică egală cu 2·107 J/kg, trebuie arsă pentru a obţine o cantitate de căldură egală cu energia ce corespunde masei de repaus, egale cu 1 g? 7. Ce cantitate de apă poate fi încălzită de la 20 până la 100 oC, consumând în acest scop cantitatea de căl dură egală cu energia de repaus a corpului cu masa de 1 mg? Căldura specifică a apei este egală cu 4200 J/(kg · K). 8. La ce valoare a vitezei unei particule ener
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu